第十九章 四邊形小結與復習

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第十九章四邊形小結與復習

基礎盤點

1.平行四邊形是指.它的性質有.2.平行四邊形的判斷方法有：（1）；（2）（3）；（4）.

3.矩形是指.它的性質有、.

4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性質有、.

6.菱形的判定方法是、.7.只有一組對邊平行的四邊形叫做.兩腰相等的梯形叫做，有一個角是直角的梯形叫做.

8.等腰梯形的性質有：等腰梯形的兩腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的兩條對角線.

9.等腰梯形的識別方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成圖形的梯形是等腰梯形.

10.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的.三角形的中位線平行于，并且等于第三邊的.

考點呈現(xiàn)

考點一求度數(shù)

例1如圖1，在□ABCD中，CE⊥AB，E為垂足．如果∠A=125°，則∠BCE=（）

0000

A.55B.35C.30D.25

解析：本題只要求出∠B的度數(shù)，就可以得到∠BCE的度數(shù)，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.進而得∠BCE=35°.故選B.

點評：本例也可以利用對邊平行、對角相等來求．考點二平行四邊形的性質

例2如圖2，在周長為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于點O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAED解析：本題要求△ABE的周長，就是求AB+BE+EA的值，而題目所給的條件是□ABCD的AC，BD相交于點O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中點，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分線，則有BE=DE，

CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故選D．

2點評：本例利用平行四邊形及線段垂直平分線的性質把所要求的三角形的周長轉化為平行四邊形兩鄰邊的和，使問題得到解決.

考點三正方形的性質

例3（1）如圖3，在正方形ABCD中,點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點O，

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∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.

(2)如圖4，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

(3)已知點E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖5，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；

②如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示).圖3圖4

圖51）要證BE=CF，發(fā)現(xiàn)它們分別在△ABE和△BCF圖中，由已知條件可以證出6解析：（

△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出輔助線，構造成（1）的形式；而（3）則是在前兩問的基礎對規(guī)律的總結，發(fā)現(xiàn)在正方形內(nèi)互相垂直的兩條線段相等.N

(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.

因為∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，

M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．

R(2)如圖7,過點A作AM//GH交BC于M，過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點R，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，所以

圖7

EF=BN,GH=AM，因為∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．

(3)①8．②4n．

點評：這是一道猜想題，由特殊的圖形得到結論，進一步推廣到在其它情況下也成立，這是今后中考常見的一個題型，需要我們認真觀察、計算、猜想、推廣應用.

考點四四邊形的折疊

CFDD例4將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，

得到菱形AECF.若AB=3，則BC的長為（）

OA.1B.2C.2D.3

ABAE解析：由對矩形的折疊過程可知，矩形ABCD是一

個特殊的矩形，否則折疊后難以得到菱形，據(jù)此，矩形的對角線等于邊BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由題意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

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AC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故應選D.

點評：有關特殊四邊形的折疊問題歷來是中考命題的一個熱點，求解時只要依據(jù)折疊的前后的圖形是全等形，再結合特殊四邊形的有關知識就可以解決問題.

誤區(qū)點撥

一、平行四邊形的性質用錯

12180例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.

0003180；②20；

其中一定正確的是（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

錯解：選B、C、D.

剖析：平行四邊形的兩組對邊分別平行，對角相等的性質，同時考查了平行線的，因為∠1與∠2互補，所以12180，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.

正解：選A.

例2如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于O點，若AC=8，BD=6，則邊

DC長AB取值范圍為（）

A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14

OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14

AB錯解：選B.

剖析：本題錯誤原因在于沒有搞清這三條邊是否在同一個三角形中就用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來判定.在平行四邊形ABCD中，兩條對角線一半與平行四邊形一邊組成一個三角形然后再求取值范圍.

正解：選A.

二、運用判定方法不準確

例3已知，如圖3，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形AECF是平行四邊形.錯解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因為E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點，所以DF00011CD,BEAB，即22DF=BE.

在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.

（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

剖析：本例第（1）問是正確的，錯在第（2）問選擇證平行四邊形的方法上，我們利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這個方法時，證明出現(xiàn)了錯誤.

正解：（1）同上.

（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四邊形AECF

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是平行四邊形.

例4如圖4，在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O.試說明：O是BD的中點.

錯解：在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，又因為AF=CE，所以O是BD的中點.

剖析：本例主要錯在誤認為O是平行四邊形ABCD對角線的交點上，但我們觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)EF與BD為四邊形FBED的對角線，只要得到

四邊形FBED是平行四邊形，就能根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質即可得到O是BD的中點.

正解：連接FB，DE，因為AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以FD∥BE．

又因為AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四邊形FBED是平行四邊形．所以BO＝OD，即O是BD的中點．

跟蹤訓練

1.如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC=4，∠BAD=120°，則菱形ABCD的周長為（）

A．20B．18C．16D．152.如圖2，點P是矩形ABCD的邊AD的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）

12624A．B．C．D．不確定

5553.如圖3，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；...，根據(jù)以上操作，若要得到201*個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()

A.669B.670C.671D.672

4.如圖4，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角BAD80，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BEBO，則EOA=度．

5.如圖5，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．

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（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，F(xiàn)M．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

參考答案

基礎盤點：1.兩組對邊分別平行的四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分

2.（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）對角線相互平分的四邊形是平行四邊形（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

3.有一個角是直角的平行四邊形四個內(nèi)角都是直角、對角線相等4.有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形

5.一組鄰邊相等的平行四邊形菱形是四條邊都相等菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

6.四條邊相等的四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形

8.相等兩個角相等相等9.兩腰相等兩個角相等對角線軸對稱10.中位線、第三邊、一半

跟蹤訓練：1.C2.A3.B4.25

5.（1）因為四邊形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因為AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四邊形AEMF是菱形．證明略.

學習方法報社第5頁共5頁

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第十九章四邊形小結與復習

考點呈現(xiàn)

考點一求度數(shù)

例1如圖1，在□ABCD中，CE⊥AB，E為垂足．如果∠A=125°，則∠BCE=（）

0000

A.55B.35C.30D.25

解析：本題只要求出∠B的度數(shù)，就可以得到∠BCE的度數(shù)，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.進而得∠BCE=35°.故選B.

點評：本例也可以利用對邊平行、對角相等來求．考點二平行四邊形的性質

例2如圖2，在周長為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于點O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAE解析：本題要求△ABE的周長，就是求AB+BE+EA的值，而題目所給的條件是□ABCD的AC，BD相交于點O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中點，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分線，則有BE=DE，

CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故選D．

D2點評：本例利用平行四邊形及線段垂直平分線的性質把所要求的三角形的周長轉化為平行四邊形兩鄰邊的和，使問題得到解決.

考點三正方形的性質

例3（1）如圖3，在正方形ABCD中,點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.

(2)如圖4，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

(3)已知點E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖5，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；

②如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示).圖3圖4

圖5

圖6

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解析：（1）要證BE=CF，發(fā)現(xiàn)它們分別在△ABE和△BCF中，由已知條件可以證出△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出輔助線，構造成（1）的形式；而（3）則是在前兩問的基礎對規(guī)律的總結，發(fā)現(xiàn)在正方形內(nèi)互相垂直的兩條線段相等.N

(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.

因為∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，

M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．

R(2)如圖7,過點A作AM//GH交BC于M，過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點R，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，所以

圖7

EF=BN,GH=AM，因為∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．

(3)①8．②4n．

點評：這是一道猜想題，由特殊的圖形得到結論，進一步推廣到在其它情況下也成立，這是今后中考常見的一個題型，需要我們認真觀察、計算、猜想、推廣應用.

考點四四邊形的折疊

CFDD例4將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，

得到菱形AECF.若AB=3，則BC的長為（）

OA.1B.2C.2D.3

ABAE解析：由對矩形的折疊過程可知，矩形ABCD是一

個特殊的矩形，否則折疊后難以得到菱形，據(jù)此，矩形的對角線等于邊BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由題意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

CBAC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故應選D.

點評：有關特殊四邊形的折疊問題歷來是中考命題的一個熱點，求解時只要依據(jù)折疊的前后的圖形是全等形，再結合特殊四邊形的有關知識就可以解決問題.

誤區(qū)點撥

一、平行四邊形的性質用錯

12180例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.

0003180；②20；

其中一定正確的是（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

錯解：選B、C、D.

剖析：平行四邊形的兩組對邊分別平行，對角相等的性質，同時考查了平行線的，因為∠1與∠2互補，所以12180，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.

正解：選A.

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例2如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于O點，若AC=8，BD=6，則邊

DC長AB取值范圍為（）

A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14

OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14

AB錯解：選B.

剖析：本題錯誤原因在于沒有搞清這三條邊是否在同一個三角形中就用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來判定.在平行四邊形ABCD中，兩條對角線一半與平行四邊形一邊組成一個三角形然后再求取值范圍.

正解：選A.

二、運用判定方法不準確

例3已知，如圖3，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形AECF是平行四邊形.錯解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因為E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點，所以DF11CD,BEAB，即22DF=BE.

在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.

（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

剖析：本例第（1）問是正確的，錯在第（2）問選擇證平行四邊形的方法上，我們利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這個方法時，證明出現(xiàn)了錯誤.

正解：（1）同上.

（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四邊形AECF是平行四邊形.

例4如圖4，在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O.試說明：O是BD的中點.

錯解：在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，又因為AF=CE，所以O是BD的中點.

剖析：本例主要錯在誤認為O是平行四邊形ABCD對角線的交點上，但我們觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)EF與BD為四邊形FBED的對角線，只要得到

四邊形FBED是平行四邊形，就能根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質即可得到O是BD的中點.

正解：連接FB，DE，因為AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以FD∥BE．

又因為AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四邊形FBED是平行四邊形．所以BO＝OD，即O是BD的中點．

基礎盤點

一、基本概念及性質

1.平行四邊形是指.它的性質有.2.平行四邊形的判斷方法有：（1）；（2）（3）；（4）.

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3.矩形是指.它的性質有、.

4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性質有、.

6.菱形的判定方法是、.7.只有一組對邊平行的四邊形叫做.兩腰相等的梯形叫做，有一個角是直角的梯形叫做.

8.等腰梯形的性質有：等腰梯形的兩腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的兩條對角線.

9.等腰梯形的識別方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成圖形的梯形是等腰梯形.

10.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的.三角形的中位線平行于，并且等于第三邊的.

課堂檢測

1.對角線互相垂直平分且相等的四邊形一定是()A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形

2.菱形、矩形、正方形都具有的性質是()

A.對角線相等B.對角線互相垂直C.對角線互相平分D.對角線平分一組對角

3.如圖1，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OE∥DC交BC于點E，AD=6cm，則OE的長為（）

A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm

4.在平行四邊形ABCD中，已知對角線AC和BD相交于點O，△ABO的周長為15，AB=6，那么對角線AC＋BD=.

5.如圖2，O是正方形ABCD內(nèi)一點，如果△ABO是等邊三角形，則∠ODC．

6.如圖3，在矩形ABCD中，點E、F在BC邊上，且BE=CF，AF，DE交于點M．求證：AM=DM.

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跟蹤訓練

1.如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC=4，∠BAD=120°，則菱形ABCD的周長為（）

A．20B．18C．16D．152.如圖2，點P是矩形ABCD的邊AD的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）

61224A．B．C．D．不確定

5553.如圖3，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；...，根據(jù)以上操作，若要得到201*個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()

A.669B.670C.671D.672

4.如圖4，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角BAD80，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BEBO，則EOA=度．

5.如圖5，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，F(xiàn)M．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

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參考答案

基礎盤點：1.兩組對邊分別平行的四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分

2.（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）對角線相互平分的四邊形是平行四邊形（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

3.有一個角是直角的平行四邊形四個內(nèi)角都是直角、對角線相等4.有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形

5.一組鄰邊相等的平行四邊形菱形是四條邊都相等菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

6.四條邊相等的四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形

8.相等兩個角相等相等9.兩腰相等兩個角相等對角線軸對稱10.中位線、第三邊、一半

0

課堂檢測：1.A2.C3.C4.185.15

6.因為BE=CF，所以BF=CE．又因為矩形ABCD，所以∠B=∠C=90°，AB=CD，所以△ABF≌△DCE.所以∠MFE=∠MEF且AF=DE.所以∠MFE=∠MEF.又因為ME=MF，所以AM=DM.跟蹤訓練：1.C2.A3.B4.25

5.（1）因為四邊形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因為AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四邊形AEMF是菱形．證明略.

學習方法報社第6頁共6頁

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