高一上半期關于數學學習的總結(I)

高一上半期關于數學學習的總結（I）

《解決抽象函數的有關問題》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇總結選取四個例題進行分析討論和總結。例題出自平常做過的習題，“建�！迸c“總結”兩欄皆為原創(chuàng)，“解析”方面有部分參照了參考書。另外，函數公式、算式皆是自己本人所打，不足之處還望指正。問題：已知函數

xy=xx對于一切實數

xx、y滿足時，，x，且當時yx0，x0，則當時的取值范圍是。解析：令答案：建模：

特殊模型正比例函數xkxk0xxaxx0a1，易得當時，x1。x1xa(xa0)抽象函數xyxy冪函數xxyxy或xyxy（a為常數）指x數a(x函a0且,數axyx或y)xxyy1xyxx或yyx對數函數y

總結：對于此類抽象函數的方法是將一般問題特殊化，即將抽象函數轉化成為學過的、熟悉的函數模型來求解，能夠使解題更加有效率。上表中列出的抽象函數與其特殊模型，可在解題中加以利用。----------------------------------------------------------問題：設函數(x)的定義域為(0,)，且對于任意實數x、y都有

(xy)(x)(y)恒成立，若已知(2)1。

試求（1）(解析：（1）令x(1)0

12)的值；（2）(2n)的值，其中為n正整數。

y1，則有(1)(1)(1)

再令x2，y(1212，則(1)(2)()

21)(2)12111)()()()2

4221111(23)()()()()38222（2）由于(2

依此類推可得(2n)答案:(1)1;(2)n

n（其中n為正整數）

建模：賦值換元法解抽象函數。

總結：此類題型在作業(yè)、考試中十分常見，可建立模型賦值換元法，所謂賦值還原法，望文生義，即為通過觀察思考，取出一個或是幾個特殊值，最終求出所要求的值。在解題過程中觀察思考的能

力十分重要。

----------------------------------------------------------問題：已知x在實數集R上是增函數，a，b都是實數，若

abab，求證：ab0

解析：假設ab0，則有ab，ba。因為x在實數集R上是增函數故

ab，

ba，兩式相加

abab，這與題中abab矛盾，故假

設不成立，即有ab0。答案：如解析中所示。建模：反證法解抽象函數。

總結：此題若用直接證法求解難以下手，但若使用初中就已學過的反證法就容易的多，這就需要我們擁有正難則反的策略，能夠換個角度思考，化難為易。

----------------------------------------------------------問題：已知x是R的奇函數，在區(qū)間(0,)上是增函數，又。，那么xx的解集是（）A．xB．xC．xD．x3x0或x3x3或0x3x3或0x33x0或0x3

解析：根據題意，可畫出該函數的大致的圖像，如下圖所示：

如上圖所示，因為x是奇函數，故。又xx，所以x與x異號，由上圖知3答案:D

建模：數形結合思想解決抽象函數。

總結：解此類題時，如若能夠根據已知條件畫出相應的草圖，就會使題目更加直觀、形象，能夠幫助分析。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------總而言之，對于解決抽象函數很難用一般的方法解決，這就需要我們通過認真的觀察與思考，找到一些特殊的方法來幫助解題，提高解題的效率。

------------------------------------------------------（完）

x0或0x3

擴展閱讀：高一上半期關于數學學習的總結(II)

高一上半期關于數學學習的總結（II）《必修二“圓與方程”一章的重要題型》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇總結選取本章中比較重要的題型進行分析討論和總結。問題皆出自平常做過的習題、例題。本章重要的計算公式：

斜率的計算公式兩點間的距離公式點到直線的距離公式兩平行線間的距離公式直線方程的各種表達方式：

名稱點斜式斜截式兩點式方程yy0k(xx0)ky2y1x2x122dx2x1dy2y1Ax0By0CABC1C2AB2222d使用要求直線有斜率直線有斜率直線的斜率存在且不為零ykxyy1y2y1bxx1x2x1截距式xayb1直線在坐標軸上都有截距一般式AxBy0C適用于任何直線圓的方程的表達方式：

標準方程一般方程xa222ybr22xyDxEyF0兩條直線的位置關系應滿足的條件

關系平行重合垂直條件A1B2A2B10BCBC01221A1B2A2B10B1C2B2C10A1B2A2B10--------------------------------------------------------問題：求出滿足下列條件的直線方程：

（1）經過點A3,2，且與直線4xy20平行。（2）經過點B3,0，且與直線2xy50垂直。

解析：（1）與直線4xy20平行的直線可設為4xya0，再將點A3,2帶入即可得出所求。

（2）與直線2xy50垂直的直線可設為x2yb0，再將點B3,0帶入即可得出所求。

答案：（1）4xy140；（2）x2y30。建模：已知直線AxByC10與之平行的直線為AxByC20

與之垂直的直線為BxAyC30

總結：做題貴在思考和總結，將學過的知識作出總結，那么到下次做到同樣的題時便可事半功倍了。

--------------------------------------------------------問題：按要求解題：

（1）求直線l1:8x7y40關于點M1,0的對稱直線l2的方程。

（2）求直線a:2xy40關于直線l:3x4y10的對稱的直線的方程。

（3）若兩平行直線3x4y10與6x8y30關于直線l對稱，求l的方程。

解析：（1）設Px,y為直線l2上的任意一點，則點P關于點M1,0對稱的點

P12x,y在直線l1上，所以8(2x)7y40，即

8x7y200。故直線l2的方程為8x7y200

（2）設直線b上任意一點Px,y關于直線l:3x4y10的對

xx0yy0341022稱點為Qx0,y0，則yy043xx07x24y6x025，解得y24x7y8025

因為點

225Qx0,y0在直線

40

a:2xy40上，所以有

7x24y624x7y825化簡，得2x11y160，即為直線b的方程。

（3）所求直線與兩直線平行且距離相等，設l:6x8yc0，則c36822c36822，所以c，即l:6x8y21120。

120。

答案：（1）8x7y200；（2）2x11y160；（3）6x8y建模：（一）直線關于點的對稱直線

設點Pm,n，直線l:AxByC0，Pl，直線l關于點P的對稱直線為l

1求法：由幾何性質知直線l與l平行，故可設直線的方

1程為AxByC1則點P0，到直線l的距離等于點P到l的距離，

11由點到直線的距離公式即可求得C，從而得到直線的方程。

（二）直線關于直線的對稱直線設直線l1:A1xB1y+C102，直線l:AxByC0，直線l關

1于直線l的對稱直線為l。（1）若l程為AxByC21lA1A且B1B，則l2l，故可設直線l的方

20。

12因為直線l到直線l，l的距離相等，所以C化簡，得C21CCC2，

2CC1。

1（2）若llP，則Pl，且直線l上的點到直線l，l的

212距離相等。設出直線的方程，在直線上任取一點（異于點P），利用點到直線的距離公式，求的直線l的方程。

2總結：對于此類型的題目應該建立好模型，以便于節(jié)省做題時間。

----------------------------------------------------問題：如圖，已知定點A2,0，點Q是圓xAOQ2y42上的動點，

的平分線交AQ于M，當點Q在圓上移動時，求動點M的

軌跡方程。

（圖）

2xax2a22解析：設點Qx,y，Ma,b，則可知，即y2b2yb2

又Q在圓x22y422上

2a22b4

化簡得，a1M2b1

2點的運動軌跡方程為a22ay220

答案：a2ay02

建模：代入法解決有關軌跡方程問題

總結：如果動點的軌跡方程依賴另一動點的軌跡，而又在已知曲線上，則可先列出關于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程便可得動點的軌跡方程，但需要注意，有些不符合的點在最后結論中應表示舍去。

----------------------------------------------------問題：如圖，已知過點M3,3的直線l被圓x截得得弦長為4

2y4y210所

25，求直線的方程。

（圖）

解析：將圓的方程寫成標準式：x2y225

2由此可知，圓的圓心坐標是0,2，半徑長是r5由題設條件可求出圓心到所截弦的距離，即弦心距為

4525225。圓心到直線l的距離為5。

若直線無斜率，則直線的方程為x3，由題設條件可

求出此時直線被圓所截得的弦長為845，故直線有斜率。

設直線的斜率為k，則直線的方程為y3kx3。根據點到直線的距離公式可得：d或k2

故直線的方程為y3x3或y32x3

2123k3k12解得k12化為一般式，得x2y90或2xy30。

答案：直線方程為x2y90或2xy30。

建模：熟練運用點到直線的距離公式，解決此類題目。

總結：關于直線與圓的位置關系，不外乎有三種，直線與圓相離、

相切、相交。而其中相交一類的題目最多，常弦長等來出題，解決這類問題的時候可以考慮圓心到直線的距離，利用公式，來列出關系式，得出所求。解題中還需注意的是，若直線的方程未知，則需對直線的斜率進行討論，不可貿然設出斜率，這樣容易丟失答案。

--------------------------------------------------------問題：已知圓C1:xy2x8y8022，圓C2:xy4x4y2022，

試判斷圓C1與圓C2的位置關系。

解析：把圓C1的方程化為標準方程，得:x1圓C1的圓心是點1,4，半徑長r15。把圓C2的方程化為標準方程，得:x2知圓C2的圓心是點，半徑長r21022y425，可知

2y2102，可

。

35圓C1與圓C2的連心線長為122422又由題設條件知r1r2

51035510510，r1r2510。

r1r235r1r2圓C1與圓C2相交。答案:圓C1與圓C2相交。

建模：半徑和、半徑差與圓心距比較大小判斷兩圓的位置關系。總結：解決此類問題還可以建立方程求解，但計算量相對而言較大，致使解題過慢。應建立以上模型，加快解題速度。

--------------------------------------------------------問題：求經過點M2,2，以及圓x2

y6x0與圓xy4222交點

的圓的方程。

解析：設所求圓的方程為x2y26xx2y240

即12x212y6x40

2將M2,2代入上式得4444124，解得4444124

故所求圓的方程為2x22y26x40即x2y3x20

y3x20

22答案：圓的方程為x2建模：

若圓C相交于

221:xyD1xE1yF1022與圓C2:xyD2xE2yF2022A、

B兩點，則過這兩點的圓系方程為

22xyD1xE1yF1xyD2xE2yF201。當兩圓相切

時，方程表示過切點且與兩圓都相切的圓系方程，若示公共弦所在直線的方程。

1，則表

總結：建立圓系方程的模型，對解題大有益處，免去了列三個方程解題的麻煩。

--------------------------------------------------------問題：某圓拱橋的水面跨度是20m,拱高4m,現有一船，寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過？解析:可畫出簡圖如下：

由題意，設A10,0，B10,0，P0,4，D5,0，E5,0。設所求方程為xaa102b2r2222有a10br222ab4r2ybr22，于是

a0；解得b10.5

r14.52所以圓拱橋的圓的方程為x2y10.514.520y4

把D點的橫坐標x5代入上式，得y3.1。由于船在水面上高3m，而33.1，所以船可以從橋下通過。答案：可以通過。

建模：利用圓的方程解決此類問題

總結：這類型的題在考試中較為常見，比較簡單，掌握方法即可。----------------------------------------------------（完）

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