第一篇：向量證明重心

向量證明重心

三角形abc中，重心為o，ad是bc邊上的中線，用向量法證明ao=2od

(1).ab=12b，ac=12c。ad是中線則ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中點(diǎn)。作df//be則ef=ec/2=ac/4=3c。平行線分線段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).od=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。

2

設(shè)bc中點(diǎn)為m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p為三角形abc的重心。上來步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要條件是pa+pb+pc=0

3

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設(shè)三角形abc的三條中線分別為ad、be、cf，求證ad、be、cf交于一點(diǎn)o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1

證明：用歸一法

不妨設(shè)ad與be交于點(diǎn)o，向量ba=a,bc=b,則ca=ba-bc=a-b

因?yàn)閎e是中線，所以be=(a+b)/2,向量bo與向量be共線，故設(shè)bo=xbe=(x/2)(a+b)

同理設(shè)ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形abo中，ao=bo-ba

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因?yàn)橄蛄縜和b線性無關(guān)，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以a0：ad=bo：be=2：3

故ao：od=bo：oe=2:1

設(shè)ad與cf交于o",同理有ao’：o"d=co":o"f=2:1

所以有ao:od=ao":o"d=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’

因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1

證畢!

4

設(shè)三角形abc的頂點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)證明：三角形abc的重心(即三條中線的交點(diǎn))m的坐標(biāo)(x,y)滿足：x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3

設(shè):ab的中點(diǎn)為d.∴dx=(x1+x2)/2，又m為三角形的重心,∴cd=3md,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3

5

如圖。設(shè)ab=a(向量)，ac=b,ad=(a+b)/2,ao=tab=ta/2+tb/2.

be=b/2-a.ao=a+sbe=(1-s)a+sb/2.

t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.ao=(2/3)ab.od=(1/3)ab,ao=2od.

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設(shè)三角形abc的三條中線分別為ad、be、cf，求證ad、be、cf交于一點(diǎn)o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1

證明：用歸一法

不妨設(shè)ad與be交于點(diǎn)o，向量ba=a,bc=b,則ca=ba-bc=a-b

因?yàn)閎e是中線，所以be=(a+b)/2,向量bo與向量be共線，故設(shè)bo=xbe=(x/2)(a+b)

同理設(shè)ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形abo中，ao=bo-ba

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因?yàn)橄蛄縜和b線性無關(guān)，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以a0：ad=bo：be=2：3

故ao：od=bo：oe=2:1

設(shè)ad與cf交于o",同理有ao’：o"d=co":o"f=2:1

所以有ao:od=ao":o"d=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’

因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1

證畢!

第二篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知a，b，c是不共線的三點(diǎn)，g是△abc內(nèi)一點(diǎn)，若ga?gb?gc?0．求

證：g是△abc的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因?yàn)間a?gb?gc?0，所以ga??(gb?gc)．

????????????????????以gb，gc為鄰邊作平行四邊形bgcd，則有g(shù)d?gb?gc，

????????所以gd??ga．

????????又因?yàn)樵谄叫兴倪呅蝏gcd中，bc交gd于點(diǎn)e，所以be?ec，

????????????????ge?ed．所以ae是△abc的邊bc的中線，且ga?2ge．

故g是△abc的重心．

點(diǎn)評(píng)：①解此題要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；②把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知d，e，f分別為△abc的邊bc，ac，ab的中點(diǎn)．求證： ????????????ad?be?cf?0．

證明：如圖2的所示，

????????????????????????????????????????????ad?ac?cd????????????????2ad?ac?ab?cd?bd，即2ad?ac?ab． ad?ab?bd??

????????????????????????同理2be?ba?bc，2cf?ca?cb．(請(qǐng)收藏好 范 文，請(qǐng)便下次訪問：m.seogis.com是bc的中點(diǎn)，

????????????b?aab?ac?bc?c?b．則，c?a，

?????1??????1??1?am?abb?c?a?(c?b)?(c?b?2a)． 222

??????21????aga(c?b?2a．

) 33

????????????11故og?oa?ag?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點(diǎn)評(píng)：重心問題是三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形abcd的中心為o，

????1????????????????p為該平面上任意一點(diǎn)，則po?(pa?pb?pc?pd)． 4

?????????????????????????????????????po?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，證法1：

????????????po?pd?do，

?????????????????p?bp?c pd?4po?pa，???? ????1????????????????即po?(pa?pb?pc?pd)． 4

????1????????????1????????證法2：?po?(pa?pc)，po?(pb?pd)， 22

????1?????????????????po?(pa?pb?pc?pd)． 4

點(diǎn)評(píng)：（1）證法1運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若p與o重合，則上式變?yōu)閛a?ob?oc?od?0．

第三篇：三角形重心向量性質(zhì)的引申及應(yīng)用

三角形重心向量性質(zhì)的引申及應(yīng)用

新化縣第三中學(xué)肖雪暉

平面向量是高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中新增的一章內(nèi)容．加入向量，一些傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容和問題就有了新的內(nèi)涵．在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生積極探索向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中各方面的應(yīng)用，不僅可深人了解數(shù)學(xué)教材中新增內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容的內(nèi)部聯(lián)系，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且有利于拓展學(xué)生的想像力，激發(fā)創(chuàng)新活力，顯現(xiàn)出向量作為一個(gè)工具在數(shù)學(xué)中的重要性．下面就向量與三角形的重心關(guān)系加以引申和應(yīng)用．

三角形重心向量形式的充要條件：設(shè)o為?abc所在平面上一點(diǎn)，o為?abc的重

?????????????心?oa?ob?oc?0

證明：先證必要性：

????????????????????如圖1以ob,oc為鄰邊作平行四邊形obdc,則od?ob?oc.

?????????????????????????????????又oa?ob?oc?0，則ob?oc??oa，所以?oa?od,

o為ad的中點(diǎn)，且a、o、d共線.

又e為od的中點(diǎn),因此，o是中線ae的三等分點(diǎn)，且oa?2ae 3

即o為?abc的重心.

再證充分性:設(shè)bo、oc與ac、ab分別交于f、g點(diǎn)，則由三角形的中線公式可得， ?????????????ae?bf?cg?0

????2????????2????????2????又o為?abc的重心，得ao?ae,bo?bf,co?cg 333

?????????????所以oa?ob?oc?0

引申1若o為?abc內(nèi)任一點(diǎn)，則有

?????????????s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0

?????????????????????????證明：如圖2,設(shè)oa1??1oa,ob1??2ob,oc1??3oc,

?????????????且o為?abc的重心，則?1oa??2ob??3oc?0

且s?aob?s?boc?s?aoc,記為s,那么，

s?oab

s1oa?obsin?aob1??.??12oa1?ob1sin?aob2

s即s?

aob??1?2.

同理可得s?obc?s

?2?3，s?oac?s?1?3.

?????????????所以?1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.則s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0

引申2如圖3,已知點(diǎn)g是?abc的重心，過g作直線與ab、ac兩邊分別交于m、n ?????????????????11兩點(diǎn)，且am?xab,an?yac,則??3 xy

?????????????證明：點(diǎn)g是?abc的重心，知ga?gb?gc?0,

??????????????????????????????1???得?ag?(ab?ag)?(ac?ag)?0有ag?(ab?ac) 3

又m、n、g三點(diǎn)共線（a不在直線am上）,于是存在?,?，使得

??????????????????????????????1???ag??am??an)(且????1),有ag??xab??yac?(ab?ac) 3

?????111???3 得?于是得1xy?x??y??3?運(yùn)用引申1、引申2可以解決許多數(shù)學(xué)問題，使解題過程簡(jiǎn)單。

例1. 設(shè)設(shè)o為?abc所在平面上一點(diǎn)，角a、b、c所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c則o為?abc

??????????????的內(nèi)心的充要條件為：aoa?bob?coc?0

證明：必要性，由o為?abc的內(nèi)心，得o到?abc三邊的距離相等，記為r, 則s?oab?111111ab?r?cr,s?obc?bc?r?ar,s?oac?ac?r?br, 222222

所以s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b

???????????????????????????由引申1得s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，即aoa?bob?coc?0

???????????????????????????充分性：由aoa?bob?coc?0及s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，

得s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b

設(shè)o到?abc三邊的距離分別為r1,r2,r3, 則s?oab?111cr1,s?obc?ar2,s?oac?br3, 222

所以ar1:br2:cr3?a:b:c,

可得r1?r2?r3,即o為?abc的內(nèi)心。

??????????????所以o為?abc的內(nèi)心的充要條件為：aoa?bob?coc?0

例2.已知在?abc中，過重心g的直線交ab于p, 交ac于q,設(shè)?apq的面積為s1，

?????????????????abc的面積為s2，且ap?ppb,aq?qqc,則

（1）pq?_______________ p?q

（2）s1的取值范圍是_________________ s2

????????11appaqq???3 解析：（1）因?yàn)??,由引申2得pqab1?pac1?q

1?p1?q

即1?p1?q11pq??3，推出??1,所以?1,故填1. pqpqp?q

（2）由題可知s2ab?ac(1?p)(1?q)1????2. s1ap?aqpqpq

11?411s94s1pq21?()?,所以2<2?,即?1?,故填[,). 由0<92pq24s149s22

運(yùn)用引申1、2，還可以輕松解答下列問題.

?????????????1. 已知點(diǎn)o為?abc內(nèi)一點(diǎn)，且存在正數(shù)?1,?2,?3使?1oa??2ob??3oc?0

設(shè)?aob,?aoc的面積分別為s1,s2,求s1:s2.

?????????????2. 已知點(diǎn)p是?abc內(nèi)一點(diǎn)，且滿足pa?2pb?3pc?0，求?abp與?abc的面積的

比.

?????????????3. 已知點(diǎn)o在?abc內(nèi)部且滿足oa?2ob?3oc?0,求?abc與凹四邊形aboc的

面積的比.

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△abc，p為平面上的點(diǎn)，則

(1)p為外心

(2)p為重心

(3)p為垂心

證明 (1)如p為△abc的外心(圖1)，

則 pa=pb=pc，

(2)如p為△abc的重心，如圖2，延長(zhǎng)ap至d，使pd=pa，設(shè)ad與bc相交于e點(diǎn)．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形pbdc為平行四邊形．

bc和pd之中點(diǎn)．

心．

(3)如圖3，p為△abc的垂心

同理pa⊥ac，故p為△abc之垂心．

由上不難得出這三個(gè)結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △abc為正三角形．

∴ △abc為正三角形，且o為其中心．

第五篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯

一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1； （2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直； （3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等； （4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。 二、四心與向量的結(jié)合

（1）oa?ob?oc?0?o是?abc的重心.

證法1：設(shè)o(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)

?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?

?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0

oa?ob?oc?0?

x1??x?????

?y?y1???

x2?x33y2?y33

?o是?abc的重心.

證法2：如圖

?oa?ob?oc ?oa?2od?0

?ao?2od

?a、o、d三點(diǎn)共線，且o分ad

為2：1

?o是?abc的重心

bdc

（2）oa?ob?ob?oc?oc?oa?o為?abc的垂心.

證明：如圖所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac，ad垂直bc， d、e是垂足.

oa?ob?ob?oc?ob(oa?oc)?ob?ca?0 ?ob?ac

同理oa?bc，oc?ab

?o為?abc的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，o是?abc的內(nèi)心

aoa?bob?coc?0?o為?abc的內(nèi)心.

證明：?

?

abc?

ab

acac方向上的單位向量， 分別為ab、cb

acb

平分?bac,

abc?acb

?ao??()，令??

bca?b?c

?ao?

bca?b?c

（

abc

?

acb

)

化簡(jiǎn)得(a?b?c)oa?bab?cac?0

?aoa?bob?coc?0

（4

???o為?abc的外心。

典型例題：

例1：o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足

op?oa??(ab?ac)，???0,??? ，則點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的（）

a．外心b．內(nèi)心c．重心d．垂心 分析：如圖所示?abc，d、e分別為邊bc、ac的中點(diǎn).

?ab?ac?2ad

?op?oa?2?ad ?op?oa?ap ?ap?2?ad

bdc

?ap//ad

?點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的重心，即選c.

例2：（03全國(guó)理4）o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p

滿足op?oa???，???0,??? ，則點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的（b）

a．外心b．內(nèi)心c．重心d．垂心

分析：?

ac方向上的單位向量，

分別為ab、

?

ab?

ac平分?bac,

?點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的內(nèi)心，即選b.

例3：o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p

滿足

op?oa??ab?

ac，???0,??? ，則點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的

（）

a．外心b．內(nèi)心c．重心d．垂心

分析：如圖所示ad垂直bc，be垂直ac， d、e是垂足

. ?

?bc

?

?

=?

=0

?點(diǎn)p的軌跡一定通過?abc的垂心，即選d.

練習(xí)：

1．已知?abc三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c及平面內(nèi)一點(diǎn)p，滿足pa?pb?pc?0，若實(shí)數(shù)?滿足：ab?ac??ap，則?的值為（）

a．2b．

32

c．3d．6

2．若?abc的外接圓的圓心為o，半徑為1，oa?ob?oc?0，則oa?ob?() a．

12

b．0c．1d．?

12

3．點(diǎn)o在?abc內(nèi)部且滿足oa?2ob?2oc?0，則?abc面積與凹四邊形

aboc

面積之比是（） a．0b．

32

c．

54

d．

43

4．?abc的外接圓的圓心為o，若oh?oa?ob?oc，則h是?abc的（）

a．外心b．內(nèi)心c．重心d．垂心

5．o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若oa

?bc?ob

?ca?oc?ab，則o是?abc的（）

a．外心b．內(nèi)心c．重心d．垂心

oh?m(oa?ob?oc)，?abc的外接圓的圓心為o，6．兩條邊上的高的交點(diǎn)為h，

則實(shí)數(shù)m =

→→→→1abacabac→→→

7．（06陜西）已知非零向量ab與ac滿足(+ )·bc=0 · = , 則

2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc為()

a．三邊均不相等的三角形b．直角三角形 c．等腰非等邊三角形d．等邊三角形

8．已知?abc三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c，若ab

?abc為（）

?ab?ac?ab?cb?bc?ca，則

a．等腰三角形b．等腰直角三角形

c．直角三角形d．既非等腰又非直角三角形 練習(xí)答案：c、d、c、d、d、1、d、c

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