高中數(shù)學直線與圓的方程知識點總結

高中數(shù)學之直線與圓的方程

一、概念理解：

1、傾斜角：①找α：直線向上方向、x軸正方向；②平行：α=0°；

③范圍：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范圍：斜率k∈R。3、斜率與坐標：ktany1y2y2y1x1x2x2x1①構造直角三角形（數(shù)形結合）；②斜率k值于兩點先后順序無關；③注意下標的位置對應。

4、直線與直線的位置關系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直時：l1x軸，即k1不存在，則k20；斜率都存在時：k1k21。②平行：斜率都存在時：k1k2,b1b2；斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。③重合：斜率都存在時：k1k2,b1b2；二、方程與公式：1、直線的五個方程：

①點斜式：yy0k(xx0)將已知點(x0,y0)與斜率k直接帶入即可；②斜截式：ykxb將已知截距(0,b)與斜率k直接帶入即可；

③兩點式：帶入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)將已知兩點(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1xy1將已知截距坐標(a,0),(0,b)直接帶入即可；ab④截距式：

⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同時為0用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。

2、求兩條直線的交點坐標：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可

3、距離公式：

(x1x2)(y1y2)①兩點間距離：P1P2②點到直線距離：d22Ax0By0CAB22

③平行直線間距離：dC1C2AB22

4、中點、三分點坐標公式：已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2y1y2,)222xx22y1y2,)靠近A的三分點坐標②AB三分點(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,)靠近B的三分點坐標(133①AB中點(x0,y0)：(中點坐標公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經常用到。

三分點坐標公式，用得較少，多見于大題難題。5.直線的對稱性問題

已知點關于已知直線的對稱:設這個點為P（x0，y0）,對稱后的點坐標為P’（x，y），則pp’的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp’的中點坐標在已知直線上。三、解題指導與易錯辨析：1、解析法（坐標法）：

①建立適當直角坐標系，依據(jù)幾何性質關系，設出點的坐標；②依據(jù)代數(shù)關系（點在直線或曲線上），進行有關代數(shù)運算，并得出相關結果；③將代數(shù)運算結果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。

y2、動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題”：①PAPB的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示：②PAPB的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；

22ox③PAPB的最值：函數(shù)思想“轉換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。

3、直線必過點：①含有一個參數(shù)----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0=>必過點(-2,3)

②含有兩個參數(shù)----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=>必過點(-1/7,3/7)4、易錯辨析：

①討論斜率的存在性：

解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時，是否滿足題意；斜率存在時，斜率會有怎樣關系。②注意“截距”可正可負，不能“錯認為”截距就是距離，會丟解；（求解直線與坐標軸圍成面積時，較為常見。）

③直線到兩定點距離相等，有兩種情況：直線與兩定點所在直線平行；直線過兩定點的中點。

圓的方程

1.定義：一個動點到一個定點以定長繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2.圓的方程表示方法：

DE第一種：圓的一般方程xyDxEyF0其中圓心C,，

22D2E24F半徑r.

2當D2E24F0時，方程表示一個圓，

22當D2E24F0時，方程表示一個點當D2E24F0時，方程無圖形.

DE,.22第二種：圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.其中點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓

第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：xarcos（為參數(shù)）

ybrsin注：圓的直徑方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.點和圓的位置關系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r24.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時，l與C相切；

②dr時，l與C相交；，③dr時，l與C相離.

5、圓的切線方程：

2

①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.(注:該點在圓上，則切線方程只有一條)

AaBbCAB22.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則聯(lián)立求出k切線方程.（注：RR21過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個解，那么另外一條切線必定是垂直于

X軸的直線。）6.圓系方程：

過兩圓的交點的圓方程：假設兩圓方程為：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設為：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

22

（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

過兩圓的交點的直線方程：x+y+D1x+E1y+F1-x+y+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方

程就是直線方程）

7.與圓有關的計算：

22

弦長的計算：AB=2*√R-d其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離

2

AB=（√1+k）*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根

過圓內的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題

①圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑②圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑

③假設P（x，y）是在某個圓上的動點，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉化為圓上的點與

該點（a，b）的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便是該分式的最值。

④假設P（x，y）是在某個圓上的動點，則求x+y或x-y的最值可以轉化為：設T=x+y或T=x-y，

在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。

9.圓的對稱問題

①已知圓關于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關于該直線對稱后得到的圓心坐標即可。②若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標

2222

擴展閱讀：高中數(shù)學知識點總結 第七章直線和圓的方程

高中數(shù)學第七章-直線和圓的方程

考試內容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式．直線方程的一般式．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點到直線的距離．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡單的線性規(guī)劃問題．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．圓的標準方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法．

（6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

07.直線和圓的方程知識要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與

x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當90或x2x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a0,b0)時，直線方程是：注：若

y23yxa23yb1.

x2是一直線的方程，則這條直線的方程是

y23x2，但若

x2(x0)則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程ykxb，當k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應的直線也會變化.①當b為定植，k變化時，它們表示過定點（0，b）的直線束.②當k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.

（一般的結論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉動的角，它的范圍是(0,)，當90時tank2k11k1k2.

⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,2，當90，則有

tank2k11k1k2.

5.過兩直線l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(為參數(shù)，A2xB2yC20不包括在內）

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設點P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|22xy2.定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段

P1(x1,y1),P2(x2,y2).則xx1x21,yy1y21P1P2所成的比為即P1PPP2,其中

特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。

3.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan4.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：ky2y1x2x1.

(x1x2)

當x1x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

⑵兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它們之間的距離為d，則有dC1C222.

AB注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)3.過定點（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)

4.過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：該直線系不含l2.

7.關于點對稱和關于某直線對稱：

⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關于一直線（yxb）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2,x2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線方程是f(ax,2by)=0.二、圓的方程.

1.⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線C上的與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)建立了如下關系：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程f(x,y)0的一種關系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)0的解；反過來，滿足方程f(x,y)0的解所對應的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2b2②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2

[rb,圓心(a,b)或(a,b)]

[ra,圓心(a,b)或(a,b)]

③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a23.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

[ra,圓心(a,a)]ED當DE4F0時，方程表示一個圓，其中圓心C,2222，半徑rDE4F222.

當D2E24F0時，方程表示一個點D2,E.2當D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.注：①圓的參數(shù)方程：xarcosybrsin（為參數(shù)）.

B0②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：

DE4AF0.

22且

AC0且

③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點和圓的位置關系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①drAaBbCAB22.

時，l與C相切；

相減為公切線方程.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相切，則22xyDxEyF0222②dr時，l與C相交；22C1:xyD1xE1yF10附：公共弦方程：設

22C2:xyD2xE2yF20

有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr時，l與C相離.

相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相離，則22xyD2xE2yF20222(xa)(yb)r由代數(shù)特征判斷：方程組AxBxC0用代入法，得關于x（或y）的一元二次方

程，其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相減，不表示直線.

6.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為

xyDxEyF0

22k的切線方程是ykx1k2r過圓

上一點P(x0,y0)的切線方程為：x0xy0yDxx02Eyy02F0.

①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則R2R1A，聯(lián)立求出k切線方程.BCD(a,b)7.求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知

O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為

2(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

R(xAa)(yAb)422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：1）曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗;2）參數(shù)法;3）定義法，4）待定系數(shù)法.

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