高一數(shù)學(xué)必修一第一章知識總結(jié)

人教版高一數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念

概念元素：一般的，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素集合：把一些元素組成的總體叫做集合

如果a是集合

元素與集合的關(guān)系A(chǔ)的元素，則a屬于集合A，記作aAA的元素，則a不屬于集合A，記作aA

如果a不是集合

集合與元素集合的表示方法列舉法：如2到8之間的偶數(shù){2,4,6,8}描述法：如圖示法

集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性

常用的數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集或自然數(shù)集，N；正整數(shù)集，N*或N+；整數(shù)集，Z；有理數(shù)集，Q；實數(shù)集，R。

xx10

子集：若集合A的每一個元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，即若xAxB，則ABA是集合B的子集，且B中至少有一個元素不在A中，則稱A是B的真子集，即若AB且A≠B，則AB真子集：若集合集合與集合的基本關(guān)系空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為相等：若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，則稱A與B相等。即若若AB且BA，則A=B交集：一般的，由屬于集合集合與集合性質(zhì)：AA且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B交集，記作AB；即ABxxA,且xB＝；AB＝BA并集：一般的，由屬于集合集合的運算關(guān)系性質(zhì)：AA或?qū)儆诩�合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B并集，記作AB；即ABxxA,或xB＝A；AB＝BA補(bǔ)集：對于一個集合合CUAxxU,且xA這個集合為全集，通常記為UA，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集A相對于集合U的補(bǔ)集，簡稱集合A的補(bǔ)集，記為CUA，即全集：一般的，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱

子集的性質(zhì)：1.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；2任何一個集合都是它本身的子

集；3.任何非空集合的真子集的個數(shù)比子集少兩個。4.傳遞性，即若AB，BC，則AC。傳統(tǒng)定義：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x，定義y，如果對與x在某范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫自變量。A，B是兩個非空集合，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使集合A中任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對應(yīng)，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yfx，xA。其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)近代定義：設(shè)fx的定義域，與x相對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合fxxA叫做函數(shù)fx的值域函數(shù)函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則函數(shù)的表示方法：解析法，列表法，圖像法單調(diào)性：如果對于定義域I內(nèi)某區(qū)間D上任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1有fx1fx2，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是增函數(shù)。如果對于定義域I內(nèi)某區(qū)間D上任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時，有fx1fx2，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是減函數(shù)。函數(shù)的基本性質(zhì)最值：一般的，設(shè)函數(shù)x2時，yfx的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足①對與任意xI，都有fxM，存在x0I，使得fx0M，則M是函數(shù)yfx的最大值；①對與任意xI，都有fxM，存在x0I，使得fx0M，則M是函數(shù)yfx的最小值；fx的定義域內(nèi)任意一個x，都有fxfx，那么函數(shù)fx就叫做偶函數(shù)。一般的，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個x，都有fxfx，那么函數(shù)fx就叫做奇函數(shù)。

奇偶性：一般的，如果對于函數(shù)

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高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1）列舉法：{a,b,c}2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合

的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作ABA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算交集并集補(bǔ)集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：ABB(或

設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），記作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）

A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=x1x2，B=xxa，若

AB，則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有人，化學(xué)實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

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(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)

減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：○

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域為__

3.若函數(shù)f(x1)的定義域為[2，3]，則函數(shù)f(2x1)的定義域是4.函數(shù)

x2(x1)2，若f(x)3，則xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

5.求下列函數(shù)的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

(3)yx12x(4)y6.已知函數(shù)

f(x1)x4x，求函數(shù)

2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x[0,)時,

f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時

f(x)=

f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

210.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

211.設(shè)函數(shù)f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

21xx

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算

n1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，

*

且n∈N．

n負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作00。

當(dāng)n是奇數(shù)時，anna，當(dāng)n是偶數(shù)時，ann(a0)a|a|

a(a0)2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

manna(a0,m,nN,n1)m*，

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amn1mn1na0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

am(a0,m,nN,n1)

*（1）aaa(a0,r,sR)；（2）(a)a

rrsrsrsrrrs

(a0,r,sR)；

（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

兩個重要對數(shù)：

1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lgN；○

2自然對數(shù)：以無理數(shù)e2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)lnN．○

指數(shù)式與對數(shù)式的互化

冪值真數(shù)

ba＝NlogaN＝b

底數(shù)指數(shù)對數(shù)

（二）對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○

2log○3log○

MaNMnlogaM－logaaN；

anlogM(nR)．

注意：換底公式

logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）logambnnmlogab；（2）logab1logba．

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其

中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．注意：○1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：

y2log2x，ylogx5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

52對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)．○

2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx(aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

0時，（2）冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．例題：1.已知a>0，a

0，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()

2.計算：①

loglog26413

3;②2784log23=；25113log5272log52=;

27③0.064()[(2)]0343160.750.012=

3.函數(shù)y=log1(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為

24.若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=5.已知f(x)log

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。

即：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實數(shù)根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的○

圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．

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1xa1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定義域（2）求使f(x)0的x的取值范圍

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4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．（2）△＝０，方程ax2bxc0有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程ax2bxc0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點．5.函數(shù)的模型

檢驗符合實際用函數(shù)模型解釋實際問題畫散點圖收集數(shù)據(jù)不符合實際選擇函數(shù)模型金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

求函數(shù)模型wx.jtyjy.com

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