圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一．圓的定義

1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．

2．圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形．

3．確定圓的條件：⑴圓心；⑵半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大�。�

二．同圓、同心圓、等圓

1．圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2．圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3．半徑相等的圓叫做等圓．

三．弦和弧

1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，直徑等于半徑的2倍．

AB，讀作弧AB．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱�。�以A、B為端點(diǎn)的弧記作在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧．

3．圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于

半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣�。�4．從圓心到弦的距離叫做弦心距．

5．由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．

四．與圓有關(guān)的角及相關(guān)定理

1．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為360等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的弧．圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．2．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓

心角的一半．

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等．推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）3．頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊與圓相交的角叫圓內(nèi)角．

圓內(nèi)角定理：圓內(nèi)角的度數(shù)等于圓內(nèi)角所對(duì)的兩條弧的度數(shù)和的一半．4．頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫圓外角．

圓外角定理：圓外角的度數(shù)等于圓外角所對(duì)的長(zhǎng)弧的度數(shù)與短弧的度數(shù)的差的一半．5．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角．

6．如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

7．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組

量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．五．垂徑定理

1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；2．其它正確結(jié)論：

⑴弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�

⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條�。�⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等．3．知二推三：

⑴直徑或半徑；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣�。虎善椒謨�(yōu)�。�

以上五個(gè)條件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸時(shí)，要注意平分的弦非直徑．4．常見(jiàn)輔助線做法：

⑴過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造RT△，用勾股，求長(zhǎng)度；⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．

相關(guān)題目：

1．平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓上的最大距離是6，最小距離是2，求該圓的半徑

CD6，則CD是兩條平行弦，且AB8，2．（08郴州）已知在⊙O中，半徑r5，AB，弦AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．解：2，52，72．

六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置有三種：

⑴點(diǎn)在圓外dr；⑵點(diǎn)在圓上dr；⑶點(diǎn)在圓內(nèi)dr.如下表所示：位置關(guān)系rO圖形P定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓的外部dr點(diǎn)P在⊙O的外部.rOP點(diǎn)在圓周上dr點(diǎn)P在⊙O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)rOP點(diǎn)在圓的內(nèi)部dr點(diǎn)P在⊙O的內(nèi)部.

2．過(guò)已知點(diǎn)作圓

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)A的圓，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．

⑵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點(diǎn)O作為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)．

⑶過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；若A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過(guò)nn≥4個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作0個(gè)或1個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心．3．定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．

注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說(shuō)，在同一直線上的三點(diǎn)不

能作圓；

⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．

4．三角形的外接圓

⑴經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.

⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)

處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

AAABOCBOBCOC圖1圖2圖3

五．直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置圖形定義性質(zhì)及判定關(guān)系相離rdOl直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)dr直線l與⊙O相離相切rdOldr直線l與⊙O相切相交rdOl直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線dr直線l與⊙O相交

從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：

直線和圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱直線名稱相交相切2dr1dr相離0dr交點(diǎn)割線切點(diǎn)切線

四．切線的性質(zhì)及判定1.切線的性質(zhì)：

定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．

推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．2.切線的判定

定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；

定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3.切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理：

⑴在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．

⑵從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．

五．三角形內(nèi)切圓1.定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，

這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．

2.多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，該多邊形叫做圓的外

切多邊形．

六．圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定

⊙O2的半徑分別為R、r（其中Rr）設(shè)⊙O1、，兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系外離外切相交兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．0dRr兩圓圖形定義兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．性質(zhì)及判定dRr兩圓外離dRr兩圓外切兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．RrdRr兩圓相交內(nèi)切dRr兩圓內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．

七．正多邊形與圓

1.正多邊形的定義：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．2.正多邊形的相關(guān)概念：

⑴正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．⑵正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

⑶正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．⑷正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的性質(zhì)：

⑴正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形；

⑵正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，正n邊形共有n條通過(guò)正n邊形中心的對(duì)稱軸；

⑶偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，其中心就是對(duì)稱中心．

八、圓中計(jì)算的相關(guān)公式

設(shè)⊙O的半徑為R，n圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，

nπR1.弧長(zhǎng)公式：l

180n12.扇形面積公式：S扇形πR2lR

36023.圓柱體表面積公式：S2πR22πRh

4.圓錐體表面積公式：SπR2πRl（l為母線）常見(jiàn)組合圖形的周長(zhǎng)、面積的幾種常見(jiàn)方法：

①公式法；②割補(bǔ)法；③拼湊法；④等積變換法

擴(kuò)展閱讀：初中圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)加兩套經(jīng)典試題(絕對(duì)超值)

圓的總結(jié)

集合：

圓：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；

圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

軌跡：

1、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是：以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:

點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)A在圓外

直線與圓的位置關(guān)系:

直線與圓相離d>r無(wú)交點(diǎn)直線與圓相切d=r有一個(gè)交點(diǎn)

直線與圓相交dR+r外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)d=R+r相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)R-r垂徑定理:

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條��；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②AB⊥CD③CE=DE④BCBD⑤AC推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD

COBCBAADDOEDA

圓心角定理

EFAC

圓周角定理

BOD圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論也即：①∠AOB=∠DOE②AB=DE③OC=OF④AEDBC圓周角定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所對(duì)的圓心角和圓周角BOA∴∠AOB=2∠ACB圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對(duì)的圓周角

∴∠C=∠D

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直徑

推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

BDCBOACOACBOA注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相

C

OB等。

即：∵M(jìn)N是切線，AB是弦∴∠BAM=∠BCA

圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在⊙O中，∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C

切線的性質(zhì)與判定定理（1）判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)N⊥OA且MN過(guò)半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

MNAMCDBAEOAN即：過(guò)圓心過(guò)切點(diǎn)垂直切線中知道其中兩個(gè)條件推出最后一個(gè)條件∵M(jìn)N是切線∴MN⊥OA

切線長(zhǎng)定理:

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)

PB相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PA=PB

PO平分∠BPA

圓內(nèi)相交弦定理及其推論：

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P∴PAPB=PCPA

OACBOEDA

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵直徑AB⊥CD

∴CE2DE2EAEB（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PA2PCPB

（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）即：在⊙O中，∵PB、PE是割線

∴PCPBPDPE

圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB

兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：

（1）公切線長(zhǎng)：在Rt△O1O2C中，

22AB2CO2O1O2CO21

（2）外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和

BOPCADADPCOBEAO1BO2圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt△BOD中進(jìn)行，OD:BD:OB=1:

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt△OAE中進(jìn)行，OE:AE:OA=1:1:2

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt△OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA=COBBOC3:21:3:2OADAAEDBA

弧長(zhǎng)、扇形面積公式（1）弧長(zhǎng)公式：

lnR1802OSlnRS（2）扇形面積公式：

36012lRB總結(jié)歸納：《圓》的知識(shí)考點(diǎn)

圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的線、角、周長(zhǎng)、面積等知識(shí)。包括性質(zhì)定理與判定定理及公式。．．．．．．．．．．一、圓的有關(guān)概念1、圓。動(dòng)靜（集合）→封閉曲線圍成的圖形

2、弦、直徑、切線�！�直線3、弧、半圓�！�曲線4、圓心角、圓周角。

5、三角形的外接圓、外心�！�用到：線段的垂直平分線及性質(zhì)6、三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心�！�用到：角的平分線及性質(zhì)二、圓的有關(guān)性質(zhì)（涉及線段相等、角相等，求線、角）1、圓的對(duì)稱性。→軸對(duì)稱中心對(duì)稱

2、垂徑定理及其推論。

3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理

4、圓周角定理及推論。→同圓、等圓，同弧、等弧，圓周角5、切線的性質(zhì)定理。6、切線長(zhǎng)定理。三、判定定理

切線的判定→兩種思路：①連半徑，證垂直；②作垂直，證半徑四、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)

數(shù)量關(guān)系d>rd=rd2、直線與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系相離相切相交3、圓與圓的位置關(guān)系：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

五、正多邊形和圓1、有關(guān)概念

正多邊形的中心、半徑、中心角及其度數(shù)、邊心距

2、方法思路：構(gòu)造等腰（等邊）三角形、直角三角形，在三角形中求線、角、．．．．．．面積。

六、圓的有關(guān)線的長(zhǎng)和面積。1、圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)C=2r,l=

nr180數(shù)量關(guān)系d>rd=rdR+rd=R+rR-r與圓有關(guān)的計(jì)算

一、周長(zhǎng)：設(shè)圓的周長(zhǎng)為C，半徑為r,扇形的弧長(zhǎng)為l,扇形的圓心角為n.

nr①圓的周長(zhǎng)：C＝２πR；②扇形的弧長(zhǎng)：l。

180例題1．(05崇文練習(xí)一）某小區(qū)建有如圖所示的綠地，圖中4個(gè)半圓，鄰近的兩個(gè)半圓相切。兩位老人同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由A處到B處散步，甲老人沿

ACB的線路行走，則下列結(jié)論正ADA1、A1EA2、A2FB的線路行走，乙老人沿確的是()

（A）甲老人先到達(dá)B處（B）乙老人先到達(dá)B處（C）甲、乙兩老人同時(shí)到達(dá)B處（D）無(wú)法確定

D、D…的E、EF例題2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做正三角形的“漸開(kāi)線”，其中C圓心依次按A、B、C循環(huán)，將它們依次平滑相連接。如果AB=1，試求曲線CDEF的長(zhǎng)。

例題3．（06蕪湖）已知如圖，線段AB∥CD，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半徑為10cm,從A到D的表面很粗糙，求⊙O從A滾動(dòng)到D，圓心O所經(jīng)過(guò)的距離。

例題4．如圖，一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)和與它的一邊相外切的圓的周長(zhǎng)相等，當(dāng)這個(gè)圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無(wú)滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)直至回到原出發(fā)位置時(shí)，則這個(gè)圓共轉(zhuǎn)了（）圈。A4B3C5D3.56.例題5．(08大興二模)如圖，一個(gè)人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動(dòng)板子帶動(dòng)圓柱向前滾動(dòng)，假設(shè)滾動(dòng)時(shí)圓柱與地面無(wú)滑動(dòng)，板子與圓柱也沒(méi)有滑動(dòng)．已知板子上的點(diǎn)B（直線與圓柱的橫截面的切點(diǎn)）與手握板子處的點(diǎn)C間的距離BC的長(zhǎng)為L(zhǎng)m，當(dāng)手握板子處的點(diǎn)C隨著圓柱的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)到板子與圓柱橫截面的切點(diǎn)時(shí)，人前進(jìn)了_________m．

例題6．(08房山二模)如圖，∠ACB＝60，半徑為2的⊙0切BC于點(diǎn)C，若將⊙O在CB上向右滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)到⊙O與CA也相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的水平距離為.

二、面積：設(shè)圓的面積為S，半徑為r,扇形的面積為S扇形，弧長(zhǎng)為l.①圓的面積：Sr②扇形的面積：S扇形③弓形面積：S弓形S扇形S

例題1．（05豐臺(tái)練習(xí)二）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，如果∠A＝120°，CD＝2，則扇形OBAC的面積是____________。

例題2．（江西省）如圖，⊙A、⊙B、⊙C兩不相交，且半徑半徑都是0.5cm.圖中的三個(gè)扇形（即三個(gè)陰影部分）的面積之和為（）A

2nr236012lr

12cm2B

8cm2C

6cm2D

4cm2

例題3．(08大興)北京市一居民小區(qū)為了迎接201*年奧運(yùn)會(huì)，計(jì)劃將小區(qū)內(nèi)的一塊平行四邊形ABCD場(chǎng)地進(jìn)行綠化，如圖陰影部分為綠化地，以A、B、C、D為圓心且半徑均為3m的四個(gè)扇形的半徑等于圖中⊙O的直徑，已測(cè)得

AB6m，則綠化地的面積為()mA.18πB.36πC.

2454πD.

92π

例題4．如圖，⊙O的半徑為20，B、C為半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，A為半圓的直徑的一個(gè)端點(diǎn)，求陰影部分的面積。

例題5．(08房山)如圖1是一種邊長(zhǎng)為60cm的正方形地磚圖案，其圖案設(shè)計(jì)是：①三等分AD（AB=BC=CD）②以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于B、交AG于E；③再分別以B、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于C、交AG于F兩弧交于H；④用同樣的方法作出右上角的三段�。畧D2是用圖1所示的四塊地磚鋪在一起拼成的大地磚，則圖2中的陰影部分的面積是_______cm2（結(jié)果保留）．

例題6.(08西城)如圖,在RtABC中,BAC90,AB=AC=2,若以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D,則陰影部分的面積是.

例題7.(08朝陽(yáng))已知：如圖，三個(gè)半徑均為1m的鐵管疊放在一起，兩兩相外切，切點(diǎn)分別為C、D、E，直線MN（地面）分別與⊙O2、⊙O3相切于點(diǎn)A、B．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）請(qǐng)你直接寫出圖中最上面的鐵管（⊙O1）的最低點(diǎn)P到地面MN的距離是______________m．

例題8．(08海淀)如圖，一種底面直徑為8厘米，高15厘米的茶葉罐，現(xiàn)要設(shè)計(jì)一種可以放三罐的包裝盒，請(qǐng)你估算包裝用的材料為多少（邊縫忽略不計(jì)）。

BACD三、側(cè)面展開(kāi)圖：①圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是形,它的長(zhǎng)是底面的,高是這個(gè)圓柱的；②圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是形，它的半徑是這個(gè)圓錐的，它的弧長(zhǎng)是這個(gè)圓錐的底面的。

例題1．(05豐臺(tái))圓柱的高為6cm，它的底面半徑為4cm，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()

A.48cm

2B.24cmC.48cm

22D.24cm

2例題2．（05豐臺(tái)）如果圓錐的底面半徑為4cm，高為3cm，那么它的側(cè)面積是()A.15cmB.20cmC.24cmD.40cm

例題3．(05海淀）如圖圓錐兩條母線的夾角為120，高為12cm，則圓錐側(cè)面積為_(kāi)_____，底面積為_(kāi)_____。例題4．（05朝陽(yáng)）如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是（）A.10cmB.10cm

222222C.20cm

2D.20cm

2例題5.如果一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,它的邊長(zhǎng)為4cm,那么它的全面積是()A.8πcm2B.10πcm2C.12πcm2D.9πcm2

四、正多邊形計(jì)算的解題思路：等腰三角形直角三角形。正多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化連OAB作垂線OD可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解。

例題1．（05朝陽(yáng)）正n邊形的一個(gè)內(nèi)角是135，則邊數(shù)n是（）A.4

B.6

C.8

D.10

例題2．如圖，要把邊長(zhǎng)為6的正三角形紙板剪去三個(gè)三角形，得到正六邊形，它的邊

長(zhǎng)為_(kāi)_________。

例題3．如圖扇形的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形，點(diǎn)C、D、E分別在OA、OB、ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F。若正方形的邊長(zhǎng)AB上，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥為1，則陰影部分的面積為_(kāi)_____。（福建福州）

圓

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有三種：①點(diǎn)在圓外，②點(diǎn)在圓上，③點(diǎn)在圓內(nèi)；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：①d>r，②d=r，③d

2.直線與圓的位置關(guān)系共有三種：①相交，②相切，③相離；對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：①dr.3.圓與圓的位置關(guān)系共有五種：①內(nèi)含，②相內(nèi)切，③相交，④相外切，⑤外離；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數(shù)量關(guān)系分別為：

①dR+r.4.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.

5.從圓外一點(diǎn)可以向圓引2條切線，切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)與圓心之間的連線平分這兩條切線的夾角。

與圓有關(guān)的計(jì)算

1.圓的周長(zhǎng)為2πr，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為180，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)

nrnr為180，弧長(zhǎng)公式為l180n為圓心角的度數(shù)上為圓半徑).

2.圓的面積為πr，1°的圓心角所在的扇形面積為的扇形面積為S=360R=

n2r2

r2360，n°的圓心角所在

1rl2(n為圓心角的度數(shù),R為圓的半徑）.

3.圓柱的側(cè)面積公式：S=2rl（其中4.圓錐的側(cè)面積公式：S=

（其中

為底面圓的半徑，為圓柱的高.）為底面的半徑，為母線的長(zhǎng).）

圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積

A組

一、選擇題（每小題3分，共45分）

1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點(diǎn)C和⊙A的位置關(guān)系是（）。

A．C在⊙A上Ｂ．C在⊙A外

C．C在⊙A內(nèi)Ｄ．C在⊙A位置不能確定。2．一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm,則圓的半徑為（）。A．16cm或6cmＢ．3cm或8cmC．3cmＤ．8cm3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對(duì)的圓周角是（）。

A．40°Ｂ．140°或40°C．20°Ｄ．20°或160°4．O是△ABC的內(nèi)心，∠BOC為130°，則∠A的度數(shù)為（）。

A．130°Ｂ．60°C．70°Ｄ．80°

5．如圖1，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，

則∠DFE的度數(shù)是（）。A．55°Ｂ．60°C．65°Ｄ．70°

6．如圖2，邊長(zhǎng)為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹(shù)，且AB=BC=CD=3米．現(xiàn)用長(zhǎng)4米的繩子將一頭羊拴在其

中的一棵樹(shù)上．為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在（）。A．A處B．B處C．C處D．D處

圖1圖2

7．已知兩圓的半徑分別是2和4，圓心距是3，那么這兩圓的位置是（）。A．內(nèi)含Ｂ．內(nèi)切C．相交Ｄ．外切8．已知半徑為R和r的兩個(gè)圓相外切。則它的外公切線長(zhǎng)為（）。

A．R＋rＢ．R2+r2C．R+rＤ．2Rr9．已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積為（）。Ａ．10πB．12πＣ．15πＤ．20π10．如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍用兩個(gè)正方形和n個(gè)正三角形恰好可以進(jìn)行平面鑲嵌，則n的值是

（）。

A．3B．4C．5D．611．下列語(yǔ)句中不正確的有（）。

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等②平分弦的直徑垂直于弦

③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸

④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

A．3個(gè)Ｂ．2個(gè)12．先作半徑為

32C．1個(gè)Ｄ．4個(gè)

的第一個(gè)圓的外切正六邊形，接著作上述外切正六邊形的外接圓，再作

上述外接圓的外切正六邊形，，則按以上規(guī)律作出的第8個(gè)外切正六邊形的邊長(zhǎng)為（）。A．(233)Ｂ．(7233)C．(832)Ｄ．(732)

813．如圖3，ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O內(nèi)切于ABC，則陰影部分面積為()

A．12-πＢ．12-2πC．14-4πＤ．6-π

14．如圖4，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是（）。

4848A．4－πB．4－πC．8－πD．8－π

999915．如圖5，圓內(nèi)接四邊形ABCD的BA、CD的延長(zhǎng)線交于P，AC、BD交于E，則圖中相似三

角形有（）。

A．2對(duì)Ｂ．3對(duì)C．4對(duì)Ｄ．5對(duì)

圖3圖4圖5

二、填空題（每小題3分，共30分）

1．兩圓相切，圓心距為9cm，已知其中一圓半徑為5cm，另一圓半徑為_(kāi)____.

2．兩個(gè)同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6，則兩圓圍成的環(huán)形面積為_(kāi)________。3．邊長(zhǎng)為6的正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的周長(zhǎng)分別為_(kāi)________。

4．同圓的外切正六邊形與內(nèi)接正六邊形的面積之比為_(kāi)________。

5．矩形ABCD中，對(duì)角線AC＝4，∠ACB＝30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的表面積是_________。

6.扇形的圓心角度數(shù)60°，面積6π，則扇形的周長(zhǎng)為_(kāi)________。

7．圓的半徑為4cm，弓形弧的度數(shù)為60°，則弓形的面積為_(kāi)________。

8．在半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條平行弦，一條弦長(zhǎng)為6cm，另一條弦長(zhǎng)為8cm，則兩條平行弦

之間的距離為_(kāi)________。9．如圖6，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是過(guò)B點(diǎn)而垂直于OB的直線，則

∠ABM=________，∠CBN=________；

10．如圖7，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，將矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)A′B′C′D′

的位置，則在轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊CD掃過(guò)的(陰影部分)面積S=_________。

圖6圖7

三、解答下列各題（第9題11分，其余每小題8分，共75分）1．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PAB、PCD分別與⊙O相交于A、B、C、D。

(1)PO平分∠BPD；(2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF。

從中選出兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并加以證明。

BAPCEFOD2．如圖，⊙O1的圓心在⊙O的圓周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，連結(jié)CB，BD是⊙O的直徑，∠D＝40°求：∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度數(shù)。

3．已知：如圖20，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=43，以A為圓心，2為半徑作⊙A，試問(wèn)：直線BC與⊙A的關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論。

ABC

4．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，DP∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于P，求證：ADDC＝PABC。

PDCOAB

5．如圖ABC中∠A＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線。

6．如圖，已知扇形OACB中，∠AOB＝120°，弧AB長(zhǎng)為L(zhǎng)＝4π，⊙O′和弧AB、OA、OB分別相切于點(diǎn)C、D、E，求⊙O的周長(zhǎng)。

7．如圖，半徑為2的正三角形ABC的中心為O，過(guò)O與兩個(gè)頂點(diǎn)畫弧，求這三條弧所圍成的陰影部分的面積。

8．如圖，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，兩個(gè)外切的等圓⊙O1，⊙O2各與AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求兩圓的半徑。

9．如圖①、②、③中，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五

邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于P點(diǎn)。⑴求圖①中，∠APD的度數(shù)；

⑵圖②中，∠APD的度數(shù)為_(kāi)__________，圖③中，∠APD的度數(shù)為_(kāi)__________；⑶根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況．若能，寫出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

B組

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1．如圖，把一個(gè)量角器放置在∠BAC的上面，則∠BAC的度數(shù)是（）（A）30o．（B）60o．（C）15o．（D）20o．

BPE圖①AAMBPECD圖③MNADCBPE圖②DCyPOx

（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，實(shí)線部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池．若每條圓弧所在的圓都經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長(zhǎng)為（）（A）12m．（B）18m．（C）20m．（D）24m．

3．如圖，P(x，y)是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓周上的點(diǎn)，若x，y都是整數(shù)，則

這樣的點(diǎn)共有（）

（A）4．（B）8．（C）12．（D）16．

4．用一把帶有刻度尺的直角尺，（1）可以畫出兩條平行的直線a和b，如圖①；（2）可以

畫出∠AOB的平分線OP，如圖②；（3）可以檢驗(yàn)工件的凹面是否為半圓，如圖③；（4）

可以量出一個(gè)圓的半徑，如圖④．這四種說(shuō)法正確的有（）

圖①圖②圖③圖④

（A）4個(gè)．（B）3個(gè)．（C）2個(gè)．（D）1個(gè)．

5．如圖，這是中央電視臺(tái)“曲苑雜談”中的一幅圖案，它是一扇形，其中∠AOB為120o，

OC長(zhǎng)為8cm，CA長(zhǎng)為12cm，則陰影部分的面積為（）（A）64cm2．（B）112cm2．（C）114cm2．（D）152cm2．

（第5題）（第6題）（第7題）

6．如圖，小華從一個(gè)圓形場(chǎng)地的A點(diǎn)出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為的方向行走，走到

場(chǎng)地邊緣B后，再沿與半徑OB夾角為的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場(chǎng)地邊緣時(shí)處于弧AB上，此時(shí)∠AOE＝56o，則的度數(shù)是（）（A）52o．（B）60o．（C）72o．（D）76o．

7．小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來(lái)大小一樣的

圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃片應(yīng)該是（）（A）第①塊．（B）第②塊．（C）第③塊．（D）第④塊．

8．已知圓錐的底面半徑為1cm，母線長(zhǎng)為3cm，則其全面積為（）（A）．（B）3．（C）4．（D）7．二、填空題（每小題3分，共18分）9．某單位擬建的大門示意圖如圖所示，上部是一段直徑為10米的圓弧形，下部是矩形

ABCD，其中AB＝3.7米，BC＝6米，則弧AD的中點(diǎn)到BC的距離是____________米．

y3211123xO（第9題）（第10題）（第11題）

10．如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓兩

個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好為“2”和“8”（單位：cm），則該圓的半徑為_(kāi)____________cm．

11．如圖，∠1的正切值等于_____________．

12．一個(gè)小熊的頭像如圖所示．圖中反映出圓與圓的四種位置關(guān)系，但是其中有一種位置關(guān)

系沒(méi)有反映出來(lái)．請(qǐng)你寫出這種位置關(guān)系，它是____________．

（第12題）（第13題）（第14題）

13．如圖，U型池可以看作一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面

是半徑為4m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點(diǎn)E在CD上，CE＝2m，一滑板愛(ài)好者

從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為_(kāi)_____________m．（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）

14．三個(gè)直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體（下底面為圓面，單位：cm）如圖所示．則

三個(gè)幾何體的體積和為cm3．（計(jì)算結(jié)果保留）

三、解答題（每小題6分，共18分）

15．如圖，AB為⊙O直徑，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延長(zhǎng)線交BC于E，

若∠C=25°，求∠A的度數(shù)．

16．如圖，AB是OD的弦，半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F，且AE＝BF，請(qǐng)你找出線

段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

17．如圖，P為正比例函數(shù)y（x，y）．

（1）求⊙P與直線x2相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)直接寫出⊙P與直線x2相交、相離時(shí)x的取值范圍．

32x圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

四、解答題（每小題8分，共24分）

18．從衛(wèi)生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4cm×11cm，如圖甲．用尺量

出整卷衛(wèi)生紙的半徑（R）與紙筒內(nèi)芯的半徑（r），分別為5.8cm和2.3cm，如圖乙．那

么該兩層衛(wèi)生紙的厚度為多少cm？（π取3.14，結(jié)果精確到0.001cm）

圖①圖②

19．如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿圓周

逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A地立即停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如果∠POA＝90o，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝OA，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，判

斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

20．如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．

（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；

（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），試驗(yàn)證點(diǎn)D是否在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、

B、C的拋物線上；

（3）在（2）的條件下，求證直線CD是⊙M的切線．

五、解答題（每小題8分，共16分）

21．如圖，圖①是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲。鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí)，鐵環(huán)

鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖②．已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位

（每個(gè)單位為5cm），設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA＝，且sin0.6．

（1）求點(diǎn)M離地面AC的高度MB（單位：厘米）；

（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位，求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度（單

位：厘米）．

22．圖①是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB

＝6，AC＝3．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖②），然后點(diǎn)A在射線OX由點(diǎn)O開(kāi)始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在射線OY上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖③），當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束．

（1）試說(shuō)明在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，原點(diǎn)O始終在⊙G上；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是多少？

圖①圖②圖③

參考答案A組

一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、D

9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C

二、1、4cm或14cm；2、9π；3、23π，43π；4、4：3；

5、(2483)π；6、12+2π；7、（9、65°，50°；10、16πcm。三、

1、命題1，條件③④結(jié)論①②,命題2，條件②③結(jié)論①④.

證明：命題1∵OE⊥CD,OF⊥AB,OE=OF，∴AB=CD,PO平分∠BPD。

2、∠AO1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。

3、作AD⊥BC垂足為D,∵AB=AC，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.

∵BC=43,∴BD=

12∴⊙A與BC相切。

2

83π-43）cm2；8、7cm或1cm；

BC=23.可得AD=2.又∵⊙A半徑為2,

4、連接BD，證△PAD∽△DCB。5、連接OD、OE，證△OEA≌△OED。6、12π。

7、4π-63�！窘馕觥拷�:三條弧圍成的陰影部份構(gòu)成"三葉玫瑰",其總面積等于6個(gè)弓形的面

積之和.每個(gè)弓形的半徑等于△ABC外接園的半徑R=(2/sin60°)/2=2√3/3.每個(gè)弓形對(duì)應(yīng)的園心角θ=π/3.每個(gè)弓形的弦長(zhǎng)b=R=2√3/3.∴一個(gè)弓形的面積S=(1/2)R^2(θ-sinθ)=(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)]

=(2/3)(π/3-√3/2)

于是三葉玫瑰的總面積=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3.8、

。提示：將兩圓圓心與已知的點(diǎn)連接，用面積列方程求。79、（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°

∵BE=CD∴△ABE≌△BCD∴∠BAE=∠CBD

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

（2）90°，108°

（3）能．如圖，點(diǎn)E、D分別是正n邊形ABCM中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且

BE=CD，BD與AE交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為

B組

一、選擇題

1．C2．D3．C4．A5．B6．A7．B8．C二、填空題

9．4.710．511．三、解答題

15．∵AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，∴∠ABC=90°，∵∠C=25°，∴∠BOC=65o，

1∵∠A=∠BOD，∴∠A=32.5o．16．解：OE＝OF．證明：作OM⊥AM，垂足為M．根

2據(jù)垂徑定理得AM＝BM．∵AE＝BF，∴AM－AE＝BM－BF，即EM＝FM．∴OE＝

153OF．17．（1）當(dāng)⊙P與直線x2相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）或（1，）；（2）

22當(dāng)1x5時(shí)，⊙P與直線x2相交．當(dāng)x1或x5時(shí)，⊙P與直線x2相離．四、解答題

135(n2)180n。

12．相交13．2214．18．設(shè)該兩層衛(wèi)生紙的厚度為xm，則：1111.4x3005.822.3211，解得

x0.026，答：設(shè)兩層衛(wèi)生紙的厚度約為0.026cm．19．（1）3s；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，

∠POA＝60，∴OA＝AP＝AB，∴∠OPB＝90，∴BP與⊙O相切．20．（1）略；（2）63五、解答題y1x2oo

2（3）略．x4，點(diǎn)D不在拋物線上；

21．（1）過(guò)M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．易求得鐵環(huán)鉤離地面的

高度MB為1cm；（2）解Rt△FMN，結(jié)合勾股定理與三角函數(shù)可得，鐵環(huán)鉤的長(zhǎng)度FM為50/3cm．22．（1）連OG，OG＝AG＝BG，∴點(diǎn)O始終在⊙G上；（2）作CD⊥x軸，CE⊥y軸垂足分別為D，E，可得△CAD∽△CBE，得y33x，332（3）線段的兩個(gè)端點(diǎn)x6；

分別為C1（

332，

32），C2（33，3），當(dāng)OA0時(shí)，C1（

332，

32）；當(dāng)OA6時(shí)，

C3（

92，

332）；C1C2＝3，C2C3＝333，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程為6圓綜合復(fù)習(xí)測(cè)試題

一選擇題（每題3分，共30分）

1、如圖，弦AB的長(zhǎng)為6cm，圓心O到AB的距離為4cm，則O的半徑長(zhǎng)為（C）O中，A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2、如圖，點(diǎn)A，B，C都在O上，若∠C34，則∠AOB的度數(shù)為（）A．34

B．56

C．60

D．68

3、已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧⌒CD上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（）

A．45°B．60°C．75°D．90°

4、圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB24cm，CD10cm，則兩弦AB，CD的距離是（）Ａ．7cm

AＢ．17cmＣ．12cm

A

DOＤ．7cm或17cm

BOOCBBAPD

BCO

1題圖第

AC第2題圖

(第3題圖)第6題

5、⊙O的半徑是6，點(diǎn)O到直線a的距離為5，則直線a與⊙O的位置關(guān)系為（）．

A．相離

B．相切

C．相交

D．內(nèi)含

126、如圖，已知扇形OBC，OAD的半徑之間的關(guān)系是OB的（）Ａ．

12的長(zhǎng)是OA，則BCAD長(zhǎng)

倍Ｂ．2倍Ｃ．

14倍Ｄ．4倍

7、如圖，已知EF是O的直徑，把∠A為60的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在

直線EF上，斜邊AB與O交于點(diǎn)P，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合；將三角形ABC沿OE方向平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止．設(shè)∠POFx，則x的取值范圍是（）Ａ．60≤x≤120

Ｂ．30≤x≤60

Ｃ．30≤x≤90Ｄ．30≤x≤120

8、若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為()A.10cm

B.14.5cm

C.19.5cm

D.20cm

N是圓心角為90的弧，其大小尺寸9、如圖是一個(gè)零件示意圖，A、B、C處都是直角，MN的長(zhǎng)是（）如圖標(biāo)示．M．

（A）π（B）

32π（C）2π（D）4π

1310、如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)

圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為（）A．6cm

E

P（B）OA

AB．35cmC．8cm

3D．53cm

NFC7M3第7題圖

B二、填空題（每題3分，共30分）11、如圖，AB切⊙0于點(diǎn)B，AB=4cm，AO=6cm，則⊙O的半徑為cm．

12、如圖，點(diǎn)A，B是O上兩點(diǎn)，AB10，點(diǎn)P是O上的動(dòng)點(diǎn)（P與A，B不重合），連結(jié)AP，PB，過(guò)點(diǎn)O分別作OEAP于E，OFPB于F，則EF．13、已知，如圖：AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC

＝45。給出以下五個(gè)結(jié)論：①∠EBC＝22.5，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是。

第11題圖

AEPF第97題圖C第10題圖

00

OAB60cm108BO第12題圖

第13題圖

第16題圖

14、兩圓的半徑分別為3和5，當(dāng)這兩圓相交時(shí)，圓心距d的取值范圍是。15、已知一個(gè)圓錐體的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，則它的側(cè)面展開(kāi)圖面積是．（結(jié)

果保留）16、如圖所示為一彎形管道，其中心線是一段圓弧AB．已知半徑OA60cm，

∠AOB108，則管道的長(zhǎng)度（即（結(jié)果保留）AB的長(zhǎng)）為cm．

17、⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB=OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，以cm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為s時(shí)，BP與⊙O相切

18、已知O1、O2的圓心距O1O2=5，當(dāng)O1與O2相交時(shí)，則O1的半徑R=___▲___．（寫出一組滿足題意的R與r的值即可）O2的半徑r=___▲___．

19、如圖，在126的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

均為1個(gè)單位），A的半徑為1，B的半徑為2，要使A與靜止的B相切，那么A由圖示位置需向右平移個(gè)單位．20、如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為

12AB第19題

的半圓后得到圖形P2，然

后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圖形P3,P4,,Pn,，

記紙板Pn的面積為Sn，試計(jì)算求出S2；并猜想得到SnSn1S3；

n2。

（第20題）

三、解答題（每題10分，共60分）21、如圖，已知AB是O的直徑，AC是弦，CD切O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

∠ACD120，BD10．

CAD

（1）求證：CACD；（2）求O的半徑．

OB第21題圖

22、如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足為E．(1)求OE的長(zhǎng)．(2)求劣弧AC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1)．

第22題圖23、如圖，AB是O的切線，A為切點(diǎn)，AC是O的弦，過(guò)O作OHAC于點(diǎn)H．若

OH2，AB12，BO13．

B

求：（1）O的半徑；

（2）sin∠OAC的值；

（3）弦AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）．

COHA第23題圖

24、如圖是某城市一個(gè)主題雕塑的平面示意圖，它由置放于地面l上兩個(gè)半徑均為2米的半

圓與半徑為4米的⊙A構(gòu)成．點(diǎn)B、C分別是兩個(gè)半圓的圓心，⊙A分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E、F，BC長(zhǎng)為8米．求EF的長(zhǎng)．

AEFl第24題圖C25、如圖，A是半徑為12cm的O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2πcm/s的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A地立即停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果POA90，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ABOA，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，判斷直線BP與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

ＰＯＡＢ

第25題圖

26、如圖1，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，一個(gè)直徑與AD相等的圓與BC相切于點(diǎn)E、與AB相切于點(diǎn)F，連接EF.⑴判斷EF與AC的位置關(guān)系(不必說(shuō)明理由)；⑵如圖2，過(guò)E作BC的垂線，交圓于G，連接AG.判斷四邊形ADEG的形狀，并說(shuō)明理由；⑶求證：AC與GE的交點(diǎn)O為此圓的圓心.

圖1

第26題圖

圖參考答案

一、1、C；2、D；3、A；4、D；5、C；6、A；7、B；8、B；9、C；10、B；

二、11、25；12、5；13、①②④；14、2d8；15、8π；16、36π；17、1或5；

311115、要滿足Rr5Rr的正數(shù)R、r即可；19、2、4、6、8；20、,,83224n1

21、解：（1）連結(jié)OC．DC切O于點(diǎn)C，OCD90．又ACD120，

1ACOACDOCD1209030．OCOA，AACO30

ACOBD

21題答圖

COD60．D30，CADC．（2）sinDOCOCOBODOBBDOBBD解得OB10．即O的半徑為10．

，sinDsin3012，OBOB10112．

22、解：(1)∵OE⊥AC，垂足為E，.AE=EC，∵AO=B0，∴OE=(2)∠A=

12∠BDC=25°，在Rt△AOE中，sinA=OE/OA，∴弧AC的長(zhǎng)=

21302.5πBC=5/2，≈13．4．

180sin2523、解：（1）AB是O的切線，OAB90，

222AOOBAB，OA5．

（2）OH⊥AC，OHA90，sinOACOHOA25．

2222（3）OHAC，AHAOOH，AHCH，AH25421，

AH21，AC2AH221≈9.2．

24、解：∵⊙A分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E、F，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)圓的圓心，

∴AE＝AF＝4，BE＝CF＝2，AB＝AC＝6．則在△AEF和△ABC中，∠EAF＝∠BAC，

AEABAC63EFAEAE216故．則EF＝BC＝8．BCABAB3325、解：（1）當(dāng)∠POA90時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為O周長(zhǎng)的

AF42．∴△AEF∽△ABC．

PBO

14A

或

34．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為O周長(zhǎng)的解得t3；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為O周長(zhǎng)的

341434時(shí)，2t14212．

時(shí)，2t212．解得t9．

當(dāng)∠POA90時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s．

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，直線BP與O相切．理由如下：

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為4cm．連接OP，PA．O的周長(zhǎng)為24cm，

1AP的長(zhǎng)為O周長(zhǎng)的，∠POA60．

6OPOA，△OAP是等邊三角形．OPOAAP，∠OAP60，ABOA，APAB．

∠OAP∠APB∠B，∠APB∠B30．

∠OPB∠OPA∠APB90．OPBP．

直線BP與O相切．

26、解：⑴EF∥AC.

⑵四邊形ADEG為矩形.理由：∵EG⊥BC，E為切點(diǎn)，∴EG為直徑，∴EG=AD.又∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，即四邊形ADEG為矩形.⑶連接FG，由⑵可知EG為直徑，∴FG⊥EF，又由⑴可知，EF∥AC，∴AC⊥FG，又∵四邊形ADEG為矩形，∴EG⊥AG，則AG是已知圓的切線，而AB也是已知圓的切線，則AF=AG，∴AC是FG的垂直平分線，故AC必過(guò)圓心，

因此，圓心O就是AC與EG的交點(diǎn).說(shuō)明：也可據(jù)△AGO≌△AFO進(jìn)行說(shuō)理

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