第一篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^(guò)c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，

所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第二篇：用復(fù)數(shù)證明余弦定理

用復(fù)數(shù)證明余弦定理

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2accosb.

法二：如圖5，

,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知

，

即

將(1)式改寫為

化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accosb.

即b2=a2+c2-2accosb.(4)

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

2

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

過(guò)a作ad⊥bc于d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因?yàn)閏osc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

題目中^2表示平方。

2

談?wù)�、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosc,

b2=a2+c2-2accosb,

a2=b2+c2-2bccosa.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是△abc的三條高。則有

ad=b•sin∠bca，

be=c•sin∠cab，

cf=a•sin∠abc。

所以s△abc=a•b•csin∠bca

=b•c•sin∠cab

=c•a•sin∠abc.

證法二：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是△abc的3條高。則有

ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc，

be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。

證法三：如圖2，設(shè)cd=2r是△abc的外接圓

的直徑，則∠dac=90°，∠abc=∠adc。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量ac垂直。

因?yàn)閍b=ac+cb，

所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb.

因?yàn)閖•ac=0，

j•cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a•sinc，

j•ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c•sina.

二、余弦定理的證明

法一：在△abc中，已知，求c。

過(guò)a作，

在rt中，，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、有

即.

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2accosb.

法二：如圖5，

,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知

，

即

將(1)式改寫為

化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accosb.

即b2=a2+c2-2accosb.(4)

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

第三篇：敘述并證明余弦定理

敘述并證明余弦定理

余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。

直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值

編輯本段余弦定理性質(zhì)

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c三角為a，b，c，則滿足性質(zhì)——

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosa

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosb

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosc

cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosb=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosa=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設(shè)△abc的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是a、b、c，則有

a=b·cosc+c·cosb，b=c·cosa+a·cosc，c=a·cosb+b·cosa。

編輯本段余弦定理證明

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵cos(π-θ)=-cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開(kāi)，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc

即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosc移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對(duì)的邊為c，∠b所對(duì)的邊為b，∠a所對(duì)的邊為a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據(jù)勾股定理可得：

ac2=ad2+dc2

b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2

b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2

b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2

b2=c2+a2-2ac*cosb

cosb=(c2+a2-b2)/2ac

編輯本段作用

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。(見(jiàn)解三角形公式，推導(dǎo)過(guò)程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取

減號(hào)的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無(wú)解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當(dāng)a>bsina時(shí)

①當(dāng)b>a且cosa>0(即a為銳角)時(shí)，則有兩解

②當(dāng)b>a且cosa<=0(即a為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)

③當(dāng)b=a且cosa>0(即a為銳角)時(shí)，則有一解

④當(dāng)b=a且cosa<=0(即a為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)

⑤當(dāng)b二當(dāng)a=bsina時(shí)

①當(dāng)cosa>0(即a為銳角)時(shí),則有一解

②當(dāng)cosa<=0(即a為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無(wú)解)

三當(dāng)a例如：已知△abc的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角。

解設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠a為最大的角。由余弦定理

cosa=0

所以∠a=90°.

再如△abc中，ab=2,ac=3,∠a=60度，求bc之長(zhǎng)。

解由余弦定理可知

bc2=ab2+ac2-2ab×ac·cosa

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以bc=√7.(注：cos60=0.5,可以用計(jì)算器算)

以上兩個(gè)小例子簡(jiǎn)單說(shuō)明了余弦定理的作用。

編輯本段其他

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角一定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時(shí)，還可以用余弦定理求三角形邊長(zhǎng)取值范圍。

解三角形時(shí)，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。

第四篇：余弦定理證明過(guò)程

在△abc中，設(shè)bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據(jù)b，c，a來(lái)表示a。�� 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關(guān)系表示，db可利用ab－ad轉(zhuǎn)化為ad，進(jìn)而在rt△aｄc內(nèi)求解。

解：過(guò)c作cd⊥ab，垂足為d，則在rt△cｄb中，根據(jù)勾股定理可得：�� a2＝cｄ2＋bｄ2��

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2

��

又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2��

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ�� 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa�� ∴a2＝b2＋c2－2bccosa�ヮ愃频乜梢宰C明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc��

第五篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對(duì)邊為c，∠b對(duì)邊為b，∠a對(duì)邊為a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c(請(qǐng)您支持：m.seogis.coma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

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