初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

dRr

drR-1-

圖4圖

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條��；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

A推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等�。�

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

BOADCBOACAODCCOADOBCBEDEFB

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端

MOCBOA∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

AN即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

PBOPO平分BPA

A十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PAPBPCPD

CBOPCAD（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

B兩條線段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CEAEBE

-3-

2OEDA

（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

2ADPCOBE（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長公式：lAAO1BO2的

nR；180OSlnR21lR（2）扇形面積公式：S3602Bn：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

2、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開圖

2S表S側(cè)2S底=2rh2r

ADD1母線長底面圓周長B（2）圓柱的體積：Vrh（2）圓錐側(cè)面展開圖

2（1）S表S側(cè)S底=Rrr

2CB1C1O（2）圓錐的體積：V12rh3ACrR-4-

B

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新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；

（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)dRr；

新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

dR圖1rR圖2drdR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。唬�2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條��；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

A推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

ECOADOBCBED只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，

F即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

AODC

-2-

B新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB

BOAC2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等��；即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

BDCOAC推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

CBOA推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端

MANOBOACDBAE新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

∴MN是⊙O的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA

PBO

十一、圓冪定理（此定理需要掌握，課本沒有，可能做題要涉及）（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PAPBPCPD

CBOPADA（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵直徑ABCD，

BCOEAD∴CEAEBE

（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

PD2AEO即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

2CB（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

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十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，ABCOO1O2CO2；

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行：

OBAC22122AO1BO2ACO2BO1OD:BD:OB1:3:2；

DBCO（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行，AB:OB:OA1:3:2.

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長公式：lAAEDOBAnR；180OSlnR21lR（2）扇形面積公式：S3602Bn：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

新初四暑期圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)周若楠

2、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開圖

S表S側(cè)2S底=2rh2r2

（2）圓柱的體積：Vr2h

（2）圓錐側(cè)面展開圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2

（2）圓錐的體積：V123rh

ADD1母線長底面圓周長BCC1B1ORCArB

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