第十四章一次函數(shù)小結(jié)

第十四章一次函數(shù)小結(jié)

昆明市實驗中學(xué)初二（５）班陳璇

一、函數(shù)的有關(guān)概念

（１）變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。

注意：變量和常量往往是相對而言的，在不同研究過程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。（２）函數(shù)與自變量

一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如ｘ和ｙ，對于ｘ的每一個值，ｙ都有唯一的值與之對應(yīng)，我們就說ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時也稱ｙ是ｘ的函數(shù)。

注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下三點：（１）只能有兩個變量。

（２）一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值變化而變化。

（３）對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對應(yīng)。二、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

（１）解析法：

兩個變量之間的關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個函數(shù)關(guān)系時，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數(shù)式放在右邊，其實質(zhì)是用ｘ的代數(shù)式表示ｙ。

注意：解析法簡單明了，能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個變化過程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀，且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來。

（２）列表法：

把自變量ｘ的一系列值和函數(shù)ｙ的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。

注意：列表法優(yōu)點是一目了然，使用方便，但其列出的對應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

（３）圖像法：

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

注意：圖像法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。

在解決問題時，我們常常綜合運用三種方法來表示函數(shù)。三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值

函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實際。下面給出一些簡單函數(shù)解析式中自變量范圍的確定方法。

（１）當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時，自變量取任意實數(shù)（即全體實數(shù)）。

（２）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時，自變量取值是使分母不為零的任意實數(shù)。

（３）當(dāng)函數(shù)的解析式是開平方的無理式時，自變量值是使被開放的式子為非負(fù)的實數(shù)。

（４）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時，自變量值取值是使底數(shù)不為零的實數(shù)。

對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個值，如當(dāng)ｘ＝ａ時，函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值，這個值就是當(dāng)ｘ＝ａ時的函數(shù)值。

注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實質(zhì)就是求關(guān)于自變量ｘ的代數(shù)式的值。若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實質(zhì)就是解關(guān)于自變量ｘ的方程。四、函數(shù)的圖像

（１）函數(shù)圖像的意義

一般來說，函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點組成。圖像上每一點的坐標(biāo)（ｘ，ｙ）代表了函數(shù)的一對對應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)ｘ表示自變量的某一個值，縱坐標(biāo)ｙ表示與它對應(yīng)的函數(shù)值。（２）函數(shù)圖像的畫法

在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點，那么所有這樣的點組成的圖形叫做這個函數(shù)的圖像。

知道了函數(shù)解析式要畫出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步：①列表：

取自變量的一些值，計算出對應(yīng)的函數(shù)值，由這一系列的對應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對。②描點：

在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)點。③連線：

用平滑的曲線依次把這些點連起來，即可得到這個函數(shù)的圖像。五、數(shù)學(xué)思想方法

（１）數(shù)形結(jié)合思想

本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來研究問題。數(shù)形結(jié)合，直觀形象，由數(shù)思形，由形思數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問題。

（２）函數(shù)思想

研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結(jié)果。將實際問題數(shù)學(xué)化，通過建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題。

（３）轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念

解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數(shù)，ｋ≠０，特別地，當(dāng)ｋ＝０時，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ（常數(shù)ｋ≠０）也叫做正比例函數(shù)。

注意：（１）如果一個函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數(shù)ｋ不等于０，而ｂ可以為任意實數(shù)。

（２）自變量ｘ的取值范圍是任意實數(shù)。

（３）ｋ≠０這個條件不可忽略。

（４）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系：

①正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

②一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當(dāng)ｂ＝０時，

ｙ是ｘ的正比例函數(shù)；當(dāng)ｂ≠０時ｙ不是ｘ的正比例函數(shù)。七、一次函數(shù)的圖像

（１）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線，通常也稱為直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點法畫出；另一方面，由于兩點確定一條直線，故畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個交點（０，ｂ）和（－，０）

（２）正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經(jīng)過原點（０，０）的一條直線，通常畫正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點（１，ｋ），然后過原點和這一點畫直線。八、對一次函數(shù)的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數(shù)ｋ、ｂ的理解

（１）直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；ｂ是直線與ｙ軸交點的縱坐標(biāo)，ｂ＞０時，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于負(fù)半軸上。

（２）兩直線ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關(guān)系。①當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２時，兩直線平行。②當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時，兩直線重合。

注意：（１）當(dāng)ｋ＞０時，直線必經(jīng)過一、三象限；ｋ＜０時，直線必經(jīng)過二、四象限。當(dāng)ｂ＞０時，直線與ｙ軸正半軸相交，故必過一、二象限；ｂ＝０時，直線過原點；ｂ＜０時，直線與ｙ軸負(fù)半軸相交，故直線過三、四象限。

（２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大而減小，只取決于ｋ的符號，與ｂ無關(guān)。九、一次函數(shù)解析式的確定

（１）根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式

①對于探索一系數(shù)、圖形個數(shù)等規(guī)律時，其關(guān)鍵是找出問題的兩個變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。②對于幾何圖形中的兩個量的關(guān)系，要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個變量的關(guān)系。

③對于實際問題中的兩個量之間的關(guān)系，要分析出各個量之間存在的數(shù)量關(guān)系，并能正確用含一個量的代數(shù)式表示另一個量，同時注意自變量的取值范圍。

（２）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式

先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，其一般步驟是：

①設(shè)一次函數(shù)解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。

②將函數(shù)圖像所經(jīng)過的任意兩點的坐標(biāo)帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。③解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。④確定函數(shù)解析式。注意：（１）在正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數(shù)）中，只有一個待定系數(shù)ｋ，確定正比例函數(shù)關(guān)系式只需一個條件。

（２）在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數(shù)，且ｋ≠０）中，有兩個待定系數(shù)ｋ和ｂ，因此確定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個條件。

十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關(guān)系（１）一次函數(shù)與一元一次方程

直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。

求直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－，－是直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標(biāo)。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對應(yīng)的一元一次方程的解。（２）一次函數(shù)與二元一次方程（組）

一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點的坐標(biāo)都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標(biāo)的點都在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。

兩條直線ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點的橫、縱坐標(biāo)就是方程組ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１

ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２

注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線平行，無交點，所以方程組無解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線重合，通常不研究此類情況。（３）二元一次方程組的圖像解法

畫出方程組對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點，這個交點的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

（４）一次函數(shù)與一元一次不等式

使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集。

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第十四章一次函數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

一、本章知識結(jié)構(gòu)圖

二、各個知識點突破

（一）1、當(dāng)x、y滿足什么條件時，y是x的函數(shù)。

答：判斷的標(biāo)準(zhǔn)：對于x取一個確定的值，y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)。

2、并能夠?qū)懗龊瘮?shù)的解析式，并判斷哪些是常量、變量、自變量、函數(shù)。

常量：始終不變的量。變量：數(shù)值發(fā)生變化的量。自變量：先變的那個量。函數(shù)：隨著自變量而發(fā)生變化的量。3、自變量的取值范圍。

答：三種情況：①一般情況下是全體實數(shù)。②有分母的，則分母不能為0。③開平方的，被開方數(shù)要≥0。練習(xí)：1、下列圖象中，表示y是x的函數(shù)圖象的是（）

2、設(shè)地面氣溫是20℃，如果每升高1千米，氣溫下降6℃，則氣溫T與高度h之間的函數(shù)關(guān)系式是。其中常量是，變量是，自變量是，是的函數(shù)。當(dāng)h=6時的函數(shù)值為。3、y=

1中，x的取值范圍是；y2x3中，x的取值范圍是。x2x中，x的取值范圍是；yx14、y2x1，x的取值范圍是。

（二）函數(shù)的表示方法有：列表法、解析式法、圖象法優(yōu)缺點：列表法：直觀準(zhǔn)確，但不完全。解析式法：準(zhǔn)確完全，但不直觀。

圖象法：直觀形象，但不夠準(zhǔn)確也不太完全。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。（掌握熟記，能夠隨手畫出圖象來）函數(shù)解析式圖象性質(zhì)①k>0時，圖象從左到右上升，經(jīng)過一、三象限，y隨著x的增大而增大。②k0時，圖象從左到右上升，y隨著x的增大而增大。②k0，圖象并于y軸正半軸；b0，b>0時，函數(shù)圖象過一、二、三象限k>0，b

3、下列函數(shù)當(dāng)中，①y2x1，②y2x1③，y2x1，④y2x1，⑤y11x1，⑥yx1，22y隨著x的增大而減小的有，交于y軸正半軸的有，圖象經(jīng)過一、二、四象限的有。

4、利用兩點法畫出下列圖象。

方法：正比例函數(shù)：確定兩點：原點（0,0）和（1,k），

一次函數(shù)：確定兩點：與y軸的交點即x=0，算出y的值（0,）、與x軸的交點即y=0，算出x的值（,0）。（1）y11x（2）y2x1（3）yx122

（四）能夠用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。

方法：①先設(shè)出相應(yīng)的解析式。如正比例函數(shù)（過原點的圖象）則設(shè)為y=kx,若只說是一條直線，則設(shè)為y=kx+b。②再從已知條件或圖象上確定兩個點的坐標(biāo)。（注：若是正比例函數(shù)，只要確定一個點的坐標(biāo)即可）

③把點的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)（作為x的值）、縱坐標(biāo)（作為y的值）代入解析式中，解出k、b的值。④k、b的值值代入原設(shè)的解析式中得出解析式。練習(xí)：1、直線過點（3,2）且與y軸的并點坐標(biāo)為（0,-2），求直線的解析式。

2、直線過原點，且與y軸交于點(0,3)，求直線的解析式。

（五）一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系。（1）一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把一元一次方程轉(zhuǎn)化為ax+b=0的形式。）

一元一次方程ax+b=0與求自變量x為何值時，一次函數(shù)y=ax+b的值為0實際上是同一個問題。表現(xiàn)在圖象上即直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標(biāo)即是方程ax+b=0的解。（2）一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把一元一次不等式轉(zhuǎn)化為ax+b＞0或ax+b＜0的形式。）

一元一次方程ax+b＞0或ax+b＜0可以看作是：當(dāng)一次函數(shù)y=ax+b的值大于0或小于0時，求自變量相應(yīng)的取值范圍。表現(xiàn)在圖象上：ax+b＞0即直線y=ax+b在x軸上方的圖象對應(yīng)的x的取值范圍。ax+b＜0即直線y=ax+b在x軸下方的圖象對應(yīng)的x的取值范圍。（3）二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把每一個一元一次方程轉(zhuǎn)化為y=ax+b的形式，即用含x的式子表示y）

二元一次方程組y1kx1b1可以轉(zhuǎn)化為：兩個一次函數(shù)在自變量取何值時，函數(shù)值相等。在圖象上表現(xiàn)為：

y2kx2b2求兩條直線交點坐標(biāo)的問題。

練習(xí)：利用函數(shù)圖象解下列方程、不等式和方程組。

xy3（1）3x2x2(2)5x33x5(3)

3xy5

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