高中數(shù)學(xué) 函數(shù)概念及其性質(zhì)知識總結(jié) 新人教版必修1

數(shù)學(xué)必修1函數(shù)概念及性質(zhì)（知識點總結(jié)）

（一）函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式注意：○

子有意義的實數(shù)的集合；○

3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。

2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(見課本21頁相關(guān)例2)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與交點的若干條曲線或離散點組成.(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

保護原創(chuàng)權(quán)益凈化網(wǎng)絡(luò)環(huán)境(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；.（6）指數(shù)為零底不可以等于.(兩點必須同時具備).A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的

以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、∈A}

Y軸的直線最多只有一個(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系.

如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合的值組成的集合)(x∈

4．快去了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6．常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否○

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；○3圖象法：描點法作圖要注意：確定是函數(shù)圖象的依據(jù)；○

4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；○

能反映定義域的特征．

注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮�(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

11．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點：

一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學(xué)的抽象、概括，將實際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

二是要合理選取參變數(shù)，設(shè)定變元后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型；最終求解數(shù)學(xué)模型使實際問題獲解.

函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特點函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的圖象定義圖像特點一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關(guān)于原點對稱圖像關(guān)于y軸對稱在區(qū)間［a,b］內(nèi)，圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對任意的xM都有f(-x)=-f(x)對任意的xM都有f(-x)=f(x)對任意的x1、x2a,bM當(dāng)x1

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數(shù)學(xué)必修1函數(shù)概念及性質(zhì)（知識點總結(jié)）

（一）函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式注意：○

3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．子有意義的實數(shù)的集合；○

定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成.(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．快去了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6．常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否○

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；○3圖象法：描點法作圖要注意：確定是函數(shù)圖象的依據(jù)；○

4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；○

能反映定義域的特征．

注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮�(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1

單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1

用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

11．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點：

一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學(xué)的抽象、概括，將實際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

二是要合理選取參變數(shù)，設(shè)定變元后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型；最終求解數(shù)學(xué)模型使實際問題獲解.

函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特點函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的圖象定義圖像特點一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關(guān)于原點對稱圖像關(guān)于y軸對稱在區(qū)間［a,b］內(nèi)，圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對任意的xM都有f(-x)=-f(x)對任意的xM都有f(-x)=f(x)對任意的x1、x2a,bM當(dāng)x1

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