人教版高一數學三角函數圖象與性質最全知識點總結級典型復習題

三角函數圖象與性質復習題

函數ysinxycosxytanx圖象定義域值域奇偶性最小正周期對稱軸對稱中心單調遞增區(qū)間單調遞減區(qū)間[RR{x|x2k,kZ}R[1,1][1,1]奇函數偶函數奇函數2；T＝x22；T＝2；T＝無2k,kZxk,kZ(k,0),kZ2[2k,2k],kZ[2k,2k],kZ(k,0),kZ[2k,2k],kZ2222k,232k],kZk,0),kZ2(k,k),kZ(22無要求：1、能正確畫出ysinx，ycosx，ytanx的圖象

2、給定條件，能夠求ysinx，ycosx，ytanx的定義域、值域、單調區(qū)間；3、給定條件，能夠求yAsin(x)中的A,,。

4、掌握正弦余弦函數圖象平移法則，區(qū)分先平移后伸縮與先伸縮后平移之間的差別。5、結合圖象，會求諸如13sinx的取值范圍。226、會作出含有絕對值的正弦、余弦、正切函數圖象。如ysinx，ysinx

第1頁/共2頁常考題型：1、y3sin(2x4)的最小正周期是、對稱軸是、單調遞增區(qū)間

是、單調遞減區(qū)間是；振幅是、相位是、初相是。用五點法作出該函數的圖象。并說明該函數怎樣由ysinx變化而來。2、求y3sin(2x4),x[,]的單調遞減區(qū)間。226,sin；tan1,tan2,tan3763、比較大小

cos(),sin84、求y3sin(2x3),x[,]的最大值、最小值及對應的x的取值范圍。665、求y3asin(2x3),x[,],a0的最值及對應的x的取值。666、若y2asin(2x)b,x[0,]的最大值是1，最小值是5，求a，b的值。327、為了得到y3sin(2x)的圖象，只須將y3sin(2x)的圖象向平移個單位。

638、定義在R的函數f(x)，對任意xR都有f(x2)[1f(x)]f(x)1。（1）證明f(x)是周期函數。（2）若f(1)2，求f(201*)。

9、若yAsin(x)B(A0,0,和一個最低點(2)，在其一個周期內的圖象上有一個最高點(12,3)

7,5)，求這個函數的解析式。1215,x[,]的值域266第2頁/共2頁

10、求f(x)2cosx2asinxb

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三角函數圖像與性質知識點總結和經典題型

1．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yy=tanx-32--2o232x

2．三角函數的單調區(qū)間：

2k(kZ)，遞減區(qū)間是ysinx的遞增區(qū)間是2k，2232k，2k(kZ)；222k(kZ)，遞減區(qū)間是ycosx的遞增區(qū)間是2k，2k，2k(kZ)，

ytanx的遞增區(qū)間是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函數yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，頻率是f，相位是2x，初相是；其圖象的對稱軸是直線xk與直線yB的交點都是該圖象的對稱中心。

2(kZ)，凡是該圖象4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。

1先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向

||左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。

圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數式：

給出圖象確定解析式y=Asin（ωx+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（－

，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。．．6．對稱軸與對稱中心：

ysinx的對稱軸為xk2，對稱中心為(k,0)kZ；ycosx的對稱軸為xk，對稱中心為(k2,0)；

對于yAsin(x)和yAcos(x)來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系。

7．求三角函數的單調區(qū)間：一般先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意A、的正負利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數,并且在同一單調區(qū)間；

8．求三角函數的周期的常用方法：

經過恒等變形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。

9．五點法作y=Asin（ωx+）的簡圖：五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、應的y值，再描點作圖。

π23π、2π來求相應的x值及對

四．典例解析

題型1：三角函數的圖象

例1．（201*全國，5）函數y＝－xcosx的部分圖象是（）

解析：因為函數y＝－xcosx是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以排除

A、C，當x∈（0，

）時，y＝－xcosx＜0。答案為D。2題型2：三角函數圖象的變換

例2．試述如何由y=sin（2x+解析：y=sin（2x+

1313π）的圖象得到y=sinx的圖象。3π）31π2倍橫坐標擴大為原來的ysin（x）縱坐標不變33π圖象向右平移個單位13ysinx

縱坐標不變33倍縱坐標擴大到原來的ysinx

橫坐標不變另法答案：

（1）先將y=sin（2x+象；

（2）再將y=sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得

1313ππ1）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖363y=sinx的圖象；

（3）再將y=sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍（橫坐標不變），即可得到y=sinx的圖象。

例3．（201*上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（）

A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0

1313個單解析：將原方程整理為：y=

1，因為要將原曲線向右、向下分別移

2cosx動

1個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得

22cos(x)2（y+1）sinx+2y+1=0.

點評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數中的誘導公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－項。

題型3：三角函數圖象的應用

例4．（201*上海春，18）已知函數f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一個周期內的圖象如圖所示，求直線y=3與函數f（x）圖象的所有交點的坐標。

解析：根據圖象得A=2，T=

圖）+2（y+1）－1=0，即得C選21x7π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），2222又由圖象可得相位移為－

1，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。

1222442111根據條件3=2sin（x），∴x=2kπ+(k∈Z)或x=2k3242424π+

52π（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。366∴所有交點坐標為（4kπ+

6,3）或（4kπ+

5,3）（k∈Z）。點評：本6題主要考查三角函數的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。題型4：三角函數的定義域、值域

例5．（1）已知f（x）的定義域為［0，1］，求f（cosx）的定義域；

（2）求函數y=lgsin（cosx）的定義域；分析：求函數的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－

ππ≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。22ππ，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。22ππ，2kπ+），k∈Z}。22∴所求函數的定義域為{x｜x∈［2kπ－

（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－

點評：求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二

是三角函數線。

題型5：三角函數的單調性例6．求下列函數的單調區(qū)間：（1）y=sin（

12ππ2x－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。4431223π4分析：（1）要將原函數化為y=－sin（x－）再求之。（2）可畫出y=－|sin（x+）|的圖象。解：（1）y=sin（

故由2kπ－

π412π1π2x2x－）=－sin（－）。42433πππ3π2x9π≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），242838ππ3π2x9π21π≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k2423883π9π，3kπ+］，88為單調減區(qū)間；由2kπ+

∈Z），為單調增區(qū)間。∴遞減區(qū)間為［3kπ－

遞增區(qū)間為［3kπ+（2）y=－|sin（x+［kπ－

ππ，kπ+］。44-5434-49π21π，3kπ+］（k∈Z）。88ππ3π）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為444-yo4345474x

題型6：三角函數的奇偶性

例7．（201*上海春）關于x的函數f（x）=sin（x+）有以下命題：①對任意的，f（x）都是非奇非偶函數；②不存在，使f（x）既是奇函數，又是偶函數；③存在，使f（x）是奇函數；④對任意的，f（x）都不是偶函數。

其中一個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立。答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）22解析：當=2kπ，k∈Z時，f（x）=sinx是奇函數。當=2（k+1）π，k∈Z時f（x）=－sinx仍是奇函數。當=2kπ+

，k∈Z時，f（x）=cosx，或2當=2kπ－

，k∈Z時，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數.所以②和③都是2正確的。無論為何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函數又是偶函數。①和④都是假命題。

點評：本題考查三角函數的奇偶性、誘導公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分。題型7：三角函數的周期性

例8．設f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f()4，

12（1）求、a、b的值；

（2）若、、為方程f(x)0的兩根，、、終邊不共線，求tan()的值。

解析：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，

又f(x)的最大值。f()4，4a2b2①，且

12224asinbcos②，由①、②解出a=2,b=3.

1212(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(223)，f()f()0，

3)4sin(23)，232k23，或

32k(23即k(、共線，故舍去)，或)，

3(kZ)。

636點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數的周期性。

k，tan()tan(k)題型8：三角函數的最值例9．（201*京、皖春理，10）函數y＝

1的最大值是（）

2sinxcosx22D．－1－

A．

2－12B．

2＋12C．1－

22解析：B；y111212sinxcosx22sin(x)2224

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