考研數(shù)學熱點問題之高等數(shù)學篇超強總結(jié)

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考研數(shù)學熱點問答之高等數(shù)學篇

答疑名師：陳文燈黃先開曹顯兵1.目前階段高數(shù)應該如何準備呢？

答：高數(shù)是數(shù)學內(nèi)容最多的一部分，數(shù)學1要60%高等數(shù)學，數(shù)學2考到80%，數(shù)學3、數(shù)學4也要考到50%的分數(shù)，我想這部分分塊，函數(shù)極限或者連續(xù)這一塊的重點是什么？這個時候把握一下重點是我們求極限的是不定式的極限或者兩個重要的極限，另外函數(shù)的連續(xù)性的探討這是考試的重點，導數(shù)和微分，其實重點不是給一個函數(shù)考導數(shù)，所以導數(shù)這個地方的

重點是導數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導性。另外就是積分，定積分，分段函數(shù)的積分，分段函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)，總而言之看上不好處理的函數(shù)的積分是考試的重點，而且一定要注意積分的對稱性，我們要利用分段積分去掉絕對值把積分求出來，另外就是中值定律這個地方一般每年要考一個題，看看以往考過什么樣的題型。多維函數(shù)的微積分，一個是多維隱函數(shù)的求導，包括復合函數(shù)這是考試的重點。二成積分的計算，當然數(shù)學1里面還包括了三成積分，這里面每年都考一個題目。另外曲線和曲面積分，這也是必考的。一階的YZ方程，還有無窮奇數(shù)，無窮奇數(shù)的求和，主要是間接的展開法，重點主要是這些。2.多元函數(shù)微積分是新增加的知識點，您能否講講這一塊應該怎樣復習？二重積分如何復習？

答:函數(shù)微積分因為是第一年增加，所以都會考最基本的內(nèi)容，像線性代數(shù)增加的時候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級積分交換基本次序，這個你一定要會。積分的區(qū)域要畫出來，各級函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個區(qū)域。穿進就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個基本原則掌握了，考試就不會有問題了。3.請問在數(shù)學二中今年考試大綱中新增多元微分考試要求，請問今年考試如何把握？

答：數(shù)學二這位網(wǎng)友說的不對，增加了多元函數(shù)的微分和積分，201*年這個章節(jié)肯定得考，每年新增加一章內(nèi)容肯定要考，不象增加一個小小知識點不一定考，增加一個整個章節(jié)肯定得考。而且考試的難度應該是最基本的，你這個基本知識、基本概念、基本計算方法掌握了基本就可以了。一個是微分這個地方，

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多元函數(shù)微分重點在復合函數(shù)的偏導數(shù)，尤其是隱函數(shù)的偏導數(shù)，你不要做太復雜的，你做一些簡單的就可以了。數(shù)學二的同學只要把基本的多元復合函數(shù)、多元隱函數(shù)的偏導數(shù)掌握就可以了。另外一個地方要注意的是積分的計算，這個地方也是個重點，多元函數(shù)微分和積分。X型區(qū)域、Y型區(qū)域怎么樣找到積分限，計算方法你掌握了這個題是沒有問題的。4.請問一下高數(shù)如何復習能抓住分？

答:數(shù)學要考高分首先要明確數(shù)學要考些什么。我個人的理解和看法數(shù)學主要是考四個方面，一個考基礎，包括基本概念、基本理論、基本運算，數(shù)學本來就是一門基礎的學科，如果基礎、概念、基本運算不太清楚，運算不太熟練那你肯定是考不好的。所以基礎一定要打扎實。

我覺得高數(shù)的基礎應該著重放在極限、導數(shù)、不定積分這三方面，后面當然還有定積分、一元微積分的應用，還有中值定理、多元函數(shù)、微分、線面積分等等內(nèi)容，這些內(nèi)容可以看著剛才我所說的三部分內(nèi)容的聯(lián)系和應用，這就是它的基礎。

數(shù)學要考的第二部分就是簡單的分析綜合能力。因為現(xiàn)在高數(shù)中的一些考題很少有單純考一個知識點的，一般都是多個知識點的綜合。還有一個就是數(shù)學的建模能力，也就是解應用題的能力。解應用題這方面就比較不好說了，因為它要求的知識面比較廣了，包括數(shù)學的知識比較要扎實，還有幾何、物理、化學、力學等等這些好多知識。當然它主要考的就是數(shù)學在幾何中的應用，在力學中的應用，在物理中的吸引力、電力做功等等這些方面。數(shù)學要考的第四個方面就是你的運算的熟練程度，換句話說就是你解題的速度。如果能夠圍繞著這幾個方面進行復習，數(shù)學考高分我想還是完全可能的。

從一些研究生介紹的經(jīng)驗來看，他們也都是這樣做的。說到解題速度，我個人認為一個方面在頭腦中應該儲存著一些最基本的運算結(jié)果。比方說A的平方減X平方，開平方，圓在零至A上的積分就等于四分之πA的平方。還有就是我們有些最基本的一些公式，像SinX的n次方在零到二分之π上，其結(jié)果當N是奇數(shù)的時候，當N是偶數(shù)的時候它們的結(jié)果馬上就知道。再比方函數(shù)像LogX加上根號A平方減X平方括號它的導數(shù)，我們馬上就應該知道，就是等于根號A平方加X平方分之一，這個應該馬上就知道，免得再去計算。再比如常用的變量替換要記住，還有就是常用的一些輔助函數(shù)的做法要記得非常牢。所以腦子中有這些基本的儲存，到時候做題就快了。

當然了最重要的是平時還是要多加訓練，我覺得有的同學就認為現(xiàn)在數(shù)學應該放一放，該看看其他的學科了。這種做法是不對的！數(shù)學應該一抓到底，應該經(jīng)常練，一天至少保證三個小時。把我們平時講的一些概念、定理、公式復習好，牢牢地記住。同時數(shù)學還是一種基本技能的訓練，像騎自行車一樣。盡管你原來騎得非常好，非常溜，但是你長時間不騎，你再騎總有點不習慣。所以經(jīng)常練習是很重要的，天天做、天天看，一直到考試的那一天。這樣的話，就絕對不會生疏了，解題速度就能夠跟上去。

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5.多元函數(shù)微積分是新增加的知識點，這一塊應該怎樣復習？二重積分如何復習？

答：函數(shù)微積分因為是第一年增加，所以都會考最基本的內(nèi)容，像線性代數(shù)增加的時候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級積分交換基本次序，這個你一定要會。積分的區(qū)域要畫出來，各級函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個區(qū)域。穿進就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個基本原則掌握了，考試就不會有問題了。

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擴展閱讀：Qctkmq考研數(shù)學總結(jié)高數(shù)篇

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。

－－泰戈爾

上冊：

函數(shù)（高等數(shù)學的主要研究對象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）函數(shù)的極限（一般）

極限的本質(zhì)是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點的具體情況，所以函數(shù)在某點的極限與函數(shù)在該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點的極限等于函數(shù)在該點的取值連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近

導數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數(shù)可微分了

不定積分：導數(shù)的逆運算什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數(shù)學里最重要的數(shù)學思想方法：微元法

微分和導數(shù)的應用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個問題：一、這些多項式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項式的系數(shù)，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數(shù)的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的下冊（一）：

多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數(shù)值是否相等

導數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導數(shù)反映的是函數(shù)在某點處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點處函數(shù)的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)��?shù)的概念

沿坐標軸方向的導數(shù)若存在，稱之為偏導數(shù)

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)��?shù)與偏導數(shù)存在一定關系，可用偏導數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數(shù)若連續(xù)，則求導次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數(shù)存在，不能推出用線性關系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數(shù)存在不一定有微分存在

若偏導數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導數(shù)和可微的關系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復雜

極值：若函數(shù)在一點取極值，且在該點導數(shù)（偏導數(shù)）存在，則此導數(shù)（偏導數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點的極值情況，即函數(shù)在該點附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結(jié)果應該是這個空間區(qū)域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉(zhuǎn)情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結(jié)果應該表示的是這個曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當于一個區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質(zhì)

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零即從該閉合曲線上任選一點出發(fā)，積分與路徑無關相當于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數(shù)，這是一個場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)所得的勢函數(shù)的梯度正好就是原來的力場因為力場函數(shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分

總習題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導數(shù)有關的一些說法，其中的干擾項（B）（C）設置的比較巧妙，因為平時我們一般只注意到導數(shù)在某點存在的條件是左右導數(shù)都存在且相等，容易忽視另一個重要條件：函數(shù)必須要在該點連續(xù)，否則何來可導？而（B）（C）項的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)，因為根本就沒出現(xiàn)f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項來說只能保證右導數(shù)存在。只有（D）項是能確實的推出可導的

3物理應用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導數(shù)，不難，應該掌握

5常見題型，判斷函數(shù)在間斷點處的導數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點處的連續(xù)性和可導性，均按定義即可

7求函數(shù)的導數(shù)，計算層面的考察，第二章學習的主要內(nèi)容

8求二階導數(shù)，同上題

9求高階導數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數(shù)的導數(shù)，重要，常考題型

11求參數(shù)方程的導數(shù)，同樣是常考題型

12導數(shù)的幾何應用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習題都比較難，需要多總結(jié)和體會解題思路

總習題三

1零點個數(shù)的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導的符號來判斷函數(shù)增量與導數(shù)、微分的大小關系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構造適當?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達法則應用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數(shù)的這類問題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設計的很好，需要注意題目條件中并未給出f""可導，故不能連用兩次洛必達法則，只能用一次洛必達法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開，都能得到結(jié)果，此題考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應用的一個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的……因為這有效的鍛煉了思維。

總習題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個是需要適當?shù)木毩暡拍馨盐蘸玫模��?題涉及積分上限函數(shù)求導，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現(xiàn)的錯誤，需細心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設計巧妙的重點題目

9同樣是利用導數(shù)證明不等式，只不過對象變得比一般函數(shù)復雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習

綜上，總習題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應用

1物理應用，跳過

2所涉及到的圖形較為復雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個提高性質(zhì)的練習

3重點題，積分的幾何應用和極值問題相結(jié)合，常考題型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習題十需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級數(shù)對數(shù)三無要求

總習題十一

1填空，涉及級數(shù)斂散性的相關說法，重要

2判斷正項級數(shù)的收斂性，典型題，綜合應用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時實際就是比較兩個通項是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數(shù)的概念題，重點題型之一，要利用級數(shù)收斂的相關性質(zhì)判斷

4設置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數(shù)成立，也是重點題型之一

5判斷級數(shù)的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習來加強對這類題目的熟練度

6利用收斂級數(shù)的通項趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求冪級數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過對通項作變形（逐項積分或求導等），再利用已知的常見函數(shù)的展開式得到結(jié)果，注意求出和函數(shù)不要忘記相應的收斂域。

9利用構造冪級數(shù)來求數(shù)項級數(shù)的和，也是一類重要題型

10將函數(shù)展開為冪級數(shù)，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級數(shù)的相關題目，基本題，此類題目記得相應的系數(shù)表達式就可解決，一般來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數(shù)展開的系數(shù)公式難記，只能平時多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點展開后的傅氏級數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習題十一需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對數(shù)四不作要求，下面不再詳細說明

總習題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數(shù)一要求

2通過解的形式觀察出相應的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要

3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習，基本對各種方程的解法有一定了解，同時也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應用，基本題

6微分方程的物理應用，不作要求

7由積分方程推導微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數(shù)一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對應關系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習，數(shù)一要求

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