第一篇：等差數(shù)列教案4

等差數(shù)列（1）

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解等差數(shù)列的定義，掌握通項公式及其簡單應(yīng)用，初步領(lǐng)會“迭加”的方法；

2．通過通項公式的探求，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)歸納、猜測、證明等合情推理與邏輯推理方法，提高學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；

3．通過證明的教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神．

設(shè)計思想

1．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容，我們選用“探究發(fā)現(xiàn)式”教學(xué)法，并按如下順序逐步展開：

(1) 給等差數(shù)列下定義；

(2) 等差數(shù)列通項公式的探求；

(3) 通項公式的初步應(yīng)用．

2．在講等差數(shù)列概念之前，學(xué)生對數(shù)列的定義及通項公式已有所理解．在此基礎(chǔ)上，通過引導(dǎo)學(xué)生對幾個具體數(shù)列共性（差相等）的觀察研究，讓學(xué)生自己給等差數(shù)列下定義────把命名權(quán)交給學(xué)生，旨在充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．

3．“觀察───歸納───猜想───證明”是獲得發(fā)現(xiàn)的重要途徑．因此，在探求等差數(shù)列的通項公式時，我們選擇了上述途徑，一方面可提高學(xué)生的合情推理與邏輯推理能力，另一方面，為落實教學(xué)目標(biāo)打下了堅實的基礎(chǔ)．

課題引入

通過請學(xué)生觀察幾個具體的數(shù)列的特點．例如：

(1) 1，4，7，10，?；

(2) 3，－1，－5，－9，?；

(3) 5，5，5，5，?，

并由學(xué)生自行分析（必要時老師可作點撥）得出“從第2項起每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)”這一共性，隨即請學(xué)生給這類數(shù)列命名（學(xué)生易將這類數(shù)列稱作“差相等的數(shù)列”或“等差數(shù)列）”，師肯定學(xué)生的回答，或稍作提煉，并順?biāo)�推舟，指出這是我們今天將要研究的內(nèi)容───等差數(shù)列（板書），以此引出課題．

知識講解

1．關(guān)于等差數(shù)列的定義

(1) 教學(xué)模式：由學(xué)生觀察分析幾個具體數(shù)列的共性───給這類數(shù)列命名（等差數(shù)列）───給等差數(shù)列下定義───分析兩個要點的作用───用符號語言描述定義───指出定義的功能．

采用這一教學(xué)模式，主要目的是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在必要的點撥上．

(2) 等差數(shù)列的定義有兩個要點．一是“從第2項起”．這是為了確保每一項與前一項差的存在性；二是“差等于同一個常數(shù)”，這是等差數(shù)列的基本特點“差相等”的具體體現(xiàn)．

2．+關(guān)于等差數(shù)列的通項公式

(1) 教學(xué)模式：試驗───歸納───猜想───證明───鑒賞．即試著求出a1，a2，a3，a4，并對此進行分析歸納，猜想出通項公式，再加以證明，最后從數(shù)形結(jié)合的角度揭示公式的內(nèi)涵．

采用這一教學(xué)模式，可幫助學(xué)生學(xué)習(xí)合情推理與邏輯推理的方法，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性和嚴(yán)密性以及勇于探索的精神．

(2) 通項公式的證明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下標(biāo)n為2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把這n－1個式子相加并整理，

得an= a1＋（n－1）d．

又當(dāng)n=1時，左邊= a1，右邊= a1＋（1－1）d= a1．

公式也適用．故通項公式為an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，?）．

方法2（利用遞推關(guān)系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下標(biāo)與d的系數(shù)的關(guān)系）

=?

= a1＋（n－1）d．

（n=1時的驗證同方法1）．

(3) 公式鑒賞：

① 通項公式可表示為an=dn＋c（其中c= a1－d，n?n）的形式，n的系數(shù)即為公差．當(dāng)d≠0時，an是定義在自然數(shù)集上的一次函數(shù)，其圖象是一次函數(shù)y=dx＋c（x?r）的圖象上的一群孤立的點．

② 通項公式中含有a1，d，n，an四個量，其中a1和d是基本量，當(dāng)a1和d確定后，通項公式便隨之確定．從已知和未知的角度看，若已知其中任意三個量的值，即可利用方程的思想求出第四個量的值（即知三求一）．

例題分析

考慮到本節(jié)課是等差數(shù)列的起始課，因此例題應(yīng)圍繞等差數(shù)列的定義及通項公式這兩個知識點選配．

例1．求等差數(shù)列8，5，2，?的第20項．

通過本題的求解，使學(xué)生初步掌握通項公式的應(yīng)用，運用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通項公式以后給出．

分析與略解：欲求第20項a20，需知首項a1與公差d．現(xiàn)a1為已知，因此只需*求出d，便可由通項公式求出a20．事實上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知數(shù)列－2，1，4，?，3n－5，?，

(1) 求證這個數(shù)列是等差數(shù)列，并求其公差；

(2) 求第100項及第2n－1項；

(3) 判斷100和110是不是該數(shù)列中的項，若是，是第幾項？若不是，請說明理由．

通過本例的求解，加深學(xué)生對定義及其功能的理解和認(rèn)識，并能利用方程的思想解決問題．

本例可在講完定義后給出，也可在獲得通項公式以后給出．

分析：對(1)，只需利用定義證明an＋1－an等于常數(shù)即可，并且這個常數(shù)即為公差；對(2)，從函數(shù)的角度看，只需將an=3n－5中的n分別換成100及2 n－1即得a100和a2n－1；對(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分別求出n，若求出的n為正整數(shù)，則可判定該數(shù)是這個數(shù)列中的項，并且這個正整數(shù)是幾，該數(shù)就是這個數(shù)列中的第幾項；若n不是正整數(shù)，則該數(shù)不是這個數(shù)列中的項．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常數(shù)），

故這個數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d=3．

(2) ∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3) 設(shè)3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是這個數(shù)列中的項，并且是第35項；

設(shè)3 n－5=110，解得n=115

3?n*，

∴ 110不是這個數(shù)列中的項．

小結(jié)或總結(jié)

本節(jié)課我們主要研究了等差數(shù)列的定義和它的通項公式．等差數(shù)列的定義是判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的依據(jù)之一，通項公式是通項an與項數(shù)n的關(guān)系的一種解析表示，它從函數(shù)和方程兩個角度為我們求解問題提供了有力的工具．通過給等差數(shù)列下定義及自行探求通項公式，使我們領(lǐng)略了合情推理與邏輯推理在探索、發(fā)現(xiàn)知識方面的重要作用．

習(xí) 題

1．已知等差數(shù)列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，則a4=．

2．已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=－2 n＋3，證明｛an｝是等差數(shù)列，并求出公差、首項及第2 n＋5項．

3．在數(shù)列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，則，a51等于，（）．

(a) 20 (b) 21 (c) 22

參考答案 (d) 23

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差數(shù)列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申與提高

除了等差數(shù)列的定義以外，通項公式也是判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的依據(jù)之一．我們把通項公式改寫成a1= an＋（n－1）·（－d）（*），并把它與原通項公式比較，易知兩者形式是完全一樣的．這里可視an為首項，a1為第n項，這個數(shù)列由原數(shù)列中前n項反序書寫而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由（*）式知它仍成等差數(shù)列，并且公差為－d．由此知，從正、反兩個不同的順序看待“同一個”等差數(shù)列時，各自“等差”的特點保持不變，但公差互為相反數(shù)．

思 考 題

１．已知數(shù)列－5，－3，－1，1，?是等差數(shù)列，判斷2n＋7（n∈n*）是否是該數(shù)列中的項？若是，是第幾項？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是該數(shù)列中的第n＋7項．

２．已知數(shù)列－5，－3，－1，1，?是等差數(shù)列，判斷2n＋7（n∈n*）是否是該數(shù)列中的項？若是，是第幾項？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是該數(shù)列中的第n＋7項．

測 試 題

22．且｛an｝是等差數(shù)列，則1．已知數(shù)列an?的前4項分別為25，

238是數(shù)列an?中的（）．

(b) 第49項

an?1(a) 第48項 (c) 第50項 ?3?1an(d) 第51項 2．已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，則a98=．

3．一個首項為－24的等差數(shù)列，從第10項開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍．

參考答案

１．d．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差為3的等差數(shù)列，求出1an后再求an，進而求出

a98．

?a10?0??24?9d?083．由?，即?，解得＜d≤3. 3??24?8d9?0?a9?0

∴d的取值范圍是?，3?．

?3??8?

第二篇：人教版等差數(shù)列教案

等差數(shù)列

本節(jié)課講述的是人教版高一數(shù)學(xué)（上） 3.2等差數(shù)列（第一課時）的內(nèi)容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。

2、教學(xué)目標(biāo)

理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想；

3、教學(xué)重點和難點

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個難點。

二、學(xué)情分析對于高一學(xué)生，知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了教強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。

二、教法分析

本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

三、教學(xué)程序

本節(jié)課的教學(xué)過程由（一）復(fù)習(xí)引入（二）新課探究（三）應(yīng)用舉例（四）歸納小結(jié)（五）布置作業(yè)，五個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

(一)復(fù)習(xí)引入：

上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點.下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本p41頁的4個例子)��

(1)0，5，10，15，20，25，…;��

(2)48，53，58，63，…;��

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;��

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

(二) 新課探究

1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：

如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。

強調(diào)：

① ―從第二項起‖滿足條件；

②公差d一定是由后項減前項所得；

③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)（強調(diào)―同一個常數(shù)‖ ）；

在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達式： an+1-an=d(n≥1)

同時為了配合概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，……；×

5. 1，0，1，0，1，……×

其中第一個數(shù)列公差<0, 第二個數(shù)列公差>0,第三個數(shù)列公差=0

由此強調(diào)：公差可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0 ，當(dāng)d=0，an 為常數(shù)列。

2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式

若一等差數(shù)列{an }的首項是a1,公差是d,

則據(jù)其定義可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

進而歸納出等差數(shù)列的通項公式：

an=a1+(n-1)d

此時指出：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加,就可以得到an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （第一通項公式）

當(dāng)n=1時，（1）也成立，

所以對一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差數(shù)列｛an｝的通項公式。

在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想，逐步達到―注重方法，凸現(xiàn)思想‖ 的教學(xué)要求

am 與an有什么關(guān)系呢？

am=a1+(m-1)d①

an=a1+(n-1)d②

a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d 即：an=am+(n-m)d(第二通項公式)

（三）應(yīng)用舉例

【例1】 （1）求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項;��

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？��

分析（1）��

這個等差數(shù)列的首項和公差分別是什么?你能求出它的第20項嗎?��

首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20，所以由等差數(shù)列的通項公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.�オ�

分析（2）��

由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項公式為an=-5-4(n-1).��

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項.��

【例2】 已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？��

例題分析：��

由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?��

只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).��

說得對，請你來求解.��

當(dāng)n≥2時，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕��

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),��

所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項a1=p+q，公差為p.��

這里要重點說明的是：��

(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….��

(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.��

(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第三通項公式.

（五）歸納小結(jié)1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達式．

強調(diào)關(guān)鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

2.等差數(shù)列的通項公式 an= a1+(n-1) d會知三求一

(六)布置作業(yè)

必做題：課本p114 習(xí)題3.2第2，6 題

五、板書設(shè)計

第三篇：等差數(shù)列教案

等差數(shù)列教案

一、 教材分析

從教材的編寫順序上來看，等差數(shù)列是必修五第二章的第二節(jié)的內(nèi)容，一方面它是數(shù)列中最基礎(chǔ)的一種類型、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進一步學(xué)習(xí)等比數(shù)列及數(shù)列的極限等內(nèi)容作準(zhǔn)備.

就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，對其在性質(zhì)的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體．

依據(jù)課標(biāo) “等差數(shù)列”這部分內(nèi)容授課時間3課時，本節(jié)課為第2課時，重在研究等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重性質(zhì)的形成、推導(dǎo)過程并讓學(xué)生進一步熟悉等差數(shù)列的通項公式。

二． 教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)：理解等差數(shù)列的定義基礎(chǔ)上初步掌握等差數(shù)列幾個特征性質(zhì)并能運用性質(zhì)解決一些簡單問題．

過程與方法目標(biāo)：通過性質(zhì)的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過其性質(zhì)的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

三．教學(xué)的重點和難點

重點：等差數(shù)列的通項公式的性質(zhì)推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用．從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過發(fā)現(xiàn)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的運用數(shù)學(xué)語言交流表達的能力.

突出重點方法：“抓三線、突重點”，即(一)知識技能線：問題情境→性質(zhì)發(fā)現(xiàn)→簡單應(yīng)用；（二）過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納→轉(zhuǎn)化、方程思想；（三）能力線：觀察能力→數(shù)學(xué)思想解決問題能力→靈活運用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

難點：等差數(shù)列的性質(zhì)的探究，從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提高.它需要對等差數(shù)列的概念充分理解并融會貫通，而知識的整合對學(xué)生來說恰又是比較困難的。

突破難點手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；二抓知識選擇的切入點，給予恰大的引導(dǎo)，讓學(xué)生能在原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手。 四．教學(xué)方法

利用多媒體輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式

五．教學(xué)過程.

1.復(fù)習(xí)引入

回顧等差數(shù)列的定義：一般的，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即an?an?1?d （n?2.n?n?)

（讓學(xué)生自己列舉等差數(shù)列的例子，教師給出一特殊等差數(shù)列）2. 根據(jù)給出的數(shù)列引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)：

①有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和等于其首末兩項之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 為等差數(shù)列的任意兩項，公差為d，則d=（公差的計算：d =an?an?1）

③等差數(shù)列中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq（讓學(xué)生推

廣：m?n 的情況）

④若?an??bn?是等差數(shù)列，則?an?k??kan??an?bn?也是等差數(shù)列，

公差分別為d、kd、d1+d2

3.知識鞏固

例1. 等差數(shù)列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，則a6解析一：由等差數(shù)列通項公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101則a6?a1?5d?5 a? d?

33

解析二：由性質(zhì)③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

變式：等差數(shù)列?an?中，a5?8,a2?2.則a8?例2. 已知等差數(shù)列?an?滿足a1?a2?a3????a101?0，則有（）

a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根據(jù)性質(zhì)1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由于

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因為，a3?a99?2a51?0，故正確

答案為c。

課堂練習(xí)：等差數(shù)列?an?中， a第六項是多少？ 4.小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列定義，從通項公式中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。 5.作業(yè)布置：

（1）.書面作業(yè)：教材p681.3

（2）請同學(xué)們課后思考：除了上述特征性質(zhì)外，還能不能

發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)？

六．教學(xué)設(shè)計說明

1．復(fù)習(xí)引入.

本著遵循掌握知識，熟能生巧的方針，溫故而知新。讓學(xué)生自己例舉等差數(shù)列，進一步讓學(xué)生真正知道什么是等差數(shù)列，然后采用圖片形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.

2．性質(zhì)發(fā)現(xiàn)

教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 3．知識鞏固

通過例題說明靈活的應(yīng)用這些性質(zhì)和變形公式，可以避繁就簡，有思路的功效。對數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用反應(yīng)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)特征掌握程度，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.

?2,a?5.則數(shù)列?a?4?的

n

4．作業(yè)布置彈性化．

通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進一步發(fā)展的空間．

第四篇：高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案

等差數(shù)列

教學(xué)目的：

1．明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

教學(xué)重點：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式

教學(xué)難點：等差數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)過程：

引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

請同學(xué)們仔細觀察一下，看看以上兩個數(shù)列有什么共同特征？？

共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等-----應(yīng)指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列

二、講解新課：

1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的

差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數(shù)列{an},若an－an?1=d (與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈n，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公?

2．等差數(shù)列的通項公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】 ?an?的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：a2?a1?d即：a2?a1?d

a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

??

由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項a如數(shù)列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6）

數(shù)列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1） 數(shù)列③1234;,;,1,?;an?1?(n?1)?1?n（n≥1） 5555555

由上述關(guān)系還可得：am?a1?(m?1)d

即：a1?am?(m?1)d

則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d

即的第二通項公式an?am?(n?m)d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例題講解

例1 ⑴求等差數(shù)列8，5，2?的第20項

⑵ -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4得數(shù)列通項公式為：an??5?4(n?1)

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100例2 在等差數(shù)列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?(n?1)d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?(n?12)d?3n?小結(jié)：第二通項公式an?am?(n?m)d

例3將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列un中，設(shè)數(shù)列的第s項和第t項分別為us和ut，計算us?ut

s?t

解：通過計算發(fā)現(xiàn)us?ut的值恒等于公差

s?t

證明：設(shè)等差數(shù)列{un}的首項為u1，末項為un，公差為d，?us?u1?(s?1)d

?

?ut?u1?(t?1)d⑴-⑵得us?ut?(s?t)d?

us?ut

?d s?t

(1) (2)

小結(jié)：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各解：設(shè)?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列， 由已知條件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知數(shù)列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定?an?是不是等差數(shù)列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n無關(guān)的常解：當(dāng)n≥2時, （取數(shù)列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數(shù)

∴{an}是等差數(shù)列，首項a1?p?q，公差為

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=p n+q (p、q是常數(shù)3通項公式

④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3四、練習(xí)：

1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，??的第4項與第10項. 解：根據(jù)題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數(shù)列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈n*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39. （2）求等差數(shù)列10，8，6，??的第20項. 解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數(shù)列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28. 評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此數(shù)列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數(shù)列的第15項.

（4）－20是不是等差數(shù)列0，－31，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：

由題意可知：a1=0,d=－31∴此數(shù)列的通項公式為：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因為－7n+7=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項.

2.在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a1?1. 解：（1）由題意得：?a1?3d?10,解之得：???

?d?3?a1?6d?19（2）解法一：由題意可得：?a1?2d?9,解之得?a1?11

??

?d??1?a1?8d?3

∴該數(shù)列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0. ⅳ.課時小結(jié)

五、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈n）.其次，要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an?am?(n?m)d和an=p n+q (p、q是常數(shù))的理解與應(yīng)用.

?

第五篇：高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案(二)

課題：3.3 等差數(shù)列的前n項和（二）

6161,又∵n∈n*∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個. 22二、例題講解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素個數(shù)及這些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合m中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1, an(a1?an)30=59,n=30的等差數(shù)列.∵sn=2,∴s30(1?59)

30=2=900.

答案：集合m中一共有30個元素，其和為900.

例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}

解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2.

把這些數(shù)從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.

它們可組成一個以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數(shù)列.

由sn(a1?an)n=2,得s33(2?98)

33=2=1650.

答：在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650. 例3已知數(shù)列?an?,是等差數(shù)列，sn是其前n項和，

求證：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差數(shù)列；

⑵設(shè)sk,s2k?sk,s3k?s2k （k?n?）成等差數(shù)列

證明：設(shè)?an?,首項是a1，公差為d

則s6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵s12?s6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(s12?s6)?36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd為公差的等差數(shù)列.

三、練習(xí)：

1．一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式.

分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再解.

解：根據(jù)題意，得s4=24, s5－s2=27

則設(shè)等差數(shù)列首項為a1,公差為d, 2

4(4?1)d?4a??24??12則 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?

2．兩個數(shù)列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數(shù)列公差分別是d1, d2, 求x?x2????x7d1與1y1?y2????y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1?x2????x77＝. y1?y2????y66

3．在等差數(shù)列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{an}的前n項和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n?1)3512512

∴ sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 當(dāng)|n－51|最小時，sn最小， 6

即當(dāng)n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴當(dāng)n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.

四、小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，sn是其前n項和，則sk,s2k?sk,s3k?s2k （k?n?五、課后作業(yè)：

1．一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10°,最小內(nèi)角為100°,求邊數(shù)n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

當(dāng)n＝9時, 最大內(nèi)角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常數(shù)等差數(shù)列{an}的前n項和sn滿足

10sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

解：由題設(shè)知

2n2(n∈n, m∈r), 求數(shù)列{a5n?3}的前n項和. sn＝lg(m?3?2

即 sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常數(shù)等差數(shù)列，當(dāng)d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式 (m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

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3 則 當(dāng)n=1時，a1＝lg3?lg2 5

21當(dāng)n≥2時,an＝sn－sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝?nlg2?lg3?lg2 55∴

41nlg2?lg3?lg2 55

4 d=an?1?an=?lg2 5

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

11=?4nlg2?lg3?lg2 5

31數(shù)列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2為首項,5d=?4lg2為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列5∴an＝?

{a5n?3}的前n項和為

n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

3．一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差d.

解：設(shè)這個數(shù)列的首項為a1, 公差為d，則偶數(shù)項與奇數(shù)項分別都是公差為2d的等?12a1?66d?354?32, 解得d＝5. 差數(shù)列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

解法2：設(shè)偶數(shù)項和與奇數(shù)項和分別為s偶，s奇，則由已知得

?s偶?s奇?354?s32,求得s偶＝192，s奇＝162，s偶－s奇＝6d, ∴ d＝5. 偶???s27奇?

4．兩個等差數(shù)列，它們的前n項和之比為5n?3, 2n?1

解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)s8. ??17?"17s173(b1?b17)2

5．一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110 解：在等差數(shù)列中，

s10, s20－s10, s30－s20, ……, s100－s90, s110－s100, 成等差數(shù)列，∴ 新數(shù)列的前10項和＝原數(shù)列的前100項和，

10s10＋10?9·d＝s100＝10, 解得d＝－22 2

∴ s110－s100＝s10＋10×d＝－120, ∴ s110＝－110.

6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為sn，已知a3＝12，s12>0，s13<0，(1) 求公差d的取

值范圍；

(2) 指出s1, s2, s3, ……, s1212?11?s?12a?d?01?12?2a1?11d?02?解：(1) ?,?13?12a?6d?0?1?s13?13a1?d?02?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －<d<－3, 7?3?d?0

(2) s13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由s12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,s6最大.

六、板書設(shè)計（略）

七、課后記：

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