中學數學二次函數知識點總結教案

英才教育初中數學試題

二次函數知識點總結

二次函數知識點：

1．二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常數，a0）的函數，叫做二次函數這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0，而b、c可以為零．二次函數的定義域是全體實數．2.二次函數yax2bxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．⑵a、b、c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．

二次函數的基本形式

ya(xh)2k的性質：

總結：

a的符號

開口方向頂點坐標對稱軸xh性質時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上h，kX=hx的增大而減��；xh時，y有最小值k．時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨xha0向下h，kX=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

二次函數圖象的平移

1.平移步驟：

⑴將拋物線解析式轉化成頂點式ya(xh)k，確定其頂點坐標(h,k)；⑵保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k英才教育初中數學試題

二次函數yaxbxc的性質對稱軸為x2b2a，頂點坐標為(b2a,4acb4ab2ab2a2)

1.當a0時，拋物線開口向上，．當xb2ab2a時，y隨x的增大而減小；當xb2ab時，y隨x的增大而增大；當x時，ymin4acb4a2．2.

當a0時，拋物線開口向下，當x時，y隨x的增大而增大；當x2a時，y隨x的增大而減��；當xy時，

ymax4acb4a2．

六、二次函數解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc(a,b,c為常數，a0)；

2.頂點式：ya(xh)k(a,h,k為常數，a0)，其中h2b2a4a3.兩根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

，k4acb2；

注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的確定：

根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．二次函數與一元二次方程：

1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數yax2bxc當函數值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程

axbxc0(a0)的兩根．這兩點間的距離AB|x1x2|2b4ac|a|2.

②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；

2"

當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．

22.拋物線yaxbxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0,c)；

3.二次函數常用解題方法總結：

⑴求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；

⑶根據圖象的位置判斷二次函數yaxbxc中a、b、c的符號，或由二次函數中a、b、c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

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二次函數知識點總結

二次函數知識點：

2b，c是常數，a0）的函數，叫做1．二次函數的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0，而b，以為零．二次函數的定義域是全體實數．

2yaxbxc的結構特征：2.二次函數

⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．b，c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．⑵a，二次函數的基本形式

1.二次函數基本形式：yax的性質：

2oo

結論：a的絕對值越大，拋物線的開口越小�？偨Y：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨a0向上00，y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下00，y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．2yaxc的性質：2.

結論：上加下減。

總結：

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨a0向上c0，y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y隨a0向下c0，y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．3.yaxh的性質：

2結論：左加右減。

總結：a的符號

開口方向頂點坐標對稱軸性質xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上0h，X=hx的增大而減��；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下0h，X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．4.yaxhk的性質：

總結：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上h，kX=hx的增大而減��；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下h，kX=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．二次函數圖象的平移1.平移步驟：

k；⑴將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點坐標h，2k處，具體平移方法如下：⑵保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點平移到h，2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h22yaxbxcya(xh)k，確定五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式

其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們0，c0，c2h，c選取的五點為：頂點、與y軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、

x，0x，0與x軸的交點1，2（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

2五、二次函數yaxbxc的性質

b4acb2b，x2a4a．a02a1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為

bbbxxx2a時，y隨x的增大而減�。划�2a時，y隨x的增大而增大；當2a當

4acb2時，y有最小值4a．

b4acb2b，x2a4a．當a02a，頂點坐標為2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為

bbbxxx2a時，y隨x的增大而增大；當2a時，y隨x的增大而減��；當2a時，y4acb2有最大值4a．

六、二次函數解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c為常數，a0）；

2.頂點式：ya(xh)k（a，h，k為常數，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫

成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b4ac0時，拋物線的解析式才可以用交

點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.

22七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系

1.二次項系數a

2yaxbxc中，a作為二次項系數，顯然a0．二次函數

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；

⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．

總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大�。�2.一次項系數b

在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．

⑴在a0的前提下，

b0當b0時，2a，即拋物線的對稱軸在y軸左側；

b0當b0時，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；

b0當b0時，2a，即拋物線對稱軸在y軸的右側．⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即

b0當b0時，2a，即拋物線的對稱軸在y軸右側；

b0當b0時，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；

b0當b0時，2a，即拋物線對稱軸在y軸的左側．

總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．總結：

3.常數項c

⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數解析式的確定：

根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（�。┲�，一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

二、二次函數圖象的對稱

二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱

2關于cx軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

2.關于y軸對稱

2關于cy軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關于原點對稱

2關于原點對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；yaxbx22kyaxhk；yaxh關于原點對稱后，得到的解析式是

4.關于頂點對稱

22b2yaxbxc2yaxbxc2a；關于頂點對稱后，得到的解析式是

2yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．

22n對稱5.關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，22根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

二次函數與一元二次方程：

1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：

22一元二次方程axbxc0是二次函數yaxbxc當函數值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：

20，Bx2，0(x1x2)，①當b4ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，其中的x1，x22是一元二次方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離

b24acABx2x1a.

②當0時，圖象與x軸只有一個交點；③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．

2yaxbxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；2.拋物線

3.二次函數常用解題方法總結：

⑴求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵求二次函數的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；⑶根據圖象的位置判斷二次函數yaxbxc中a，b，c的符號，或由二次函數中a，

b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

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