四邊形的小結(jié)與復(fù)習(xí)
四邊形的小結(jié)與復(fù)習(xí)
復(fù)習(xí)提綱:(通過(guò)問(wèn)題和動(dòng)手幫助你復(fù)習(xí))
(一)動(dòng)手制作任意三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的紙片,分
別繞著一邊的中點(diǎn)、底邊的中點(diǎn)、斜邊的中點(diǎn)、斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,讓學(xué)生觀察原來(lái)的三角形與旋轉(zhuǎn)后的三角形分別組成什么圖形?(二)多邊形的內(nèi)角和與外角和1.n邊形的內(nèi)角和等于2.任意多邊形的外角和等于3.從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù),這些對(duì)角線把n邊形分成個(gè)三角形。4.n邊形的對(duì)角線一共條。
(三)幾種特殊四邊形:(檢驗(yàn)對(duì)知識(shí)的記憶能力和掌握能力)名稱定義性質(zhì)判定(邊,角,對(duì)角線,對(duì)稱性)面積平行四邊形矩形菱形正方形梯形檢測(cè)練習(xí)1.菱形相鄰兩邊中點(diǎn)連線的長(zhǎng)分別為7cm和4cm,則菱形的面積為________.
2.平行四邊形有一個(gè)角的平分線和一邊相交,且把這邊分成3cm和5cm兩部分,則這平行四邊形周長(zhǎng)為________.(兩種情況)
3.矩形一條長(zhǎng)邊的中點(diǎn)與另一條長(zhǎng)邊的兩端的連線互相垂直,且周長(zhǎng)是36cm,則它的長(zhǎng)和寬分別是______和_______,對(duì)角線的長(zhǎng)是_______.4.正方形的對(duì)角線為4cm,它的面積為。
5.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為6和8,則其周長(zhǎng)為,面積為。
6.一個(gè)正方形和一個(gè)等腰三角形有相等的周長(zhǎng),等腰三角形有二邊長(zhǎng)為5.6cm和13.2cm,則這個(gè)正方形面積為().
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.64cm2
7.直角梯形中,斜腰與底的夾角為60°,若這腰與上底的長(zhǎng)都是8cm,則這梯形的周長(zhǎng)是().
A.24+43B.26+43C.28+43D.32+438、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()
(A)等邊三角形。(B)平行四邊形(C)矩形。(D)等腰梯形。9、下列條件中,能判定四邊形為正方形的是()
(A)對(duì)角線相等的平行四邊形;(B)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形;(C)對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形;(D)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形;10、用兩個(gè)全等的三角形按不同的方法拼成四邊形,在這些拼出的四邊形中,平行四邊形最多有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
11.園藝師欲用40cm長(zhǎng)的一段繩子,圍出一塊平行四邊形的苗圃,使長(zhǎng)邊與短邊之比為3:2,求長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。
12.小樂(lè)和媽媽在商店里看到一塊漂亮的方紗巾,非常想買,但媽媽拿起來(lái)看時(shí),感覺(jué)紗巾好像不是正方形,商店老板看她猶豫不定的樣子,馬上過(guò)來(lái)拉起一組對(duì)角,讓媽媽看這一組對(duì)角是否對(duì)齊,媽媽還有些疑惑,老板又拉起一組對(duì)角,讓她檢驗(yàn)。你認(rèn)為老板的方法可信嗎?你能幫小樂(lè)的媽媽檢驗(yàn)出紗巾是否為正方形嗎?
13.如圖,已知四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,∠B=90°,求四邊形ABCD的面積S.14.已知:如圖,E、F為ABCD的對(duì)角線AC所在直線上的兩點(diǎn),AE=CF,求證:BE=DF.(用兩種證法).
15.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE⊥BO于E,且DE:EB=3:1,OF⊥AB于F,OF=3.6cm,求矩形對(duì)角線長(zhǎng).
16.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F(xiàn)在DE上,并且AF=CE.
(1)求證:四邊形ACEF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠B的大小滿足什么條件時(shí),四邊形ACEF是菱形?請(qǐng)回答證明你的結(jié)論;(3)四邊形ACEF有可能是正方形嗎?為什么?
17.已知:如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于O,CP∥DB,DP∥AC,CP與DP相交于P點(diǎn),求證:四邊形CODP是菱形
AODPBC
圖一圖二如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一),結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二),結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗?/p>
擴(kuò)展閱讀:四邊形小結(jié)復(fù)習(xí)
[科目]數(shù)學(xué)[年級(jí)]初二[章節(jié)]
[關(guān)鍵詞]四邊形/小結(jié)/復(fù)習(xí)[標(biāo)題]四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)[內(nèi)容]
教學(xué)目標(biāo)
1.利用基本圖形結(jié)構(gòu)使本章內(nèi)容系統(tǒng)化.
2.對(duì)比掌握各種特殊四邊形的概念,性質(zhì)和判定方法.3.總結(jié)常用添加輔助線的方法.
4.總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想方法,提高邏輯思維能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)是四邊形與特殊四邊形的從屬關(guān)系及它們的概念、性質(zhì)和判定方法.難點(diǎn)是提高數(shù)學(xué)思維能力.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
一、按“特殊一般特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律,理解本章基本圖形的形成、變化和發(fā)展過(guò)程
1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如圖4-107
(1)圖4-107(a)中主要要求四邊形的內(nèi)角和及外角和;(2)圖4-107(b)中要求n邊形內(nèi)角和及外角和;
(3)圖4-107(c)中要求各種特殊四邊形的概念、性質(zhì)、判定和它們之間的關(guān)系;(4)圖4-107(d)中要求平行線等分線段定理的內(nèi)容,會(huì)任意等分一條已知線段;(5)圖4-107(e)中要求三角形、梯形中位線的概念、性質(zhì)、判定;
說(shuō)明:陳老師數(shù)學(xué)工作室
陳老師,畢業(yè)于華中師范大學(xué),獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理雙學(xué)位。從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作10年時(shí)間,帶過(guò)5屆初三畢業(yè)班,在全國(guó)專業(yè)數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表過(guò)40余篇數(shù)學(xué)論文,武漢市青山區(qū)優(yōu)秀青年教師。現(xiàn)在深圳專注于針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)個(gè)性化教學(xué)的研究與推廣。旨在為更多的學(xué)生提供具有專業(yè)性、針對(duì)性的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。幫助提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,從而提高學(xué)習(xí)成績(jī),破解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)瓶頸。本資料以及博客所發(fā)的資料都是陳老師在日常教學(xué)中自己編寫的資料,主要是針對(duì)學(xué)生補(bǔ)習(xí)提高使用,同時(shí)可供學(xué)生在家自學(xué)。
開設(shè)課程:初一補(bǔ)差班(60分以下)初一提高班(60~80分)初一培優(yōu)班(80分以上)
初二補(bǔ)差班(60分以下)初二提高班(60~80分)初二培優(yōu)班(80分以上)初三補(bǔ)差班(60分以下)初三提高班(60~80分)初三培優(yōu)班(80分以上)小學(xué)六年級(jí)升學(xué)沖刺班小學(xué)奧數(shù)
上課地址:深圳市福田區(qū)紅嶺中路園嶺新村20棟2樓(紅嶺中學(xué)正對(duì)面)
上課方式:2-3人小組課(個(gè)別特殊情況可預(yù)約一對(duì)一)。
上課時(shí)間:周一到周五晚上,周六、周日全天香港學(xué)生可在周一到周五白天上課
詳細(xì)信息請(qǐng)?jiān)L問(wèn)
陳老師(數(shù)學(xué))熱線:0755——222099201*714005889
學(xué)習(xí)榜樣:
外國(guó)語(yǔ)唐一×從初一上學(xué)期期中考試后,數(shù)學(xué)成績(jī)由班級(jí)前十到期末年級(jí)前十實(shí)驗(yàn)中學(xué)宋浩×從初三跟陳老師學(xué),成績(jī)從40多分提高到中考成績(jī)B+實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉博×從初三跟陳老師學(xué),中考成績(jī)A
深圳中學(xué)卓×從六年級(jí)跟陳老師學(xué),數(shù)學(xué)重點(diǎn)班前十深圳中學(xué)萬(wàn)×數(shù)學(xué)聯(lián)賽全國(guó)一等獎(jiǎng)
碧波中學(xué)楊麗×從六年級(jí)跟陳老師學(xué),數(shù)學(xué)成績(jī)一直班級(jí)前2名
紅嶺中學(xué)李佳×從初二跟陳老師學(xué),成績(jī)從30多分提高到月考68分紅嶺中學(xué)曹昊×從初三跟陳老師學(xué),中考成績(jī)A+紅嶺中學(xué)康×從初三跟陳老師學(xué),中考成績(jī)A
碧波中學(xué)魏依×從初一下學(xué)期跟陳老師學(xué)現(xiàn)在數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)前5名紅嶺中學(xué)余志×從初三跟陳老師學(xué),從50多分提高到,中考成績(jī)B+紅嶺中學(xué)李泰×從初三跟陳老師學(xué),中考成績(jī)A紅嶺中學(xué)秦孝×從初三跟陳老師學(xué),中考成績(jī)A
。。。。更多成功案例請(qǐng)點(diǎn)擊%D1%A7%D4%B1%BC%F2%BD%E握中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形的概念、性質(zhì),會(huì)判斷一個(gè)圖形是否為中心對(duì)稱圖形,會(huì)畫一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形.
2.常用的例習(xí)題所對(duì)應(yīng)的基本圖形的性質(zhì),有利于探求解題.如:(1)順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的圖形,如圖4-95.
(2)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線交對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線所得對(duì)應(yīng)線段相等(圖4-108).
典型例題分析,總
結(jié)解題方法和數(shù)學(xué)思想方法
1.殊四邊形的關(guān)系的進(jìn)一步理解,滲透“集合”的思想.
例1.填出圖4-109中各圖形的名稱,利用“集合”的思想分清各種四邊形之間的關(guān)系,并做課本第190頁(yè)
第2題,以鞏固各種四邊形的判定方法.
2.四邊形性質(zhì)及中位線知識(shí)的應(yīng)用,總結(jié)證明兩條線段相等和添加輔助線的方法及分析綜合法的使用.
例2.如圖4-110(a),在梯形ABCD中,AB∥DC,以AD和AC為邊作ACED,DC的延長(zhǎng)線交EB于
F.求證:EF=FB.分析:
(1)分解基本圖形:“ABCD及對(duì)角線”,三個(gè)梯形.
(2)應(yīng)用分析綜合法探求解題思路,添加輔助線,將EF,F(xiàn)B置于“證明兩線段相等”所
對(duì)應(yīng)的基本圖形中.
(3)總結(jié)目前證明兩條線段相等的方法,添設(shè)相應(yīng)輔助線.在上一章總結(jié)方法的基礎(chǔ)
上,新添的常用方法有:
①特殊四邊形的邊、對(duì)角線的性質(zhì);②平行線間的距離相等;
③過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與第二邊平行的直線必平分第三邊;④過(guò)梯形一腰中點(diǎn)與底邊平行的直線必平分另一腰.
說(shuō)明:本題添加輔助線的方法為四大類.
(1)構(gòu)造三角形中位線或梯形的中位線,如圖4-110(b)~(e);(2)構(gòu)造全等三角形,如圖4-110(f)~(h);(3)構(gòu)造等腰三角形,如圖4-110(i);
(4)構(gòu)造以EB為對(duì)角線的平行四邊形,如圖4-110(j).3.總結(jié)梯形中常用輔助線,掌握化歸思想.
梯形中添加輔助線常?梢詫⑻菪位瘹w為三角形、平行四邊形、矩形、直角梯形等.同時(shí),
還可集中梯形中分散的已知條件,如圖4-111(a)中,將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到還可集中梯形中分散的已知條件,如圖4-111(a)中,將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到了一個(gè)三角形中.另外注意以下兩點(diǎn):
(1)從圖形變換及化歸角度理解梯形中常用輔助線的作法及作用.①平移:圖4-111(a),(b)過(guò)上底一頂點(diǎn)作腰或一對(duì)角線的平行線;②旋轉(zhuǎn):圖4-111(c),(d)以一腰中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△ADE和△EGC;③對(duì)稱:圖4-111(e)等腰梯形中作底邊高.
(2)其他幾種作法.
①圖4-111(e)一般梯形中,過(guò)上底兩端點(diǎn)作下底的垂線;②在圖4-111(f)中,向上延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形;③在圖4-111(g)中,作梯形的中位線.
例3已知:如圖4-112(a),在梯形ABCD中,ABDC,ACDB,AD=BC=4,ㄥADC=60°,EF是中位線,交BD于M,交AC于N.
(1)求EF,MN的長(zhǎng)及S梯形ABCD;
(2)觀察MN與梯形上、下底的關(guān)系,并思考結(jié)論能否推廣到一般梯形?分析?本題可選用圖4-112(b),(c)中輔助線的作法,解得EF=23,MN=2,S對(duì)一般梯形同樣適用.
梯形ABCD
=12,MN=
12(DC-AB).此結(jié)論
4.利用變換的思想解題,培養(yǎng)方程、分類討論的思想,并會(huì)用類比聯(lián)想變更命題.例4矩形一邊長(zhǎng)為8,另一邊長(zhǎng)6,將矩形折疊,使兩相對(duì)頂點(diǎn)重合.求折痕長(zhǎng).分析:
(1)用軸對(duì)稱的性質(zhì)理解折疊問(wèn)題的基本關(guān)系.認(rèn)清對(duì)應(yīng)元素的位置、數(shù)量關(guān)系,此題中折痕應(yīng)為矩形ABCD的對(duì)角線AC的中垂線EF(如圖4-113).
(2)利用方程的思想解決問(wèn)題.設(shè)CE=x,可證折痕EF長(zhǎng)等于2OE,先由AE=EC,及勾股定理求出CE=EF=2OE=2CE2254,則
OC2152
(3)學(xué)完相似形會(huì)有更簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法.
例5已知:點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB所在直線上任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外),MNDM與ㄥABC的鄰補(bǔ)角的平行線交于N.求證:DM=MN.分析:
(1)由于題目中沒(méi)有明確給出點(diǎn)M的位置,需對(duì)M點(diǎn)在直線AB上的位置進(jìn)行分類討論.①點(diǎn)M在線段AB內(nèi),如圖4-114(a);
②點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上,如圖4-114(b);③點(diǎn)M在線段BA的延長(zhǎng)線上,如圖4-114(c);④點(diǎn)M與A點(diǎn)重合,如圖4-114(d).
(2)證明時(shí),結(jié)合旋轉(zhuǎn)及對(duì)稱變換的思想添加輔助線,構(gòu)造DM,MN所在的兩個(gè)全等三角形.如圖4-114(a)中,將△MBN沿MD方向平移到M與D重合,再將平移后的三角形繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,B點(diǎn)落在邊DA上P點(diǎn)處,使DP=MB,因此,如下添加輔助線:
在AD上取一點(diǎn)P,使DP=BM,連接PM,證明△DPM△MBN.(3)類比聯(lián)想,此題的結(jié)論對(duì)等邊三角形是否成立?
M為等邊三角形ABC的邊BC所在直線上任意一點(diǎn)(C點(diǎn)除外),作ㄥAMN=60°,射線MN與ㄥACB的鄰補(bǔ)角的平分線交于N.求證:AM=MN.(如圖4-115)
5.利用運(yùn)動(dòng)的思維方法將問(wèn)題推廣.
例6(1)已知:如圖4-116(a),從ABCD的頂點(diǎn)A,B,C,D向形外的任意直線l作垂線AA′,BB′,CC′DD′,垂足分別為A′,B′C′,D′,求證:AA′+CC′=BB′+DD′.
(2)將直線l平移運(yùn)動(dòng),會(huì)出現(xiàn)幾種不同位置?猜想:AA′,BB′CC′,DD′的數(shù)量關(guān)系會(huì)怎樣變化?并進(jìn)行證明.
分析:
(1)分解基本圖形為平行四邊形和直角梯形.從結(jié)論考慮,從形式上聯(lián)想到梯形中位線定理,連結(jié)AC,BD交于O,并作OO′l′與O′.
(2)總結(jié)證明線段和差、倍、分關(guān)系的常用方法.
(3)直線l向上平移運(yùn)動(dòng),與ABCD的位置關(guān)系還會(huì)出現(xiàn)兩種情況,如圖4-116(b),(c).
(4)對(duì)于推廣后的兩種情況,可通過(guò)添加輔助線化歸為利用圖4-116(a)中結(jié)果,也可類比原題(a)中的方法,再次證明:
圖4-116(b)中,CC′-AA′=BB′+DD′;圖4-116(c)中,|CC′-AA′|=|BB′-DD′|.三、師生共同小結(jié)1.基本方法.
(1)利用基本圖形結(jié)構(gòu)使知識(shí)系統(tǒng)化;
(2)證明兩條線段相等及和差關(guān)系的方法,也可類比總結(jié)證明兩角相等,角的和差、倍、分問(wèn)題,直線垂直、平行關(guān)系的方法;
(3)利用變換思想添加輔助線的方法;(4)探求解題思路時(shí)的分析、綜合法.2.基本思想及觀點(diǎn):
(1)“特殊一般特殊”認(rèn)識(shí)事物的方法;(2)集合、方程、分類討論及化歸的思想;(3)用類比、運(yùn)動(dòng)的思維方法推廣命題.四、作業(yè)
從課本第190頁(yè)復(fù)習(xí)題四中選取.補(bǔ)充題:
1.已知:如圖4-117,Rt△ABC中,ㄥACB的平分線交對(duì)邊于E,交斜邊上的高AD于G,過(guò)G作FGCB交AB于F.求證:AE=BF.
2.如圖4-118,梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,E,F(xiàn)和G分別為OB,CD,OA中點(diǎn),ㄥAOD=60°.求證:△EFG是等邊三角形.
3.已知:如圖4-119,梯形ABCD中,DCAB,ㄥA+AB=90°,M,N分別為CD,AB點(diǎn).求證:MN=12(AB-CD).
4.已知:梯形ABCD,ADBC,AB=DC,AD:BC=5:ㄥA,ㄥD的平分線都與BC相交,且兩交點(diǎn)把BC三等分.若梯形周長(zhǎng)為57cm.求梯形中位線長(zhǎng).(答:
332cm或
20910cm)
5.(1)如圖4-120,P為正方形,ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA:PB:PC=1:2:3,求ㄥAPB的度數(shù);(答:135°)(2)已知:如圖4-121正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)E到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值為26.求此正方形的邊長(zhǎng);(答:2)
(提示:(1)將△APB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△CQB,將分散的三條線段PA,PB,PC集中到一起,連結(jié)PQ,在△PBQ和△PQC中計(jì)算角度.(2)如圖4-121,用旋轉(zhuǎn)的方法,把△ABE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°,得到△FBG,可證△BEG為等邊三角形.并將EA+EB+EC轉(zhuǎn)化為FG+GE+EC,從而找到最小值為FC的長(zhǎng),利用列方程的方法求得邊長(zhǎng)為2.)
6.如圖4-122,ABCD是矩
形紙片,E為AB上一點(diǎn),BE:EA=5:3,EC=155,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若點(diǎn)B恰好落在AD邊上,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F.問(wèn)AB,BC的長(zhǎng)各是多少?(答:2430)
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