第一篇：函數(shù)極限的證明

函數(shù)極限的證明

(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數(shù)極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.

例4

例5例6例7

第二篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,當(dāng)x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在n2，當(dāng)x>n2時，0<=f2(x)同理，存在ni，當(dāng)x>ni時，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};

那么當(dāng)x>n,有

(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m<=^(1/n)

第三篇：二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須(轉(zhuǎn)載需注明來源：m.seogis.com=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)|

證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟書上是這么說的，二元函數(shù)在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點。

4

f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在

而當(dāng)x->0,y->0時

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2

所以|f|<=|x|+|y|

所以顯然當(dāng)x->0,y->0時，f的極限就為0

這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的

正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了

就我這個我就線了好久了

5

(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數(shù)極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

= 2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.

例4

例5例6例7

第四篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此類推，改變數(shù)列下標可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

4

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第五篇：函數(shù)極限的定義證明

習(xí)題1?3

1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.

x??2x?12

1證明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.

證明 (1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.

證明 因為?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?

, 當(dāng)|x|?x時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.

x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?x?

?2

, 當(dāng)x?x時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.

?0??, 所以lim

x???

?0.

3. 當(dāng)x?2時,y?x2?4. 問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|<?時, |y?4|<0. 001？

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0. 0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0. 001.5

x2?1x?3

4. 當(dāng)x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問x等于多少, 使當(dāng)|x|>x時, |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5. 證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.

x|x|

6. 求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.

xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,

x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.

x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.

x?0

7. 證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于a, 則limf(x)?a.

x??

證明 因為limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,

x???

x???

?x1?0, 使當(dāng)x??x1時, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使當(dāng)x?x2時, 有|f(x)?a|?? .

取x?max{x1, x2}, 則當(dāng)|x|?x時, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.

x??

8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0<|x?x0|<? 時, 有

|f(x)?a|<? .

因此當(dāng)x0??<x<x0和x0<x<x0?? 時都有

|f(x)?a|<? .

這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于a .再證明充分性. 設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??1<x<x0時, 有| f(x)?a<? ;??2>0, 使當(dāng)x0<x<x0+?2時, 有| f(x)?a|<? .

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0<|x?x0|<? 時, 有x0??1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 從而有

| f(x)?a|<? ,

即f(x)?a(x?x0).

9. 試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.

解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時? |f(x)|?m?

證明 設(shè)f(x)?a(x??)? 則對于? ?1? ?x?0? 當(dāng)|x|?x時? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

這就是說存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?

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