201*年北京市高三城區(qū)模擬考試立體幾何專題歸納與總結(jié)

12順義7.一個空間幾何體的三視圖如圖

所示，則該幾何體的體積為A.60B.80C.100D.120

俯視圖442正（主）視圖8左視圖323俯視圖12.2東城（9）已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是.表面積

12主視圖12左視圖212.2豐臺4．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．202

12北京7.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是

（A）2865（B）3065（C）56125（D）60125

1

232C．40

34D．40

3B．12.2石景山7．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）

A．843423B．83C．823323D．

3

12.2朝陽10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

12.2海淀（12已知三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐的俯視圖如圖所示，那么此三

22棱錐的體積是，左視圖的面積是.2俯視圖

12.2西城5．已知正六棱柱的底面邊長和側(cè)棱長均為2cm，其三視圖中的俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積是（）（A）43cm2（B）23cm2（C）8cm2

（D）4cm2

12懷柔4．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是腰長為1的等腰直角三角形，則這個幾何體的體積是主視圖

11左視圖A．

12B．1C．32D．2俯視圖

12房山4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的側(cè)面積為（）

4（A）2423（B）24（C）83（D）432側(cè)（左）視圖

主（正）視圖

俯視圖

12昌平4.已知空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體2積是

主視圖A.4左視圖

3B.83

C.4D.8

22俯視圖

3

12朝陽6.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長都為1，那么這個幾何體的表面積為正視圖

側(cè)視圖

A．

1

B．

362C．

3324D．3232俯視圖

12海淀（7）某幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，左視圖與

主視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是

主視圖（A）

203（B）

43（C）6（D）4

俯視圖

12西城13．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是_____；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是_____．

12.1東城6.給出下列命題：

①如果不同直線m、n都平行于平面，則m、n一定不相交；②如果不同直線m、n都垂直于平面，則m、n一定平行；③如果平面、互相平行，若直線m，直線n，則m//n.④如果平面、互相垂直，且直線m、n也互相垂直，若m則n.則真命題的個數(shù)是A．3

B．2C．1D．0

4

左12.2朝陽5.關(guān)于兩條不同的直線m,n與兩個不同的平面,，下列命題正確的是

12.2石景山4.設(shè)m,n是兩條不同的直線，,,是三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A．若m//n,m//,則n//C．若m//,n//,則m//n

B．若,,則//D．若m,n//,則mn

A．m//,n//且//，則m//nB．m,n且，則m//nC．m,n//且//，則mnD．m//,n且，則m//n

12東城（6）已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，那么下面給

出的條件中一定能推出m的是

（A），且m（B）m∥n，且n（C），且m∥（D）mn，且n∥12海淀（5）已知平面,和直線m，且m，則“∥”是“m∥”的

（A）充要條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既不充分也不必要條件12西城4．設(shè)m，n是不同的直線，，是不同的平面，且m,n.則“∥”是“m∥且n∥”的（）（A）充分而不必要條件（C）充要條件

5

（B）必要而不充分條件（D）既不充分又不必要條件

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北京市201*年高考數(shù)學最新聯(lián)考試題分類大匯編

一、選擇題：

（3）(北京市東城區(qū)201*年1月高三考試文科）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

a3a3（A）（B）a26a3a3（C）（D）

1218【答案】C

a正（主）視圖

a側(cè)（左）視圖

【解析】該幾何體為底面是直角邊為a的等腰直角三角形，

1a3高為a的直三棱柱，其體積為aaa。

22俯視圖

7．(北京市西城區(qū)201*年1月高三期末考試理科)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）（A）8（B）

8343（C）4（D）【答案】D

【解析】將三視圖還原直觀圖，可知是一

個底面為正方形（其對角線長為2），高為2的四棱錐，其體積為

第1頁共14頁1114VS正方形ABCD2222.

3323

A．m//,n//且//，則m//n

B．m,n且，則m//nC．m,n//且//，則mnD．m//,n且，則m//n

【答案】C體的體積為.

3233112第2頁共14頁正視圖側(cè)視圖

21俯視圖

（9）(北京市東城區(qū)201*年4月高考一模文科)已知一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是.

10.(201*年4月北京市房山區(qū)高三一模理科一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為.

三、解答題：

（17）(北京市東城區(qū)201*年1月高三考試文科）（本小題共14分）

如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，E是

4323PC中點，F(xiàn)為線段AC上一點.

（Ⅰ）求證：BDEF；

（Ⅱ）試確定點F在線段AC上的位置，使EF//平面PBD，并說明理由.

【命題分析】本題考查線線垂直和線面探索性問題等綜合問題�？疾閷W生的A第3頁共14頁

PEDFCB空間想象能力。證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性.本題第一問利用方法二進行證明；探求某

證明（Ⅰ）因為PA平面ABCD，

所以PABD．又四邊形ABCD是正方形，所以ACBD，PAACA，所以BD平面PAC,又EF平面PAC,

所以BDEF.………………7

分

PBD.………………14分

(16)（201*年4月北京市海淀區(qū)高三一模理科）（本小題滿分14分）

在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，AB^AD，

AB=4,AD=22,CD=2，PA^平面ABCD，PA=4.

（Ⅰ）設(shè)平面PAB平面PCDm，求證：CD//m；（Ⅱ）求證：BD平面PAC；

P第4頁共14頁

ACBD（Ⅲ）設(shè)點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為的值．

(16)（本小題滿分14分）

PQ3，求

PB3………………………………………5分

所以BD(4,22,0)，AC(2,22,0)，AP(0,0,4)，

所以BDAC(4)2222201*，BDAP(4)02201*0.

所以BDAC，BDAP.

因為APACA，AC平面PAC，PA平面PAC，

所以BD平面PAC.

ACDyzPBx………………………………………9分

第5頁共14頁由（Ⅱ）知平面PAC的一個法向量為BD(4,22,0).

………………………………………12分

17.(201*年3月北京市朝陽區(qū)高三一模文科)（本題滿分13分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ABD=90，EB平面

ABCD，EF//AB，AB=2，EF=1，BC=13，且M是BD的中點F.E

（Ⅰ）求證：EM//平面ADF；

（Ⅱ）在EB上是否存在一點P，使得CPD最大？若存在，請求出CPD的正切值；若不存在，請說明理由.（17）（本小題滿分13分）

A

DMBC（Ⅱ）解：假設(shè)在EB上存在一點P，使得CPD最大.

因為EB平面ABD，所以EBCD.

又因為CDBD，所以CD平面EBD.………………………8分

第6頁共14頁在RtCPD中，tanCPD=

CD.DP17．(北京市西城區(qū)201*年4月高三第一次模擬文)（本小題滿分14分）

如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥

AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF平面

ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC3，求證：NDFC；（Ⅲ）求四面體NFEC體積的最大值．

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：因為四邊形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MNEFCD．所以四邊形MNCD是平行四邊形，……………2分所以NC∥MD，………………3分因為NC平面MFD，

所以NC∥平面MFD．………………4分

（Ⅱ）證明：連接ED，設(shè)EDFCO．

第7頁共14頁因為平面MNEF平面ECDF，且NEEF，所以NE平面ECDF，……5分

所以FCNE．…………6分

9分

（Ⅲ）解：設(shè)NEx，則EC4x，其中0x4．

由（Ⅰ）得NE平面FEC，所以四面體NFEC的體積為VNFEC所以VNFEC11SEFCNEx(4x)．………11分321x(4x)2[]2．……………13分22當且僅當x4x，即x2時，四面體NFEC的體積最大．………………14分（17）(北京市東城區(qū)201*年4月高考一模理科)（本小題共13分）

圖1圖2

第8頁共14頁（17）（共13分）

（Ⅰ）證明：取BE中點D，連結(jié)DF.

因為AECF1，DE1，

所以AFAD2，而A60，即△ADF是正

三角形.

又因為AEED1,所以EFAD.…………2分所以在圖2中有A1EEF，BEEF.…………3分所以A1EB為二面角A1EF的B平面角.

圖1

又二面角A1EFB為直二面角，

所以A1EBE.…………5分又因為BEEFE,

所以A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.…………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A1E⊥平面BEP，BEEF，如圖，以E為原點，建立空間直角坐標系Exyz，

則E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，

F(0,3,0).

在圖１中，連結(jié)DP.因為

CFCP1，F(xiàn)APB21BEDE.2所以PF∥BE，且PF所以四邊形EFPD為平行四邊形.所以EF∥DP，且EFDP.

故點P的坐標為（1，3，0）.圖2

所以A1B(2,0,1)，BP(1,3,0)，EA1(0,0,1).…………8分

A1Bn0,不妨設(shè)平面A1BP的法向量n(x,y,z)，則BPn0.2xz0,即令y3，得n(3,3,6).…………10分x3y0.第9頁共14頁nEA163所以cosn,EA1.…………12分

2|n||EA1|143故直線A1E與平面A1BP所成角的大小為

.…………13分3（17）(北京市東城區(qū)201*年4月高考一模文科)（本小題共14分）

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別為AB，AC，BC上的點，且滿足AEFCCP1.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF2平面EFB，連結(jié)A1B，A1P.（如圖）

（Ⅰ）若Q為A1B中點，求證：PQ∥平面A1EF；（Ⅱ）求證：A1EEP.

圖1圖2（17）（共14分）

M，連結(jié)QM,MF．證明：（Ⅰ）取A1E中點

在△A1BE中，Q,M分別為A1B,A1E的中點，

所以QM∥BE，且QM因為

1BE．2CFCP1，F(xiàn)APB21BE，2所以PF∥BE,且PF所以QM∥PF，且QMPF．

第10頁共14頁所以四邊形PQMF為平行四邊形．

所以PQ∥FM．…………5分又因為FM平面A1EF，且PQ平面A1EF，

所以PQ∥平面A1EF．…………7分

（Ⅱ）取BE中點D，連結(jié)DF.

因為AECF1，DE1，

所以AFAD2，而A60，即△ADF是正三角形.

又因為AEED1,所以EFAD.

所以在圖2中有A1EEF.…………9分

EFB，平面A1EF平面EFBEF，因為平面A1EF平面

所以A1E⊥平面BEF.…………12分

又EP平面BEF，

所以A1E⊥EP.…………14分

17.(201*年3月北京市豐臺區(qū)高三一模文科)（本小題共14分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60，E是AD的中點，點Q在側(cè)棱PC上．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBE；

（Ⅱ）若Q是PC的中點，求證：PA//平面BDQ；

（Ⅲ）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，試求

CP的值．CQ⊥

．

17．證明：（Ⅰ）因為E是AD的中點，PA=PD，

所以ADPE……………………1分

因為底面ABCD是菱形，∠BAD=60，所以AB=BD，又因為E是AD的中點，所以AD⊥BE．……………………2

分

因為PE∩BE=E，……………………3

分

所以AD⊥平面PBE．……………………4

分

（Ⅱ）連接AC交BD于點O，連結(jié)OQ．

……………………5分

因為O是AC中點，Q是PC的中點，所以O(shè)Q為△PAC中位線．所以O(shè)Q第11頁共14頁

//因為

h1CPCP8．……………………14分，所以CQ3h2CQ17.(201*年4月北京市房山區(qū)高三一模理科（本小題共14分）

在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC=2,ABBC.點M,N分別是1ABCC1,B1C的中點，G是棱AB上的動點.

（I）求證：B1C平面BNG；

(II)若CG//平面AB1M，試確定G點的位置，并給出證明；

(III)求二面角MAB1B的余弦值.17．（本小題共14分）

(I)證明：∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，點N是B1C的中點，

∴BNB1C…………………………1分

ABBC,ABBB1,BB1BCB

∴AB⊥平面B1BCC1………………………2分

B1C平面B1BCC1

第12頁共14頁∴B1CAB，即B1CGB…………………3分又BNBGB

∴B1C平面BNG…………………………………4分

（II）當G是棱AB的中點時，CG//平面AB1M.……………………………5分證明如下:

連結(jié)AB1,取AB1的中點H，連接HG,HM,GC,則HG為AB1B的中位線∴GH∥BB11，GH2BB1…………………6分∵由已知條件，B1BCC1為正方形∴CC1∥BB1，CC1BB1∵M為CC1的中點，

(III)∵直三棱柱ABCA1B1C1且ABBC

第13頁共14頁

又平面B的法向量為BC1AB11(2,0,0)，

cosBC11,n=B1C1n1B=3，1C1n設(shè)二面角MAB1B的平面角為，且為銳角coscosB11C1,n3．

第14頁共14頁

……………………13分……………………14分

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