課外輔導(dǎo)---立體幾何總結(jié)

你的習(xí)慣決定你的一生千秋

201*年文科---------立體幾何

【知識(shí)提要】

1．熟悉以下幾何定理：

（1）直線和平面平行的判定定理（2）直線和平面平行的性質(zhì)定理（3）平面和平面平行的判定定理（4）平面和平面平行的性質(zhì)定理（5）直線和平面垂直的判定定理（6）直線和平面垂直的性質(zhì)定理（7）平面和平面垂直的判定定理（8）平面和平面垂直的性質(zhì)定理2．證明線線平行常用方法：（1）三角形中位線（2）平行四邊形對(duì)邊平行3．證明線線垂直常用方法：（1）勾股定理（2）等腰三角形三線合一（3）線面垂直4．證明題中常用的輔助線：（1）作線段中點(diǎn)（2）連結(jié)（平行四邊形）對(duì)角線

（3）作平行線（在求三視圖中用）

5．求棱錐的體積常用方法：（1）直接法（2）切割法（3）填補(bǔ)法（4）等積法6．求棱錐的高常有方法：（1）直接作高（2）利用已知或已證的線面垂直

（3）線面平行中，平行線上任何一點(diǎn)到平面距離處處相等

特別說(shuō)明：棱錐的高的長(zhǎng)度是頂點(diǎn)到底面的距離（點(diǎn)面距離）D1C1【考題回顧】（201*廣州調(diào)研）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體

E是CD的中點(diǎn)．ABCDA1BC11D1中，

（1）求證：AC1A1B1平面AD1E；

ADECBP，使得DP平面AD1E？若存在，（2）在對(duì)角線AC1上是否存在點(diǎn)

求出CP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

AB2．【變式訓(xùn)練】（調(diào)研理科）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1BC11D1中，ADAA11，

（1）當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí)，結(jié)論D1EA1D是否保持，請(qǐng)說(shuō)明理由．

D1C1B11解：

A

【考題回顧】（201*廣州一模）如圖6，正方形ABCD所在平面與三角形CDE

所在平面相交于CD，AE平面CDE，且AE3，AB6．

（1）求證：AB平面ADE；（2）求凸多面體ABCDE的體積．【變式訓(xùn)練】（一模理科）如圖6，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交

于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn)，AE3，圓O的直徑為9．

（1）求證：平面ABCD平面ADE；證明：

ADECBBACD圖5E-1-請(qǐng)保持良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣你的習(xí)慣決定你的一生千秋

【考題回顧】（201*廣州二模）在長(zhǎng)方體ABCDA,AA12,1BC11D1中,ABBC1點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N是AA1的中點(diǎn).

B1A1C1ND1（1）求證:MN//平面ACD；1（2）過(guò)N,C,D三點(diǎn)的平面把長(zhǎng)方體ABCDA1BC11D1截成

ADBCM兩部分幾何體,求所截成的兩部分幾何體的體積的比值.【高考訓(xùn)練】1．（09江西文）

如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以

BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M．

P（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求點(diǎn)O到平面ABM的距離．

M

DAOBC2．（09山東文）

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、

E1分別是棱AD、AA1的中點(diǎn).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A1D1C1B1（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

-2-

請(qǐng)保持良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

E1EADFCB你的習(xí)慣決定你的一生千秋

3．（08山東）

如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，

已知BD2AD8，AB2DC45．

（1）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；（2）求四棱錐PABCD的體積．

D

A4．（201*揭陽(yáng)二模）

如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，

DC平面ABC,AB2，tanEAB（1）證明：平面ACD平面ADE；

PMCB3．2V(x)表示三棱錐A－CBE體積，（2）記ACx，求V(x)的表達(dá)式；

（3）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求證：AD=CE．

-3-

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5．（201*江門二模）

如圖5(1)是一個(gè)正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中點(diǎn)．正三棱柱的正（主）視圖如圖5(2)．⑴求正三棱柱ABCA1B1C1的體積；⑵證明：A1B//平面ADC1；

⑶圖5(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個(gè)？（直接寫(xiě)出符合要求的平面即可，不必說(shuō)明或證明）

A1AA1A3C1CDB1(C1)3B1B

圖5(1)圖5(2)

【幾何客觀題精選】（201*揭陽(yáng)二模）

3．如圖是一正方體被過(guò)棱的中點(diǎn)M、N和頂點(diǎn)A、D截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖（或稱

C1正視圖）為（）

N

B1M

CDDCABAB

（201*湛江二模）

7．右圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，其中左視圖是等腰三角形，

22求該幾何體的體積（）A．2B．4C．

2B(C)2D．13-4-請(qǐng)保持良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

擴(kuò)展閱讀：高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)1

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八、立體幾何

一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：

⑹公理4⑴線線平行⑵⑶⑾三垂線定理⑺線線垂直三垂線逆定理⑻⑿⑼⑽線面垂直線面平行⑷⑸⒀⒂⒃面面平行⒁面面垂直

（1）線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線的兩直線平行。

⑶如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

⑹如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。⑿垂直于同一平面的兩直線平行。（2）線線垂直的判斷：

⑺在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

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⑻在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。

⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。（3）線面平行的判斷：

⑵如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。⑸兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。（4）線面垂直的判斷：

⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。

⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面。（5）面面平行的判斷：

⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（6）面面垂直的判斷：

⒂一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。二、其他定理：

（1）確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線；（2）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；

直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；

（3）等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；

如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；

（4）射影定理（斜線長(zhǎng)、射影長(zhǎng)定理）：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，

射影相等的兩條斜線段相等；射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng)；垂線段比任何一條斜線段都短。

（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；

②過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直

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線。

（7）過(guò)已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過(guò)這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。（8）如果直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。（9）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。三、唯一性定理：

（1）過(guò)已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。

（2）過(guò)已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過(guò)兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。

四、空間角的求法：（所有角的問(wèn)題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過(guò)直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所

成的角。異面直線所成角的范圍：0o90o；

注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時(shí)可找三角形的中位線。有的

還可以通過(guò)補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體再加上三個(gè)同樣的正方體，補(bǔ)成一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體。

（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為0o；②線面垂直：線面所成的角為90o；

③斜線與平面所成的角：范圍0o90o；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。

（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；

注意：還可以用射影法：cosS"S；其中為二面角l的大小，S為內(nèi)的

一個(gè)封閉幾何圖形的面積；S"為內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形在內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。

五、距離的求法：

（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線、面間的

距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng)。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。

注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：

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①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。

（2）線線距離：

關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出a,b的公垂線段；

②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過(guò)b而平行于a的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；

（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；六、常用的結(jié)論：

（1）若直線l在平面內(nèi)的射影是直線l，直線m是平面內(nèi)經(jīng)過(guò)l的斜足的一條直線，l與l所成的角為1，l與m所成的角為2,l與m所成的角為，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是coscos1cos2；（2）如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：

①Ⅰ、如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；

Ⅱ、經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上；Ⅲ、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上。

②垂線法：如果過(guò)平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上

的射影在過(guò)斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面

的交線上(面面垂直的性質(zhì)定理)；④整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過(guò)一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。（3）在四面體ABCD中：

①若ABCD,BCAD，則ACBD；且A在平面BCD上的射影是BCD的垂心。

②若ABACAD，則A在平面BCD上的射影是BCD的外心。

③若A到BC,CD,BD邊的距離相等，則A在平面BCD上的射影是BCD的內(nèi)心。（4）異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂

線段AA"的長(zhǎng)為d，在a,b上分別取一點(diǎn)E,F，設(shè)A"Em，

AFn；

E

A’a

A

E’bF

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則EF七、多面體：

（1）棱柱：

①定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

側(cè)棱不垂直于底面

側(cè)棱垂直于底面

底面是正多邊形

d2mn2mncos

22（如果E"AF為銳角，公式中取負(fù)號(hào)，如果E"AF為鈍，公式中取正號(hào)）

棱柱

柱；

斜棱柱直正棱

底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面

四棱柱

底面是矩形

平行六面體

底面是正方形

直平行六面體

棱長(zhǎng)都相等

長(zhǎng)方體正四棱柱正方體。

②性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形；Ⅱ、兩底面是全等多邊形；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形；

Ⅳ、長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和。

③面積：S直棱柱側(cè)ch（c是底周長(zhǎng)，h是高）④體積：V棱柱Sh12S側(cè)面d（S為底面積，h為高，d為已知側(cè)面與它對(duì)棱的距離）

（2）棱錐：

①定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾

何體叫做棱錐；

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；

②性質(zhì)：

Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，

截面的邊長(zhǎng)和底面的對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；

截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；

Ⅱ、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過(guò)四個(gè)直角三角形RtPOH，

RtPOB，RtPBH，RtBOH實(shí)現(xiàn)邊，高，斜高間的換算

③面積：S正棱錐④體積：V棱錐

（3）正四面體：

對(duì)于棱長(zhǎng)為a正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為

221312ch"（c為底周長(zhǎng)，h"為斜高）

P

Sh（S為底面積，h為高）

DO

ABa的正方體問(wèn)題。

HC

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對(duì)棱間的距離為

2263a（正方體的邊長(zhǎng)）

正四面體的高a（23l正方體體對(duì)角線）

正四面體的體積為

212a（V正方體4V小三棱錐313V正方體）11l正方體體對(duì)角線：l正方體體對(duì)角線6212l正方體體對(duì)角線正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為1:3（64612）

外接球的半徑為a（是正方體的外接球，則半徑）

內(nèi)切球的半徑為

（4）正多面體：

a（是正四面體中心到四個(gè)面的距離，則半徑16l正方體體對(duì)角線）

①定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱

的多面體叫做正多面體。

面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E面的形狀頂點(diǎn)的棱數(shù)正四面體446正三角形3正六面體6812正方形3正八面體8612正三角形4正十二面體正二十面體122030正五邊形3201*30正三角形5②歐拉公式：VFE2（V為簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，F(xiàn)為面數(shù)，E為棱數(shù)）En1n2nF2m1m2mV2

（ni表示各個(gè)面上的棱數(shù)，mi表示過(guò)各個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)）

八、球

（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。②球體：球面所圍成的幾何體。（2）性質(zhì)：

①任意截面是圓面（經(jīng)過(guò)球心的平面，截得的圓叫大圓，不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫小

圓）

兩點(diǎn)的球面距離，是指經(jīng)過(guò)球面上這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)。

②球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且rRd22，其中R為球半徑，r為截面

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半徑，d為球心的到截面的距離。

（3）面積公式：S球面4R（R為球半徑）；（4）體積公式：V球徑）

2433R（R為球半

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