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高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)txt

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高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性:(1)元素的確定性,(2)元素的互異性,(3)元素的無序性,

3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1)列舉法:{a,b,c……}

R|x-32)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:4、集合的分類:

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”A即:①任何一個集合是它本身的子集。A

B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)B,且A②真子集:如果A

CC,那么AB,B③如果A

B④如果AA那么A=B同時B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集三、集合的運算

運算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}.

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}).設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作,即CSA=韋恩圖

示性

質(zhì)AA=AAΦ=ΦA(chǔ)B=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABAABB

(CuA)(CuB)=Cu(AB)

(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.

例題:

1.下列四組對象,能構(gòu)成集合的是()A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.集合{a,b,c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=,B=,若AB,則的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學(xué)實驗做得正確得有31人,

兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:

1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.(2)畫法

A、描點法:B、圖象變換法常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射

一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。二.函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2).奇函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1)湊配法

2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲怠2利用圖象求函數(shù)的最大(。┲

○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:

1.求下列函數(shù)的定義域:⑴⑵

2.設(shè)函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為__3.若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是4.函數(shù),若,則=

6.已知函數(shù),求函數(shù),的解析式

7.已知函數(shù)滿足,則=。

8.設(shè)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,則當(dāng)時=在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:⑴(2)

10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證:

擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié):第一章_集合與函數(shù)概念

高中數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集,N

或N表示正整數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)集,R表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aM,或者aM,兩者必居其一.(4)集合的表示法

①自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法:{x|x具有的性質(zhì)},其中x為集合的代表元素.④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質(zhì)示意圖AB子集(或BA)ABA(3)若AB且BC,則AC(4)若AB且BA,則AB(1)A(A為非空子集)A(B)BA或真子集(或BA)AB,且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC,則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B,B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)(7)已知集合真子集.

A有n(n1)個元素,則它有2n個子集,它有2n1個真子集,它有2n1個非空子集,它有2n2非空

【1.1.3】集合的基本運算

(8)交集、并集、補(bǔ)集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AB{x|xA,且xB}AAA(2)A(3)ABAABB(1)AB

并集AB{x|xA,或xB}AAA(2)AA(3)ABAABB(1)1A(2A(UA)UUA)AB補(bǔ)集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)把x|xa或xa}axb看成一個整體,化成|x|a,|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來求解(2)一元二次不等式的解法

判別式b4ac二次函數(shù)201*yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a(其中x1x1x2b2a無實根x2){x|xax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}b}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}

〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)的數(shù)記作

A、B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定

f(x)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合

A到B的一個函數(shù),

f:AB.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同,且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個實數(shù),且ab,滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,記做[a,b];滿足axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,記做(a,b);滿足axb,b或ax的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做[a,b),

(a,b];滿足xa,xa,xb,xb的實數(shù)x的集合分別記做[a,),(a,),(,b],(,b).

注意:對于集合{x|axb}與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須

ab.

(3)求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:

①②③

f(x)是整式時,定義域是全體實數(shù).

f(x)是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

f(x)是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1.⑤

ytanx中,xk2(kZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零.⑦若

f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時,則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

f(x)的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題,一般步驟是:若已知式ag(x)b解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.⑩由實際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法:

①觀察法:對于比較簡單的函數(shù),我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.③判別式法:若函數(shù)

yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,則在

a(y)0時,由于x,y為實數(shù),故必須有b2(y)4a(y)c(y)0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法:利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法:通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問

題.

⑥反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.⑦數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

【1.2.2】函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象

法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它

A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射,記作f:AB.

對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合

②給定一個集合

A到集合B的映射,且aA,bB.如果元素a和元素b對應(yīng),那么我們把元素b叫做元素a的象,

元素a叫做元素b的原象.

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大(。┲

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x

(1)利用定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)xf(x),那么就說12...........f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)....yf(x)1y=f(X)f(x)2(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖x2ox1x象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)②在公共定義域內(nèi),兩個增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù),減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).③對于復(fù)合函數(shù)

yf[g(x)],令ug(x),若yf(u)為增,ug(x)為增,則yf[g(x)]為增;若

yf(u)為減,ug(x)為減,則yf[g(x)]為增;若yf(u)為增,ug(x)為減,則yf[g(x)]為

減;若

yf(u)為減,ug(x)為增,則yf[g(x)]為減.

y(2)打“√”函數(shù)

af(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

xf(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數(shù),分別在[a,0)、(0,a]上為減函數(shù).(3)最大(。┲刀x①一般地,設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:(1)對于任意的xI,都有oxf(x)M;

(2)存在x0I,使得

f(x0)M.那么,我們稱M是函數(shù)

f(x)的最大值,記fmax(x)M.

yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)m滿足:(1)對于任意的xI,都有

(2)f(x)m;

②一般地,設(shè)函數(shù)

存在x0I,使得

f(x0)m.那么,我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值,記作fmax(x)m.

【1.3.2】奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有.f(-x)=-......f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函......?dāng)?shù)..函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有.f(-x)=f(x),.........那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)....(1)利用定義(要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱)(2)利用圖象(圖象關(guān)于y軸對稱)②若函數(shù)

圖象判定方法(1)利用定義(要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱)(2)利用圖象(圖象關(guān)于原點對稱)f(x)為奇函數(shù),且在x0處有定義,則f(0)0.

y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

③奇函數(shù)在

④在公共定義域內(nèi),兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)),兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù),一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

〖補(bǔ)充知識〗函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖:

①確定函數(shù)的定義域;②化解函數(shù)解析式;③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性);④畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖:

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.①平移變換

h0,左移h個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象,并作其關(guān)于y軸對稱圖象

保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問題結(jié)果的重

要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

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