第一篇：費(fèi)馬點(diǎn)

費(fèi)馬點(diǎn)定義費(fèi)馬點(diǎn)定義費(fèi)馬點(diǎn)定義費(fèi)馬點(diǎn)定義 在一個多邊形中，到每個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個多邊形的費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)。在平面三角形中: (1).三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于三內(nèi)角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，，，分別以分別以分別以分別以 ab,bc,ca，，，，為邊為邊為邊為邊，，，，向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形向三角形外側(cè)做正三角形abc1,acb1,bca1,然后連接然后連接然后連接然后連接aa1,bb1,cc1,則三線交于一點(diǎn)則三線交于一點(diǎn)則三線交于一點(diǎn)則三線交于一點(diǎn)p,則點(diǎn)則點(diǎn)則點(diǎn)則點(diǎn)p就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).(2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度度度度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (3)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)△△△△abc為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時,此時外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合此時外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合此時外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合此時外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合 證明證明證明證明(1)費(fèi)馬點(diǎn)對邊的張角為120度。 △cc1b和△aa1b中,bc=ba1,ba=bc1,∠cbc1=∠b+60度=∠aba1, △cc1b和△aa1b是全等三角形,得到∠pcb=∠pa1b 同理可得∠cbp=∠ca1p 由∠pa1b+∠ca1p=60度，得∠pcb+∠cbp=60度,所以∠cpb=120度 同理,∠apb=120度，∠apc=120度 (2)pa+pb+pc=aa1 將△bpc以點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△bda1重合，連結(jié)pd，則△pdb為等邊三角形，所以∠bpd=60度 又∠bpa=120度，因此a、p、d三點(diǎn)在同一直線上， 又∠apc=120度，所以a、p、d、a1四點(diǎn)在同一直線上，故pa+pb+pc=aa1。 (3)pa+pb+pc最短 在△abc內(nèi)任意取一點(diǎn)m（不與點(diǎn)p重合），連結(jié)am、bm、cm，將△bmc以點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△bga1重合，連結(jié)am、gm、a1g(同上)，則aa1<a1g+gm+ma=am+bm+cm.所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個頂點(diǎn)a、b、c的距離最短。 淺談三角形的費(fèi)馬點(diǎn)法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最�。�人們稱這個點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．這是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻(xiàn)對此介紹．本文試以課本上的習(xí)題、例題為素材，根據(jù)初中學(xué)生的認(rèn)知水平，針對這個問題擬定一則思維訓(xùn)練材料，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思維和學(xué)習(xí)，初步了解這個問題的產(chǎn)生、形成、推理和論證過程及應(yīng)用．1．三角形的費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬（pierre de fermat,1601--1665） 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。生于博蒙德羅曼。其父曾任法國圖盧茲地方法院的法律顧問。本人身為律師，曾任圖盧茲議會的顧問30多年。他的一系列重要科學(xué)研究成果，都是利用業(yè)余時間完成的。費(fèi)馬在數(shù)學(xué)方面作出了卓越的貢獻(xiàn)，早年主要研究概率論，對于數(shù)論和解析幾何都有深入研究。他對微分思想的運(yùn)用比牛頓和萊布尼茲還要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一書中，已對微分理論進(jìn)行了比較系統(tǒng)的探討。他把直線平面坐標(biāo)應(yīng)用于幾何學(xué)也早于笛卡兒，在其所著〈平面及空間位置理論的導(dǎo)言〉中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截線，對一次與二次方程的一般形式，也進(jìn)行了研究。費(fèi)馬還研究了對方程ax2+1=y2整數(shù)解的問題。得出了求導(dǎo)數(shù)所有約數(shù)的系統(tǒng)方法。著名的費(fèi)馬大定理是費(fèi)馬提出的至今尚未解決的問題。1637年費(fèi)馬提出：“不可能把一個整數(shù)的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數(shù)大于2的方冪表示成兩個同方冪的和�！�1665年這一定理提出后，引起了許多著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結(jié)果。

費(fèi)馬在光學(xué)方面，確立了幾何光學(xué)的重要原理，命名為費(fèi)馬原理。這一原理是幾何光學(xué)的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質(zhì)中比在疏媒質(zhì)中傳播要快”的觀點(diǎn)給予了有力的反駁，把幾何光學(xué)的發(fā)展推向了新的階段。

幾何光學(xué)已有悠久的發(fā)展歷史。公元前400年，我國《墨經(jīng)》中便有光的直線傳播和各種面鏡對光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（hero）曾提出過光在兩點(diǎn)之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對光的折射進(jìn)行過研究。公元1611年開普勒對光學(xué)的研究達(dá)到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結(jié)出了光的折射定律。費(fèi)馬則是用數(shù)學(xué)方法證明了折射定律的主要學(xué)者之一。費(fèi)馬原理是根據(jù)經(jīng)濟(jì)原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播�？梢岳斫鉃椋�光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。費(fèi)馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費(fèi)馬原理的確立，幾何光學(xué)發(fā)展到了費(fèi)馬（pierre de fermat )是法國數(shù)學(xué)家，1601年8月17日出生于法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最�。�人們稱這個點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”.引例：有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現(xiàn)要確定供水站的位置以使所需管道總長最�。繉⒋藛栴}用數(shù)學(xué)模型抽象出來即為：在△ abc中確定一點(diǎn)p，使p到三頂點(diǎn)的距離之和pa+pb+pc最小。解法如下：分別以ab ac為邊向外側(cè)作正三角形abd ace 連結(jié)cd be交于一點(diǎn)，則該點(diǎn) 即為所求p點(diǎn)。證明：如下圖所示。連結(jié)pa、pb、pc,在△abe和△acd中，ab=ad ae=ac ∠bae=∠bac+60° ∠dac=∠bac+60°=∠bae ∴△abe全等△acd�！� ∠abe=∠adc 從而a、d、b、p四點(diǎn)共圓∴∠apb=120° ， ∠apd=∠abd=60°同理：∠apc=∠bpc=120°以p為圓心，pa為半徑作圓交pd于f點(diǎn)，連結(jié)af，以a為軸心將△abp順時針旋轉(zhuǎn)60°，已證∠apd=60°∴△apf為正三角形�！嗖浑y發(fā)現(xiàn)△abp與△adf重合�！郻p=df pa+pb+pc=pf+df+pc=cd另在△abc中任取一異于p的點(diǎn)g ，同樣連結(jié)ga、gb、gc、gd，以b為軸心將△abg逆時針旋轉(zhuǎn)60°，記g點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到m點(diǎn).。則△abg與△bdm重合，且m或 在 線 段dg上 或 在dg外。gb+ga=gm+md≥gdga+gb+gc≥gd+gc>dc。從而cd為最短的線段。以上是簡單的費(fèi)馬點(diǎn)問題，將此問題外推到四點(diǎn)，可驗(yàn)證四邊形的對角線連線的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)。較為完善的程度。

第二篇：費(fèi)馬點(diǎn)簡潔證明

費(fèi)馬點(diǎn)(fermat point)

一、前言

費(fèi)馬(pierre de fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務(wù)員，他利用閒暇的時間研究數(shù)學(xué)，他從未發(fā)表他的研究發(fā)現(xiàn)，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數(shù)學(xué)家保持通信。曾經(jīng)，費(fèi)馬是歐洲所有數(shù)學(xué)研究進(jìn)展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，『要找出三角形裡最小點(diǎn)的位置，這個最小點(diǎn)是指這點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離總和為最短』。

「在平面上找一個點(diǎn)，使此點(diǎn)到已知三角形三個頂點(diǎn)的距離和為最小」，這個點(diǎn)就是所謂的費(fèi)馬點(diǎn)(fermat point)，這個問題可以應(yīng)用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。

二、找費(fèi)馬點(diǎn)

在平面上一三角形abc，試找出內(nèi)部一點(diǎn)p，使得pa?pb?pc為最小。首先，讓我們先找到p點(diǎn)的性質(zhì)，再來研究怎麼做出p點(diǎn)。

p點(diǎn)有什麼性質(zhì)呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學(xué)裡，我們學(xué)過三角形的內(nèi)心、外心、重心以及垂心，p點(diǎn)和這些心之間有關(guān)聯(lián)嗎？還是和有些線段長、角度大小有關(guān)係呢？

?apb、?bpc和?cpa很接近，這三個角度有何關(guān)聯(lián)？

【解法1】

1如右圖，以b點(diǎn)為中心，將?apb旋轉(zhuǎn)60?到?c"bp" ○

因?yàn)樾�轉(zhuǎn)60?，且pb?p"b，所以?p"pb為一個正三角形?pb?p"p

因此，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc

由此可知當(dāng)c"、p"、p、c四點(diǎn)共線時，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc為最小

2若c"?p"?p共線時，則 ○

???bp"p?60???c"p"b??apb?120

同理，若p"?p?c共線時，則??bpp"?60???bpc?120?

所以p點(diǎn)為滿足?apb??bpc??cpa?120?的點(diǎn)

。

但是，該用什麼方法找出p點(diǎn)呢？

a"

以?abc三邊為邊，分別向外作正三角形abc"、a"bc、ab"c

連接aa"、bb"、cc"

aa"、bb"、cc"三線共點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為p，即為所求

【證明1】

(在解法1曾提到若pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc，即c"p"pc四點(diǎn)共線時，小值，所以p要在cc"上。)

a"

??abb"??ac"c??1??2

則?dpb~?dac"，得?3??4?60? 在pc"上取點(diǎn)p"，使得bp?bp"??bpp"為正三角形

則?abp??c"bp"，得ap?c"p"

所以pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc?c"c

【證明2】 pa?pb?pc?c"c有最

所以?cpa"?60? a" ?apb??bpc??cpa?120?，又a"bpc四點(diǎn)共圓(??bpc??ba"c?180?)

故?apc??cpa"?180?，因此p在aa"上 同理可證p在bb"、cc"上，

故p為aa"、bb"、cc"三線交點(diǎn)

三、畫出費(fèi)馬點(diǎn)

經(jīng)過上面的討論，可以知道，在平面上?abc，想找出一點(diǎn)p，使pa?pb?pc為最小，方法為：分別以ab、bc為邊長做出正三角形?abc"及?a"bc，連接aa"、cc"，兩線交於一點(diǎn)p，p點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。

使用上述方法需要注意到一點(diǎn)，?abc的每一個內(nèi)角均小於120?，如果其中有一內(nèi)角大於120?，那麼p點(diǎn)就是?abc最大內(nèi)角的頂點(diǎn)。

第三篇：費(fèi)馬最后定理的歷史過程

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1007班廖亞平

被公認(rèn)執(zhí)世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標(biāo)題是“在陳年數(shù)學(xué)困局中，終於有人呼叫?我找到了?”。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀(jì)歐洲學(xué)袍的男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（pierre de fermat）（費(fèi)馬小傳請參考附錄）。費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗�的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，在三百六十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)容是有關(guān)一個方程式 xn + yn =zn的正整數(shù)解的問題，當(dāng)n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當(dāng)然有整數(shù)解（其實(shí)有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。

費(fèi)馬聲稱當(dāng)n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數(shù)解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法找到整數(shù)解。

當(dāng)時費(fèi)馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費(fèi)馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀(jì)難題的費(fèi)馬最後定理也就成了數(shù)

學(xué)界的心頭大患，極欲解之而後快。

十九世紀(jì)時法國的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六０年兩度懸賞金質(zhì)獎?wù)潞腿�百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞。德國的數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾（p. m.seogis.comat）是十七世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，1601年8月20日生於法國南部土魯士（toulous）附近的一個小鎮(zhèn)，父親是一個皮革商，1665年1月12日逝世。

費(fèi)馬在大學(xué)時專攻法律，學(xué)成後成為專業(yè)的律師，也曾經(jīng)當(dāng)過土魯士議會議員。

費(fèi)馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學(xué)者，精通數(shù)國語言，對於數(shù)學(xué)及物理也有濃厚的興趣，是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認(rèn)真專研數(shù)學(xué)，但是他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)使他贏得業(yè)余王子（the prince of amateurs）之美稱。這個頭銜正足以表彰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一級成就，他在笛卡兒（descartes）之前引進(jìn)解析幾何，而且在微積分的發(fā)展上有重大的貢獻(xiàn)，尤其為人稱道的是費(fèi)馬和巴斯卡(pascal)被公認(rèn)是機(jī)率論的先驅(qū)。然而人們所津津樂道的則是他在數(shù)論上的一些杰作，例如費(fèi)馬定

理（又稱費(fèi)馬小定理，以別於費(fèi)馬最後定理）：ap&ordm; a(modp)，對任意整數(shù)a及質(zhì)數(shù)p均成立。這個定理第一次出現(xiàn)於1640年的一封信中，此定理的證明後來由歐拉（euler）發(fā)表。費(fèi)馬為人非常謙虛、不尚名利，生前很少發(fā)表論文，他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札記，但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費(fèi)馬最后定理，費(fèi)馬天生的直覺實(shí)在是異常敏銳，他所斷言的其他定理，後來都陸續(xù)被人證出來。有先見之明的費(fèi)馬實(shí)在是數(shù)學(xué)史上的一大奇葩

第四篇：心靈的房間

心靈的房間

心靈的房間，不打掃就會落滿灰塵。蒙塵的心，會變得灰色和迷茫。我們每天都要經(jīng)歷很多事情，開心的，不開心的，都在心里安家落戶。心里的事情一多，就會變得雜亂無序，然后心也跟著亂起來。有些痛苦的情緒和不愉快的記憶，如果充斥在心里，就會使人委靡不振。所以，掃地除塵，能夠使黯然的心變得亮堂；把事情理清楚，才能告別煩亂；把一些無謂的痛苦扔掉，快樂就有了更多更大的空間。

浙江金華白龍橋?qū)嶒?yàn)小學(xué)三年級:鄭志豪80

第五篇：我的房間

我的房間

我們每個人都有自己的一個小房間，我也是，我把它稱為是我的小天地，我非常喜歡它，它給我?guī)�來了無限的快樂，接下來，我便大家介紹一下吧！打開門，走進(jìn)我的房間，首先映入眼簾的是我那張暖和又舒適的床，花兒有綠的、紅的、黃的、還有草地的青翠，這便是床單和被子的顏色，活潑動感的色彩搭配，絕對是家中一道亮麗的風(fēng)景。床的左邊是一個大衣柜，里面的衣服靜靜地掛著，也沒什么新鮮的。床的右邊是一張象牙白的寫字臺；上面放著一個銀灰色的小臺燈，我在晚上用它來照明、看書、寫作業(yè)；在它的旁邊還放著一個很漂亮的功夫熊貓玩具和一個紅色的鬧鐘，它每天早上都會準(zhǔn)時的叫我起床，使我不得不從美夢中醒來，再往它的旁邊看，你就會發(fā)現(xiàn)一個相當(dāng)可愛的筆筒，它是米奇的形狀，筆筒放了一袋圓珠筆管、兩個中性筆殼、一只可擦水筆，一只2b鉛筆。還有削筆器、計(jì)算器等等。有桌子當(dāng)然也有椅子，那是一把粉紅色的椅子，寫字臺的右邊是一整面四扇明亮的落地窗，它被一個落地窗簾罩住了，窗簾上有一片片五顏六色的葉子，在炎熱的夏天，我看著窗簾就會想到秋天，那一片片的葉子，似乎讓我感覺到一陣陣秋風(fēng)的涼意，心情便不再浮躁，而是變得十分寧靜的。特別是冬天，每當(dāng)清晨太陽就會透過落地窗照射進(jìn)房間里，使我覺得暖洋洋的。床的正對面是一張長方形的原木電視矮柜，上面擺放著一臺48英寸等離子高清電視，每到周末，它便是我的“忠實(shí)好友”，它能帶領(lǐng)我進(jìn)入更精彩的世界，縱觀世間趣聞。左邊是一個胡桃木五層的書柜。上面是媽媽的書，大部份是一些養(yǎng)生，醫(yī)學(xué)，保健的書，而下面則是我的“私人財(cái)產(chǎn)”書柜里裝著歡我平時最喜看的書。什么課外閱讀、訂閱的書刊，窗邊的小豆豆，查理與大玻璃升降機(jī)、十萬個為什么??真是琳瑯滿目，令人眼花繚亂。盡管數(shù)量很多，他們還是按高矮個擺放得很整齊。它用其獨(dú)特的魅力，把我引入知識的海洋。書柜的正上方是一臺美的空調(diào)，在炎熱的夏天，開啟空調(diào)，會感到很涼爽；在寒冷的冬天，開啟空調(diào)，會感到好溫暖。好舒服�？照{(diào)的功能真不錯！我房間的白墻上有我小時侯的涂鴉作品。嘻嘻~在我房間的頂上有一盞太陽圖案的大吊燈，它總能讓我進(jìn)入甜甜的夢鄉(xiāng)。

這就是我的房間，可愛、漂亮、我愛我的房間！更愛我的爸爸媽媽，是他們給予我這珍貴的、溫馨的房間。

福建福州鼓樓區(qū)井大小學(xué)四年級:夢想天空

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