九年級數(shù)學(xué)圓的知識點總結(jié)大全

《圓》

一、知識回顧

圓的周長：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr

圓環(huán)面積計算方法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）

三、知識要點

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關(guān)系

1、點在圓內(nèi)dr點C在圓內(nèi)；2、點在圓上dr點B在圓上；3、點在圓外dr點A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個交點dRr；內(nèi)含（圖5）無交點dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條�。�

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

CDOABCBOEDA即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

頂點到圓心的角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙O中，

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OCDBAE（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

PABMANOPO平分BPA

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CEAEBE

（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：

CO222BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在RtBOD中進(jìn)行：

OBACOD:BD:OB1:3:2；

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在RtOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

DBOACED同理，六邊形的有關(guān)計算在RtOAB中進(jìn)行，AB:OB:OA1:3:2.

OB十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：lAAnR；180OSlnR21lR（2）扇形面積公式：S3602Bn：圓心角R：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側(cè)面展開圖

2S表S側(cè)2S底=2rh2r

ADD1母線長底面圓周長BB圓柱的體積：Vrh（2）A圓錐側(cè)面展開圖

2CB1C1S表S側(cè)S底=Rrr2

B圓錐的體積：VO12rh3ACrR

B

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第四章：《圓》

一、知識回顧

圓的周長：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr

圓環(huán)面積計算方法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）

二、知識要點一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；

固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關(guān)系

1、點在圓內(nèi)dr點C在圓內(nèi)；2、點在圓上dr點B在圓上；3、點在圓外dr點A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個交點dRr；內(nèi)含（圖5）無交點dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條��；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條��；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

頂點到圓心的角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，

2

COABCBADOED只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，的弧是等�。�

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所所對的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

BOACACBOEFDC角的一半。

BOADC相等的圓周角所對

BOAC對的弧是半圓，

BOA角形是直角三

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。

即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴

BD180

CBAD180

BAEDAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓以上三個定理及推論也稱二推一定理：

MAO外端

N點。心。

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線

B∴PAPBPO平分BPA

AOP十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PAPBPCPD

CBOPCAD積相等。

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑

B所成的兩條線

OEDA段的比例中項。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

2ADPCOBE線，切線長是這

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12AO1BO2兩個圓的的公共弦。

ACO2BO1O1O2CO222；

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在RtBOD中進(jìn)

O:D:OB3C行

:A2：

；B1D:OBD

BCOAD（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在

OE:A:EOA1:1：:2RtOAE中進(jìn)行，

E

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在RtOA中進(jìn)行，OAB:O:BOA1:.3:2B

A十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式A1、扇形：（1）弧長公式：lnR180；

OSl2（2）扇形面積公式：SnR13602lR

Bn：圓心角R：扇形多對應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側(cè)面展開圖

ADD1S表S側(cè)2S底=2rh2r2

母線長底面圓周長Br2h

CC1B圓柱的體積：VB1（2）A圓錐側(cè)面展開圖

S表S側(cè)S底=Rrr2

OB圓錐的體積：V1r23h

RCArB

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