高一數學必修2空間幾何部分公式定理總結

必修2空間幾何部分公式定理總結

河南省淮陽一高高一B段數學組張明選棱柱、棱錐、棱臺的表面積

設圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即

.

設圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側面積（扇形）加上底面積（圓形），即

.

設圓臺的上、下底面半徑分別為

，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面

積（大、小圓）加上側面的面積（扇環(huán)），即

.

柱、錐、臺的體積公式

柱體體積公式為：

，（為底面積，為高）

錐體體積公式為：，（為底面積，為高）

臺體體積公式為：（

球的體積和表面積

球的體積公式

，分別為上、下底面面積，為高）

球的表面積公式

其中，

為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑

有關.

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論1經過一條直線和直線外一點有且只有一個平面.推論2經過兩條相交的直線有且只有一個平面.推論3經過兩條平行的直線有且只有一個平面.

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

公理4(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.

空間兩條直線的位置關系有且只有三種：

共面直線：相交直線（在同一平面內，有且只有一個公共點）；平行直線（在同一平面內，沒有公共點）；異面直線：不同在任何一個平面內且沒有公共點.

空間中直線與平面位置關系有且只有三種：直線在平面內有無數個公共點

直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

兩個平面的位置關系只有兩種：兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線異面直線所成的角

已知兩條異面直線

，經過空間任一點

作直線

∥，

∥，把

與

所成的

銳角(或直角)叫做異面直線兩條直線互相垂直，記作

所成的角(夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這.

異面直線的判定定理

過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線都與該直線平行.兩個平面平行的判定定理

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

推論：一個平面內兩條相交的直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，則這兩個平面平行.

兩個平面平行的性質定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，還有如下推論：

⑴如果兩個平面平行，則一個平面內的任何直線都平行于另外一個平面；⑵夾在兩個平行平面內的所有平行線段的長度都相等；

⑶如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面.⑷如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交.直線和平面垂直的概念

如果直線與平面.叫做垂線，

內的任意一條直線都垂直，就說直線與平面叫垂面，它們的交點

叫垂足.

互相垂直，記做

直線和平面垂直的判定定理

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.直線與平面所成的角

如圖，直線斜足；

，

和平面

相交但不垂直，

在平面

叫做平面的斜線，

和平面的交點

叫

叫做斜線上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫這條直線和平面所成的角.

直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是°角.

兩個平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.

在二面角于棱的射線

的棱上任取一點，則射線

和

，以點

為垂足，在半平面

和

內分別作垂直

構成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判斷兩平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角為直角.三垂線定理：

平面內的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.如圖：在平面

內的直線若垂直于直線

，則就一定垂直于平面

的斜線

.

直線與平面垂直的性質定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.平面與平面垂直的性質定理

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.兩個平面垂直的性質還有：

⑴如果兩個平面互相垂直，那么經過一個平面內一點且垂直于另外一個平面的直線，必在這個平面內；

⑵如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面；⑶三個兩兩垂直的平面，它們的交線也兩兩垂直.

空間平行和垂直關系的轉化

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必修2空間幾何部分公式定理總結

河南省淮陽一高高一B段數學組張明選棱柱、棱錐、棱臺的表面積

設圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即

.

設圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側面積（扇形）加上底面積（圓形），即

.

設圓臺的上、下底面半徑分別為

，，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面

積（大、小圓）加上側面的面積（扇環(huán)），即

.

柱、錐、臺的體積公式

柱體體積公式為：

，（為底面積，為高）

錐體體積公式為：，（為底面積，為高）

臺體體積公式為：（

球的體積和表面積

球的體積公式

，分別為上、下底面面積，為高）

球的表面積公式

其中，

為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑

有關.

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論1經過一條直線和直線外一點有且只有一個平面.推論2經過兩條相交的直線有且只有一個平面.推論3經過兩條平行的直線有且只有一個平面.

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

公理4(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.

空間兩條直線的位置關系有且只有三種：

共面直線：相交直線（在同一平面內，有且只有一個公共點）；平行直線（在同一平面內，沒有公共點）；異面直線：不同在任何一個平面內且沒有公共點.

空間中直線與平面位置關系有且只有三種：直線在平面內有無數個公共點

直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.

兩個平面的位置關系只有兩種：兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線異面直線所成的角

已知兩條異面直線

，經過空間任一點

作直線

∥，

∥，把

與

所成的

銳角(或直角)叫做異面直線兩條直線互相垂直，記作

所成的角(夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這.

異面直線的判定定理

過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線.

直線與平面平行的判定定理

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線都與該直線平行.兩個平面平行的判定定理

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

推論：一個平面內兩條相交的直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，則這兩個平面平行.

兩個平面平行的性質定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，還有如下推論：

⑴如果兩個平面平行，則一個平面內的任何直線都平行于另外一個平面；⑵夾在兩個平行平面內的所有平行線段的長度都相等；

⑶如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面.⑷如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交.直線和平面垂直的概念

如果直線與平面.叫做垂線，

內的任意一條直線都垂直，就說直線與平面叫垂面，它們的交點

叫垂足.

互相垂直，記做

直線和平面垂直的判定定理

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.直線與平面所成的角

如圖，直線斜足；

，

和平面

相交但不垂直，

在平面

叫做平面的斜線，

和平面的交點

叫

叫做斜線上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影

所成的銳角，叫這條直線和平面所成的角.

直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是°角.

兩個平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.

在二面角于棱的射線

的棱上任取一點，則射線

和

，以點

為垂足，在半平面

和

內分別作垂直

構成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判斷兩平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角為直角.三垂線定理：

平面內的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.如圖：在平面

內的直線若垂直于直線

，則就一定垂直于平面

的斜線

.

直線與平面垂直的性質定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行.平面與平面垂直的性質定理

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.兩個平面垂直的性質還有：

⑴如果兩個平面互相垂直，那么經過一個平面內一點且垂直于另外一個平面的直線，必在這個平面內；

⑵如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面；⑶三個兩兩垂直的平面，它們的交線也兩兩垂直.

空間平行和垂直關系的轉化

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