第一篇：高中數(shù)學(xué) 必修1 集合教案

學(xué)習(xí)周報(bào)專業(yè)輔導(dǎo)學(xué)習(xí)

集合（第1課時(shí)）

一、知識(shí)目標(biāo)：①內(nèi)容：初步理解集合的基本概念，常用數(shù)集，集合元素的特

征等集合的基礎(chǔ)知識(shí)。

②重點(diǎn)：集合的基本概念及集合元素的特征

③難點(diǎn)：元素與集合的關(guān)系

④注意點(diǎn)：注意元素與集合的關(guān)系的理解與判斷；注意集合中元

素的基本屬性的理解與把握。

二、能力目標(biāo)：①由判斷一組對(duì)象是否能組成集合及其對(duì)象是否從屬已知集合，

培養(yǎng)分析、判斷的能力；

②由集合的學(xué)習(xí)感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與和諧統(tǒng)一美。

三、教學(xué)過程：

ⅰ）情景設(shè)置：

軍訓(xùn)期間，我們經(jīng)常會(huì)聽到教官在高喊：（x）的全體同學(xué)集合！聽到口令，咱們班的全體同學(xué)便會(huì)從四面八方聚集到教官的身邊，而那些不是咱們班的學(xué)生便會(huì)自動(dòng)走開。這樣一來教官的一聲“集合”（動(dòng)詞）就把“某些指定的對(duì)象集在一起”了。數(shù)學(xué)中的“集合”這一概念并不是教官所用的動(dòng)詞意義下的概念，而是一個(gè)名詞性質(zhì)的概念，同學(xué)們?cè)诮坦俚募�合�?hào)令下形成的整體即是數(shù)學(xué)中的集合的涵義。

ⅱ）探求與研究：

① 一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。

問題：同學(xué)們能不能舉出一些集合的例子呢？（板書學(xué)生們所舉出的一些例子）

② 為了明確地告訴大家，是哪些“指定的對(duì)象”被集在了一起并作為一個(gè)

整體來看待，就用大括號(hào){ }將這些指定的對(duì)象括起來，以示它作為一個(gè)

整體是一個(gè)集合，同時(shí)為了討論起來更方便，又常用大寫的拉丁字母a、

b、c??來表示不同的集合，如同學(xué)們剛才所舉的各例就可分別記

為??（板書）

另外，我們將集合中的“每個(gè)對(duì)象”叫做這個(gè)集合的元素，并用小寫字

母a、b、c??（或x1、x2、x3??）表示

同學(xué)口答課本p5練習(xí)中的第1大題

③ 分析剛才同學(xué)們所舉出的集合例子，引出：

對(duì)某具體對(duì)象a與集合a，如果a是集合a中的元素，就說a屬于集合

a，記作a∈a；如果a不是集合a的元素，就說a不屬于集合a，記作

a?a

④ 再次分析同學(xué)們剛才所舉出的一些集合的例子，師生共同討論得出結(jié)論：

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。

然后請(qǐng)同學(xué)們分別閱讀課本p5和p40上相關(guān)的內(nèi)容。

⑤ 在數(shù)學(xué)里使用最多的集合當(dāng)然是數(shù)集，請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本p4上與數(shù)集有

關(guān)的內(nèi)容，并思考：常用的數(shù)集有哪些？各用什么專用字母來表示？你

能分別說出各數(shù)集中的幾個(gè)元素嗎？（板書n、z、q、r、n*（或n+））

注意：數(shù)0是自然數(shù)集中的元素。這與同學(xué)們腦子里原來的自然數(shù)就是

1、2、3、4??的概念有所不同

同學(xué)們完成課本p5練習(xí)第2大題。

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學(xué)習(xí)周報(bào)專業(yè)輔導(dǎo)學(xué)習(xí)

注意：符號(hào)“∈”、“?”的書寫規(guī)范化

練習(xí)： （一）下列指定的對(duì)象，能構(gòu)成一個(gè)集合的是

① 很小的數(shù)

② 不超過30的非負(fù)實(shí)數(shù)

③ 直角坐標(biāo)平面內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)

④ π的近似值

⑤ 高一年級(jí)優(yōu)秀的學(xué)生

⑥ 所有無理數(shù)

⑦ 大于2的整數(shù)

⑧ 正三角形全體

a、②③④⑥⑦⑧b、②③⑥⑦⑧c、②③⑥⑦

d、②③⑤⑥⑦⑧

（二）給出下列說法：

① 較小的自然數(shù)組成一個(gè)集合

② 集合{1，-2，，π}與集合{π，-2，，1}是同一個(gè)集合

③ 某同學(xué)的數(shù)學(xué)書和物理書組成一個(gè)集合

④ 若a∈r，則a?q

⑤ 已知集合{x，y，z}與集合{1，2，3}是同一個(gè)集合，則x=1，y=2，

z=3

其中正確說法個(gè)數(shù)是（）

a、1個(gè)b、2個(gè)c、3個(gè)d、4個(gè)

（三）已知集合a={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈a，求實(shí)數(shù)a 的值

ⅲ）回顧與總結(jié)：

1． 集合的概念

2． 元素的性質(zhì)

3．幾個(gè)常用的集合符號(hào)

ⅳ）作業(yè)：①p7習(xí)題1.1第1大題

②閱讀課本并理解概念

課后反思：這節(jié)課由于開學(xué)典禮的影響，沒有來得及全部上完。等待明天繼續(xù)上

然后與老教師產(chǎn)生一節(jié)課的差距�？傮w來看，比昨天稍微好一點(diǎn)，語(yǔ)氣上連貫了

些，但是還沒有理清自己上課的思路，到了課堂上原本的準(zhǔn)備有些忘記了。

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第二篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時(shí)

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

三角形中的向量關(guān)系→余弦定理 學(xué)習(xí)要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會(huì)向量的工具性；

3． 能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosa，______________________，______________________. (2) 變形：cosa?

b

2

?c

2

?a

2

，

2bc

___________________，___________________ .

2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?abc中，

（1）已知b?3，c?1，a?600，求a； （2）已知a?4，b?5，c?6，求a（精確到0.10）． 【解】

點(diǎn)評(píng): 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個(gè)

用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．

【例2】a,b兩地之間隔著一個(gè)水塘，聽課隨筆

擇另一點(diǎn)c，測(cè)ca?182m,cb?126m,?acb?630

，

求a,b兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?abcc為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)ca2?b2?c2

．

【證】

點(diǎn)評(píng):余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓(xùn)練一

１．在△ａｂｃ中，

求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，

２．若三條線段的長(zhǎng)為５，６，７，則用這

三條線段（）ａ．能組成直角三角形 ｂ．能組成銳角三角形 ｃ．能組成鈍角三角形

專心

ｄ．不能組成三角形

３．在△ａｂｃ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠ｃ的大小．

４．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經(jīng)過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠(yuǎn)？

【選修延伸】

【例4】在△abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，

2cos?a?b??1。

（1） 求角c的度數(shù)；

（2） 求ab的長(zhǎng)； （3）求△abc的面積。 【解】

用心愛心

【例5】在△abc中，角a、b、c聽課隨筆

分別為a，b，c，證明： a2

?b2

?a?b?。

c

2?

sinsinc

追蹤訓(xùn)練二

1．在△abc中，已知b?2，

c?1，b=450則a?（） a2b

6?2

2 c

6?2

6?22

d2

2．在△abc中，已知ab=5，ac=6，bc=31則a=（）

a?2???

b3

c6d4

3．在△abc中，若b?10，c?15，c=?

6

則此三角形有解。

4、 △abc中，若a2

?c2

?bc?b2

， 則a=_______.

專心

【師生互動(dòng)】

用心愛心 專心3

第三篇：高中數(shù)學(xué) 《余弦定理(1)》教案1 蘇教版必修5

第 3 課時(shí)： 1.2余弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.能夠運(yùn)用余弦定理理解解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題

3.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

二、過程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1. 學(xué)法：

2. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理的內(nèi)容？

2.由正弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在?abc中，ab、bc、ca的長(zhǎng)分別為c、a、b．∵ac?ab?bc，?????????

∴ac?ac?(ab?bc)?(ab?bc)?ab?????????????????????2?2ab?bc?bc?????????2

b?ab???2?2|ab|?|bc|cos(1800?b)+bc222?????????2?c2?2accosb?a2 即b?c?a?2accosb；

同理可證：a?b?c?2bccosa，c?a?b?2abcosc． 222222

方法2：建立直角坐標(biāo)系，則a(0,0),b(ccosa,csina),c(b,0)．所以

a2?(ccosa?b)2?(csina)2?c2cos2a?c2sin2a?2bccosa?b2?b2?c2?2bccosa，同理可證 1

b2?c2?a2?2accosb，c2?a2?b2?2abcosc

注意：此法的優(yōu)點(diǎn)在于不必對(duì)a是銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

b2?c2?a2

a?b?c?2bccosa?cosa? 2bc222

c2?a2?b2

b?c?a?2accosb?cosb? 2ca222

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosc?cosc? 2ab222

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

語(yǔ)言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 用符號(hào)語(yǔ)言表示：a2?b2?c2?2bccosa，?等；

2. 理解定理

注意：（1）熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等

（2）余弦定理的應(yīng)用：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

（3）當(dāng)夾角為90?時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

（4）變形：cosa?cosb?cosc? 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?abc中，c=900，則cosc?0，這時(shí)c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 （教材p在?abc中，（1）已知b?3,c?1,a?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1）

求a

7，8的三角形中，求最大角與最小角的和 例2 邊長(zhǎng)為5，

例3 在?abc中，最大角a為最小角c的2倍，且三邊a、b、c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求a、b、c的值

例4 在?abc中，a、b是方程x?23x?2?0的兩根，又2cos(a?b)?1，求：（1）角c的度數(shù)；（2）求ab的長(zhǎng)；（3）?abc的面積

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在?abc中，sina:sinb:sinc?3:5:7，那么這個(gè)三角形的最大角是_____ 2

2. 在?abc中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，則a?______

在?abc中，s?a2?b2?c2

3. 4，則角c的度數(shù)是______

4. 在?abc中，已知a?7,b?8,cosc?13

14，則最大角的余弦值是______

5.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是1、3、a，則a的取值范圍是_______

6.用余弦定理證明：在?abc中，當(dāng)c為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)c為鈍角時(shí)，a2?b2?c2．

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

六、承上啟下，留下懸念

1．書面作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第四篇：高中數(shù)學(xué) 《正弦定理(1)》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時(shí)： 1.1正弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容和推導(dǎo)過程；

2.能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題（會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運(yùn)用正弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題；

3.通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

4.在問題解決中,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1. 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：abc??，接著就一般斜三角形sinasinbsinc

進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷，新穎。

2. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀、直尺、計(jì)算器

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關(guān)系是怎樣的？

2.這種關(guān)系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導(dǎo)

ab,sinb?,sinc?1， cc

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinasinbsincsinasinbsinc（1）在直角三角形中：sina?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換）在任意斜△abc中，先作出三邊上的高ad、be、cf，則ad?csinb，be?asinc，cf?bsina．所以s?abc?111absinc?acsinb?

bcsina，每項(xiàng)222

1abc

??同除以abc即得：．

2sinasinbsinc

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠a＝∠d

bcaa?2r，?2r ??cd?2r同理 ∴

sinasindsinbsinc

???????????????

證明三：（向量法）過a作單位向量j垂直于ac，由ac+cb?ab，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(ac+cb)?j?ab，則j?ac+j?cb?j?ab

??????

????????????

∴|j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos(90??c)=| j|?|ab|cos(90??a)

ac

∴asinc?csina∴=

sinasinc????cbabc

??同理，若過c作j垂直于cb得：=∴ sinasinbsincsincsinb

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sina

2.理解定理

?

b

sinb

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksina,b?ksinb,c?ksinc；

（2）

abcabbcac

==等價(jià)于=，=，=，即可得正弦定理的sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc

變形形式：

1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc；

abc

,sinb?,sinc?； 2r2r2r

3）sina:sinb:sinc?a:b:c．

2）sina?

（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsina

； sinb

a

sinb。 b

2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．如sina?一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinabsina?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，==

sinasinbsinc

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2r（r為△abc外接圓半徑） ==

sinasinbsinc

（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b 解：?c?10,a?45,c?30∴b?180?(a?c)?105由

ac

?得sinasinc

csina10?sin450bc

???2 a?由得 sinbsincsincsin300

csinb10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinc4sin30

例2 在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c

bccsinb1?sin6001解：∵?,?sinc???，?b?c,b?600,?c?b,c為銳角，

sinbsincb23

?c?300,b?900∴a?b2?c2?2

例3 ?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c

accsina6?sin450300

?,?sinc???解：? ?csina?a?c,?c?60或120 sinasinca22csinb6sin750

?當(dāng)c?60時(shí)，b?75,b???3?1， 0

sincsin60

csinb6sin150

?當(dāng)c?120時(shí)，b?15,b????1

sincsin600

?b??1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況： （1）已知b?11,c?12,b?600

（2）已知a?7,b?3,a?1100（3）已知b?6,c?9,b?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?abc中，三個(gè)內(nèi)角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,則此三角形的最大邊長(zhǎng)為_____

3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?abc中，已知b?2csinb，求?c的度數(shù)

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)�學(xué)習(xí)的余弦定理）進(jìn)行代(轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明來源Wm.seogis.com)換、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、運(yùn)算，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：

第五篇：高中數(shù)學(xué) 《基本不等式的證明(1)》教案3 蘇教版必修5

第 10 課時(shí)： 3.4.1基本不等式的證明（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮栴}；

3.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

4.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個(gè)定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

2.培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

?a?b的證明過程；

2a?b等號(hào)成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 2

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：先讓學(xué)生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實(shí)際問題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學(xué)用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

a?

b 2

a?b2.

的幾何背景： 21. 提問：

如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。

二、研探新知

22重要不等式 ：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) a、b，我們有a?b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立。

證明: a?b?2ab?(a?b),當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)?0,當(dāng)a?b時(shí),

(a?b)?0,

1 22222

所以a?b?2ab

22注意強(qiáng)調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí), a?b?2ab 22

注意：（1）等號(hào)成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；

（2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛。

基本不等式：對(duì)任意正數(shù)a、b

，有a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立。 2

a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立。 2證法1：可以將基本不等式2看作是基本不等式1的推論。 由基本不等式1，

得2?2?

?

證法2：a?

b11?

?2?2??2?

0?a?b222

時(shí)，取“?”。

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?

b，只要證0?2

a?

b??a?b時(shí)，取“?”。 2

a?b?證法4：對(duì)于正數(shù)a,b

有2?

0，?a?b?

?0?a?b??2

a?

b說明： 把a(bǔ),b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個(gè)正2證法3

?

數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 上述結(jié)論可推廣至3個(gè)正數(shù)。

（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）

a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑ab上取一點(diǎn)c， 過c作弦2

a?bdd??ab，則cd2?ca?cb?ab，從而cd?ab，而半徑?cd?ab

2a?b?幾何意義是：“半徑不小于半弦” 2b （4）當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，取“?”的含義：一方面是當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)，即

a?ba?b

??；另一方面是僅當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)，即

2（圖1） a?b??a?b。 2（3）

22（5）如果a,b?r，那么a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”）．

（6）如果把a(bǔ)?b看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘2

述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)

.

2.在數(shù)學(xué)中，我們稱a?b為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘2

述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1 （教材p88例1）設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）

證明：（1）∵a,b為正數(shù)，∴ba1??2；（2）a??2 abababa,也為正數(shù)，由基本不等式得??2∴原不等式成立。 ab

ab（2）∵a,1

a

均為正數(shù)，由基本不等式得a?1

a??2，∴原不等式成立。

例2 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

證明：∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca， 以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得：

ab?cd

2??

0，ac?bd

2??0，∴(ab?cd)(ac?bd)

4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd．

例4 已知函數(shù)y?x?1

x?1,x?(1,??)，求y的范圍

例5

2?2．

?0， 又x2?3?1，

?，

22

???

?2?2．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.已知x,y都是正數(shù)，求證： (x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3

2.已知a,b,c都是正數(shù)，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

3. 思考題：若x?0，求x?1

x的最大值

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念；

2．基本不等式及其應(yīng)用條件；

3．不等式證明的三種常用方法。

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

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