第一篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、

試?yán)�用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此

1000次試驗中出現(xiàn)正面h的次數(shù)服從二項分布.

解:設(shè)x表示1000次試驗中出現(xiàn)正面h的次數(shù),則x是一個隨機(jī)變量,且

~xb(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npex,

250)

2

答題完畢，祝你開心!

1

1(

2

1

1000)1(=××==pnpdx,

而所求的概率為

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp

}100{<=exxp

975.0

100

1

2

=≥

dx

.

二、

切比雪夫(chebyshev)不等式

對于任一隨機(jī)變量x,若ex與dx均存在,則對任意ε>0,

恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2

切比雪夫不等式說明，dx越小，則p{|x-ex|>=ε}

越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是說，隨機(jī)變量x取值基本上集中在ex附近，這進(jìn)一步說明了方差的意義。

同時當(dāng)ex和dx已知時，切比雪夫不等式給出了概率p{|x-ex|>=ε}的一個上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量x的具體概率分布，而只與其方差dx和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過k倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/k^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數(shù)量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4

與平均相差3個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9

與平均相差4個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16

……

與平均相差k個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/k^2

舉例說，若一班有36個學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(=36*1/9)。

設(shè)(x,σ,μ)為一測度空間，f為定義在x上的廣義實值可測函數(shù)。對於任意實數(shù)t>0，

一般而言，若g是非負(fù)廣義實值可測函數(shù)，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法

設(shè)x為隨機(jī)變數(shù)，期望值為μ，方差為σ2。對于任何實數(shù)k>0，

改進(jìn)

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進(jìn)�？紤]下面例子：

這個分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1/k，μ=0。

當(dāng)只求其中一邊的值的時候，有cantelli不等式：

證明

定義，設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù)，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機(jī)變數(shù)y和正數(shù)a有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開始證明。

第二篇：切比雪夫不等式的證明(離散型隨機(jī)變量)

設(shè)隨機(jī)變量x有數(shù)學(xué)期望?及方差?，則對任何正數(shù)?，下列不等式成立 2

?2

p?x?e(x)????2 ?

證明：設(shè)x是離散型隨機(jī)變量，則事件x?e(x)??表示隨機(jī)變量x取得一切滿足不等式xi?e(x)??的可能值xi。設(shè)pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi

這里和式是對一切滿足不等式xi?e(x)??的xi求和。由于xi?e(x)??，即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。

2?xi?e(x)?又因為上面和式中的每一項都是正數(shù)，如果分別乘以?2，則和式的值將增大。

于是得到

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1

?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi

因為和式中的每一項都是非負(fù)數(shù)，所以如果擴(kuò)大求和范圍至隨機(jī)變量x的一切可能值xi求和，則只能增大和式的值。因此

p?x?e(x)????1

?2??x?e(x)?i

i2pi

上式和式是對x的一切可能值xi求和，也就是方差的表達(dá)式。所以，

?2

p?x?e(x)????2 ?

第三篇：經(jīng)典不等式證明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

mathm.seogis.comportant m.seogis.combers. after the full understanding of the chebyshev’s inequality, finally, m.seogis.com1?m2?????mn時，就是切比雪夫不等式. nnnn

注意：切比雪夫與推論3等號成立的條件均為a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一組成立.

二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

1、構(gòu)造兩組數(shù)證明不等式.此類問題最關(guān)鍵、也是最難的步驟就是構(gòu)造，選擇兩組數(shù)時往往需要很強的技巧.

例1、已知0?a?b?c?d?e,例2、設(shè)xi?r?(i?1,2,???,n)，

n

n

?(n?1)i?1

ad?cd?cb?be?ea?.求證：. a?1?5

?x

i?1

n

i

?1

求證：

i?1

例3、設(shè)xi?r?(i?1,2,???,n)，k?1.

n

1n1nxik?1

求證：?（201*，女子數(shù)學(xué)奧林匹克） xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i

n

2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往當(dāng)變量排序后，分式的值也可以排序.一般的，當(dāng)分母的值與分式的值都能排序時，可考慮用這種方法.

ak3

?（第四屆中國東南） 例4、設(shè)a,b,c?0,abc?1.求證：對整數(shù)k(k?2),?

b?c2

例5、設(shè)a,b,c?0,a?b?c?1.求證：

?

1bc?a?

1a

?

27

（201*，塞爾維亞） 31

例6、a,b,c?0，

?a?b?1?1.求證：a?b?c?ab?bc?ca（201*，羅馬尼亞）

12

3、極值問題中的化簡作用.在多元極值問題中，恰當(dāng)?shù)剡\用切比雪夫不等式可以將代數(shù)式簡化，有助于問題的解決.

例7、給定實數(shù)c?(,1).求最小的常數(shù)m，使得対任意的整數(shù)n?2及實數(shù)

nnm

1n

只要滿足?kak?c?ak，總有?ak?m?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?

nk?1k?1k?1k?1

為不超過實數(shù)cn的最大整數(shù).（201*，中國數(shù)學(xué)奧林匹克）. 例8、給定正整數(shù)r,s,t，滿足1?r?s?t，對滿足條件

xjxj?1

?1?

s?t

(j?1,2,???,n)的所j?t

?j(j?1)???(j?s?1)x

有正實數(shù)x1,x2,???,xn，求m?

n

j

?(j?r)???(j?s?1)x

j?1

j?1n

的最小值.

j

練習(xí)題

x33

1、 設(shè)x,y,z?r?,xyz?1.求證：??（第39屆imo預(yù)選題）

(1?y)(1?z)4

（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推論）

2、 設(shè)設(shè)為u，v，w正實數(shù)，滿足條件u?vwu??1，試求u+v+w的最小值． （201* 第三屆女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得3、 設(shè)a,b,c?0,

??

u?.

?3

a???a,a?b?c求證：ab2c3?1

1222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc

1222cba122211112

abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)） 3abc9abc9

4、 設(shè)k是給定的非負(fù)整數(shù).求證：對所有滿足x?y?z?1的正實數(shù)x,y,z，不等式

xk?21

??xk?1?yk?zk7成立，并給出等號成立的條件.

（201*塞爾維亞數(shù)學(xué)奧林匹克）

（提示：當(dāng)k?0時易證.當(dāng)k?1時，不妨設(shè)x?y?z，則不難得到

xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k

k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk

，

xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推論可證）

5、 設(shè)x1,x2,???,xn是n(n?2,n?n?)個非負(fù)實數(shù)，且求x1?4x2?????nxn的最大值. （提示：設(shè)si?

?x

i?1

n

i

?n,?ixi?2n?2

i?1

n

?x

j?i

n

j

.則x1?4x2?????nxn?s1?3s2?????(2n?1)sn由切比雪夫得

(n2?1)(s2?????sn).所以，最大值為n2?2 n?1

n?2n?2

,x2?x3?????xn?1?0,xn?當(dāng)x1?n?時，取得等號） n?1n?13s2?????(2n?1)sn?

（補）在銳角三角形中，證明：

?sina??sin2a

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