四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)(2)

四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)（二）

教學(xué)目標(biāo)

1、利用基本圖形結(jié)構(gòu)使本章內(nèi)容系統(tǒng)化．

2、對比掌握各種特殊四邊形的概念，性質(zhì)和判定方法．3、總結(jié)常用添加輔助線的方法．

4、總結(jié)本章常用的數(shù)學(xué)思想方法，提高邏輯思維能力．教學(xué)重點和難點

重點是四邊形與特殊四邊形的從屬關(guān)系及它們的概念、性質(zhì)和判定方法．難點是提高數(shù)學(xué)思維能力．教學(xué)過程設(shè)計

一、按“特殊一般特殊”的認(rèn)識規(guī)律，理解本章基本圖形的形成、變化和發(fā)展過程

1、本章知識結(jié)構(gòu)圖，如圖4-107說明：

（1）圖4-107（a）中主要要求四邊形的內(nèi)角和及外角和；（2）圖4-107（b）中要求n邊形內(nèi)角和及外角和；

（3）圖4-107（c）中要求各種特殊四邊形的概念、性質(zhì)、判定和它們之間的關(guān)系；（4）圖4-107（d）中要求平行線等分線段定理的內(nèi)容，會任意等分一條已知線段；（5）圖4-107（e）中要求三角形、梯形中位線的概念、性質(zhì)、判定；

（6）握中心對稱及中心對稱圖形的概念、性質(zhì)，會判斷一個圖形是否為中心對稱圖形，會畫一個圖形關(guān)于某點的對稱圖形．

2.常用的例習(xí)題所對應(yīng)的基本圖形的性質(zhì)，有利于探求解題．如：（１）順次連結(jié)四邊形各邊中點得到的圖形，如圖4-95．

（２）過平行四邊形對角線交點的直線交對邊或?qū)�邊的延長線所得對應(yīng)線段相等（圖4-108）．

典型例題分析，總結(jié)解題方法和數(shù)學(xué)思想方法１、殊四邊形的關(guān)系的進(jìn)一步理解，滲透“集合”的思想．

例１．填出圖4-109中各圖形的名稱，利用“集合”的思想分清各種四邊形之間的關(guān)系，并做課本第190頁第2題，以鞏固各種四邊形的判定方法．

２、四邊形性質(zhì)及中位線知識的應(yīng)用，總結(jié)證明兩條線段相等和添加輔助線的方法及分析綜合法的使用．

例２：如圖4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC為邊作ACED，DC的延長線交EB于F．求證：EF=FB．分析：

（1）分解基本圖形：“ABCD及對角線”，三個梯形．

（2）應(yīng)用分析綜合法探求解題思路，添加輔助線，將EF，F(xiàn)B置于“證明兩線段相等”所對應(yīng)的基本圖形中．

（3）總結(jié)目前證明兩條線段相等的方法，添設(shè)相應(yīng)輔助線．在上一章總結(jié)方法的基礎(chǔ)上，新添的常用方法有：

①特殊四邊形的邊、對角線的性質(zhì)；②平行線間的距離相等；

③過三角形一邊中點與第二邊平行的直線必平分第三邊；④過梯形一腰中點與底邊平行的直線必平分另一腰．說明：本題添加輔助線的方法為四大類.

(1)構(gòu)造三角形中位線或梯形的中位線，如圖4-110(b)～(e)；(2)構(gòu)造全等三角形，如圖4-110(f)～(h)；(3)構(gòu)造等腰三角形，如圖4-110(i)；

(4)構(gòu)造以EB為對角線的平行四邊形，如圖4-110(j).3、總結(jié)梯形中常用輔助線，掌握化歸思想.

梯形中添加輔助線常�？梢詫⑻菪位瘹w為三角形、平行四邊形、矩形、直角梯形等.同時，還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-111(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-１１１(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到了一個三角形中.另外注意以下兩點：(1)從圖形變換及化歸角度理解梯形中常用輔助線的作法及作用.①平移：圖4-111(a)，(b)過上底一頂點作腰或一對角線的平行線；②旋轉(zhuǎn)：圖4-111(c)，(d)以一腰中點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△ADE和△EGC；③對稱：圖4-111(e)等腰梯形中作底邊高.(2)其他幾種作法.

①圖4-111(e)一般梯形中，過上底兩端點作下底的垂線；②在圖4-111(f)中，向上延長兩腰構(gòu)成三角形；③在圖4-111(g)中，作梯形的中位線.

例3已知：如圖4-112(a)，在梯形ABCD中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF是中位線，交BD于M，交AC于N.(1)求EF，MN的長及S梯形ABCD；

(2)觀察MN與梯形上、下底的關(guān)系，并思考結(jié)論能否推廣到一般梯形?

分析?本題可選用圖4-112(b)，(c)中輔助線的作法，解得EF=，MN=2，S梯形ABCD=12，MN=(DC-AB).此結(jié)論對一般梯形同樣適用.

4.利用變換的思想解題，培養(yǎng)方程、分類討論的思想，并會用類比聯(lián)想變更命題.例4矩形一邊長為8，另一邊長6，將矩形折疊，使兩相對頂點重合.求折痕長.分析：

(1)用軸對稱的性質(zhì)理解折疊問題的基本關(guān)系.認(rèn)清對應(yīng)元素的位置、數(shù)量關(guān)系，此題中折痕應(yīng)為矩形ABCD的對角線AC的中垂線EF(如圖4-113).

(2)利用方程的思想解決問題.設(shè)CE=x,可證折痕EF長等于2OE，先由AE=EC，及勾股定理求出CE=，則EF=2OE=

(3)學(xué)完相似形會有更簡捷的計算方法.例5已知：點M為正方形ABCD的邊AB所在直線上任意一點(點B除外)，MNDM與ㄥABC的鄰補角的平行線交于N.求證：DM=MN.分析：

(1)由于題目中沒有明確給出點M的位置，需對M點在直線AB上的位置進(jìn)行分類討論.①點M在線段AB內(nèi)，如圖4-114(a)；②點M在線段AB的延長線上，如圖4-114(b)；③點M在線段BA的延長線上，如圖4-114(c)；④點M與A點重合，如圖4-114(d).

(2)證明時，結(jié)合旋轉(zhuǎn)及對稱變換的思想添加輔助線，構(gòu)造DM，MN所在的兩個全等三角形.如圖4-114(a)中，將△MBN沿MD方向平移到M與D重合，再將平移后的三角形繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90°，B點落在邊DA上P點處，使DP=MB，因此，如下添加輔助線：在AD上取一點P，使DP=BM，連接PM，證明△DPM△MBN.(3)類比聯(lián)想，此題的結(jié)論對等邊三角形是否成立?

M為等邊三角形ABC的邊BC所在直線上任意一點(C點除外)，作ㄥAMN=60°，射線MN與ㄥACB的鄰補角的平分線交于N.求證：AM=MN.(如圖4-115)5.利用運動的思維方法將問題推廣.例6(1)已知：如圖4-116(a)，從

ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線l作垂

線AA′，BB′，CC′DD′，垂足分別為A′，B′C′，D′，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.(2)將直線l平移運動，會出現(xiàn)幾種不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的數(shù)量關(guān)系會怎樣變化?并進(jìn)行證明.分析：

(1)分解基本圖形為平行四邊形和直角梯形.從結(jié)論考慮，從形式上聯(lián)想到梯形中位線定理，連結(jié)AC，BD交于O，并作OO′l′與O′.(2)總結(jié)證明線段和差、倍、分關(guān)系的常用方法.

(3)直線l向上平移運動，與ABCD的位置關(guān)系還會出現(xiàn)兩種情況，如圖4-116(b)，(c).(4)對于推廣后的兩種情況，可通過添加輔助線化歸為利用圖4-116(a)中結(jié)果，也可類比原題(a)中的方法，再次證明：

圖4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；圖4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、師生共同小結(jié)1.基本方法.

(1)利用基本圖形結(jié)構(gòu)使知識系統(tǒng)化；

(2)證明兩條線段相等及和差關(guān)系的方法，也可類比總結(jié)證明兩角相等，角的和差、倍、分問題，直線垂直、平行關(guān)系的方法；(3)利用變換思想添加輔助線的方法；(4)探求解題思路時的分析、綜合法.2.基本思想及觀點：

(1)“特殊一般特殊”認(rèn)識事物的方法；(2)集合、方程、分類討論及化歸的思想；(3)用類比、運動的思維方法推廣命題.四、作業(yè)

從課本第190頁復(fù)習(xí)題四中選取.補充題：

1、已知：如圖4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分線交對邊于E，交斜邊上的高AD于G，過G作FGCB交AB于F.求證：AE=BF.

2、如圖4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F(xiàn)和G分別為OB，CD，OA中點，ㄥAOD=60°.求證：△EFG是等邊三角形.

3、已知：如圖4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分別為CD，AB點.求證：MN=12(AB-CD).

4、已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分線都與BC相交，且兩交點把BC三等分.若梯形周長為57cm.求梯形中位線長。5、(1)如圖4-120，P為正方形，ABCD內(nèi)一點，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB的度數(shù)；(答：135°)(2)已知：如圖4-121正方形ABCD內(nèi)點E到A，B，C三點的距離之和的最小值為.求此正方形的邊長；(答：2)

(提示：(1)將△APB繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△CQB，將分散的三條線段PA，PB，PC集中到一起，連結(jié)PQ，在△PBQ和△PQC中計算角度.(2)如圖4-121，用旋轉(zhuǎn)的方法，把△ABE繞B點旋轉(zhuǎn)60°，得到△FBG，可證△BEG為等邊三角形.并將EA+EB+EC轉(zhuǎn)化為FG+GE+EC，從而找到最小值為FC的長，利用列方程的方法求得邊長為2.)

6、如圖4-122，ABCD是矩形紙片，E為AB上一點，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設(shè)這個點為F.問AB，BC的長各是多少?(答：2430)。

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第十九章四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)盤點

1.平行四邊形是指.它的性質(zhì)有.2.平行四邊形的判斷方法有：（1）；（2）（3）；（4）.

3.矩形是指.它的性質(zhì)有、.

4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性質(zhì)有、.

6.菱形的判定方法是、.7.只有一組對邊平行的四邊形叫做.兩腰相等的梯形叫做，有一個角是直角的梯形叫做.

8.等腰梯形的性質(zhì)有：等腰梯形的兩腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的兩條對角線.

9.等腰梯形的識別方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成圖形的梯形是等腰梯形.

10.連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的.三角形的中位線平行于，并且等于第三邊的.

考點呈現(xiàn)

考點一求度數(shù)

例1如圖1，在□ABCD中，CE⊥AB，E為垂足．如果∠A=125°，則∠BCE=（）

0000

A.55B.35C.30D.25

解析：本題只要求出∠B的度數(shù)，就可以得到∠BCE的度數(shù)，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.進(jìn)而得∠BCE=35°.故選B.

點評：本例也可以利用對邊平行、對角相等來求．考點二平行四邊形的性質(zhì)

例2如圖2，在周長為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于點O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAED解析：本題要求△ABE的周長，就是求AB+BE+EA的值，而題目所給的條件是□ABCD的AC，BD相交于點O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中點，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分線，則有BE=DE，

CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故選D．

2點評：本例利用平行四邊形及線段垂直平分線的性質(zhì)把所要求的三角形的周長轉(zhuǎn)化為平行四邊形兩鄰邊的和，使問題得到解決.

考點三正方形的性質(zhì)

例3（1）如圖3，在正方形ABCD中,點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點O，

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∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.

(2)如圖4，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

(3)已知點E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖5，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；

②如圖6，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示).圖3圖4

圖51）要證BE=CF，發(fā)現(xiàn)它們分別在△ABE和△BCF圖中，由已知條件可以證出6解析：（

△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出輔助線，構(gòu)造成（1）的形式；而（3）則是在前兩問的基礎(chǔ)對規(guī)律的總結(jié)，發(fā)現(xiàn)在正方形內(nèi)互相垂直的兩條線段相等.N

(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.

因為∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，

M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．

R(2)如圖7,過點A作AM//GH交BC于M，過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點R，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，所以

圖7

EF=BN,GH=AM，因為∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．

(3)①8．②4n．

點評：這是一道猜想題，由特殊的圖形得到結(jié)論，進(jìn)一步推廣到在其它情況下也成立，這是今后中考常見的一個題型，需要我們認(rèn)真觀察、計算、猜想、推廣應(yīng)用.

考點四四邊形的折疊

CFDD例4將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，

得到菱形AECF.若AB=3，則BC的長為（）

OA.1B.2C.2D.3

ABAE解析：由對矩形的折疊過程可知，矩形ABCD是一

個特殊的矩形，否則折疊后難以得到菱形，據(jù)此，矩形的對角線等于邊BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由題意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

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AC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故應(yīng)選D.

點評：有關(guān)特殊四邊形的折疊問題歷來是中考命題的一個熱點，求解時只要依據(jù)折疊的前后的圖形是全等形，再結(jié)合特殊四邊形的有關(guān)知識就可以解決問題.

誤區(qū)點撥

一、平行四邊形的性質(zhì)用錯

12180例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.

0003180；②20；

其中一定正確的是（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

錯解：選B、C、D.

剖析：平行四邊形的兩組對邊分別平行，對角相等的性質(zhì)，同時考查了平行線的，因為∠1與∠2互補，所以12180，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.

正解：選A.

例2如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于O點，若AC=8，BD=6，則邊

DC長AB取值范圍為（）

A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14

OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14

AB錯解：選B.

剖析：本題錯誤原因在于沒有搞清這三條邊是否在同一個三角形中就用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來判定.在平行四邊形ABCD中，兩條對角線一半與平行四邊形一邊組成一個三角形然后再求取值范圍.

正解：選A.

二、運用判定方法不準(zhǔn)確

例3已知，如圖3，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形AECF是平行四邊形.錯解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因為E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點，所以DF00011CD,BEAB，即22DF=BE.

在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.

（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

剖析：本例第（1）問是正確的，錯在第（2）問選擇證平行四邊形的方法上，我們利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這個方法時，證明出現(xiàn)了錯誤.

正解：（1）同上.

（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四邊形AECF

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是平行四邊形.

例4如圖4，在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O.試說明：O是BD的中點.

錯解：在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，又因為AF=CE，所以O(shè)是BD的中點.

剖析：本例主要錯在誤認(rèn)為O是平行四邊形ABCD對角線的交點上，但我們觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)EF與BD為四邊形FBED的對角線，只要得到

四邊形FBED是平行四邊形，就能根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到O是BD的中點.

正解：連接FB，DE，因為AB=DC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以FD∥BE．

又因為AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四邊形FBED是平行四邊形．所以BO＝OD，即O是BD的中點．

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC=4，∠BAD=120°，則菱形ABCD的周長為（）

A．20B．18C．16D．152.如圖2，點P是矩形ABCD的邊AD的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）

12624A．B．C．D．不確定

5553.如圖3，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；...，根據(jù)以上操作，若要得到201*個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()

A.669B.670C.671D.672

4.如圖4，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角BAD80，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BEBO，則EOA=度．

5.如圖5，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．

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（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，F(xiàn)M．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

參考答案

基礎(chǔ)盤點：1.兩組對邊分別平行的四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分

2.（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（2）對角線相互平分的四邊形是平行四邊形（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

3.有一個角是直角的平行四邊形四個內(nèi)角都是直角、對角線相等4.有三個角是直角的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形

5.一組鄰邊相等的平行四邊形菱形是四條邊都相等菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

6.四條邊相等的四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形

8.相等兩個角相等相等9.兩腰相等兩個角相等對角線軸對稱10.中位線、第三邊、一半

跟蹤訓(xùn)練：1.C2.A3.B4.25

5.（1）因為四邊形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因為AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四邊形AEMF是菱形．證明略.

學(xué)習(xí)方法報社第5頁共5頁

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