運(yùn)用“教學(xué)做合一”思想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力

教育家陶行知先生提出了“教學(xué)做合一”思想，他認(rèn)為，教師教方法要根據(jù)學(xué)生學(xué)的方法來(lái)確定，教與學(xué)的方法，都要根據(jù)“做”的方法來(lái)確定，教法、學(xué)法、做法是應(yīng)當(dāng)三合一的。陶先生還說，教、學(xué)、做都要以“社會(huì)生活”為中心，“做”要在“勞力上勞心”。即“我們做一件事便要想如何可以把這件事做好，如何運(yùn)用書本，如何運(yùn)用別人的經(jīng)驗(yàn)，如何改造用得著的一切工具，使這件事做得最好。我們還要想到這事和別事的關(guān)系，想到這事和別事的相互影響。我們要從具體想到抽象，從我相想到共相，從片段想到系統(tǒng)。”（陶行知《答朱端琰之問》）陶先生這些思想與今天新課程改革的思想、理念完全是一致的。按照《課標(biāo)》編寫的高中數(shù)學(xué)教材，正是以社會(huì)生活為中心，教學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的問題，從而解決問題。陶行知的“教學(xué)做合一”思想有利于指導(dǎo)我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效益。

一、在“做”中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識(shí)

⒈從生活出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)。

我國(guó)的數(shù)學(xué)教育在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)對(duì)于數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系未能給予充分的重視，這導(dǎo)致了學(xué)生不善于從生活中發(fā)現(xiàn)問題，思考問題。其實(shí)，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生于發(fā)展，從來(lái)都是來(lái)自于生活實(shí)際問題。從生活實(shí)際出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)問題，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，產(chǎn)生問題意識(shí)。

例1 國(guó)慶期間，百勝和中友兩個(gè)商場(chǎng)舉行大酬賓活動(dòng)，百勝商場(chǎng)規(guī)定：買任何一件商品，可先打折，再打折；中友商場(chǎng)規(guī)定：買任何一件商品可連續(xù)地兩次折，請(qǐng)問：哪個(gè)商場(chǎng)更受顧客歡迎？

這是與學(xué)生息息相關(guān)的生活問題，學(xué)生興趣濃，能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，產(chǎn)生探索的心理指向。

為了花最少的錢，買最多的東西，先研究一番：首先提出假設(shè)：

創(chuàng)設(shè)情景：分別購(gòu)買1000元的商品，并作比較。通過比較，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：；顯然，去百商場(chǎng)購(gòu)買商品合算。

其次，將問題一般化：是否為任何值時(shí)，均成立呢？

這就將生活問題，演變成數(shù)學(xué)的一般性問題了。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，能從學(xué)生身邊的例子出發(fā)的事例比比皆是。由于是學(xué)生熟悉的東西，學(xué)生“做”的探究意愿強(qiáng)烈，容易產(chǎn)生親知；而且，培養(yǎng)了學(xué)生關(guān)注生活，思考生活的好習(xí)慣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識(shí)。

⒉點(diǎn)撥指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生探究的韌性。

學(xué)生探究的意識(shí)是最為可貴的，而要學(xué)生具備樂于探究的習(xí)慣，還需要教師加以呵護(hù)。

當(dāng)數(shù)學(xué)問題較為綜合時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)加以指導(dǎo)，是否可考慮先解決局部問題，在“做”中再?gòu)恼�體上引導(dǎo)；當(dāng)數(shù)學(xué)問題較為抽象，教師可引導(dǎo)學(xué)生從具體切入，從具體中得到啟示；當(dāng)數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生先解決簡(jiǎn)單問題；通過教師的點(diǎn)撥指導(dǎo)，學(xué)生能積累解決困難的經(jīng)驗(yàn)，提高抗挫折能力。

二、在“做”中進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)探究思維能力

培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，首先要養(yǎng)成學(xué)生科學(xué)的探究方式。陶行知說：“活的人才教育，不是灌輸知識(shí)，而是將開發(fā)文化寶庫(kù)的鑰匙，盡我們知道的交給學(xué)生。”教師在教學(xué)中注重做法的指導(dǎo)，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，借助一定的學(xué)習(xí)方法，自己獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，主動(dòng)去獲取新知識(shí)，從而真正達(dá)到培養(yǎng)能力。

⒈培養(yǎng)學(xué)生“嘗試—歸納—猜想—證明”的探究方式

“嘗試﹑歸納﹑猜想”被愛恩斯坦稱之為“思想實(shí)驗(yàn)”，科學(xué)上許多“發(fā)現(xiàn)”都是憑直覺作出猜想，而后才去加以證明或驗(yàn)證。在數(shù)學(xué)研究里面，“先猜測(cè)后證明”幾乎是一條規(guī)律。

例2 設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)。若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則= （用表示）

①畫圖觀察猜想

畫圖可得，

由此可得，

猜想：

②證明猜想（略）

在高中數(shù)學(xué)中，能使用這種研究方法的素材很多，如果持之以恒的對(duì)學(xué)生加以培養(yǎng)，慢慢的學(xué)生會(huì)形成這種科學(xué)研究的素質(zhì)。

⒉培養(yǎng)學(xué)生類比聯(lián)想的探究方式

類比就是一種相似，類比法是從特殊到特殊的推理方法。

①通過類比法，培養(yǎng)問題意識(shí)。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。從推動(dòng)科學(xué)進(jìn)步和個(gè)人終身發(fā)展來(lái)看，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和提出問題往往顯得非常重要。那么，怎樣獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和提出問題呢？一條重要的途徑就是從當(dāng)前研究的典型問題出發(fā)，應(yīng)用恰當(dāng)?shù)模〝?shù)學(xué)）方法挖掘、發(fā)現(xiàn)新的問題。而類比是一種常見的方式。

例3 已知線段AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)是焦點(diǎn)，準(zhǔn)線L與x軸交于點(diǎn)E，作BN⊥L于N。求證：直線AN過拋物線的頂點(diǎn)O；∠AEF＝∠BEF。

能將上述問題進(jìn)行推廣與引申嗎？（激勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)和提出問題的勇氣，希望學(xué)生能自己發(fā)現(xiàn)并提出一些猜想，并用技術(shù)檢驗(yàn)自己的猜想）

學(xué)生很容易類比到在橢圓和雙曲線中這些結(jié)論是否也

成立？因而得到以下兩個(gè)猜想命題。

猜想1：如圖1，設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸，AB是過橢圓左焦點(diǎn)F的弦，BN∥交橢圓的左準(zhǔn)線L于N點(diǎn)。則直線AN過橢圓的左頂點(diǎn)；∠AEF＝∠BEF 。

猜想2：如圖2，設(shè)是雙曲線的實(shí)軸，AB是過雙曲線右焦點(diǎn)F的弦，BN∥ 交雙曲線的右準(zhǔn)線L于N點(diǎn)。則AN過雙曲線的右頂點(diǎn)；∠AEF＝∠BEF 。

在這個(gè)例子中，由拋物線聯(lián)想類比到橢圓﹑雙曲線，提出了兩個(gè)猜想，產(chǎn)生了新的問題，促進(jìn)了學(xué)生的思考。當(dāng)然，類比得到的猜想可能正確也可能不正確，如猜想1中“直線AN過橢圓的左頂點(diǎn)”是錯(cuò)誤的，“∠AEF＝∠BEF”是正確的；但是，最可貴的是提出了問題，促進(jìn)了研究，培養(yǎng)了探究思維能力。

②利用類比法，尋求解題思路。

例4 定義在（-1，1）上的函數(shù)滿足：⑴對(duì)于任意，都有 ⑵。

⑴試判斷函數(shù)的奇偶性；

⑵求證：

分析：數(shù)學(xué)解題思路的探究，往往與解題者個(gè)人原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中類似形式與結(jié)構(gòu)﹑類似方法或模式有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系常常與類比推理密切相關(guān)。通過分析得到，聯(lián)想﹑類比數(shù)列求和的拆項(xiàng)求和法，嘗試，解得，即，從而可猜測(cè)。

證明：

⑶強(qiáng)化一題多解與一題多變，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力

通過一題多解，培養(yǎng)思維的靈活性和求優(yōu)意識(shí)。#m.seogis.com＝∠BEM ？

例6 已知：求證：

分析： 課本利用作差法證明了該題。當(dāng)學(xué)習(xí)完該題后，可以考慮改變題目的條件，引導(dǎo)學(xué)生探索：

①如果把條件減弱為是否仍有該結(jié)論？

經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)仍有該結(jié)論。

證明：

又

是否有相似或推廣的結(jié)論？經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)有結(jié)論：

②

③

③證明：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

通過以上問題探索，把學(xué)生置于發(fā)散式的思維狀態(tài)中。一方面，可以鞏固作差比較法，同時(shí)滲透分類討論思想，培養(yǎng)思維的深刻性；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生反思的研究意識(shí)。

三、實(shí)施“六大解放”，培養(yǎng)自動(dòng)探究能力

“教學(xué)做合一”關(guān)鍵在于“做”，而這種“做”歸根到底在于解放學(xué)生，陶先生的“六大解放”是：解放兒童的頭腦，使他們能想；解放小孩子的兩手，使他們能干；解放兒童的眼睛，使他們能看；解放小孩子的嘴，使他們能談；解放小孩子的空間，使他們能到大自然大社會(huì)里去取得更豐富的學(xué)問；解放兒童的時(shí)間，使兒童有自由支配的時(shí)間。

⑴解放學(xué)生的頭腦，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力

⒈創(chuàng)設(shè)故錯(cuò)情境，培養(yǎng)他們的懷疑精神。陶先生在《兒童創(chuàng)造》中談到“我們要發(fā)展兒童的創(chuàng)造力，先要把兒童的頭腦從迷信﹑成見﹑曲解﹑中解放出來(lái)”。解放學(xué)生的頭腦，使學(xué)生不迷信權(quán)威﹑不迷信教師；

例7 拋物線的一條弦直線是，且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求此拋物線方程。某“權(quán)威答案”如下：
解：由ｙ＝２ｘ＋５，得：�、�
由，　　得　　　　故所求拋物線方程為
　　　質(zhì)疑：把代入方程①，方程無(wú)實(shí)解，或方程①要有Δ＝４ｐ（ｐ－２０）＞０，即ｐ＜０，或ｐ＞２０，故ｐ＝２不合題意。本題無(wú)解。
　　教學(xué)中，對(duì)這樣的新發(fā)現(xiàn)、巧思妙解及時(shí)褒獎(jiǎng)、推廣，能激起他們不斷進(jìn)取，努力鉆研的熱情。

⒉創(chuàng)設(shè)問題情景，啟發(fā)學(xué)生思考。

例8 已知拋物線如果直線同時(shí)是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段。取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。

分析：本題涉及兩個(gè)曲線和一條直線，情景較為復(fù)雜，多數(shù)學(xué)生思維無(wú)法打開；因此，為學(xué)生不斷創(chuàng)設(shè)“最近發(fā)展區(qū)”就顯得至關(guān)重要，這里的“做”就是引導(dǎo)學(xué)生積極思考。

我創(chuàng)設(shè)以下幾個(gè)問題幫助學(xué)生步步逼近問題的本質(zhì)：

① 從所探求的結(jié)論考慮，本題屬于哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)？啟發(fā)學(xué)生判斷本題屬于切線問題。

② 把兩個(gè)曲線簡(jiǎn)單化成一個(gè)曲線，切線問題的解法怎樣？啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想“以切點(diǎn)為中心的解題方法”

得到如下解題：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切先方程是：；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是③公切線意味著什么？引導(dǎo)學(xué)生得出，至此已經(jīng)很靠近目標(biāo)了，再促使學(xué)生思考：

④怎樣得到的取值范圍？引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想得到方程：

有唯一解。

⒊引導(dǎo)一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維。

一題多解是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特色，一方面，通過一題多解可培養(yǎng)學(xué)生的求優(yōu)意識(shí)；另一方面，通過一題多解可培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。例如：在上題的解題后，不是就此結(jié)束，而是充分挖掘本題的教育功能，挑戰(zhàn)學(xué)生的思維，繼續(xù)“做”下去，探究其它解法。

角度一：如果從切線的斜率出發(fā)得到：，不采取原來(lái)的路子，又該怎樣得到有唯一解。誘發(fā)學(xué)生思考再尋找一個(gè)等式，切線的斜率還可怎樣表示？引導(dǎo)學(xué)生得出：

通過這種處理，學(xué)生又學(xué)習(xí)了“演算兩次”的思想。

角度二： 如果從解析幾何角度，又該如何處理？通過這種探究，溝通導(dǎo)數(shù)與解析幾何兩個(gè)分支的聯(lián)系。

⑵解放學(xué)生的雙手，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手探究能力。

如在例3中，學(xué)生可以將類比得到的命題，通過計(jì)算機(jī)動(dòng)手探究，發(fā)現(xiàn)命題的真假；又如在《算法語(yǔ)言》的教學(xué)中，讓學(xué)生將自己編好的程序輸入到計(jì)算機(jī)中去驗(yàn)證，接受計(jì)算機(jī)的檢測(cè)，學(xué)生通過計(jì)算機(jī)的反饋，自己動(dòng)手修改程序，完善程序，通過這樣的一個(gè)動(dòng)手活動(dòng)，可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，甚至在動(dòng)手中會(huì)創(chuàng)造出新穎的程序，增長(zhǎng)了才干。

⑶解放學(xué)生的嘴，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的探究能力。

第一，鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)自己的見解。

做學(xué)問關(guān)鍵在于問，對(duì)于學(xué)生的見解，哪怕是幼稚﹑錯(cuò)漏百出的，教師都應(yīng)給予學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，對(duì)學(xué)生表達(dá)中的合理成分給予肯定，幫助學(xué)生完善其思考，而不是忽視學(xué)生，一味否定學(xué)生的發(fā)言。

第二，鼓勵(lì)學(xué)生在合作交流中學(xué)習(xí)。

如在《指數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)》可通過讓學(xué)生分組參與，分別作出，的圖象，然后引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)方面（定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性）進(jìn)行合作研究，互相補(bǔ)充，歸納指數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)。這種方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的里程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。

⑷解放學(xué)生的眼和空間，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐探究能力。

解放學(xué)生的眼和空間，就是不要讓學(xué)生為讀書而讀書，把自己禁錮在書堆里，課堂上，而是要引導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)校，錘煉能力。如學(xué)習(xí)了函數(shù)的最大最小值，就讓學(xué)生去生活中尋找最優(yōu)化方案設(shè)計(jì)；學(xué)習(xí)了數(shù)列的求和，就讓學(xué)生去調(diào)查銀行的按揭業(yè)務(wù)；學(xué)習(xí)了概率，就讓學(xué)生關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)投資；學(xué)習(xí)了線性回歸方程，就讓學(xué)生去關(guān)注生活中的現(xiàn)象，提出模擬等等。通過“做”，才能融會(huì)貫通，才能深化認(rèn)識(shí)。通過生活的實(shí)踐，知識(shí)就成了真知，同時(shí)又會(huì)碰到更多新的未知，激發(fā)出更強(qiáng)烈的求新知的欲望。

⑸解放學(xué)生的時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造探究能力。

減輕學(xué)生課內(nèi)作業(yè)的負(fù)擔(dān)而引導(dǎo)學(xué)生延伸課內(nèi)，發(fā)展個(gè)人的興趣。例如學(xué)完一章后讓學(xué)生寫知識(shí)結(jié)構(gòu)小結(jié)；讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史專題研究，如探究函數(shù)發(fā)展史；讓學(xué)生寫數(shù)學(xué)論文，如數(shù)形結(jié)合法優(yōu)化思維品質(zhì)等。

掌握常見的探究方法，并且實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“六大解放”，把“做”作為教和學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，才能引發(fā)個(gè)體體驗(yàn)快樂、產(chǎn)生新的需要的，形成發(fā)展的動(dòng)力。正如陶先生所說，"先生拿做來(lái)教，乃是真教；學(xué)生拿做來(lái)學(xué)，乃是實(shí)學(xué)"，只有在“做”中培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

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