高一數(shù)學知識點歸納總結

高中高一數(shù)學必修1各章知識點總結

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性.3、集合的表示：(1){}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列舉法與描述法。

常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

5.關于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。6、集合的分類：

(1)．有限集含有有限個元素的集合(2)．無限集含有無限個元素的集合

2

(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝=Φ

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系子集注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同B或BA一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A2．“相等”關系:對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。即AA

②如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作A

B(或B

A)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．

記作A∩B(讀作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補集（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即AS），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作：CSA即CSA={xxS且xA}

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，

S這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

（3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=UCsAA

第二章函數(shù)

一、函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

2.構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)3．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）

區(qū)間的數(shù)軸表示．

4．映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法：列表法：

6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；

（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．7．函數(shù)單調(diào)性（1）．設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．9、函數(shù)的解析表達式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)。補充不等式的解法與二次函數(shù)（方程）的性質(zhì)：

1、a>0時，|x|axa或xa，|x|aaxa

22、配方：axbxca(xb2a)24acb4a2

3、△>0時，axbxc0（a0）的兩個根為x1、x2(x1x2)，則

bb4ac2a22x12，x2bb4ac2a22，

axbxc0xx1或xx2，axbxc0x1xx2

24、△=0時，axbxc0（a0）的兩個等根為x0axbxc0xx0，axbxc0無解axbxc0xR，axbxc0xx0

2222b2a，則

5、△

擴展閱讀：教師版整理全面《高中數(shù)學知識點歸納總結》

教師版高中數(shù)學必修+選修知識點歸納

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、

對、冪函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、

三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。

選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

導數(shù)及其應用。

選修12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴

充與復數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修22：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系

的擴充與復數(shù)

選修23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，

統(tǒng)計案例。

系列3：由6個專題組成。選修31：數(shù)學史選講。選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對稱與群。

選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴充。

-1-

系列4：由10個專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)列與差分。

選修44：坐標系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。

選修47：優(yōu)選法與試驗設計初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風險與決策。

選修410：開關電路與布爾代數(shù)。

2．重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，

圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)難點：函數(shù)、圓錐曲線高考相關考點：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏

輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、

值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)

列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用

⑷三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、

和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應用

⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、

數(shù)量積及其應用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式

的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位

置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直

線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線

與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二

項式定理及其應用

⑾概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、

抽樣、正態(tài)分布

⑿導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用⒀復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

全一致，則稱這兩個函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（�。┲�1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：

(1)定義法：設x1、x2[a,b],x1x2","

（3）()uv"uvuv(v0).2v""4、運算性質(zhì)：⑴aaa⑵arsrs4、復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)yf(g(x))的導數(shù)和函數(shù)

yf(u),ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyuux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.

解題步驟:分層層層求導作積還原.5、函數(shù)的極值(1)極值定義：

極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值；

極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＞f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值.(2)判別方法：

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.6、求函數(shù)的最值(1)求yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值（極大或者極小值）

a0,r,sQ；

rsarsa0,r,sQ；

rr⑶ababa0,b0,rQ.

r 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：yaa0,a1

x

2、性質(zhì)：

圖象yy=ax0

5、換底公式：logablogcblogca函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點函數(shù)yfx有零點.2、零點存在性定理：如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb0，那么函數(shù)

a0,a1,c0,c1,b0.

6、重要公式：loganbm7、倒數(shù)關系：logabmlogabn1a0,a1,b0,b1.

logba 2..2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：ylogaxa0,a1

2、性質(zhì)：圖-12.51.5yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在ca,b，

使得fc0，這個c也就是方程fx0的根. 3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.

3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型 3.2.2、函數(shù)模型的應用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.

yy=logax0

⑵圓錐側面積：S側面rl

⑶圓臺側面積：S側面rlRl⑷體積公式：

12、面面垂直：

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面

角，就說這兩個平面互相垂直。

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個

平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的

直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：ktan2、直線方程：⑴點斜式：yy0kxx0⑵斜截式：ykxb

V柱體Sh；V錐體1Sh；3V臺體1S上S上S下S下h3y2y1

x2x1⑸球的表面積和體積：

4S球4R2，V球R3.

3第二章：點、直線、平面之間的位置關系

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條

直線在此平面內(nèi)。

⑶兩點式：

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它

們有且只有一條過該點的公共直線。

yy1y2y1xx1x2x1⑷截距式：

xy1ab4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這

兩個角相等或互補。

⑸一般式：AxByC0

3、對于直線：6、線線位置關系：平行、相交、異面。

7、線面位置關系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直

線和平面相交。

l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：

⑴l1//l28、面面位置關系：平行、相交。9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則

該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一

平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。

k1k2；

bb21⑵l1和l2相交k1k2；⑶l1和l2重合10、面面平行：

⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，

則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。

k1k2；

b1b2⑷l1l2k1k21.

4、對于直線：⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么

它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。

11、線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，

那么就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，

則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。

l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20有：

⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

-5-

A1B2A2B1⑴l1//l2；

BCBC21

⑵l1和l2相交A1B2A2B1；⑶l1和l2重合A1B2A2B1；

BCBC2112⑵外切：dRr；

⑶相交：RrdRr；⑷內(nèi)切：dRr；⑸內(nèi)含：dRr.

3、空間中兩點間距離公式：⑷l1l2A1A2B1B20.

5、兩點間距離公式：P1P2x2x12y2y12z2z12

必修3數(shù)學知識點P1P2x2x12y2y12

6、點到直線距離公式：dAx0By0CAB22

7、兩平行線間的距離公式：l1：AxByC10與l2：AxByC20平行，

則d第一章：算法

1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；

3、算法的三種基本結構：C1C2AB22

當型循環(huán)結構順序結構、條件結構、循環(huán)結構

直到型循環(huán)結構⑴順序結構示意圖：

第四章：圓與方程1、圓的方程：⑴標準方程：xaybr

222語句n其中圓心為(a,b)，半徑為r.

⑵一般方程：xyDxEyF0.其中圓心為(22語句n+1D222、直線與圓的位置關系,E半徑為r)，

12D2E24F.（圖1）

⑵條件結構示意圖：

①IF-THEN-ELSE格式：

滿足條件？

是

語句1直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種:

222dr相離0;dr相切0;

dr相交0.

弦長公式：l2rd

22否語句2

（圖2）

②IF-THEN格式：-6-

1k2(x1x2)24x1x2

3、兩圓位置關系：dO1O2⑴外離：dRr；

是滿足條件？

（圖3）

⑶循環(huán)結構示意圖：

①當型（WHILE型）循環(huán)結構示意圖：

循環(huán)體滿足條件？是

否

（圖4）

②直到型（UNTIL型）循環(huán)結構示意圖：循環(huán)體

否滿足條件？（圖5）

4、基本算法語句：①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量②輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達式③賦值語句的一般格式：變量＝表達式（“=”有時也用“←”）.

④條件語句的一般格式有兩種：

IFTHENELSE語句的一般格式為：

IF條件THEN

語句1

ELSE

語句2

（圖2）-7-ENDIF是

IFTHEN語句的一般格式為：IF條件THEN

語句

ENDIF（圖3）

⑤循環(huán)語句的一般格式是兩種：

當型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式：

WHILE條件

循環(huán)體

（圖4）WEND

直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式：DO

循環(huán)體

LOOPUNTIL條件（圖5）⑹算法案例：①輾轉相除法結果是以相除余數(shù)為0而得到利用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商S0和一個余數(shù)R0；）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數(shù)；若R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；

依次計算直至Rn＝0，此時所得到的Rn1即為所求的最大公約數(shù)。

②更相減損術結果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數(shù)的步驟如下：）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。③進位制十進制數(shù)化為k進制數(shù)除k取余法

k進制數(shù)化為十進制數(shù)第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：①簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，

n每個個體被抽到的機會（概率）均為。

N2、總體分布的估計：⑴一表二圖：

①頻率分布表數(shù)據(jù)詳實②頻率分布直方圖分布直觀

③頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復寫。3、總體特征數(shù)的估計：⑴平均數(shù)：xx1x2x3xn；

nnxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(x,y)。

第三章：概率

1、隨機事件及其概率：⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；⑶隨機事件A的概率：P(A)m,0P(A)1.n2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果；⑵古典概型的特點：

①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)m.n取值為x1,x2,,xn的頻率分別為p1,p2,,pn，則其平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn；

注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。⑵方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn

1方差：sn2(xi1n2i3、幾何概型：⑴幾何概型的特點：

①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。⑵幾何概型概率計算公式：P(A)d的測度；

D的測度x)；

標準差：s1n(xi1n2ix)

注：方差與標準差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標準差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數(shù)關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

4、互斥事件：⑴不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件A1,A2,,An彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，

即：P(AB)P(A)P(B)

⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，則有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。①事件A的對立事件記作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)

②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。

1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關系式1、平方關系：sin2cos21.

必修4數(shù)學知識點第一章：三角函數(shù) 1.1.1、任意角

1、正角、負角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.2、sin.cos3、倒數(shù)關系：tancot1

2、商數(shù)關系：tan 1.3、三角函數(shù)的誘導公式

（概括為“奇變偶不變，符號看象限”kZ）1、誘導公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan.2、誘導公式二：

l.rnR3、弧長公式：lR.

1804、扇形面積公式：Ssinsin,coscos,

nR1lR.36022tantan.3、誘導公式三：

1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點sinsin,coscos,

yPx,y，那么：siny,cosx,tan

x2、設點Ax,y那么：（設為角終邊上任意一點，

tantan.4、誘導公式四：

sinsin,coscos,

rx2y2）

tantan.5、誘導公式五：

xyxysin，cotcos，tan，

yrrx3、sin，cos，tan在四個象限的符號和三角

函數(shù)線的畫法.yTP正弦線：MP;

余弦線：OM;OMAx正切線：AT

5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函數(shù)值.320236323442sin

sincos,2cossin.2sincos,2

6、誘導公式六：

cossin.2

-9-

costan 1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：yy=sinx37-5-12222o4-2-3-253-4-7-322-1x

yy=cosx37-51--232-322-7o4x-2-325-4-122222、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數(shù)的相關性質(zhì)：定

義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、

1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象：

y奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會用五點法作圖.

ysinx在x[0,2]上的五個關鍵點為：

3（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.

22

2、記住余切函數(shù)的圖象：

yy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

3、能夠對照圖象講出正切函數(shù)的相關性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

周期函數(shù)定義：對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)ysinxycosxytanx圖象定義域值域x2kR[-1,1]2R[-1,1]{x|x2k,kZ}R無,kZ時，ymax1最值x2k2,kZ時，ymin1x2k,kZ時，ymax1x2k,kZ時，ymin1周期性奇偶性T2奇T2偶T奇單調(diào)性在(k,k)上單調(diào)遞增22kZ在[2k,2k3]上單調(diào)遞減在[2k,2k]上單調(diào)遞減22在[2k,2k]上單調(diào)遞增22在[2k,2k]上單調(diào)遞增對稱性對稱軸方程：xk2kZ對稱中心(k,0)對稱軸方程：xk對稱中心(k無對稱軸對稱中心(2,0)k2,0) 1.5、函數(shù)yAsinx的圖象1、對于函數(shù)：

（左加右減）平移|B|個單位（上加下減）

yAsinxB

yAsinxBA0,0有：振幅A，周

期T2，初相，相位x，頻率f1T2.

3、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中心函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,,為常數(shù)，且A≠0)的周期T數(shù)ytan(x)，xk常數(shù)，且A≠0)的周期T2、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象與

2；函||yAsinxB的圖象之間的平移伸縮變

換關系.

①先平移后伸縮：2,kZ(A,ω,為

ysinx平移||個單位

ysinxyAsinxyAsinx

.||（左加右減）

對于yAsin(x和)yAcos(x)來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.求函數(shù)yAsin(x)圖像的對稱軸與對稱中心，

橫坐標不變

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍

縱坐標不變

橫坐標變?yōu)樵瓉淼膢平移|B|個單位（上加下減）

(kZ)與xk(kZ)2解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式只需令xk利用圖像特征：A1|倍

要根據(jù)周期來求,要用圖像的關鍵點來求.

1.6、三角函數(shù)模型的簡單應用1、要求熟悉課本例題.

第三章、三角恒等變換

3.1.1、兩角差的余弦公式記住15°的三角函數(shù)值：costansin12ymaxyminyymin，Bmax.22yAsinxB

②先伸縮后平移：ysinx橫坐標不變yAsinx

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍

縱坐標不變

橫坐標變?yōu)樵瓉淼膢平移

yAsinx

624624231 3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式|倍

1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin

-11-

個單位yAsinx

3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tan2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱

模），記作AB；長度為零的向量叫做零向量；長

度等于1個單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法運算及其幾何意義

1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.

2、ab≤ab.

2.2.2、向量減法運算及其幾何意義

1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.

2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、規(guī)定：實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運

算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴

tantan.

1tantantantan.

1tantan 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos12sin2.2、cos2cossin

222cos2112sin2.

變形如下：

21cos22cos升冪公式：21cos22sincos21(1cos2)2降冪公式：

21sin(1cos2)23、tan22tan.1tan2sin21cos21cos2sin24、tan 3.2、簡單的三角恒等變換

1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式y(tǒng)asinxbcosxa2b2sin(x)

（其中輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定,tanaa,b).a⑵當0時,a的方向與a的方向相同；當

第二章：平面向量

2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三

個要素：起點、方向、長度.

-2-

0時,a的方向與a的方向相反.

2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩

個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2，使a1e12e2.⑵ax12y12

⑶abab0x1x2y1y20⑷a//babx1y2x2y10

2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐標運算1、設ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標表示1、設Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點坐標為

x1x2,y1y222，⑵△ABC的重心坐標為

x1x2x3y1y2y33,3.

2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.

2、a在b方向上的投影為：acos.23、a2a.4、aa2.

5、abab0.

2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1、設ax1,y1,bx2,y2，則：

⑴abx1x2y1y2

2、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：

ABx22x1y2y12.

3、兩向量的夾角公式

cosabx1x2y1y2abx2y222

11x2y24、點的平移公式

平移前的點為P(x,y)（原坐標），平移后的對應點

為P(x,y)（新坐標），平移向量為PP(h,k)，

則xxhyyk.

函數(shù)yf(x)的圖像按向量a(h,k)平移后的

圖像的解析式為ykf(xh).

2.5.1、平面幾何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的應用舉例

知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結歸納.

1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：

若A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

l1l2，只需證明ab，即ab0.

即：兩直線垂直⑵線面垂直兩直線的方向向量垂直。

②設平面的法向量為n(x,y,z)．

③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．

①（法一）設直線l的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明l，只需證明a∥u，即au.

na0④根據(jù)法向量定義建立方程組.

nb0②（法二）設直線l的方向向量是a，平面內(nèi)的兩

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.am0n，若個相交向量分別為m、,則l.

an0（如圖）

即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要

2、用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行證，只需證uv，即證uv0.

即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為，

b，則要證明l1∥設直線l1,l2的方向向量分別是a、l2，只需證明a∥b，即akb(kR).

即：兩直線平行或重合⑵線面平行兩直線的方向向量共線。

①（法一）設直線l的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明l∥，只需證明au，即au0.

即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行ACBD則cos.

ACBD⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，

則為的余角或的補角的余角.即有：

若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證∥，只需證u∥v，即證uv.

即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關系⑴線線垂直ausincos.

aub，則要證明設直線l1,l2的方向向量分別是a、

-4-

⑶求二面角①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，

其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線

AOl,BOl，則AOB為二面角l的平

面角.

如圖：

ABOMP在法向量n方向上的投影的絕對值.

即dMPcosn,MP

nMPMP

nMPnMP

n⑶直線a與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。

lBA②求法：設二面角l的兩個半平面的法向量

On，再設m、n的夾角為，二面角分別為m、n的夾角l的平面角為，則二面角為m、或其補角.

根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：

nMP即d.

n

⑷兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。

mn◆如果是銳角，則coscos，

mnmn即arccos；

mnmn◆如果是鈍角，則coscos，

mnmn即arccos.

mn5、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線l距離nMP即d.

n⑸異面直線間的距離設向量n與兩異面直線a,b都垂直，Ma,Pb,則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向

上投影的絕對值。

nMP即d.

n6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個

方向向量，b=PQ，則點Q到直線l距離為平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂

1直h(|a||b|)2(ab)2|a|P推理模式：若Q為直線l外的一點,P在直線l上，a為直線l的

⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內(nèi)任一點，

平面的法向量為n，則P到平面的距離就等于

-5-

PO,OPAAaPAa,aOA

OAa

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直a:b:csinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它

元素。

2、余弦定理：PO,O推理模式：PAAaAO

a,aAP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7、三余弦定理設AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與(AD)所成的角為1，AD與AC所成的角為2，AB與AC所成的角為．則coscos1cos2.

a2b2c22bccosA,222bac2accosB,c2a2b22abcosC.b2c2a2,cosA2bca2c2b2,cosB2aca2b2c2.cosC2ab用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；

⑵已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個定理經(jīng)常結合使用.3、三角形面積公式：B

A12DC

8、面積射影定理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為SS原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為SS射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則

SABC111absinCbcsinAacsinB2224、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

5、一個常用結論：9、一個結論在ABC中，absinAsinBAB;長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射

若sin2Asin2B,則AB或AB.特別注意，影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有S"S射=.cosSS原CAB2C22(AB).222llllcos1cos2cos31

22122232222在三角函數(shù)中，sinAsinBAB不成立。

第二章：數(shù)列

1、數(shù)列中an與Sn之間的關系：sin21sin22sin232.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

必修5數(shù)學知識點第一章：解三角形1、正弦定理：,(n1)S1an注意通項能否合并。

SS,(n2).n1n2、等差數(shù)列：⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），

那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

⑵等差中項：若三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列

-6-

abc2R.sinAsinBsinC（其中R為ABC外接圓的半徑）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;

sinA

abc,sinB,sinC;2R2R2R

Aab2⑸常用性質(zhì)

①若mnpqm,n,p,qN，則

⑶通項公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常數(shù)）.⑷前n項和公式：

amanapaq；

②ak,akm,ak2m,為等比數(shù)列，公比為q(下標成等差數(shù)列,則對應的項成等比數(shù)列)

③數(shù)列an（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的

kSnna1nn12dna1an2

等比數(shù)列；正項等比數(shù)列an；則lgan是公差為

⑸常用性質(zhì)：

①若mnpqm,n,p,qN，則

lgq的等差數(shù)列；

④若an是等比數(shù)列，則can，an，2amanapaq；

②下標為等差數(shù)列的項ak,akm,ak2m,，仍組成等差數(shù)列；

③數(shù)列anb（,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、{apnq}(p,qN)、，也成等差數(shù)列。

⑤單調(diào)性：an的公差為d，則：

）d0an為遞增數(shù)列；）d0an為遞減數(shù)列；）d0an為常數(shù)列；

⑥數(shù)列{an}為等差數(shù)列anpnq（p,q是常數(shù)）⑦若等差數(shù)列an的前n項和Sn，則Sk、S2kSk、

*1，an2r1，q.a(rZ)是等比數(shù)列，公比依次是q，q，qrn⑤單調(diào)性：

a10,q1或a10,0q1an為遞增數(shù)列；a10,0q1或a10,q1an為遞減數(shù)列；q1an為常數(shù)列；q0an為擺動數(shù)列；

⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。⑦若等比數(shù)列an的前n項和Sn，則Sk、S2kSk、

S3kS2k是等比數(shù)列.

4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。

的關系，求數(shù)列an的通項an可用公式

類型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前n項和Sn與anS3kS2k是等差數(shù)列。

3、等比數(shù)列⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。⑵等比中項：若三數(shù)a、G、b成等比數(shù)列Gab,（ab同號）。反之不一定成立。⑶通項公式：ana1qn12,(n1)S1an構造兩式作差求解。

SS,(n2)n1n用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個表達，（要先分n1和n2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。

-7-

amqnm

n⑷前n項和公式：Sn

a11q1qaaq

1n1q

類型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的遞推數(shù)列（其中f(n)是關

（3）若p1且q0時，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：

法一：設an1p(an),展開移項整理得

anan1f(n1)an1an2f(n2)于n的函數(shù)）可構造：

...a2a1f(1)將上述n1個式子兩邊分別相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是關于n的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和;

②若f(n)是關于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和;

③若f(n)是關于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;④若f(n)是關于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.

類型Ⅳ累乘法：

an1pan(p1),與題設an1panq比較系

數(shù)（待定系數(shù)法）得

qqq,(p0)an1p(an)p1p1p1qqqp(an1),即an構成

p1p1p1an以a1q為首項，以p為公比的等比數(shù)列.再利用p1q的通項整理可p1等比數(shù)列的通項公式求出an得an.

an1f(n)型的遞推數(shù)列形如an1anf(n)（其an法二：由an1panq得anpan1q(n2)兩式

相減并整理得

anaf(n1)n1an1f(n2)中f(n)是關于n的函數(shù)）可構造：an2

...a2af(1)1an1anp,即an1an構成以

anan1a2a1為首項，以p為公比的等比數(shù)列.求出

an1an的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求

出an.

㈡形如an1panf(n)(p1)型的遞推式：⑴當f(n)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：將上述n1個式子兩邊分別相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

類型Ⅴ構造數(shù)列法：㈠形如an1panq（其中p,q均為常數(shù)且p0）型的遞推式：（1）若p1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;（2）若q0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

-8-

法一：設anAnBpan1A(n1)B，

通過待定系數(shù)法確定A、轉化成以a1ABB的值，為首項，以p為公比的等比數(shù)列anAnB，再利用等比數(shù)列的通項公式求出anAnB的通項整理可得an.

法二：當f(n)的公差為d時，由遞推式得：

an1panf(n)，anpan1f(n1)兩式相減an得：得：an1anp(anan1)d，令bnan1an1anf(n)anf(n)，令，則，bbbnn1nn1nn1nn1ppppp在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpbn.

nbnpbn1d轉化為類型Ⅴ㈠求出bn，再用類型Ⅲ

（累加法）便可求出an.

⑵當f(n)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：

類型Ⅵ對數(shù)變換法：形如an1pa(p0,an0)型的遞推式：在原遞推式an1pa兩邊取對數(shù)得

qq法一：設anf(n)pan1f(n1)，通過

待定系數(shù)法確定的值，轉化成以a1f(1)為首項，以p為公比的等比數(shù)列anf(n)，再利用等比數(shù)列的通項公式求出anf(n)的通項整理可得an.

lgan1qlganlgp，令bnlgan得：

bn1qbnlgp，化歸為an1panq型，求出bn之后得an10n.（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。

類型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如an1anpan1an（p為常數(shù)且p0）的遞推b法二：當f(n)的公比為q時，由遞推式得：

an1panf(n)①，anpan1f(n1)，兩

邊同時乘以q得anqpqan1qf(n1)②，由①②兩式相減得an1anqp(anqan1)，即

式：兩邊同除于an1an，轉化為

11p形式，anan1化歸為an1panq型求出1的表達式，再求an；

anan1qanp，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出an.

anqan1法三：遞推公式為an1panqn（其中p，q均

為常數(shù)）或an1panrq（其中p，q,r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn1n還有形如an1man的遞推式，也可采用取倒數(shù)方

panq法轉化成1m1m形式，化歸為an1panqan1qanp型求出1的表達式，再求an.

an

類型Ⅷ形如an2pan1qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1}的形式求解。方法為：設an2kan1h(an1kan)，比較系數(shù)得hkp,hkq，可解得h、k，于是

，得：

an1pan1，引入輔助數(shù)列bn（其中qn1qqnqbnanp1），得：再應用類型Ⅴ㈠的方bbn1nnqqq法解決。

⑶當f(n)為任意數(shù)列時，可用通法：在an1panf(n)兩邊同時除以p

n1{an1kan}是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為an1panq型。

可得到

-9-

總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上

不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式an.

5、非等差、等比數(shù)列前n項和公式的求法⑴錯位相減法①若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列anbn的求和就要采用此法.

②將數(shù)列anbn的每一項分別乘以bn的公比，然后在錯位相減，進而可得到數(shù)列anbn的前n項和.

④Cnm1mmCnC1n;

⑤nn!(n1)!n!.

⑶分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.

⑷倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸記住常見數(shù)列的前n項和：

此法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法.

⑵裂項相消法一般地，當數(shù)列的通項anc

(anb1)(anb2)①123...nn(n1);22②135...(2n1)n;③123...n2222(a,b1,b2,c為常數(shù)）時，往往可將an變成兩項的差，

采用裂項相消法求和.

可用待定系數(shù)法進行裂項：

設an1n(n1)(2n1).6anb1anb2，通分整理后與原式相

第三章：不等式 3.1、不等關系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①（對稱性）abba②（傳遞性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd④（可積性）ab,c0acbc

ab,c0acbc⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acbd

（異向正數(shù)可除性）ab0,0cdab

cdc比較，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，從而可得

b2b1cc11=().

(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2

常見的拆項公式有：①

111；

n(n1)nn11111();

(2n1)(2n1)22n12n111(ab);

abab⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且n1)⑦（開方法則）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒數(shù)法則）ab02、幾個重要不等式②

1111;ab0abab③①ab2aba，bR,（當且僅當ab時取

22

a2b2.""號）.變形公式：ab2②（基本不等式）

（即調(diào)和平均幾何平均算術平均平方平均）.變形公式：

ababa，bR,（當2a2b2abab;222且僅當ab時取到等號）.

ab變形公式：ab2abab.

2用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術幾何平均不等式）

2(ab)2ab.

222②冪平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2.n③二維形式的三角不等式：

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2abc3abc(a、b、cR)（當且僅當3(x1,y1,x2,y2R).

④二維形式的柯西不等式：

abc時取到等號）.

④abcabbccaa，bR

222(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).當且

僅當adbc時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：

（當且僅當abc時取到等號）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)（當且僅當abc時取到等號）.

333(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：

ba2（當僅當a=b時取等號）abba若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

abbbmana⑦1aambnb⑥若ab0,則其中(ab0，m0，n0)

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧當a0時，xax2a2xa或xa;

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)

(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

設,是兩個向量，則,當且僅當

是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成

立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設a1a2...an,b1b2...bn為兩組實數(shù).c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則

xax2a2axa.

⑨絕對值三角不等式ababab.

3、幾個著名不等式

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和亂序和順序和）

當且僅當a1a2...an或b1b2...bn時，反序和等于順序和.

-11-

2aba2b2ab①平均不等式：1

ab122a，bR,（當且僅當ab時取""號）.

⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（時同理）“或”規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解⑴⑵則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等.常見不等式的放縮方法：

①舍去或加上一些項，如(a)②將分子或分母放大（縮小），如

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)a(a0)2f(x)a12231(a)2;42⑶1111,,22kk(k1)kk(k1)⑷f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)(22k212),

kkkkk1⑸12(kN*,k1)等.kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0(或0)

2規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當a1時,af(x)(a0,b24ac0)解集的步驟：

一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

ag(x)f(x)g(x)

f(x)⑵當0a1時,aag(x)f(x)g(x)

規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉化.10、對數(shù)不等式的解法⑴當a1時,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)⑵當0a1時,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉化.

11、含絕對值不等式的解法：⑴定義法：aa(a0).

a(a0)22⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：

由于直線AxByC0的同一側的所有點的坐標代入AxByC后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點(x0,y0)（如原點），由Ax0By0C的正負即可

⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如axbxc0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有：⑴討論a與0的大小；⑵討論與0的大��；⑶討論兩根的大小.14、恒成立問題⑴不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當a0時b0,c0;

22判斷出AxByC0(或0)表示直線哪一側的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.

法二：根據(jù)AxByC0(或0)，觀察B的符號與不等式開口的符號，若同號，AxByC0(或0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)zAxBy(A,B為常數(shù)）的最值：

法一：角點法：

如果目標函數(shù)zAxBy（x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應z值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最小值

法二：畫移定求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線l0:AxBy0，平移直線l0（據(jù)可行域，將直線l0平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解

②當a0時2a0

0.⑵不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當a0時b0,c0;

②當a0時a0

0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標函數(shù)zAxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

利用z的幾何意義：y縱截距.

①若B0,則使目標函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；

②若B0,則使目標函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.

⑷常見的目標函數(shù)的類型：①“截距”型：zAxBy;

常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題.

2、四種命題及其相互關系

四種命題的真假性之間的關系：

⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．

3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結論q之間的關系：

Ⅰ、從邏輯推理關系上看：①若pq，則p是q充分條件，q是p的必要條件；②若pq，但qp，則p是q充分而不必要條件;③若pq，但qp，則p是q必要而不充分條件;④若pq且qp，則p是q的充要條件；⑤若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.

Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：

已知Axx滿足條件p，Bxx滿足條件q：①若AB,則p是q充分條件；

Azzx,為直線的BBByyb②“斜率”型：z或z;

xxa③“距離”型：zxy或z22x2y2;

z(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.

②若BA,則p是q必要條件；

在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結合線

性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.

③若AB，則p是q充分而不必要條件;

④若BA，則p是q必要而不充分條件;⑤若AB，則p是q的充要條件；

⑥若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件.

4、復合命題

⑴復合命題有三種形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.

-14-

選修數(shù)學知識點專題一：常用邏輯用語1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結詞；

簡單命題：不含邏輯聯(lián)結詞的命題;

復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題.

⑵復合命題的真假判斷

“p或q”形式復合命題的真假判斷方法：一真必真；“p且q”形式復合命題的真假判斷方法：一假必假；“非p”形式復合命題的真假判斷方法：真假相對.5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

⑵存在量詞與特稱命題短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做

存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，

叫做特稱命題.

⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否定

①全稱命題p：x,p(x)，它的否定p：

x0,p(x0).全稱命題的否定是特稱命題．

②特稱命題p：x0,p(x0),，它的否定p：

x,p(x).特稱命題的否定是全稱命題.

專題二：圓錐曲線與方程1．橢圓焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2y221ab02aby2x221ab02ab第一定義第二定義范圍F2的距離之和等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）到兩定點F1、與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即MFe(0e1)daxa且byb1a,0、2a,0bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0頂點10,b、20,b軸長對稱性焦點焦距長軸的長2a短軸的長2b關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22c(c2a2b2)離心率cc2a2b2b2e1222aaaa(0e1)準線方程a2xc-15-

a2yc焦半徑左焦半徑：MF1aex0右焦半徑：MF2aex0下焦半徑：MF1aey0上焦半徑：MF2aey0M(x0,y0)焦點三角形面積SMF1F2b2tan2(F1MF2)通徑b2過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：HHaA(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2焦點在y軸上（焦點）弦長公式焦點的位置焦點在x軸上圖形標準方程x2y221a0,b02aby2x221a0,b02ab第一定義第二定義范圍頂點軸長對稱性焦點焦距F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）到兩定點F1、與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即MFe(e1)dxa或xa，yR1a,0、2a,0ya或ya，xR10,a、20,a實軸的長2a虛軸的長2b關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22c(c2a2b2)離心率cc2a2b2b2e12aa2a2a(e1)準線方程a2xca2yc漸近線方程ybxa-2-

yaxb焦半徑M在右支MF1ex0a左焦：MF2ex0a右焦：M在上支MF1ey0a左焦：MF2ey0a右焦：MF1ex0a左焦：M在左支右焦：MFexa20y22pxy22px2Sbcot焦點三角形面積MF1F2標準方程2p0p0通徑定義頂點M(x圖形0,y0)MF1ey0a左焦：M在下支MF2ey0a右焦：x22pyx22py(F1MF2)p0過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：HHF不在定直線與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點l上)ab2p00,02．雙曲線

3．拋物線離心率對稱軸范圍e1x軸x0pF,02y軸x0pF,02y0pF0,2y0pF0,2焦點準線方程焦半徑xp2xp2yp2yp2M(x0,y0)通徑焦點弦長公式參數(shù)p的幾何意義MFx0p2MFx0p2MFy0p2MFy0p2過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：HH2pABx1x2p參數(shù)p表示焦點到準線的距離，p越大，開口越闊關于拋物線焦點弦的幾個結論：B(x2,y2)，直線AB的傾斜角為，則設AB為過拋物線y22px(p0)焦點的弦，A(x1,y1)、p22p,y1y2p2;⑵AB⑴x1x2;4sin2⑶以AB為直徑的圓與準線相切；⑷焦點F對A、B在準線上射影的張角為

2；⑸

112.|FA||FB|P專題三：定積分1、定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點

Lnf(i)xi1i1nnba當n時，上f(i),，

n述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作

ax0x1xi1xixnb將區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點

af(x)dx，即

bi(i1,2,,n)，作和式

baf(x)dxlimni1nbaf(i)，這里，a與b分別叫n做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函

數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.

說明：

（1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.

2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可積，則

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若f(x)是[a,a]上的奇函數(shù),則f(x)dx0;若f(x)是[a,a]上的偶

aa函數(shù),則

aaf(x)dx2f(x)dx.

0a5、定積分的幾何意義定積分

baf(x)dx表示在區(qū)間[a,b]上的曲線

baf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，

byf(x)與直線xa、xb以及x軸所圍成的平面

圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即

【其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)，因為

baf(x)dxSx軸上方－Sx軸下方.（在x軸上方的面積取

F(x)CF(x)f(x)】

3、常用定積分公式⑴0dxc（c為常數(shù)）⑵1dxxc

x1⑶xdxc(1)1

⑷1dxlnxcxxx正號,在x軸下方的面積取負號）6、求曲邊梯形面積的方法與步驟⑴畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；

⑵借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；

⑶寫出定積分表達式；

⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.7、定積分的簡單應用⑴定積分在幾何中的應用：

幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:（1）x型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線

⑸edxec

axc(a0,a1)⑹adxlnaxxa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面

bf(x)dx（如圖（1）積：S＝a）；

圖（1）

②由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝f(x)dx＝－f(x)dx（如圖（2））；

⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc⑼sinaxdx⑽cosaxdx1cosaxc(a0)a1sinaxc(a0)ab4、定積分的性質(zhì)⑴⑵⑶

kf(x)dxkaba；f(x)dx（k為常數(shù)）

bbbabf(x)g(x)dxf(x)dxacbacag(x)dx；

babaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb);

-2-

圖（2）

③由一條曲線yf(x)【當axc時，f(x)0當cxb時，f(x)0

圖（5）

②由一條曲線yf(x)(其中x0與直線）ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由yf(x)先求出xh(y)，然后利用）；S＝h(y)dy＝－h(huán)(y)dy求出（如圖（6）

aacabf(x)dx0;f(x)dx0.】

bbc與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝caf(x)dxcbcf(x)dx

＝

a）；f(x)dxf(x)dx.（如圖（3）

cb

圖（6）

③由兩條曲線yf(x)，yg(x)與直線

ya,yb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積，可由yf(x)，yg(x)先分別求出xh1(y)，

然后利用S＝|h1(y)－h(huán)2(y)|dy求出（如xh2(y)，

圖（3）

④由兩條曲線yf(x)，yg(x)（f(x)g(x))與直線xa,xb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積：（如Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.aaabbbba圖（4））

圖（4）

（2）y型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中x0與直線）ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由yf(x)得xh(y)，然后利用S＝h(y)dy求

a圖（7））；

圖（7）

⑵定積分在物理中的應用：①變速直線運動的路程

作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程S，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分，即Sbav(t)dt..

②變力作功

物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動到xb(ab)，那么變力F(x)所作的功Wb出（如圖（5））；

-3-baF(x)dx.

專題四：推理與證明

知識結構

合情推理推理推理與證明證明間接證明數(shù)學歸納法演繹推理歸納推理類比推理⑶結論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

用集合的觀點來理解：若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.

MaS比較法直接證明

綜合法分析法反證法從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.

5、直接證明與間接證明⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.

框圖表示：要點：順推證法；由因導果.

⑵分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

1、歸納推理把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

歸納推理的一般步驟：

通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；

證明（視題目要求，可有可無）.2、類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：

找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；檢驗猜想。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．

簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；

-4-

框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)（反設）假設命題的結論不成立；

(2)（推理）根據(jù)假設進行推理,直到導出矛盾為止；(3)（歸謬）斷言假設不成立；

(4)（結論）肯定原命題的結論成立.6、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學歸納法證明命題的步驟;

*（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0(n0N)時命題成立；

*（2）（歸納遞推）假設nk(kn0,kN","p":{"h":19.058,"w":12.232,"x":763.87,"y":909.431,"z":696},"ps":{"_scaleX":

⑵復數(shù)的代數(shù)形式zabi(a,bR)；

120，3n1,3n2,3n31

6、復數(shù)的幾何意義復平面：用來表示復數(shù)的直角坐標系，其中x軸叫做復平面的實軸，y軸叫做復平面的虛軸.

一一對應復數(shù)zabi復平面內(nèi)的點Z（a,b)⑶復數(shù)的實部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).

2、復數(shù)的分類復數(shù)zabia,bR

實數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0,b0)虛數(shù)(b0)非純虛數(shù)(a0,b0)3、相關公式⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabi復數(shù)zabi平面向量OZ一一對應

專題六：排列組合與二項式定理1、基本計數(shù)原理⑴分類加法計數(shù)原理：(分類相加)

做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有

a2b2

m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方

法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.⑵分步乘法計數(shù)原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一個步驟有

⑷zabi

z，z指兩復數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共軛復數(shù)）.4、復數(shù)運算⑴復數(shù)加減法：abicdiacbdi；⑵復數(shù)的乘法：

m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方

法做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.

2、排列與組合⑴排列定義：一般地，從n個不同的元素中任取

abicdiacbdbcadi；

abiabicdi⑶復數(shù)的除法：cdicdicdimmn個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

acbdbcadiacbdbcadi

c2d2c2d2c2d2（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化）

5、常見的運算規(guī)律n個不同的元素中任取m個元素的一個排列.⑵組合定義：一般地，從n個不同的元素中任取

mmn個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中

任取m個元素的一個組合.

⑶排列數(shù)：從n個不同的元素中任取mmn個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)，記作An.

⑷組合數(shù)：從n個不同的元素中任取mmn個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取mm(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i

1i1i2個元素的組合數(shù)，記作Cn.⑸排列數(shù)公式：

①Annn1n2nm1

mm13i(9)設是1的立方虛根，則

2

n�。籄nm!mnCnbnnnN.

⑵二項展開式的通項公式：

rnrrTr1Cnab0rn,rN,nN.主要用途

②Ann!，規(guī)定0!1.⑹組合數(shù)公式：

m①Cnnnn1n2nm1或

m!mCnn��；

m!nm!nmn是求指定的項.

⑶項的系數(shù)與二項式系數(shù)

項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù).如

在(axb)的展開式中，第r1項的二項式系數(shù)

n②CCmn，規(guī)定C1.

0nrrnrr為Cn，第r1項的系數(shù)為Cnab；而(x1n)的x⑺排列與組合的區(qū)別：排列有順序，組合無順序.⑻排列與組合的聯(lián)系：AnCnAm，即排列就是先組合再全排列.

mAnn(n1)(nm1)n!Cm(mn)Amm(m1)21m!nm!mn展開式中的系數(shù)等于二項式系數(shù)；二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)不一定為正.⑷1x的展開式：n1n12n2n01xnCn0xnCnxCnxCnx，

mmm若令x1，則有

12n11n2nCn0CnCnCn.

⑼排列與組合的兩個性質(zhì)性質(zhì)排列An1AnmAnmmm1；組合Cn1CnCnmmm1.

二項式奇數(shù)項系數(shù)的和等于二項式偶數(shù)項系數(shù)

0213CnCnCn2n1的和.即Cn⑽解排列組合問題的方法

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.⑤有序問題組合法.

⑥選取問題先選后排法.⑦至多至少問題間接法.

⑧相同元素分組可采用隔板法.⑨分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.3、二項式定理⑴二項展開公式：

⑸二項式系數(shù)的性質(zhì)：

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項

mnmCn式系數(shù)相等，即Cn；（2）增減性與最大值：當r數(shù)Cr當rn的值逐漸增大，

n1時，二項式系2n1時,Crn的值逐漸減小，2n且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項（第

2＋1項）的二項式系數(shù)C取得最大值.當n為奇數(shù)時，中間兩項（第

n2nn1n1和＋1項）的二項式系數(shù)22Cn12nCn12n相等并同時取最大值.

⑹系數(shù)最大項的求法

設第r項的系數(shù)Ar最大，由不等式組可確定r.⑺賦值法

若(axb)a0a1xa2x...anx,

n2nArAr1

ArAr1ab

n0n1n12n22rnrrCnaCnabCnabCnab

則設f(x)(axb).有：①a0f(0);

②a0a1a2...anf(1);

③a0a1a2a3...(1)anf(1);

nn⑶相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，（即其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響）.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.

當A、B是相互獨立事件時，那么事件AB發(fā)生（即A、B同時發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的積.即

P(AB)P(A)P(B).

若A、B兩事件相互獨立，則A與B、A與B、A與B也都是相互獨立的.⑷獨立重復試驗

①一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗.

②獨立重復試驗的概率公式如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個試驗恰好發(fā)生k次的概率

kPn(k)Cnpkf(1)f(1);

2f(1)f(1)⑤a1a3a5a7....

2

專題七：隨機變量及其分布

④a0a2a4a6...知識結構

(1pn)kk0,,12n,.

⑸條件概率：對任意事件A和事件B，在已知事件A

發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.

1、基本概念

⑴互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件.

如果事件A、B、C，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件A、B、C彼此互斥.

當A、B是互斥事件時，那么事件AB發(fā)生（即A、B中有一個發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即

P(A公式：P(BA)P(AB),P(A)0.P(A)2、離散型隨機變量⑴隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用

字母X,Y,,等表示.

⑵離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

⑶連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

⑷離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出.

若X是隨機變量，則YYaXb(a,b是常數(shù)）也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機變量的分布列B)P(A).P(B⑵對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件

A的對立事件通常記著A.

對立事件的概率和等于1.P(A)1P(A).特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就

兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.

⑴概率分布（分布列）

設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2，，xi，，xn，

X的每一個值xi（i1,2,,n）的概率P(Xxi)pi，則稱表n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件Xk發(fā)生的

knkCMCNM(k0,1,2,,m),于概率為P(Xk)nCNXx1x2xixnPp1p2pipn是得到隨機變量X的概率分布如下：

X01m為隨機變量X的概率分布，簡稱X的分布列.性質(zhì)：①pi0,i1,2,...n;②

0n01n1mnmCMCNCMCNCMCNMMMPnnnCNCNCNpi1ni1.

其中mminM,n,n≤N,M≤N,n,M,NN.

*⑵兩點分布

如果隨機變量X的分布列為

01X

pP1p

則稱X服從兩點分布，并稱pP(X1)為成功概率.

⑶二項分布

如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是

kkP(Xk)Cnp(1p)nk.

我們稱這樣的隨機變量X的分布列為超幾何分布列,

且稱隨機變量X服從超幾何分布.

注:⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；

⑵超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.4、離散型隨機變量的均值與方差⑴離散型隨機變量的均值

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnP則稱

其中k0,1,2,...,n,變量X的概率分布如下：q1p，于是得到隨機

knp1p2pipnX0n01EXx1p1x2p2xipixnpn為離散型

0PCpq0nCpq1n1n1CnpqkknkCnpqnn隨機變量X的均值或數(shù)學期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.性質(zhì)：①E(aXb)aE(X)b.②若X服從兩點分布，則E(X)p.③若X~Bn,p，則E(X)np.⑵離散型隨機變量的方差

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為我們稱這樣的隨機變量X服從二項分布，記作

X~Bn,p，并稱p為成功概率.

判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有三點：①對立性：即一次試驗中事件發(fā)生與否二者必居其一；②重復性：即試驗是獨立重復地進行了n次;

③等概率性：在每次試驗中事件發(fā)生的概率均相等.注：⑴二項分布的模型是有放回抽樣；

⑵二項分布中的參數(shù)是p,k,n.

⑷超幾何分布

一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取

-8-

Xx1x2xixnP則稱

p1p2pipn

D(X)(xiE(X))pi為離散型隨機變量X的

2i1nxynxyiii1n方差，并稱其算術平方根D(X)為隨機變量X的標準差.它反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.

D(X)越小，X的穩(wěn)定性越高，波動越小，取值2222xnxynyiii1i1nn2、獨立性檢驗假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)22列聯(lián)表為：

x1x2y1acy2bdb+d總計a+bc+da+b+c+d越集中；D(X)越大，X的穩(wěn)定性越差，波動越大，取值越分散.

性質(zhì)：①D(aXb)aD(X).②若X服從兩點分布，則D(X)p(1P).③若X~Bn,p，則D(X)np(1P).5、正態(tài)分布正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達式：

2總計a+c若要推斷的論述為H1：“X與Y有關系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.

具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機變量K2的

n(adbc)2值K，其中

(ab)(cd)(ac)(bd)2fx12ex222nabcd為樣本容量，K2的值越大，說明“X

,xR，其中,是參數(shù)，

2與Y有關系”成立的可能性越大.

隨機變量K2越大，說明兩個分類變量，關系越強；反之，越弱。

且0,.記作N(,).如下圖：

K23.841時，X與Y無關；K23.841時，X

與Y有95%可能性有關；K6.635時X與Y有99%可能性有關.

2專題八：統(tǒng)計案例1、回歸分析專題九：坐標系與參數(shù)方程1、平面直角坐標系中的伸縮變換設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在nabx，回歸直線方程ynxixyiybi1n2其中xixi1aybxxynxyiii1nxx,(0),變換:的作用下，點P(x,y)對

yy,(0).應到點P(x,y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸

縮變換，簡稱伸縮變換。2、極坐標系的概念

在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。

M(,)

-9-

xi2nx2i1相關系數(shù)：rxi1ni1nixyiy2n

2xixyiyi1

O圖1

x

點M的極坐標：設M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角，記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標，記為M(,).

注：

極坐標(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標為(0,)(R).

若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關于極點對稱，即(,)與(,)表示同一點。

如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(,)表示（即一一對應的關系）；同時，極坐標(,)表示的點也是唯一確定的。

極坐標與直角坐標都是一對有序實數(shù)確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數(shù)、對應惟一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標不惟一．一個點可以有無數(shù)個坐標，這些坐標又有規(guī)律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標為(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．極點的極徑為0，而極角任意�。�若對、的取值范圍加以限制．則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，0≤＜2或M（，）M0Mx2y2（2）橢圓221(ab0)的參數(shù)方程為

abOxOa圖10aOxacos（為參數(shù)）；ybsin圖2acos圖3acosy2x2橢圓221(ab0)的參數(shù)方程為

abxbcos（為參數(shù)）；yasin

pM（，）MaOMOaaON(a,)圖4圖5asinasin圖6acos()x2y2（3）雙曲線221(ab0)的參數(shù)方程

ab5、柱坐標系與球坐標系⑴柱坐標：空間點P的直角坐標(x,y,z)與柱坐標xasec（為參數(shù)）；ybtany2x2雙曲線221(ab0)的參數(shù)方程

abtxbco（為參數(shù)）；yacsc

xcos(,,z)的變換關系為：ysin.zz⑵球坐標系空間點P直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,,)的變x2y2z2r2xrsincos換關系：.yrsinsinzrcos6、參數(shù)方程的概念在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x2pt2（4）拋物線y2px參數(shù)方程(t為參

y2pt2數(shù)，t1）；tan參數(shù)t的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點

與原點連線的斜率的倒數(shù).

（6）過定點P(x0,y0)、傾斜角為(的參數(shù)方程xf(t),并且對于t的x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)yg(t),每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。7、常見曲線的參數(shù)方程（1）圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程為2222)的直線

xx0tcos（t為參數(shù)）.

yytsin08、參數(shù)方程與普通方程之間的互化在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù)，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過xf(t),yg(t)。根據(jù)t的取值范圍導出x,y的取值范圍.

-11-xarcos（為參數(shù)）；ybrsin

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