初三數(shù)學(xué)圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題詳解

圓的基本性質(zhì)

1．半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角.2．任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓.

3．在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.4．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.5．同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.6．同圓或等圓的半徑相等.7．過三個(gè)點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓.8．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧.

9．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.10．經(jīng)過圓心平分弦的直徑垂直于弦。

直線與圓的位置關(guān)系

1．直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線與圓相切.2．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夾的弧所對(duì)的圓心角.

4．三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.5．垂直于半徑的直線必為圓的切線.

6．過半徑的外端點(diǎn)并且垂直于半徑的直線是圓的切線.7．垂直于半徑的直線是圓的切線.8．圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

圓與圓的位置關(guān)系

1．兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做這兩個(gè)圓外切.2．相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

3．兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做這兩個(gè)圓相交.4．兩個(gè)圓內(nèi)切時(shí),這兩個(gè)圓的公切線只有一條.5．相切兩圓的連心線必過切點(diǎn).

正多邊形基本性質(zhì)

1．正六邊形的中心角為60°.2．矩形是正多邊形.

3．正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.4．正多邊形都是中心對(duì)稱圖形.圓的基本性質(zhì)

1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,已知∠C=80°,則∠A的度數(shù)是.A.50°B.80°C.90°D.100°2．已知：如圖，⊙O中,圓周角∠BAD=50°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°3．已知：如圖，⊙O中,圓心角∠BOD=100°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°

4．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則下列結(jié)論中正確的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90

5．半徑為5cm的圓中,有一條長(zhǎng)為6cm的弦,則圓心到此弦的距離為.

AOABCDOBCDABCOA.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6．已知：如圖，圓周角∠BAD=50°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.507．已知：如圖，⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50O8.已知：如圖，⊙O中,圓周角∠BCD=130°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.AA.100°B.130°C.80°D.50°

9.在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑為cm.

A.3B.4C.5D.1010.已知：如圖，⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50°

12．在半徑為5cm的圓中,有一條弦長(zhǎng)為6cm,則圓心到此弦的距離為.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

DACBODCBCOAB點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系

1．已知⊙O的半徑為10,如果一條直線和圓心O的距離為10,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系為.

A.相離B.相切C.相交D.相交或相離

2．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為7cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.相離或相交

3．已知圓O的半徑為6.5cm,PO=6cm,那么點(diǎn)P和這個(gè)圓的位置關(guān)系是A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不能確定

4．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4.5cm,那么這條直線和這個(gè)圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不能確定

5．一個(gè)圓的周長(zhǎng)為acm,面積為acm2，如果一條直線到圓心的距離為πcm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.不能確定

6．已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為6cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.不能確定

7.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.

A.相切B.相離C.相交D.相離或相交8.已知⊙O的半徑為7cm,PO=14cm,則PO的中點(diǎn)和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不能確定

圓與圓的位置關(guān)系

1．⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，若O1O2=10cm，則這兩圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

2．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

3．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm,若O1O2=1cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

4．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2==7cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

5．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，兩圓的一條外公切線長(zhǎng)43，則兩圓的位置關(guān)系是.

A.外切B.內(nèi)切C.內(nèi)含D.相交

6．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和6cm,若O1O2=6cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

公切線問題

1．如果兩圓外離，則公切線的條數(shù)為.

A.1條B.2條C.3條D.4條2．如果兩圓外切，它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條

3．如果兩圓相交，那么它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條4．如果兩圓內(nèi)切，它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條

5.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個(gè)圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條

6．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=7cm,則這兩個(gè)圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條

正多邊形和圓

1．如果⊙O的周長(zhǎng)為10πcm，那么它的半徑為.A.5cmB.10cmC.10cmD.5πcm2．正三角形外接圓的半徑為2,那么它內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.

3C.1D.3．已知,正方形的邊長(zhǎng)為2,那么這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.1C.2D.34．扇形的面積為

2,半徑為2,那么這個(gè)扇形的圓心角為=.3A.30°B.60°C.90°D.120°

5．已知,正六邊形的半徑為R,那么這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為.A.

1RB.RC.2RD.3R2C26．圓的周長(zhǎng)為C,那么這個(gè)圓的面積S=.

C2C2A.CB.C.D.

2427．正三角形內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為.A.1:2B.1:3C.3:2D.1:28.圓的周長(zhǎng)為C,那么這個(gè)圓的半徑R=.A.2CB.CC.

CCD.29.已知,正方形的邊長(zhǎng)為2,那么這個(gè)正方形外接圓的半徑為.A.2B.4C.22D.23

10．已知,正三角形的半徑為3,那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為.A.3B.

3C.32D.

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初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)資料加經(jīng)典例題

第一章、圖形與證明（二）

（一）、知識(shí)框架

1.等腰三角形

等腰三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形的性質(zhì)和判定線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定角的平分線的性質(zhì)和判定

注意：若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則：其高為：，面積為：。

2.直角三角形全等的判定：HL平行四邊形的性質(zhì)和判定：4個(gè)判定定理3.平行四邊形

矩形的性質(zhì)和判定

菱形的性質(zhì)和判定：3個(gè)判定定理正方形的性質(zhì)和判定：2個(gè)判定定理

注注意：（1）中點(diǎn)四邊形

①順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是；②順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是；③順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是；

④順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是。

1（2）菱形的面積公式：Sab（a,b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)）

24.等腰梯形的性質(zhì)和判定

注意：（1）解決梯形問題的基本思路:通過分割和拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形進(jìn)行解決。

即需要掌握常作的輔助線。

（2）梯形的面積公式：S5.中位線三角形的中位線梯形的中位線

1abhlh（l-中位線長(zhǎng)）2

(二)知識(shí)詳解

2．1、等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）

2．2、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三

線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。或者三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

2．3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。2．4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線2．5、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）2.6、幾種特殊四邊形的性質(zhì)

矩形菱形正方形等腰梯形邊對(duì)邊平行且相等角對(duì)角相等對(duì)角線對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角平行四邊形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等對(duì)邊平行，四條邊對(duì)角相等都相等對(duì)邊平行，四條邊四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一都相等條對(duì)角線平分一組對(duì)角兩條底邊平行，兩同一底上的兩個(gè)對(duì)角線相等腰相等角相等2.7.幾種特殊四邊形的判定方法

平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行（2）兩組對(duì)邊分別相等（3）一組對(duì)邊平行且相等（4）兩條對(duì)角線互相平分（5）兩組對(duì)角分別相等矩形菱形正方形等腰梯形（1）有三個(gè)角是直角（2）是平行四邊形，并且有一個(gè)角是直角（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線相等（1）四條邊都相等（2）是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等（3）是平行四邊形，并且兩條對(duì)角線互相垂直（1）是矩形，并且有一組鄰邊相等（2）是菱形，并且有一個(gè)角是直角（1）是梯形，并且兩條腰相等（2）是梯形，并且同一底上的兩個(gè)角相等（3）是梯形，并且對(duì)角線相等A2.8、三角形的中位線：

⑴連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．區(qū)別三角形的中位線與三角形的中線。⑵三角形中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．

BDECF2.9、梯形的中位線：

⑴連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。

注意：中位線是兩腰中點(diǎn)的連線，而不是兩底中點(diǎn)的連線。⑵梯形中位線的性質(zhì)

梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

（三）典型例題

例題1、下列命題正確的個(gè)數(shù)是

①如果一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等，則此三角形是軸對(duì)稱圖形；②等腰鈍角三角形是軸對(duì)稱圖形；③有一個(gè)角是30°角的直角三角形時(shí)軸對(duì)稱圖形；④有一個(gè)內(nèi)角是30°，一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形是軸對(duì)稱圖形

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案：C

解析：①兩個(gè)內(nèi)角相等，根據(jù)“等角對(duì)等邊”知此三角形是等腰三角形，④根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，判斷出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，故①②④正確，故選C。

例題2、下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

A、兩邊之和大于第三邊B、有一個(gè)角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊C、有兩個(gè)銳角的和等于90°D、內(nèi)角和等于180°答案：B

解析：A、D是任何三角形都必須滿足的，C項(xiàng)直角三角形的兩個(gè)銳角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B項(xiàng)等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊，直角三角形不具有這個(gè)性質(zhì)，故選B。

例題3、等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8，則等腰三角形的面積為。答案：12

解析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高垂直平分底邊，所以由勾股定理得到底邊的高為54=9=3，所以等腰三角形的面積為

22183=12，故填12。2例題4、在□ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，則AF：CF＝（）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

【答案】A

例題5、在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE．，分別連結(jié)DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．

ABDE圖1ADADCBECFG圖2BFE132圖3CF【答案】

G(1)證明：如圖1．

∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．∴∠CEF=∠F．∴CE=CF(2)∠BDG=45°

(3)解：分別連結(jié)GB、GE、GC（如圖3）∵AB∥DC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE．

∴四邊形CEGF是平行四邊形．由(1)得CE=CF，

平行四邊形CEGF是菱形．

1∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°

2∴△ECG是等邊三角形∴EG=CG，①∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．

在平行四邊形ABCD中，AB=DC．∴BE=DC．③由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°180°－∠BGD∴∠BDG==60°．

2

例題6、如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）

A．7B．9C．10D．11

【答案】D

例題7、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。試說明：EF與MN互相垂直平分。

（學(xué)生自己思考）

第四章、一元二次方程

（一）知識(shí)框架

一元二次方程一元二次方程的概念ax2bxc0(a0)直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的解法bb24acx2a等量關(guān)系

（二）、知識(shí)詳解1、一元二次方程定義

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式

ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法1、直接開平方法

直接開平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程。當(dāng)b0時(shí)，xab，

xab；當(dāng)b（1）方程ax2bxc0(a0)兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.（2）將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。

（3）所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（4）配方，化成(xa)2b

（5）開方。當(dāng)b0時(shí)，xab；當(dāng)bbb24ac11415x2a212x11515x222（3）原方程變?yōu)椋簒2－3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3

例題3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0．……①(1)若x=-1是方程①的一個(gè)根，求m的值和方程①的另一根；(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，判斷方程①的根的情況，并說明理由．

解：（1）x=-1是方程①的一個(gè)根，所以1+m-2=0，

解得m=1．

方程為x2-x-2=0，解得，x1=-1，x2=2．

所以方程的另一根為x=2．（2）b24ac=m2+8，

因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)m，m2≥0，所以m2+8>0，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

例題4、某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的55元降到了35元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分

率為x，則下列方程中正確的是（）

A．55(1+x)2=35B．35(1+x)2=55C．55(1－x)2=35D．35(1－x)2=55

解：C

例5：（201*南京）西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價(jià)O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利2O0元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元?

解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元根據(jù)題意，得：(32x)(200x40)24201*.1解得：x1＝0.2，x2＝0.3答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.2或0.3元。

第五章、中心對(duì)稱圖形二（圓的有關(guān)知識(shí)）

（一）、知識(shí)框架

與圓有

關(guān)的位

置關(guān)系

圓

正多邊

形與圓

圓的定義,弧、弦等概念垂徑定理及其推論圓的對(duì)稱性基本性質(zhì)弧、弦、弦心距、圓心角關(guān)系定理及其推論圓周角定理及其推論不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓確定圓的條件三角形的外接圓點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)在圓內(nèi)dr相交dr圓內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓直線與圓的位置關(guān)系相切dr判定切線長(zhǎng)定理正多邊形的有關(guān)計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形作法----等份圓圓與圓的位置關(guān)系相離性質(zhì)正多邊形的半徑、邊心距、相離dr正多邊形的內(nèi)角、中心角、外角、正多邊形的周長(zhǎng)、三角形的內(nèi)切圓ldRr正三、六、十二邊形外離dRr正四、八邊形內(nèi)含外切dRr內(nèi)切dRrnR180S扇形nR21lR3602相切其中l(wèi)為弧長(zhǎng)，R為半徑相切的兩圓的連心線過切點(diǎn)相交相交RrdRr相交的兩圓的連心線垂直平分相交弦10圓錐側(cè)面積全面積S側(cè)S展開的扇形SSS

扇形的弧長(zhǎng)、面積（二）知識(shí)點(diǎn)詳解

一、圓的概念集合形式的概念：

1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；

BArdCdO3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

rdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

11Rdr圖外離（圖1）無交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)dRr；

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條��；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條��；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圓心角定理

COABCBAdR圖2rdR圖3圖4dRdrrRr圖5DOED圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。

12

BOAAODCEFBC即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴

BDCBOACAB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴CBAD180BD180DAEC九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

BCBOACOAD兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

MANOAE點(diǎn)。心。

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理

B切線長(zhǎng)定理：

OP13

A從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA十一、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十二、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

（1）正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形

BCAO1BO2OA有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行：OD:BD:OB1:3:2；（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行，

OE:AE:OA1:1:2：

OADBDC（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行，

AB:OB:OA1:3:2.

EO

AB十三、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：lnR；180AOSlnR21lR（2）扇形面積公式：S3602Bn：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

2、圓錐側(cè)面展開圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2

1（2）圓錐的體積：Vr2h

3OB1R

ACrB

3、圓錐與圓柱的比較名稱圖形圓柱圓錐圖形的形成過程由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到，如矩形ADD’G繞直線由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到，如AB旋轉(zhuǎn)一周Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周兩個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面一個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面圖形的組成面積、體積的計(jì)算公式S側(cè)=2πrhS全=S側(cè)+2S底=2πrh+2πrV=πr2h2S側(cè)=πrS全=S側(cè)+S底=πr+πr2V=πr2h（三）、典型例題例題1．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面圖；

(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑.思路點(diǎn)撥：本題考查圓的確定、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)有關(guān)等知識(shí).解：(1)作法略.如圖所示.

于C，

(2)如圖所示，過O作OC⊥AB于D，交∵OC⊥AB，

∴

由題意可知，CD=4cm.

.

設(shè)半徑為xcm，則

在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴

.∴..

即這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.

例題2、在O中，弦AD平行于弦BC，若AOC80，則DAB____度．

【考點(diǎn)要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關(guān)系．【思路點(diǎn)拔】∵∠B=∴∠B=40°∵AD∥BC

∴DAB∠B=40°【答案】填：40

1∠AOC，AOC802DOABC圖7-1

例題3、AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（）

A．1000B．1100C．1200D．1350

【考點(diǎn)要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關(guān)系，以及直徑所對(duì)的弧是半圓等基本知識(shí)．【思路點(diǎn)拔】∵AB是的⊙O的直徑∴ACB度數(shù)是1800∵BC=CD=DA

=CD=DA∴BC100∵∠BCD=(18060)=1200

2【答案】選填C

例題4、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，已知ABBC圖7-2

1AD1，4求CD的長(zhǎng)。

分析：連結(jié)BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延長(zhǎng)AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直徑，得∠ABD=90°，可證得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的長(zhǎng)。

解：延長(zhǎng)AB、DC交于E點(diǎn)，連結(jié)BD∵ABBC1AD14∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB

∵⊙O的半徑為2，∴AD是⊙O的直徑∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA，∴BCCEADAE∴CEBCAEBC(ABBE)111

ADAD421722∴CDDECE41BC)，以BC為直徑作半圓O，過點(diǎn)2D作半圓的切線交AB于E，切點(diǎn)為F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

例題5、如圖，四邊形ABCD是矩形(AB

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根據(jù)正切的定義就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，F(xiàn)D=CD，結(jié)合矩形的性質(zhì)，可以得到ED和AE的關(guān)系，進(jìn)一步可求出AE：AD。解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于點(diǎn)B和點(diǎn)C，

∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，設(shè)BE=x，則AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，

在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，∴AD23x則tan∠ADEAE2x3AD23x3點(diǎn)撥：本題中，通過觀察圖形，兩條切線有公共點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到相等線段。

例題6、如下圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，分別為A、B、C為圓心，

a以為半徑的圓相切于點(diǎn)O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1圍成的圖形面2積S。（圖中陰影部分）

分析：陰影部分面積等于三角形面積減去3個(gè)扇形面積。解：S△ABC32a2a2a，3S扇3×()4628∴S陰32a2232aa488此題可變式為如下圖所示，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都

為a，求圖中三個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和。2

分析：因三個(gè)扇形的半徑相等，把三個(gè)扇形拼成一個(gè)扇形來求，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，

因而三個(gè)扇形拼起來正好是一個(gè)半圓，故所求圖形面積為8a2，

原題可在上一題基礎(chǔ)上進(jìn)一步變形：⊙A1、⊙A2、⊙A3⊙An相外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)n個(gè)圓心得到的n邊形A1A2A3An，求n個(gè)扇形的面積之和。解題思路同上。解：

(n2)2

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