八年級數(shù)學(xué)下冊 第18章勾股定理知識點(diǎn)與常見題型總結(jié)復(fù)習(xí) 人教新課標(biāo)版

第18章勾股定理復(fù)習(xí)

一．知識歸納１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)2c2，化簡可證．

DCHEFGbaAcB

方法二：

baaccbbccaab

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S412abc22abc2

大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

方法三：S1梯形2(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21122ab2c，化簡得證

用心愛心專心

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）

mn,2mn,mn2222（mn,m，n為正整數(shù)）

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．

８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體

用心愛心專心

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．

９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個三角形的面積為

分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時可根據(jù)勾股定理列方程求解

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長

CD12EAB

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結(jié)合起來

用心愛心專心

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

CAB

題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了m

AEBDC

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長為a，b，c，判定ABC是否為Rt①a1.5，b2，c2.5②a54，b1，c23

例7.三邊長為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm，求證：ABAC

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新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點(diǎn)和典型例習(xí)題

一、基礎(chǔ)知識點(diǎn)：１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：

DHEFbAcGaC1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化簡可證．

2方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角1三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2大正方形面積為

2BbacabS(ab)a2abb所以abc

bc222222c111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化簡得證

222３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。４.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC中，C90，

BcbaaAaDbccbEaC則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”

來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作

比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；

②若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，

c為三邊的三角形是銳角三角形；③定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，

c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：

n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

1

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．８.勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題

CCC30°的解決．常見圖形：

ABADBBDA

10、互逆命題的概念

如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。

C二、經(jīng)典例題精講

題型一：直接考查勾股定理

例題1例１.在ABC中，C90．

ADB⑴已知AC6，BC8．求AB的長

⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二：利用勾股定理測量長度

例題2如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！

例題3如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.

解析：x+1.5=（x+0.5）解之得x=2.題型三：勾股定理和逆定理并用

2222

例題4如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB是直角三角形嗎？為什么？設(shè)：B長度為4a，那么FB=a。注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長度例題5如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵�！鄕=3(cm),即CE=3cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直1AB那么△DEF4例題6如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？（于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。）例題7有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的邊長.分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點(diǎn)B逆時針選擇60°，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.

變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究BE、CF、EF間的關(guān)系，并說明理由.

3

2題型七：關(guān)于翻折問題

例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，BC=4,求BC’的長.

題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？

題型九：關(guān)于最短性問題

例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？

4

勾股定理測試題

一、選擇題

1.下列各數(shù)組中，不能作為直角三角形三邊長的是()A.9,12,15B.5,12,13C.6,8,10D.3,5,7

2.分別以下列五組數(shù)為一個三角形的邊長：①6，8，10；②13，5，12③1，2，3；④9，40，41；

111⑤32，42，52.其中能構(gòu)成直角三角形的有（）組

A.2B.3C.4D.5

3.將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形()A.可能是銳角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是鈍角三角形

4.在測量旗桿的方案中，若旗桿高為21m，目測點(diǎn)到桿的距離為15m，則目測點(diǎn)到桿頂?shù)木嚯x為（設(shè)目高為1m）()

A.20mB.25mC.30mD.35m

5.一等腰三角形底邊長為10cm，腰長為13cm，則腰上的高為()

A.12cmB.

C.D.

6．已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是（）A.

533B.3C.3+2D.22

二、填空題

7.如圖,64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字母A所代表的正方形面積是_______.

(第5題)（第6題)_

8.如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前有______米.9.已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，這時甲、乙兩人相距.

10.一個長方形的長為12cm，對角線長為13cm，則該長方形的周長為.

11.以直角三角形的三邊為邊向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，則Sk＝.12.直角三角形兩條直角邊的長分別為5、12，則斜邊上的高為.13．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，則AC的長必為______cm.

三、解答題

10.假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？

5

11.P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBEBP＝a.求：以PE為邊長的正方形的面積.

的位置，若

12.已知:如圖13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC邊上的高.

13.從旗桿的頂端系一條繩子，垂到地面還多2米，小敏拉起繩子下端繃緊，剛好接觸地面，發(fā)現(xiàn)繩子下端距離旗桿底部8米，小敏馬上計算出旗桿的高度，你知道她是如何解的嗎？

13.如下圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他的小屋位于他的南7km東8km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

小河北A牧童東

B小屋

6

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