高1立體幾何知識點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

必修二立體幾何總結(jié)

一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：

⑹

⑴⑵⑷平行公理線線平行⑶線面平行⑸面面平行⑾⒀⑺⑿⒁三垂線定理⑼⒂線線垂直⑽線面垂直⒃面面垂直三垂線逆定理⑻

（1）線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線的兩直線平行。

⑶如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

⑹如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。⑿垂直于同一平面的兩直線平行。（2）線線垂直的判斷：

⑺在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。⑻在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。（3）線面平行的判斷：

⑵如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

⑸兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。（4）線面垂直的判斷：

⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。

⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。

⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面。

（5）面面平行的判斷：

⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（6）面面垂直的判斷：

⒂一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。

二、其他定理：

（1）確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線；（2）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；

直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；

（3）等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；

如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。

（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；

②過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。（7）過已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。

1

（8）如果直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。（9）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。三、唯一性定理：

（1）過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。

四、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。

異面直線所成角的范圍：0o90o；

注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時(shí)可找三角形的中位線。有的還可以

通過補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體再加上三個(gè)同樣的正方體，補(bǔ)成一個(gè)底面是正方形的長方體。

（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為0o；②線面垂直：線面所成的角為90o；③斜線與平面所成的角：范圍0o90o；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。

（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；

注意：還可以用射影法：cosS"S；其中為二面角l的大小，S為內(nèi)的一個(gè)封

閉幾何圖形的面積；S"為內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形在內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。

五、常用的結(jié)論：

（1）若直線l在平面內(nèi)的射影是直線l，直線m是平面內(nèi)經(jīng)過l的斜足的一條直線，l與l所

成的角為1，l與m所成的角為2,l與m所成的角為，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是

coscos1cos2；

（2）如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：

①Ⅰ、如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分

線上；

Ⅱ、經(jīng)過一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角的兩邊夾角相等，那么斜

線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上；

Ⅲ、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的

線段的垂直平分線上。②垂線法：如果過平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上的射影在

過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；

③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面的交線上

(面面垂直的性質(zhì)定理)；

④整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。（3）在四面體ABCD中：

①若ABCD,BCAD，則ACBD；且A在平面BCD上的射影是BCD的垂心。②若ABACAD，則A在平面BCD上的射影是BCD的外心。

③若A到BC,CD,BD邊的距離相等，則A在平面BCD上的射影是BCD的內(nèi)心。六、多面體：（1）棱柱：

①定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平

行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

側(cè)棱不垂直于底面

側(cè)棱垂直于底面

底面是正多邊形

棱柱斜棱柱

直

正棱柱；

底面是平行四邊形

側(cè)棱垂直于底面

底面是矩形

四棱柱

平行六面體

直平行六面體

底面是正方形

棱長都相等

長方體正四棱柱正方體。

②性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形；Ⅱ、兩底面是全等多邊形；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形；

Ⅳ、長方體一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和。③面積：S直棱柱側(cè)ch（c是底周長，h是高）

④體積：V棱柱Sh12S側(cè)面d（S為底面積，h為高，d為已知側(cè)面與它對棱的距離）（2）棱錐：

①定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫

做棱錐；

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；②性質(zhì)：

Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，

截面的邊長和底面的對應(yīng)邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；

截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；

Ⅱ、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過四個(gè)直角三角形RtPOH，RtPOB，

RtPBH，RtBOH實(shí)現(xiàn)邊，高，斜高間的換算

③面積：S1正棱錐2ch"（c為底周長，h"為斜高）P

④體積：V棱錐13Sh（S為底面積，h為高）

DC（3）正四面體：

OHA

對于棱長為a正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長為2B2a的正方體問題。對棱間的距離為

22a（正方體的邊長）正四面體的高

63a（23l正方體體對角線）

正四面體的體積為

212a3（V1正方體4V小三棱錐3V正方體）

正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為1:3（116l正方體體對角線：2l正方體體對角線）外接球的半徑為

614a（是正方體的外接球，則半徑2l正方體體對角線）

內(nèi)切球的半徑為

612a（是正四面體中心到四個(gè)面的距離，則半徑16l正方體體對角線）

（4）球

（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。②球體：球面所圍成的幾何體。

（2）性質(zhì)：

①任意截面是圓面（經(jīng)過球心的平面，截得的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小圓）

兩點(diǎn)的球面距離，是指經(jīng)過球面上這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長。②球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且rR2d2，其中R為球半徑，r為截面半徑，d為球心的到截面的距離。

（3）面積公式：S4球面4R2（R為球半徑）；（4）體積公式：V球3R3（R為球半徑）

擴(kuò)展閱讀：高一立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)(學(xué)生版)

第二章知識點(diǎn)總結(jié)

一、平面

通常用一個(gè)平行四邊形來表示.

平面常用希臘字母α、β、γ或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.

在立體幾何中，大寫字母A，B，C，表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關(guān)系，例如：

a)A∈l點(diǎn)A在直線l上；Aα點(diǎn)A不在平面α內(nèi)；b)lα直線l在平面α內(nèi)；c)aα直線a不在平面α內(nèi)；

d)l∩m=A直線l與直線m相交于A點(diǎn)；e)α∩l=A平面α與直線l交于A點(diǎn)；f)α∩β=l平面α與平面β相交于直線l.二、平面的基本性質(zhì)

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行三、證題方法直接證法證題方法反證法間接證法

同一法

練習(xí)1、已知直線b//c，且直線a與b,c都相交，求證：直線a,b,c共面

（注：《第二教材》25-26頁，題型1、題型2）

四、空間線面的位置關(guān)系

共面平行沒有公共點(diǎn)

(1)直線與直線相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

異面(既不平行，又不相交)

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行沒有公共點(diǎn)

(直線在平面外)相交有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面相交有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))

平行沒有公共點(diǎn)

五、異面直線的判定

證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.

有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線”.

練習(xí)2、求證：兩條異面直線不能同時(shí)和一個(gè)平面垂直

練習(xí)3、四面體SABC中，各個(gè)側(cè)面都是邊長為a的正三角形，E,F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角是多少？

六、線面平行與垂直的判定(1)兩直線平行的判定

①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.

②如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a∥α,aβ

④垂直于同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b（線面垂直的性質(zhì)定理）

⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,則a∥b（面面平行的性質(zhì)公理）

⑥中位線定理、平行四邊形、比例線段，α∩β=b,則a∥b.（線面平行的判定定理）③平行于同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.（公理4）(2)兩直線垂直的判定

①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.

②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c

③一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.

④三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.

⑤如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.(3)直線與平面平行的判定

①定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.②如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.（線面平行的判定定理）

③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若α∥β,lα，則l∥β.

練習(xí)4、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M,N分別是SA,BD上的點(diǎn)，且求證：MN//平面SBC

AMBN=，SMNDSMDANBC

練習(xí)5、兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，

_D求證MN∥平面BCE（用兩種方法來證）_C_M

_H_A_B_N

_F_E

(4)直線與平面垂直的判定

①定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.

②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.（線面垂直判定定理）

③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.

⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.(面面垂直的性質(zhì)定理)

練習(xí)6、已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求證：EF⊥平面GMC．

（2）若AB＝4，GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離

練習(xí)7、如圖2.3.1-2，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及

EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有[]

A、AH⊥△EFH所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面

練習(xí)8、三棱錐PABC的高為PH，若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則H為△ABC的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

(5)兩平面平行的判定

①定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無公共點(diǎn)α∥β.

②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.（面面平行判定定理）

推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.

(6)兩平面垂直的判定

①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.（面面垂直判定定理）練習(xí)9、直三棱柱連接

ABCA1B1C1中，各側(cè)棱和底面的邊長均為a，點(diǎn)D是

CC1上任意一點(diǎn)，

A1B,BD,A1D,AD，則三棱錐

AA1BD的體積為（）

33331313aaaa126612A．B．C．D．

練習(xí)10、在三棱錐SABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC,SASC23，M、

N分別為AB,SB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大�。唬á螅┣簏c(diǎn)B到平面CMN的距離．

練習(xí)11、正方體

ABCDA1B1C1D1中，M是

AA1的中點(diǎn)．求證：平面MBD平面

BDC1

七、空間中的各種角等角定理及其推論

定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.

推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.1、異面直線所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.

(2)取值范圍：0°＜θ≤90°.(3)求解方法

①根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

2、直線和平面所成的角斜線和射影所成的銳角(1)取值范圍0°≤θ≤90°(2)求解方法

①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.3、二面角及二面角的平面角

(1)半平面直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面

角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.

若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.

二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角θ的取值范圍是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.

如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無關(guān).②二面角的平面角具有下列性質(zhì)：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法

(Ⅳ)根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)(4)求二面角大小的常見方法

先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.

練習(xí)12、正四棱錐（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為12，底面對角線的長為26，則側(cè)面與底面所成的二面角等于___________________．

練習(xí)13、在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD所成角的正弦值.

AE

BDHF13.空間的各種距離

C點(diǎn)到平面的距離

(1)定義面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：1)直接利用定義求

①找到(或作出)表示距離的線段；

②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.

2)體積法其步驟是：①在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=

1Sh，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)3造合適的三棱錐以便于計(jì)算.

直線和平面的距離、平行平面的距離

將線面、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.

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