加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)
師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部 陳志惠
摘要:為了讓大一新生盡快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),本人認(rèn)為加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個(gè)起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。
對(duì)于剛邁進(jìn)大學(xué)的理工科的學(xué)生來(lái)說，高等數(shù)學(xué)是首當(dāng)其沖的一門重要的基礎(chǔ)課。很多新生一時(shí)還難以適應(yīng)，常常產(chǎn)生各種各樣的問題。如何幫助學(xué)生度過這一“非常時(shí)期”，使之盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門主要的基礎(chǔ)課？筆者認(rèn)為，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個(gè)起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。
一、正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提
無(wú)論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數(shù)學(xué)概念，然后以這些概念為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個(gè)理論體系，然后把“這些符合論理的結(jié)論”應(yīng)用到新的應(yīng)用領(lǐng)域或?qū)嶋H問題中，因此可以說，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)應(yīng)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與重點(diǎn)，它是教師教好與學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。只有當(dāng)教師深刻全面地理解了概念的內(nèi)涵與本質(zhì)之后，才能透徹地講解給出來(lái)，學(xué)生才能很好的接受，才能以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推理、判斷、分析等思維活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)理論體系的來(lái)龍去脈，掌握運(yùn)算的技能技巧。從而獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去分析問題與解決問題的能力。
在初等數(shù)學(xué)中，大多數(shù)概念都比教具體直觀，學(xué)生容易接受，再加上課時(shí)較多，進(jìn)度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學(xué)生都不會(huì)對(duì)接受新概念感到很困難。即使有一些學(xué)生不重視概念學(xué)習(xí)只注意計(jì)算方法與技巧，但在長(zhǎng)期與大量的練習(xí)中，由于反復(fù)接觸，潛移默化，不知不覺地對(duì)概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，情況發(fā)生了很大的改變，高等數(shù)學(xué)是研究變量的數(shù)學(xué)，常常需要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)討論，因此更顯得抽象、復(fù)雜。例如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念都是初學(xué)者所不能透徹理解的，加上大學(xué)里的教學(xué)進(jìn)度快，反復(fù)練習(xí)的機(jī)會(huì)少。難免會(huì)使一些新生感到不適應(yīng)，概念掌握不好，以致于以概念為基礎(chǔ)的理論及計(jì)算方法當(dāng)然也就很難學(xué)好。因此能不能用有限的時(shí)間加強(qiáng)概念教學(xué)就成為提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。
二、注重概念的引入是學(xué)習(xí)概念的先導(dǎo)
眾所周知，數(shù)學(xué)概念都是由客觀實(shí)際或客觀規(guī)律抽象出來(lái)的。很多概念都可以在實(shí)際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度的計(jì)算等問題抽象出導(dǎo)數(shù)概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，學(xué)生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實(shí)質(zhì)及價(jià)值。因此，教師不能認(rèn)為花費(fèi)一定時(shí)間講解這些背景是沒有價(jià)值的、是在浪費(fèi)有限的時(shí)間，因而便三言兩語(yǔ)草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計(jì)算，一個(gè)例題接著一個(gè)例題，這是不妥當(dāng)?shù)�。再者從客觀實(shí)例引進(jìn)概念，也為以后應(yīng)用這些概念及有關(guān)理論去解決應(yīng)用問題作了一定的準(zhǔn)備。
值得注意的是并非每一個(gè)概念都要求由實(shí)例引入，教師可靈活掌握。對(duì)于一些較易理解的概念也可以從已知的概念引出新的概念。例如：無(wú)窮小量可由極限概念中當(dāng)極限值為零時(shí)來(lái)得到，連續(xù)概念也可由極限概念中極限值等于函數(shù)值來(lái)得到。而原函數(shù)的概念自然而然的可由導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出。這些概念對(duì)于學(xué)生來(lái)說都是不難接受的。
總之，不論是由實(shí)例抽象出概念還是由舊知識(shí)直接引出新概念，教師的主要目的應(yīng)該放在使學(xué)生理解概念的形成，掌握概念的內(nèi)涵上，所以所用的例子都不宜太復(fù)雜或者專業(yè)性太強(qiáng)，否則會(huì)造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。
三、數(shù)學(xué)概念的定義是概念屬性的體現(xiàn)
高等數(shù)學(xué)中的概念的具體內(nèi)涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時(shí)規(guī)定了所采用的符號(hào)。當(dāng)教師以實(shí)際問題或?qū)W生的原有知識(shí)為基礎(chǔ)抽象出概念以后，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解定義所指出概念的本質(zhì)屬性，從正面和反面等不通角度去反復(fù)領(lǐng)會(huì)，并利用自己的語(yǔ)言正確地?cái)⑹龈拍睢?br />以導(dǎo)數(shù)的定義為例，教師應(yīng)該使學(xué)生層層深入，理解以下各點(diǎn)：
第一、由于函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 與自變量增量 之比當(dāng) 時(shí)的極限，所以該函數(shù)必須在 處及其一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，否則就不可導(dǎo)，比如： 與 在 處就不可導(dǎo)。
第二、函數(shù)增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導(dǎo)數(shù)定義式也有不同的表示法。如： 在 處的導(dǎo)數(shù)可以分別表示為 與 等。當(dāng)極限不存在時(shí)此函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。
第三、定義同時(shí)給出了求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：①求函數(shù)增量 ②求函數(shù)增量與自變量增量之比 ③求極限 ，告訴學(xué)生按照這三步就可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
高等數(shù)學(xué)中有不少概念的定義都明確指出了計(jì)算的方法與步驟，除上述導(dǎo)數(shù)外，連續(xù)概念、定積分概念、級(jí)數(shù)收斂性概念等都是如此。教師在進(jìn)行這類概念教學(xué)時(shí)應(yīng)該花費(fèi)一些力氣按定義指明的方法與步驟進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一概念的理解。同時(shí)教師也應(yīng)向?qū)W生指出按定義直接進(jìn)行計(jì)算一般是很困難的，因此有必要研究其性質(zhì)及別的計(jì)算法則，這樣做就可以喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。
當(dāng)然高等數(shù)學(xué)中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內(nèi)涵，而并沒有給出計(jì)算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數(shù)與不定積分等等。教師在這類概念的教學(xué)中，為了加深學(xué)生的理解，一般都要按定義作一些驗(yàn)證工作，如：證明 ，證明 和 都是 的原函數(shù)。
學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)往往有一個(gè)不良習(xí)慣，輕概念重計(jì)算，以為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)無(wú)非就是要會(huì)計(jì)算、會(huì)做題。常常有這樣的事情發(fā)生，有的學(xué)生學(xué)完了高等數(shù)學(xué)也知道 卻說不清楚符號(hào) 所表示的確切含義，更有甚者學(xué)完了高等數(shù)學(xué)卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學(xué)是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結(jié)論，更重要的是透徹地掌握其本質(zhì)。
四、在概念系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念
教師經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，有的學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)概念時(shí)，以為明白了定義的本質(zhì)，但是若把這個(gè)概念與其它有關(guān)概念放在一起時(shí)，就糊涂了，比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，教師都會(huì)給學(xué)生講清楚，但學(xué)生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:
設(shè)
1) 取何值時(shí)， 在 處連續(xù)？
2) 取何值時(shí)， 在 處可導(dǎo)？
3) 取何值時(shí)， 的導(dǎo)數(shù)在 處連續(xù)？
為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？一方面是學(xué)生還沒有真正領(lǐng)會(huì)概念的本質(zhì)，有的學(xué)生當(dāng)時(shí)弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學(xué)生習(xí)慣孤立地學(xué)習(xí)概念，不善于把相關(guān)概念相比教，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。因此，在進(jìn)行概念思維時(shí)就會(huì)出現(xiàn)“斷線”現(xiàn)象，無(wú)從下筆，或者寫不清楚。要解決這個(gè)問題，教師必須在概念系統(tǒng)中教會(huì)概念，學(xué)生必須在概念系統(tǒng)中學(xué)會(huì)概念。數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容按一定的邏輯關(guān)系組成的知識(shí)體系。概念與概念之間總有一定的內(nèi)在聯(lián)系，特別是一些相近的概念，其聯(lián)系更為突出，學(xué)生最易混淆。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)要不時(shí)的將這些概念與前面所學(xué)過的相近概念相比教，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，前面說的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、可微是如此，在此之后的四個(gè)中值定理更是如此。
總之，把概念放在概念系統(tǒng)中教學(xué)是教師應(yīng)當(dāng)把握的教學(xué)規(guī)律。教師每講一個(gè)新概念，首先必須對(duì)這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯(lián)系做到心中有數(shù)，使學(xué)生對(duì)已學(xué)過的概念能做到融會(huì)貫通，同時(shí)，又為今后要學(xué)的新概念埋下“伏”筆。
最后要說明的是，對(duì)于工科高等數(shù)學(xué)中的概念的教學(xué)，教師必須掌握分寸。工科數(shù)學(xué)畢竟不同于數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)，應(yīng)該著重于應(yīng)用，而不宜在純數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)上花費(fèi)過多的精力，另外專業(yè)之間也應(yīng)該有所區(qū)別，這些都是我們從事工科數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師應(yīng)該注意的。
作者簡(jiǎn)介：陳志惠，1972年5月出生，講師，學(xué)士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。
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