四邊形的小結(jié)與復(fù)習(xí)

四邊形的小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)提綱：（通過(guò)問(wèn)題和動(dòng)手幫助你復(fù)習(xí)）

（一）動(dòng)手制作任意三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的紙片，分

別繞著一邊的中點(diǎn)、底邊的中點(diǎn)、斜邊的中點(diǎn)、斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，讓學(xué)生觀察原來(lái)的三角形與旋轉(zhuǎn)后的三角形分別組成什么圖形？（二）多邊形的內(nèi)角和與外角和1.n邊形的內(nèi)角和等于2.任意多邊形的外角和等于3．從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)，這些對(duì)角線把n邊形分成個(gè)三角形。4．n邊形的對(duì)角線一共條。

(三)幾種特殊四邊形：（檢驗(yàn)對(duì)知識(shí)的記憶能力和掌握能力）名稱定義性質(zhì)判定（邊，角，對(duì)角線，對(duì)稱性）面積平行四邊形矩形菱形正方形梯形檢測(cè)練習(xí)1．菱形相鄰兩邊中點(diǎn)連線的長(zhǎng)分別為7cm和4cm，則菱形的面積為________．

2．平行四邊形有一個(gè)角的平分線和一邊相交，且把這邊分成3cm和5cm兩部分，則這平行四邊形周長(zhǎng)為________．（兩種情況）

3．矩形一條長(zhǎng)邊的中點(diǎn)與另一條長(zhǎng)邊的兩端的連線互相垂直，且周長(zhǎng)是36cm，則它的長(zhǎng)和寬分別是______和_______，對(duì)角線的長(zhǎng)是_______．4．正方形的對(duì)角線為4cm，它的面積為。

5．菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為6和8，則其周長(zhǎng)為，面積為。

6．一個(gè)正方形和一個(gè)等腰三角形有相等的周長(zhǎng)，等腰三角形有二邊長(zhǎng)為5.6cm和13.2cm，則這個(gè)正方形面積為（）．

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．64cm2

7．直角梯形中，斜腰與底的夾角為60°，若這腰與上底的長(zhǎng)都是8cm，則這梯形的周長(zhǎng)是（）．

A．24+43B．26+43C．28+43D．32+438、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

(A)等邊三角形。(B)平行四邊形(C)矩形。(D)等腰梯形。9、下列條件中，能判定四邊形為正方形的是（）

(A)對(duì)角線相等的平行四邊形；(B)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形；(C)對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形；(D)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形；10、用兩個(gè)全等的三角形按不同的方法拼成四邊形，在這些拼出的四邊形中，平行四邊形最多有（）

Ａ．１個(gè)Ｂ．２個(gè)Ｃ．３個(gè)Ｄ．４個(gè)

11．園藝師欲用40cm長(zhǎng)的一段繩子，圍出一塊平行四邊形的苗圃，使長(zhǎng)邊與短邊之比為3：2，求長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。

12.小樂(lè)和媽媽在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但媽媽拿起來(lái)看時(shí)，感覺(jué)紗巾好像不是正方形，商店老板看她猶豫不定的樣子，馬上過(guò)來(lái)拉起一組對(duì)角，讓媽媽看這一組對(duì)角是否對(duì)齊，媽媽還有些疑惑，老板又拉起一組對(duì)角，讓她檢驗(yàn)。你認(rèn)為老板的方法可信嗎？你能幫小樂(lè)的媽媽檢驗(yàn)出紗巾是否為正方形嗎？

13．如圖，已知四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積S．14．已知：如圖，E、F為ABCD的對(duì)角線AC所在直線上的兩點(diǎn)，AE=CF，求證：BE=DF．（用兩種證法）．

15．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE⊥BO于E，且DE：EB=3：1，OF⊥AB于F，OF=3.6cm，求矩形對(duì)角線長(zhǎng)．

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且AF=CE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠B的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答證明你的結(jié)論；（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

17.已知：如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于O，CP∥DB,DP∥AC,CP與DP相交于P點(diǎn)，求證：四邊形CODP是菱形

AODPBC

圖一圖二如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁�？如果題目中的矩形變?yōu)檎�方�?圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗?/p>

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[科目]數(shù)學(xué)[年級(jí)]初二[章節(jié)]

[關(guān)鍵詞]四邊形/小結(jié)/復(fù)習(xí)[標(biāo)題]四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)[內(nèi)容]

教學(xué)目標(biāo)

1．利用基本圖形結(jié)構(gòu)使本章內(nèi)容系統(tǒng)化．

2．對(duì)比掌握各種特殊四邊形的概念，性質(zhì)和判定方法．3．總結(jié)常用添加輔助線的方法．

4．總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想方法，提高邏輯思維能力．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)是四邊形與特殊四邊形的從屬關(guān)系及它們的概念、性質(zhì)和判定方法．難點(diǎn)是提高數(shù)學(xué)思維能力．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、按“特殊一般特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，理解本章基本圖形的形成、變化和發(fā)展過(guò)程

1．本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖4-107

（1）圖4-107（a）中主要要求四邊形的內(nèi)角和及外角和；（2）圖4-107（b）中要求n邊形內(nèi)角和及外角和；

（3）圖4-107（c）中要求各種特殊四邊形的概念、性質(zhì)、判定和它們之間的關(guān)系；（4）圖4-107（d）中要求平行線等分線段定理的內(nèi)容，會(huì)任意等分一條已知線段；（5）圖4-107（e）中要求三角形、梯形中位線的概念、性質(zhì)、判定；

說(shuō)明：陳老師數(shù)學(xué)工作室

陳老師，畢業(yè)于華中師范大學(xué)，獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理雙學(xué)位。從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作10年時(shí)間，帶過(guò)5屆初三畢業(yè)班，在全國(guó)專業(yè)數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表過(guò)40余篇數(shù)學(xué)論文，武漢市青山區(qū)優(yōu)秀青年教師。現(xiàn)在深圳專注于針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)個(gè)性化教學(xué)的研究與推廣。旨在為更多的學(xué)生提供具有專業(yè)性、針對(duì)性的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。幫助提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高學(xué)習(xí)成績(jī)，破解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)瓶頸。本資料以及博客所發(fā)的資料都是陳老師在日常教學(xué)中自己編寫的資料，主要是針對(duì)學(xué)生補(bǔ)習(xí)提高使用，同時(shí)可供學(xué)生在家自學(xué)。

開設(shè)課程：初一補(bǔ)差班（60分以下）初一提高班（60～80分）初一培優(yōu)班（80分以上）

初二補(bǔ)差班（60分以下）初二提高班（60～80分）初二培優(yōu)班（80分以上）初三補(bǔ)差班（60分以下）初三提高班（60～80分）初三培優(yōu)班（80分以上）小學(xué)六年級(jí)升學(xué)沖刺班小學(xué)奧數(shù)

上課地址：深圳市福田區(qū)紅嶺中路園嶺新村20棟2樓(紅嶺中學(xué)正對(duì)面）

上課方式：2-3人小組課（個(gè)別特殊情況可預(yù)約一對(duì)一）。

上課時(shí)間：周一到周五晚上，周六、周日全天香港學(xué)生可在周一到周五白天上課

詳細(xì)信息請(qǐng)?jiān)L問(wèn)

陳老師（數(shù)學(xué)）熱線：0755——222099201*714005889

學(xué)習(xí)榜樣：

外國(guó)語(yǔ)唐一×從初一上學(xué)期期中考試后，數(shù)學(xué)成績(jī)由班級(jí)前十到期末年級(jí)前十實(shí)驗(yàn)中學(xué)宋浩×從初三跟陳老師學(xué)，成績(jī)從40多分提高到中考成績(jī)B+實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉博×從初三跟陳老師學(xué)，中考成績(jī)A

深圳中學(xué)卓×從六年級(jí)跟陳老師學(xué)，數(shù)學(xué)重點(diǎn)班前十深圳中學(xué)萬(wàn)×數(shù)學(xué)聯(lián)賽全國(guó)一等獎(jiǎng)

碧波中學(xué)楊麗×從六年級(jí)跟陳老師學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)一直班級(jí)前2名

紅嶺中學(xué)李佳×從初二跟陳老師學(xué)，成績(jī)從30多分提高到月考68分紅嶺中學(xué)曹昊×從初三跟陳老師學(xué)，中考成績(jī)A+紅嶺中學(xué)康×從初三跟陳老師學(xué)，中考成績(jī)A

碧波中學(xué)魏依×從初一下學(xué)期跟陳老師學(xué)現(xiàn)在數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)前5名紅嶺中學(xué)余志×從初三跟陳老師學(xué)，從50多分提高到，中考成績(jī)B+紅嶺中學(xué)李泰×從初三跟陳老師學(xué)，中考成績(jī)A紅嶺中學(xué)秦孝×從初三跟陳老師學(xué)，中考成績(jī)A

。。。。更多成功案例請(qǐng)點(diǎn)擊%D1%A7%D4%B1%BC%F2%BD%E握中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形的概念、性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)圖形是否為中心對(duì)稱圖形，會(huì)畫一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形．

2.常用的例習(xí)題所對(duì)應(yīng)的基本圖形的性質(zhì)，有利于探求解題．如：（１）順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的圖形，如圖4-95．

（２）過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線交對(duì)邊或?qū)�邊的延長(zhǎng)線所得對(duì)應(yīng)線段相等（圖4-108）．

典型例題分析，總

結(jié)解題方法和數(shù)學(xué)思想方法

１．殊四邊形的關(guān)系的進(jìn)一步理解，滲透“集合”的思想．

例１．填出圖4-109中各圖形的名稱，利用“集合”的思想分清各種四邊形之間的關(guān)系，并做課本第190頁(yè)

第2題，以鞏固各種四邊形的判定方法．

２．四邊形性質(zhì)及中位線知識(shí)的應(yīng)用，總結(jié)證明兩條線段相等和添加輔助線的方法及分析綜合法的使用．

例２．如圖4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC為邊作ACED，DC的延長(zhǎng)線交EB于

F．求證：EF=FB．分析：

（1）分解基本圖形：“ABCD及對(duì)角線”，三個(gè)梯形．

（2）應(yīng)用分析綜合法探求解題思路，添加輔助線，將EF，F(xiàn)B置于“證明兩線段相等”所

對(duì)應(yīng)的基本圖形中．

（3）總結(jié)目前證明兩條線段相等的方法，添設(shè)相應(yīng)輔助線．在上一章總結(jié)方法的基礎(chǔ)

上，新添的常用方法有：

①特殊四邊形的邊、對(duì)角線的性質(zhì)；②平行線間的距離相等；

③過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與第二邊平行的直線必平分第三邊；④過(guò)梯形一腰中點(diǎn)與底邊平行的直線必平分另一腰．

說(shuō)明：本題添加輔助線的方法為四大類.

(1)構(gòu)造三角形中位線或梯形的中位線，如圖4-110(b)～(e)；(2)構(gòu)造全等三角形，如圖4-110(f)～(h)；(3)構(gòu)造等腰三角形，如圖4-110(i)；

(4)構(gòu)造以EB為對(duì)角線的平行四邊形，如圖4-110(j).3.總結(jié)梯形中常用輔助線，掌握化歸思想.

梯形中添加輔助線常�？梢詫⑻菪位瘹w為三角形、平行四邊形、矩形、直角梯形等.同時(shí)，

還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-111(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-１１１(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到了一個(gè)三角形中.另外注意以下兩點(diǎn)：

(1)從圖形變換及化歸角度理解梯形中常用輔助線的作法及作用.①平移：圖4-111(a)，(b)過(guò)上底一頂點(diǎn)作腰或一對(duì)角線的平行線；②旋轉(zhuǎn)：圖4-111(c)，(d)以一腰中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△ADE和△EGC；③對(duì)稱：圖4-111(e)等腰梯形中作底邊高.

(2)其他幾種作法.

①圖4-111(e)一般梯形中，過(guò)上底兩端點(diǎn)作下底的垂線；②在圖4-111(f)中，向上延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；③在圖4-111(g)中，作梯形的中位線.

例3已知：如圖4-112(a)，在梯形ABCD中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF是中位線，交BD于M，交AC于N.

(1)求EF，MN的長(zhǎng)及S梯形ABCD；

(2)觀察MN與梯形上、下底的關(guān)系，并思考結(jié)論能否推廣到一般梯形?分析?本題可選用圖4-112(b)，(c)中輔助線的作法，解得EF=23，MN=2，S對(duì)一般梯形同樣適用.

梯形ABCD

=12，MN=

12(DC-AB).此結(jié)論

4.利用變換的思想解題，培養(yǎng)方程、分類討論的思想，并會(huì)用類比聯(lián)想變更命題.例4矩形一邊長(zhǎng)為8，另一邊長(zhǎng)6，將矩形折疊，使兩相對(duì)頂點(diǎn)重合.求折痕長(zhǎng).分析：

(1)用軸對(duì)稱的性質(zhì)理解折疊問(wèn)題的基本關(guān)系.認(rèn)清對(duì)應(yīng)元素的位置、數(shù)量關(guān)系，此題中折痕應(yīng)為矩形ABCD的對(duì)角線AC的中垂線EF(如圖4-113).

(2)利用方程的思想解決問(wèn)題.設(shè)CE=x,可證折痕EF長(zhǎng)等于2OE，先由AE=EC，及勾股定理求出CE=EF=2OE=2CE2254，則

OC2152

(3)學(xué)完相似形會(huì)有更簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法.

例5已知：點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB所在直線上任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，MNDM與ㄥABC的鄰補(bǔ)角的平行線交于N.求證：DM=MN.分析：

(1)由于題目中沒(méi)有明確給出點(diǎn)M的位置，需對(duì)M點(diǎn)在直線AB上的位置進(jìn)行分類討論.①點(diǎn)M在線段AB內(nèi)，如圖4-114(a)；

②點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖4-114(b)；③點(diǎn)M在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖4-114(c)；④點(diǎn)M與A點(diǎn)重合，如圖4-114(d).

(2)證明時(shí)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)及對(duì)稱變換的思想添加輔助線，構(gòu)造DM，MN所在的兩個(gè)全等三角形.如圖4-114(a)中，將△MBN沿MD方向平移到M與D重合，再將平移后的三角形繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，B點(diǎn)落在邊DA上P點(diǎn)處，使DP=MB，因此，如下添加輔助線：

在AD上取一點(diǎn)P，使DP=BM，連接PM，證明△DPM△MBN.(3)類比聯(lián)想，此題的結(jié)論對(duì)等邊三角形是否成立?

M為等邊三角形ABC的邊BC所在直線上任意一點(diǎn)(C點(diǎn)除外)，作ㄥAMN=60°，射線MN與ㄥACB的鄰補(bǔ)角的平分線交于N.求證：AM=MN.(如圖4-115)

5.利用運(yùn)動(dòng)的思維方法將問(wèn)題推廣.

例6(1)已知：如圖4-116(a)，從ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D向形外的任意直線l作垂線AA′，BB′，CC′DD′，垂足分別為A′，B′C′，D′，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

(2)將直線l平移運(yùn)動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)幾種不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的數(shù)量關(guān)系會(huì)怎樣變化?并進(jìn)行證明.

分析：

(1)分解基本圖形為平行四邊形和直角梯形.從結(jié)論考慮，從形式上聯(lián)想到梯形中位線定理，連結(jié)AC，BD交于O，并作OO′l′與O′.

(2)總結(jié)證明線段和差、倍、分關(guān)系的常用方法.

(3)直線l向上平移運(yùn)動(dòng)，與ABCD的位置關(guān)系還會(huì)出現(xiàn)兩種情況，如圖4-116(b)，(c).

(4)對(duì)于推廣后的兩種情況，可通過(guò)添加輔助線化歸為利用圖4-116(a)中結(jié)果，也可類比原題(a)中的方法，再次證明：

圖4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；圖4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、師生共同小結(jié)1.基本方法.

(1)利用基本圖形結(jié)構(gòu)使知識(shí)系統(tǒng)化；

(2)證明兩條線段相等及和差關(guān)系的方法，也可類比總結(jié)證明兩角相等，角的和差、倍、分問(wèn)題，直線垂直、平行關(guān)系的方法；

(3)利用變換思想添加輔助線的方法；(4)探求解題思路時(shí)的分析、綜合法.2.基本思想及觀點(diǎn)：

(1)“特殊一般特殊”認(rèn)識(shí)事物的方法；(2)集合、方程、分類討論及化歸的思想；(3)用類比、運(yùn)動(dòng)的思維方法推廣命題.四、作業(yè)

從課本第190頁(yè)復(fù)習(xí)題四中選取.補(bǔ)充題：

1.已知：如圖4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分線交對(duì)邊于E，交斜邊上的高AD于G，過(guò)G作FGCB交AB于F.求證：AE=BF.

2.如圖4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F(xiàn)和G分別為OB，CD，OA中點(diǎn)，ㄥAOD=60°.求證：△EFG是等邊三角形.

3.已知：如圖4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分別為CD，AB點(diǎn).求證：MN=12(AB-CD).

4.已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分線都與BC相交，且兩交點(diǎn)把BC三等分.若梯形周長(zhǎng)為57cm.求梯形中位線長(zhǎng).(答：

332cm或

20910cm)

5.(1)如圖4-120，P為正方形，ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB的度數(shù)；(答：135°)(2)已知：如圖4-121正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)E到A，B，C三點(diǎn)的距離之和的最小值為26.求此正方形的邊長(zhǎng)；(答：2)

(提示：(1)將△APB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CQB，將分散的三條線段PA，PB，PC集中到一起，連結(jié)PQ，在△PBQ和△PQC中計(jì)算角度.(2)如圖4-121，用旋轉(zhuǎn)的方法，把△ABE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，得到△FBG，可證△BEG為等邊三角形.并將EA+EB+EC轉(zhuǎn)化為FG+GE+EC，從而找到最小值為FC的長(zhǎng)，利用列方程的方法求得邊長(zhǎng)為2.)

6.如圖4-122，ABCD是矩

形紙片，E為AB上一點(diǎn)，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F.問(wèn)AB，BC的長(zhǎng)各是多少?(答：2430)

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