高中數(shù)學(xué)直線和圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

直線和圓

一．直線

1．斜率與傾斜角：ktan，[0,)（1）[0,2（2）)時(shí)，k0；

2時(shí)，k不存在；（3）(2,)時(shí)，k0

（4）當(dāng)傾斜角從0增加到90時(shí)，斜率從0增加到；

當(dāng)傾斜角從90增加到180時(shí)，斜率從增加到02．直線方程

（1）點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)（2）斜截式：ykxb

yy1y2y1xayb（3）兩點(diǎn)式：xx1x2x1

（4）截距式：1

（5）一般式：AxByC03．距離公式

（1）點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之間的距離：P1P2(x2x1)(y2y1)

|Ax0By0C|AB2222（2）點(diǎn)P(x0,y0)到直線AxByC0的距離：d

（3）平行線間的距離：AxByC10與AxByC20的距離：d4．位置關(guān)系

（1）截距式：ykxb形式

重合：k1k2b1b2相交：k1k2平行：k1k2b1b2垂直：k1k21（2）一般式：AxByC0形式

重合：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2平行：A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2

1

|C1C2|AB

垂直：A1A2B1B20相交：A1B2A2B15．直線系

A1xB1yC1＋（A2xB2yC2）0表示過兩直線l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交點(diǎn)的所

有直線方程（不含l2）二．圓1．圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)形式：(xa)2(yb)2R2（R0）

（2）一般式：x2y2DxEyF0（D2E24F0）

xx0rcos（3）參數(shù)方程：（是參數(shù)）

yy0rsin【注】題目中出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)求量時(shí)，通�？刹扇�參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題去解決.

（4）以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的圓的方程是：(xxA)(xxB)(yyA)(yyB)02．位置關(guān)系

（1）點(diǎn)P(x0,y0)和圓(xa)2(yb)2R2的位置關(guān)系：

222當(dāng)(x0a)(y0b)R時(shí)，點(diǎn)P(x0,y0)在圓(xa)2(yb)2R2內(nèi)部

222當(dāng)(x0a)(y0b)R時(shí)，點(diǎn)P(x0,y0)在圓(xa)2(yb)2R2上

222222當(dāng)(x0a)(y0b)R時(shí)，點(diǎn)P(x0,y0)在圓(xa)(yb)R外

（2）直線AxByC0和圓(xa)(yb)R的位置關(guān)系：判斷圓心O(a,b)到直線AxByC0的距離d當(dāng)dR時(shí)，直線和圓相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)dR時(shí)，直線和圓相切（有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)dR時(shí)，直線和圓相離（無交點(diǎn)）；

1

|AaBbC|AB22222與半徑R的大小關(guān)系

3．圓和圓的位置關(guān)系

判斷圓心距dO1O2與兩圓半徑之和R1R2，半徑之差R1R2（R1R2）的大小關(guān)系當(dāng)dR1R2時(shí)，兩圓相離，有4條公切線；當(dāng)dR1R2時(shí)，兩圓外切，有3條公切線；

當(dāng)R1R2dR1R2時(shí)，兩圓相交，有2條公切線；當(dāng)dR1R2時(shí)，兩圓內(nèi)切，有1條公切線；當(dāng)0dR1R2時(shí)，兩圓內(nèi)含，沒有公切線；4．當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓相交直線方程等于兩圓方程相減5．弦長(zhǎng)公式：l2Rd

22

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程

一、概念理解：

1、傾斜角：①找α：直線向上方向、x軸正方向；②平行：α=0°；

③范圍：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范圍：斜率k∈R。3、斜率與坐標(biāo)：ktany1y2y2y1x1x2x2x1①構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；②斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)；③注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。

4、直線與直線的位置關(guān)系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直時(shí)：l1x軸，即k1不存在，則k20；斜率都存在時(shí)：k1k21。②平行：斜率都存在時(shí)：k1k2,b1b2；斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。③重合：斜率都存在時(shí)：k1k2,b1b2；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程：

①點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)將已知點(diǎn)(x0,y0)與斜率k直接帶入即可；②斜截式：ykxb將已知截距(0,b)與斜率k直接帶入即可；

③兩點(diǎn)式：帶入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)將已知兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1xy1將已知截距坐標(biāo)(a,0),(0,b)直接帶入即可；ab④截距式：

⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同時(shí)為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。

2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可

3、距離公式：

(x1x2)(y1y2)①兩點(diǎn)間距離：P1P2②點(diǎn)到直線距離：d22Ax0By0CAB22

③平行直線間距離：dC1C2AB22

4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2y1y2,)222xx22y1y2,)靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)②AB三分點(diǎn)(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,)靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)(133①AB中點(diǎn)(x0,y0)：(中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。

三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對(duì)稱性問題

已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P（x0，y0）,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P’（x，y），則pp’的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp’的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、解析法（坐標(biāo)法）：

①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；②依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；③將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。

y2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問題”：①PAPB的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示：②PAPB的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；

22ox③PAPB的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”。

3、直線必過點(diǎn)：①含有一個(gè)參數(shù)----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0=>必過點(diǎn)(-2,3)

②含有兩個(gè)參數(shù)----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=>必過點(diǎn)(-1/7,3/7)4、易錯(cuò)辨析：

①討論斜率的存在性：

解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時(shí)，是否滿足題意；斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。②注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解；（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。）

③直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；直線過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。

圓的方程

1.定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.2.圓的方程表示方法：

DE第一種：圓的一般方程xyDxEyF0其中圓心C,，

22D2E24F半徑r.

2當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，

22當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無圖形.

DE,.22第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.其中點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓

第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：xarcos（為參數(shù)）

ybrsin注：圓的直徑方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M(fèi)在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r24.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時(shí)，l與C相切；

②dr時(shí)，l與C相交；，③dr時(shí)，l與C相離.

5、圓的切線方程：

2

①一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R.特別地，過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)

AaBbCAB22.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則聯(lián)立求出k切線方程.（注：RR21過圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條切線必定是垂直于

X軸的直線。）6.圓系方程：

過兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

22

（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

過兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x+y+D1x+E1y+F1-x+y+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方

程就是直線方程）

7.與圓有關(guān)的計(jì)算：

22

弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*√R-d其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離

2

AB=（√1+k）*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根

過圓內(nèi)的一點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8.圓的一些最值問題

①圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑②圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑

③假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與

該點(diǎn)（a，b）的斜率問題，即先求過該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。

④假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，

在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。

9.圓的對(duì)稱問題

①已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。②若某條直線無論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)

2222

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