高中數(shù)學(xué)必修5 第一章 解三角形復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)201*-9-16

名成教育輔導(dǎo)中心教學(xué)資料TEL:15859099020(張老師)高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形復(fù)習(xí)201*-9-16

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

abc2R或變形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:

sinAsinBsinCb2c2a2cosA2222bcabc2bccosA

2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2acc2b2a22bacosC

b2a2c2

cosC

2ab

3．（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4．判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.

5．解題中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運(yùn)算，如：

sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

sin已知條件一邊和兩角（如a、B、C）兩邊和夾角(如a、b、c)三邊(如a、b、c)余弦定理余弦定理ABCABCABCcos,cossin,tancot.、222222定理應(yīng)用正弦定理一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)有一解。由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對(duì)的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解時(shí)有一解。由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解時(shí)只有一解。二、鞏固練習(xí)

一、選擇題

1、ΔABC中,a=1,b=3,∠A=30°,則∠B等于

A．60°

B．60°或120°

C．30°或150°D．120°（）

B．a(chǎn)=1,b=2,∠A=30°

1

（）

2、符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)的是

A．a(chǎn)=1,b=2,c=3

地址：福州市鼓樓區(qū)福新路99號(hào)（陽光城對(duì)面）

如果天賜我輝煌，我將比天更囂張

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C．a(chǎn)=1,b=2,∠A=100°3、在銳角三角形ABC中，有

A．cosA>sinB且cosB>sinAC．cosA>sinB且cosB

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高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)及經(jīng)典練習(xí)

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

abc2R或變形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:

sinAsinBsinC推論：①定理：若α、β＞0，且α+β＜，則α≤βsinsin，等號(hào)當(dāng)且當(dāng)α=β時(shí)成立。

②判斷三角解時(shí)，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞bcosAcosBAB（ycosx在(0,)上單調(diào)遞減）

b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA

2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2acc2b2a22bacosC

b2a2c2

cosC

2ab

3．（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4．判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.5．三角形中的基本關(guān)系：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,sin已知條件一邊和兩角（如a、B、C）ABCABCABCcos,cossin,tancot222222一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)有一解。定理應(yīng)用正弦定理兩邊和夾角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對(duì)的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解時(shí)有一解。三邊(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解時(shí)只有一解。

解三角形[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]

一、選擇題

1．在△ABC中，若C900,a6,B300，則cb等于（）A．1B．1C．23D．23

2．若A為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．

1tanA3．在△ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，這條高與底邊的夾角為60，則底邊長(zhǎng)為（）A．2B．

03C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，則A等于（）

A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）A．90B．120C．135D．150

000000000000二、填空題

01．在Rt△ABC中，C90，則sinAsinB的最大值是_______________。

2．在△ABC中，若abbcc,則A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,則a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，則C_____________。5．在△ABC中，AB0022262,C300，則ACBC的最大值是________。

三、解答題

1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,則△ABC的形狀是什么？

abcosBcosAc()baba3．在銳角△ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

2．在△ABC中，求證：

4．在△ABC中，設(shè)ac2b,AC3,求sinB的值。

解三角形[綜合訓(xùn)練B組]一、選擇題

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，則a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1

2．在△ABC中，若角B為鈍角，則sinBsinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能確定3．在△ABC中，若A2B，則a等于（）A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形

5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,則A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC0000131111，則最大角的余弦是（）A．B．C．D．1457．在△ABC中，若tanABa2bab，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空題

1．若在△ABC中，A600,b1,SABC3,則

abcsinAsinBsinC=_______。

2．若A,B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則tanAtanB_____1（填>或ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin

22222．在△ABC中，若C900,則三邊的比

3．在△ABC中，若a7,b3,c8，則其面積等于（）A．12B．

21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，則下列各式中正確的是（）

00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB

5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則A（）A．90B．60C．120D．150

0000tanAa22，則△ABC的形狀是（）6．在△ABC中，若

tanBbA．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能確定D．等腰三角形

二、填空題

1．在△ABC中，若sinAsinB,則A一定大于B，對(duì)嗎？填_________（對(duì)或錯(cuò)）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,則△ABC的形狀是______________。3．在△ABC中，∠C是鈍角，設(shè)xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,則x,y,z的大小關(guān)系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，則cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,則B的取值范圍是_______________。6．在△ABC中，若bac，則cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

2三、解答題

1．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，請(qǐng)判斷三角形的形狀。

2．如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,

求△ABC的面積的最大值。

22223．已知△ABC的三邊abc且ac2b,AC

2，求a:b:c

4．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB邊上的高為43，求角A,B,C的

大小與邊a,b,c的長(zhǎng)

[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]

一、選擇題

b001.Ctan30,batan3023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出圖形

5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是銳角，則

2AB,AB2,C2

1,A300或150025282721,600,18006001200為所求6.B設(shè)中間角為，則cos2582二、填空題

1111.sinAsinBsinAcosAsin2A222b2c2a21AA,10202.120cos2bc203.62A15,0abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB404.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2ACBCABACBCAB,,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB2(62)(sinAsinB)4(62)sincos

22AB4cos4,(ACBC)max4

2三、解答題

5.4

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。

2或B2

a2c2b2b2c2a22.證明：將cosB，cosA代入右邊

2ac2bc

a2c2b2b2c2a22a22b2)得右邊c(

2abc2abc2aba2b2ab左邊，

abba∴

abcosBcosAc()baba3．證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

ACACBBcos4sincos，4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin2222∴sinBB1AC3B13，而0,∴cos，cos22222424∴sinB2sinBB31339cos222448[綜合訓(xùn)練B組]

一、選擇題

1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是銳角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

22b2c2a21sA,bca3bc,coA2bc22220606.Ccab2abcosC9,c3，B為最大角，cosB22217ABABsinABabsinAsinB22，7.Dtan2absinAsinB2sinABcosAB222cos

ABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB

2tan二、填空題

1.

113239SABCbcsinAc22233c,a42,a13,13

abca13239sinAsinBsinCsinA332sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11,tanAtanB1，tanAsinBtanBtanBsinBsiCnBtaCn3.2tan

cosBcoCssinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.銳角三角形C為最大角，cosC0,C為銳角

8433bca311045.60cosA2bc6222(31)22222222a2b2c6．(5,13)a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答題

1.解：SABC21bcsinA3,bc4,22abc2bcosA,b所以b1,c4

2c，而5cb

2.證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(

2,即

2A2B0

2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

3.證明：∵sinAsinBsinC2sin

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos

2222ABABAB2sin(coscos)

222CAB2cos2coscos

222ABC4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

222aba2acb2bc1，只要證1，4．證明：要證2bcacabbcacc即abcab

而∵AB120,∴C60

00222a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3bccos22221cosC1cosA3sinBsinC∴sinA222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB

5．證明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB，∴ac2b

[提高訓(xùn)練C組]

一、選擇題

1.CsinAcosA2sin(A),

4而0A,2.B

4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABABcos2cos2sin2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA6322

4.DAB90則sinAcosB,sinBcosA，00A450,sinAcosA，450B900,sinBcosB5.Cacbbc,bcabc,cosA22222201,A1201*sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B

cosAsinBsin2BcosAsinBsinA2sinB2A,2或B2A2B2

二、填空題

1.對(duì)sinAsinB,則2.直角三角形

ababAB2R2R)1,1(1cosA21coBs2)2cAosB(21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB2,A2B,siAncBosB,sinAycosz,cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACAC,2sincos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221C2Asin2則sinAsinC4sin3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)2tanB1AsiCn4．1sin2sBintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B3

22(C)cosBco2sB6．1bac,sinBsinAsinC,cosAcosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答題

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A1.解：2,222absin(AB)bcosAsinBsinB

cosBsiAn,sinA2cosAsiBn∴等腰或直角三角形

siBn2A,2B或22AB2

2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222

c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]222R22(1)22Smax212R此時(shí)AB取得等號(hào)2ACACACACcos4sincos22223.解：sinAsinC2sinB,2sinsinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,acbac,cosB2221,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,

1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，聯(lián)合tanAtanC33

00tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1C45C75tanC23當(dāng)A750,C450時(shí)，b434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA當(dāng)A450,C750時(shí)，b000∴當(dāng)A75,B60,C45時(shí)，a8,b4(326),c8(31),當(dāng)A45,B60,C75時(shí)，a8,b46,c4(31)。

000

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