函數(shù)圖像總結(jié)

函數(shù)圖像總結(jié)

一基本函數(shù)圖像

1y=kx(x≠0)2y=kx+b(k≠0)3y4yax2bxc(a0)5yxa6yxk(k0)xk(k0)7yax(a0,a1)x8ylogax(a0,a1)

二抽象圖像平移

f(x）f(x+1)f(x）f(x-1)f(x）f(x)+1f(x）f(x)-1f(x)f(2x)f(x)2f(x)

f(x）f(2x+2)y=f（-x）變成y=f（-x+2）練習(xí)：cosxcos2xcos2xcos（2x+4）cosxcos2x+4三圖像的變換

1f(x）f(|x|)保留y軸右邊的，左邊關(guān)于右邊y軸對(duì)稱2f(x）|f(x)|保留x軸上方的，下方關(guān)于x軸對(duì)稱3f(x）f(-x）y軸對(duì)稱4f(x）-f(x)x軸對(duì)稱5f(x）-f(-x）原點(diǎn)對(duì)稱

6f(x）f（|x+1|）先根據(jù)1方法變成f（|x|）,在向左平移一個(gè)單位得到f（|x+1|）7f(x）f（|x|+1）先向左平移一個(gè)單位得到f（x+1），再根據(jù)1方法變成f（|x|+1）8f(x)與f1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x)9f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱egf（x）=

2x與g（x）=-

2x

關(guān)于對(duì)稱

一、函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)系

函數(shù)yf(x)的圖象是由yf(x)的圖象經(jīng)沿y軸翻折180°而得到的（即關(guān)于y軸對(duì)稱）。注意它與函數(shù)yf(x)滿足f(x)f(x)的圖象是不同的，前者代表兩個(gè)函數(shù)，后者表示函數(shù)yf(x)本身是關(guān)于y軸對(duì)稱的。

（二）伸縮變換及其應(yīng)用：

函數(shù)yaf(bx)的圖像可以看作是由函數(shù)yf(x)的圖像先將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(|b|＜1）或縮短(|b|＞1）到原

來的

1倍，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(|a|＞1）或縮短(|a|＜1）到原來的|a|倍即可得到。如：|b|1的圖像x1要求：1會(huì)畫y=|x+1|y=-

2會(huì)畫f（x）=lg|x|以及f（x）=|lgx|3會(huì)畫f（x）=|lg|x+1||以及f(x)=

x2-4|x|+5f(x)=|

x2-2x-3|

二1由圖像可知f（x+1）為偶函數(shù)對(duì)稱軸為2由圖像可知f（x+1）為奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱Eg、對(duì)a，bR，記max{a，b}＝(A)0(B)

a,ab，函數(shù)f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是

b,a＜b13(C)(D)3

901（選講）1、yf(x)繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；yf（x）12、yf(x)；yf（x）繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)9000

yQP(a,b)(yf(x)yQ1xP1(b,a)(yf1(x))P(a,b)(yf(x)0P1(b,a)1

(yf(x))0（乙）

x（甲）

（圖五）

0說明：關(guān)于繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180的變換實(shí)際上就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的問題。

例2、（1）函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(a－x)的定義域均為R(a為常數(shù)),這兩個(gè)函數(shù)的圖象()(A)關(guān)于y軸對(duì)稱，(B)關(guān)于x=a對(duì)稱，(C)關(guān)于x

a

對(duì)稱，(D)關(guān)于x=2a對(duì)稱。

擴(kuò)展閱讀：高中初等函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)

高中函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)

一、指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)

1、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

yax01圖象定義域值域性質(zhì)定點(diǎn)R(0,+∞)過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1（1）a>1，當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，01。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對(duì)稱性yax和yax關(guān)于y軸對(duì)稱

2、第一象限：底數(shù)越大，圖像越高

二、ylogax1、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

ylogax圖象01定義域值域(0,+∞)R（1）過定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0（2）在R上是減函數(shù)（2）在R上是增函數(shù)（3）同正異負(fù)，即01,x>1時(shí)，logax>0；01或a>1,01時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸；當(dāng)0四、一元二次函數(shù)

解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a頂點(diǎn)對(duì)稱性2、一元二次函數(shù)表達(dá)式形式：b4ac－b2(－，)2a4a圖象關(guān)于直線x＝－成軸對(duì)稱圖形2ab頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k，定點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）

分解式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2),一元二次方程的兩根為x1，x2一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)．

1.一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))

最簡(jiǎn)單最常見的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系上的圖象為直線。

定義域（下面沒有說明的話，都是在無特殊要求情況下的定義域）：R值域：R奇偶性：無周期性：無

平面直角坐標(biāo)系解析式(下簡(jiǎn)稱解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]

（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）③y-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]

（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個(gè)點(diǎn)）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點(diǎn)式]（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）解析式表達(dá)局限性：

①所需條件較多（3個(gè)）；

②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；④參數(shù)較多，計(jì)算過于煩瑣；

⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線。

傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)。

2.二次函數(shù)：

題目中常見的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系上的圖象是一條對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線。

定義域：R

值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）奇偶性：偶函數(shù)周期性：無解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無交點(diǎn)；②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函數(shù)

在平面直角坐標(biāo)系上的圖象為雙曲線。定義域：（負(fù)無窮，0）∪（0，正無窮）值域：（負(fù)無窮，0）∪（0，正無窮）奇偶性：奇函數(shù)周期性：無解析式：y=1/x

4.冪函數(shù)y=x^a①y=x^3定義域：R值域：R

奇偶性：奇函數(shù)周期性：無

圖象類似于將一個(gè)過圓點(diǎn)的二次函數(shù)的第四區(qū)間部分關(guān)于x軸作軸對(duì)稱后得到的圖象（類比，這個(gè)方法不能得到三次函數(shù)圖象）②y=x^(1/2)

定義域：[0，正無窮）值域：[0，正無窮）

奇偶性：無（即非奇非偶）周期性：無

圖象類似于將一個(gè)過圓點(diǎn)的二次函數(shù)以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再去掉y軸下方部分得到的圖象（類比，這個(gè)方法不能得到三次函數(shù)圖象）

5.指數(shù)函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系上的圖象（太難描述了，說一下性質(zhì)吧……）

恒過點(diǎn)（0，1）。聯(lián)系解析式，若a＞1則函數(shù)在定義域上單調(diào)增；若0＜a＜1則函數(shù)在定義域上單調(diào)減。定義域：R

值域：（0，正無窮）奇偶性：無周期性：無解析式：y=a^xa＞0

性質(zhì)：與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(a)x互為反函數(shù)。

*對(duì)數(shù)表達(dá)：log(a)x表示以a為底的x的對(duì)數(shù)。

6.對(duì)數(shù)函數(shù)

在定義域上的圖象與對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)（該對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。

恒過定點(diǎn)（1，0）。聯(lián)系解析式，若a＞1則函數(shù)在定義域上單調(diào)增；若0＜a＜1則函數(shù)在定義域上單調(diào)減。定義域：（0，正無窮）值域：R奇偶性：無周期性：無

解析式：y=log(a)xa＞0

性質(zhì)：與對(duì)數(shù)函數(shù)y=a^x互為反函數(shù)。

7.三角函數(shù)

⑴正弦函數(shù)：y=sinx

圖象為正弦曲線（一種波浪線，是所有曲線的基礎(chǔ)）定義域：R值域：[-1，1]奇偶性：奇函數(shù)

周期性：最小正周期為2π對(duì)稱軸：直線x=kπ/2(k∈Z）

中心對(duì)稱點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函數(shù)：y=cosx

圖象為正弦曲線，由正弦函數(shù)的圖象向左平移π/2個(gè)單位（最小平移量）所得。定義域：R值域：[-1，1]奇偶性：偶函數(shù)

周期性：最小正周期為2π對(duì)稱軸：直線x=kπ(k∈Z）中心對(duì)稱點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函數(shù)：y=tgx

圖象的每個(gè)周期單位很像是三次函數(shù)，很多個(gè)，均勻分布在x軸上。定義域：{x│x≠π/2+kπ}值域：R

奇偶性：奇函數(shù)

周期性：最小正周期為π對(duì)稱軸：無

中心對(duì)稱點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：（kπ，0）(k∈Z）。

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