21-2.高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)總結(jié)--圓錐曲線與方程

高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程

※※※※※※※※※裝第二章圓錐曲線與方程

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)：

圓錐曲線的實(shí)際背景

本章知識(shí)要點(diǎn)：

標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線※※※※※※※※※※※※簡(jiǎn)單應(yīng)用訂2.1曲線與方程

一、曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；

（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這個(gè)曲線叫做方程的曲線.二、求曲線的方程1.解析幾何：

用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的學(xué)科叫做解析幾何.解析幾何研究的主要問(wèn)題是：

（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).2.求曲線方程的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合PMp(M)；（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x,y)0；

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※※※※※※※※※※※※線※※※※※※※※※※盤(pán)點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高

（4）化方程f(x,y)0為最簡(jiǎn)形式；

（5）說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.

簡(jiǎn)言之：①建系、取點(diǎn)②列式③代換④化簡(jiǎn)⑤證明.

2.2橢圓

一、橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

橢圓的定義可用集合語(yǔ)言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2；當(dāng)2aF1F2時(shí)，表示線段F1F2時(shí)，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab圖形范圍對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心axa，bybaya，bxbx軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)x軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)第2頁(yè)共6頁(yè)高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程※※※※※※※※※裝長(zhǎng)軸短軸頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)離心率長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：

1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；b叫做短半軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、

b、c之間滿(mǎn)足a2b2c2.e叫做橢圓的離心率，e的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.

c且0e1，e可以刻畫(huà)橢圓a2.點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則PFmaxac，PFminac.3.點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)位置時(shí)，F(xiàn)1PF2取最大值.

4.橢圓的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線

訂※※※※※※※※※※※※線ca2l：x的距離的比是常數(shù)e(0e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的

ac焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

x2y25.橢圓方程221(ab0)常用三角換元為xacos,ybsin.

ab三、點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系

※※※※※※※※※※x2y2點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓221(ab0)位置關(guān)系：

abx02y02（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)221（含焦點(diǎn)）

ab（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上x(chóng)0y012222abx02y02（3）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓外221

ab第3頁(yè)共6頁(yè)

盤(pán)點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高

四、直線與橢圓位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系相交相切相離（2）弦長(zhǎng)公式：

設(shè)直線ykxb交橢圓于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

2x1x2，或|PP則|PP12|1k12|1公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)判定方法000直線與橢圓方程首先應(yīng)消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式1y1y2(k0).k2

2.3雙曲線

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

雙曲線的定義可用集合語(yǔ)言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.

注意：當(dāng)2aF1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2aF1F2時(shí)，表示分別以F1F2時(shí)，軌跡不存在.

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab圖形第4頁(yè)共6頁(yè)

高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程※※※※※※※※※裝范圍對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心實(shí)軸虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)漸近線離心率xa，或xaya，或yax軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2bx軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a訂注意：

1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；b叫做半虛軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、

※※※※※※※※※※※※線b、c之間滿(mǎn)足c2a2b2.e叫做橢圓的離心率，e張口就越大.

c且e1.e越大，雙曲線的a2.實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e2.3.雙曲線的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)(c0)的距離和它到一條定

ca2直線l：x的距離的比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙

ac曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

4.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時(shí)，也是一個(gè)公共點(diǎn).

※※※※※※※※※※x2y25.共漸近線的雙曲線可寫(xiě)成22(0)；

abx2y221(b2a2).共焦點(diǎn)的雙曲線可寫(xiě)成2ab

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盤(pán)點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高

2.4拋物線

一、拋物線的定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)F與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)離心率注意：

1.p的幾何意義：p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦）.

22.若點(diǎn)M(x0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點(diǎn)，則MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y軸y0y軸x軸(0,0)e1x軸(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)

ABx1x2p.

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橢圓

一、橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

橢圓的定義可用集合語(yǔ)言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2時(shí)，表示線段F1F2；當(dāng)2aF1F2時(shí)，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)圖形范圍axa，bybaya，bxb對(duì)稱(chēng)軸x軸、y軸x軸、y軸對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2離心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；b叫做短半軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、b、c之間

滿(mǎn)足a2b2c2.e叫做橢圓的離心率，eca且0e1，e可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.

2.點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則PFmaxac，PFminac.

3.點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)位置時(shí)，F(xiàn)1PF2取最大值.

當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線l：xa24.橢圓的第二定義：c的

距離的比是常數(shù)eca(0e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.三、點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系

P(xx2y2x22點(diǎn)0y00,y0)與橢圓a2b21(ab0)位置關(guān)系：（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)a2b21

（2）點(diǎn)P(xy22（3）點(diǎn)P(xx220y00,0)在橢圓上x(chóng)0y0b210,y0)在橢圓外a2a2b21

四、直線與橢圓位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系公共點(diǎn)判定方法相交有兩個(gè)公共點(diǎn)0直線與橢圓方程首相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)0先應(yīng)消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程相離無(wú)公共點(diǎn)0的根的判別式（2）弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線ykxb交橢圓于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

則|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).雙曲線

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)

2a（其中2aF1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

雙曲線的定義可用集合語(yǔ)言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2時(shí)，表示分別以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2aF1F2時(shí)，軌跡不存在.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)圖形范圍xa，或xaya，或ya對(duì)稱(chēng)軸x軸、y軸x軸、y軸對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0,a)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2漸近線xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx離心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；b叫做半虛軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、b、c之

間滿(mǎn)足c2a2b2.e叫做橢圓的離心率，eca且e1.e越大，雙曲線的張口就越大.

2.實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線為yx離心率e2.a23.雙曲線的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線l：

xc

的距離的比是常數(shù)eca(e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

4.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時(shí)，也是一個(gè)公共點(diǎn).

2.4拋物線

一、拋物線的定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)F與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)

準(zhǔn)線方程xpppp2x2y2y2范圍x0x0y0y0

對(duì)稱(chēng)性x軸x軸y軸y軸

頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

離心率e1e11

e1e

1.p的幾何意義：p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦）.

2.若點(diǎn)M(x2p0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點(diǎn)，則MFx02.3.若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)

ABx1x2p.

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