第一篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.

設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.

一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈r+，求證：(a+b+c)≤++≤.

證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

則由

綜上，原不等式成立.

點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.

作單位向量j⊥ac

j(ac+cb)=jab

jac+jcb=jab

jcb=jab

|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)

即|cb|sinc=|ab|sina

a/sina=c/sinc

其余邊同理

在三角形abc平面上做一單位向量i,i⊥bc,因為ba+ac+cb=0恒成立，兩邊乘以i得i*ba+i*ac=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc

步驟1

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式。

第二篇：用向量可以證明不等式

運用向量可以證明不等式

向量一章中有兩處涉及到不等式，其一，

?a?a+???b?a?b或-???b?a?b；其二，??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，后者是數(shù)量積的性質，這兩個結論用于證明不等式，可以使證明思路清晰明快，過程簡單明了之功效。

????

一、利用a-b?a?b證明不等式

例1

、函數(shù)f(x)?，a?b，求證：

f(a)?f(b)?a?b

解析：f(a)?f(b)?a?b

即??a?b

??

構造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解為兩個向量的模的差a?b，那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????

因此，原不等式等價于證明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b不可能同向，不取等號。

????

二 利用a?b?ab證明不等式

2222例2 、已知實數(shù)mnxy滿足m?n?a,x?y?b

（a?b），求mx?ny得最大值

???解析：構造向量a?(m,n),b?(x,y)，

則a?? ??a?b?mx?ny????，因為a?b?ab，所以mx?ny

?

?my

?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?

1,解析： 構造向

量???a?b?1m?，n??

12?2 ???n?(1,1),m?，。 ???

。m?n?????因為m?n???

m?n

所以，

??????n??n?2。

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于ac于c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm，連接bd,cd,則abcd為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2

3

已知ef是梯形abcd的中位線，且ad//bc，用向量法證明梯形的中位線定理

過a做ag‖dc交ef于p點

由三角形中位線定理有：

向量ep=½向量bg

又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質)

∴向量pf=½(向量ad+向量gc)

∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)

∴向量ef=½(向量ad+向量bc)

∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)

得證

4

先假設兩條中線ad,be交與p點

連接cp,取ab中點f連接pf

pa+pc=2pe=bp

pb+pc=2pd=ap

pa+pb=2pf

三式相加

2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf

3pa+3pb+2pc=2pf

6pf+2pc=2pf

pc=-2pf

所以pc,pf共線，pf就是中線

所以abc的三條中線交于一點p

連接od,oe,of

oa+ob=2of

oc+ob=2od

oc+oc=2oe

三式相加

oa+ob+oc=od+oe+of

od=op+pd

oe=op+pe

of=op+pf

oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp

由第一問結論

2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp

2pa+2pb+2pc=0

1/2ap+1/2bp+1/2cp

所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op

向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)

第四篇：構造法證明不等式

構造法證明不等式

由于證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使得不等式證明成為中學數(shù)學的難點之一.下面通過數(shù)例介紹構造法在證明不等式中的應用.

一、構造一次函數(shù)法證明不等式

有些不等式可以和一次函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過構造一次函數(shù)式，利用一次函數(shù)的有關特性，完成不等式的證明.

例1設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

證明：視a為自變量，構造一次函數(shù)

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，

由0≤a≤2，知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，

=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，

可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

二、構造二次函數(shù)法證明不等式

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.

例2實數(shù)a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)>4a(a+b+c).

證明：由已知得a=0時，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾，

故a=0時，(b-c)>4a(a+b+c)成立.

當a≠0時，構造二次函數(shù)=ax+(b-c)x+(a+b+c)，則有

=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，

∴存在m，當-1

第五篇：不等式的證明(一)(比較法)測試

不等式的證明（一）（比較法）

點擊要點

1．作差比較法證明不等式的步驟是：、、變形是手段，判斷差的符號才是目的．常用的變形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有時把差變形為常數(shù)，有時變形為常數(shù)與幾個數(shù)平方和的形式，有時變形為幾個因式積的形式等．總之，變形到能即可．

2．商比法：若b＞0，欲證a≥b，只需證

步驟：；；判斷商值與的大小關系．

指數(shù)不等式常用證明．有時要用到指數(shù)函數(shù)的性質．如若a＞1，且x＞0，則等． 學習策略

解答本節(jié)習題應把握以下幾個方面：（1）準確理解比較法的概念；（2）綜合應用作差比較法、作商比較法證明不等式；（3）要注意等價轉化的思想、化歸思想的應用；（4）本節(jié)知識易錯點是不能合理運用因式分解和正確使用指數(shù)函數(shù)的性質解題。

高考展望

本節(jié)知識在高考中以考查比較法證明不等式為主，考點有比較法證明不等式，經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識結合考查，多以選擇題、填空題為主。

練好你的基本功！

1．已知a、b、c∈r，那么，下列命題正確的是()

ab??22 a．a(chǎn)＞b?ac＞bcb．cca＞b

c．a(chǎn)3＞b3且ab＞0?1111???22abd．a(chǎn)＞b且ab＞0ab

2．設a、b∈r，下面的不等式成立的是()

a．a(chǎn)2＋3ab＞b2b．a(chǎn)b－a＞b＋ab

aa?1?bb?1d．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1) c．

3．在橫線上填寫恰當?shù)姆��?＞，≥，＝，＜，≤)

2x

2(1)若x∈r，且x≠1，那么，1?x．

(2)若0＜a＜1，那么(1－a)－a)． 1413

(3)若a＞0，a≠1，那么loga(1＋a)_____loga(1＋a)．

(4)當x≥1時，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．

4．設p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，則實數(shù)a，b滿足的條件為________．

5．設a＞0，b＞0，則下面兩式的大小關系為2lg(1＋ab)_____lg(1＋a)＋lg(1＋b)．提升你的能力！基礎鞏固題

1．設0＜a＜2，下列不等式成立的是()

1111?1?a2?1?a2?1?a2??1?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a

c．1?a2?1111??1?a2?1?a2??1?a21?a1?a1?ad．1?a

2．若a＜b＜0，則下列不等式關系中不能成立的是()

11?a．a(chǎn)b

11?b．a(chǎn)?ba

c．｜a｜＞｜b｜

d．a(chǎn)2＞b2

3．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則下列不等式中恒成立的是()

aa?maa?m??1?a．bb?mb．bb?(收藏好 范 文，請便下次訪問m.seogis.com)m

aa?ma?ma??11??b?mb c．bb?md．

4．設a、b∈r，用不等號連接下列兩個式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．

5．已知a＞b＞c，求證：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2

綜合應用題

11?1．a(chǎn)，b∈r，那么ab成立的一個充分非必要條件是()

a．a(chǎn)＞bb．a(chǎn)b(a－b)＜0c．0＜a＜bd．a(chǎn)＜b

2．設0＜a＜b＜1，則a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是()

ab a．a(chǎn)2＋b2b．a(chǎn)＋bc．2abd．2

3．已知a＞b＞0，則下列不等式成立的是()

a．a(chǎn)＞b＞2＞abb．a(chǎn)＞2＞ab＞b

a?ba?b

c．a(chǎn)＞2＞b＞abd．a(chǎn)＞ab＞2＞b

4．若x為正數(shù)，且x3－x＝2，則x與5的大小關系為_____．

a2b2

5． 設a>b>c，求證：a?b+b?c>a+2b+c.

6．已知a＞b＞c＞0，求證:aabbcc＞(abc)1(a?b?c)3

探索創(chuàng)新題

1x?1

1．11．設a＞0，a≠1，x＞0，比較2logax與loga2的大小，并證明你的結論．

2．12．甲、乙兩個糧油公司，同時在某地按同一批發(fā)價格購進糧食，他們各購糧兩次，已知每次批發(fā)價格互不相同，甲公司每次購糧為1萬千克，乙公司每次用1萬元購糧，試比較這兩種購糧方法，哪一種購糧方法購得的糧食平均批發(fā)價格較低，并證明你的結論．試試你的身手！1．

2．

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