高中數(shù)學線性規(guī)劃題型總結

高考線性規(guī)劃歸類解析

一、已知線性約束條件，探求線性目標關系最值問題

2xy2例1、設變量x、y滿足約束條件xy1，則z2x3yxy1的最大值為。

解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1

的交點A(3,4)處，目標函數(shù)z最大值為18

點評：本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標函數(shù)的最大值.，是一道較為簡單的送分題。數(shù)形結合是數(shù)學思想的重要手段之一。

二、已知線性約束條件，探求非線性目標關系最值問題

x1,例2、已知xy10,則x2y2的最小值是.2xy20解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而x2y2表示可行域內(nèi)一點到原點的距離的平方。由圖易知A（1，2）是滿足條件的最優(yōu)解。x2y2的最小值是為5。

點評：本題屬非線性規(guī)劃最優(yōu)解問題。求解關鍵是在挖掘目標關系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優(yōu)解。

三、約束條件設計參數(shù)形式，考查目標函數(shù)最值范圍問題。

圖1

圖2

x0例3、在約束條件下，當3s5時，目標函數(shù)y0yxsy2x4C

z3x2y的最大值的變化范圍是（）

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

解析：畫出可行域如圖3所示,當3s4時,目標函數(shù)z3x2y在B(4s,2s4)處取得最大值,即zmax3(4s)2(2s4)s4[7,8);當4s5時,目標函數(shù)z3x2yzmaxE(0,處取得最大值,即

30248,故z[7,8],從而選D;

在點

點評：本題設計有新意，作出可行域，尋求最優(yōu)解條件，然后轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)Z關于S的函數(shù)關系是求解的關鍵。

四、已知平面區(qū)域，逆向考查約束條件。

例4、已知雙曲線xy4的兩條漸近線與直線x3圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（）

22xy0xy0(A)xy0(B)xy0(C)

0x30x322xy0xy0(D)0x3xy0xy00x3解析：雙曲線xy4的兩條漸近線方程為yx，與直線x3圍

成一個三角形區(qū)域（如圖4所示）時有xy0。

xy00x3點評：本題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問題。驗證法或排除法是最效的方法。五、已知最優(yōu)解成立條件，探求目標函數(shù)參數(shù)范圍問題。例5已知變量x，y滿足約束條件1xy4。若目標函數(shù)

2xy2zaxy（其中a0）僅在點(3,1)處取得最大值，則a的取

值范圍為。

解析：如圖5作出可行域，由zaxyyaxz其表示為斜率為a，縱截距為ｚ的平行直線系,要使目標函數(shù)zaxy（其中a0）僅在點(3,1)處取得最大值。則直線yaxz過Ａ點且在直線xy4,x3（不含界線）之間。即a1a1.則a的取值范圍為(1,)。

點評：本題通過作出可行域，在挖掘a與z的幾何意義的條件下，借助用數(shù)形結合利用各直線間的斜率變化關系，建立滿足題設條件的a的不等式組即可求解。求解本題需要較強的基本功，同時對幾何動態(tài)問題的能力要求較高。六、設計線性規(guī)劃，探求平面區(qū)域的面積問題

xy20例６在平面直角坐標系中，不等式組xy20表示的平面

y0區(qū)域的面積是（）(A)42(B)4(C)22(D)2

xy20解析：如圖６，作出可行域，易知不等式組xy20表示

y0的平面區(qū)域是一個三角形。容易求三角形的三個頂點坐標為Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于

11是三角形的面積為：S|BC||AO|424.從而選Ｂ。

22點評：有關平面區(qū)域的面積問題，首先作出可行域，探求平面區(qū)域圖形的性質(zhì)；其次利用面積公式整體或部分求解是關鍵。

七、研究線性規(guī)劃中的整點最優(yōu)解問題

例7、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約

5x11y22,束條件2x3y9,則z10x10y的最大值是(A)80

2x11.(B)85(C)90(D)95

解析：如圖７，作出可行域，由z10x10yyx它表示為斜率為1，縱截距為

z，10z的平行直線系,要使z10x10y最得最大值。當直線10119z10x10y通過A(,)z取得最大值。因為x,yN，故Ａ點不是最優(yōu)整數(shù)解。于是考慮

22可行域內(nèi)Ａ點附近整點Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），經(jīng)檢驗直線經(jīng)過Ｂ點時，Zmax90.

點評：在解決簡單線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解時，可在去掉限制條件求得的最優(yōu)解的基礎上，調(diào)整優(yōu)解法，通過分類討論獲得最優(yōu)整數(shù)解。

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數(shù)學專題：線性規(guī)劃常考題型歸類解析

一、已知線性約束條件，探求線性目標關系最值問題

2xy2例1、設變量x、y滿足約束條件xy1，則z2x3yxy1的最大值為。

解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1

的交點A(3,4)處，目標函數(shù)z最大值為18

點評：本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標函數(shù)的最大值.，是一道較為簡單的送分題。數(shù)形結合是數(shù)學思想的重要手段之一。

二、已知線性約束條件，探求非線性目標關系最值問題

x1,22例2、已知xy10,則xy的最小值是.

2xy20解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而xy表示可行域內(nèi)一點到原點的距離的平方。由圖易知A（1，2）是滿足條件的最優(yōu)解。xy的最小值是為5。

點評：本題屬非線性規(guī)劃最優(yōu)解問題。求解關鍵是在挖掘目標關系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優(yōu)解。

三、約束條件設計參數(shù)形式，考查目標函數(shù)最值范圍問題。

2222圖1

圖2

例3、在約束條件

x0y0yxsy2x4C

下，當3s5時，目標函數(shù)

z3x2y的最大值的變化范圍是（）

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

解析：畫出可行域如圖3所示,當3s4時,目標函數(shù)z3x2y在B(4s,2s4)處取得最大值,即zmax3(4s)2(2s4)s4[7,8);當4s5時,目標函數(shù)z3x2yzmaxE(0,處取得最大值,即

30248,故z[7,8],從而選D;

在點

點評：本題設計有新意，作出可行域，尋求最優(yōu)解條件，然后轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)Z關于S的函數(shù)關系是求解的關鍵。

四、已知平面區(qū)域，逆向考查約束條件。

例4、已知雙曲線xy4的兩條漸近線與直線x3圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（）

22xy0xy0xy0xy0(A)xy0(B)xy0(C)xy0(D)xy0

0x30x30x30x322解析：雙曲線xy4的兩條漸近線方程為yx，與直線x3圍

成一個三角形區(qū)域（如圖4所示）時有xy0。

xy00x3點評：本題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問題。驗證法或排除法是最效的方法。五、已知最優(yōu)解成立條件，探求目標函數(shù)參數(shù)范圍問題。例5已知變量x，y滿足約束條件1xy4。若目標函數(shù)

2xy2zaxy（其中a0）僅在點(3,1)處取得最大值，則a的取

值范圍為。

解析：如圖5作出可行域，由zaxyyaxz其表示為斜率為a，縱截距為ｚ的平行直線系,要使目標函數(shù)zaxy（其中a0）僅在點(3,1)處取得最大值。則直線yaxz過Ａ點且在直線xy4,x3（不含界線）之間。即a1a1.則a的取值范圍為(1,)。

點評：本題通過作出可行域，在挖掘a與z的幾何意義的條件下，借助用數(shù)形結合利用各直線間的斜率變化關系，建立滿足題設條件的a的不等式組即可求解。求解本題需要較強的基本功，同時對幾何動態(tài)問題的能力要求較高。六、設計線性規(guī)劃，探求平面區(qū)域的面積問題

xy20例６在平面直角坐標系中，不等式組xy20表示的平面

y0區(qū)域的面積是（）(A)42(B)4(C)22(D)2

xy20解析：如圖６，作出可行域，易知不等式組xy20表示

y0的平面區(qū)域是一個三角形。容易求三角形的三個頂點坐標為Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于

11是三角形的面積為：S|BC||AO|424.從而選Ｂ。

22點評：有關平面區(qū)域的面積問題，首先作出可行域，探求平面區(qū)域圖形的性質(zhì)；其次利用面積公式整體或部分求解是關鍵。

七、研究線性規(guī)劃中的整點最優(yōu)解問題

例7、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約

5x11y22,束條件2x3y9,則z10x10y的最大值是(A)80

2x11.(B)85(C)90(D)95

解析：如圖７，作出可行域，由z10x10yyx它表示為斜率為1，縱截距為

z，10z的平行直線系,要使z10x10y最得最大值。當直線10119z10x10y通過A(,)z取得最大值。因為x,yN，故Ａ點不是最優(yōu)整數(shù)解。于是考慮

22可行域內(nèi)Ａ點附近整點Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），經(jīng)檢驗直線經(jīng)過Ｂ點時，Zmax90.

點評：在解決簡單線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解時，可在去掉限制條件求得的最優(yōu)解的基礎上，調(diào)整優(yōu)解法，通過分類討論獲得最優(yōu)整數(shù)解。

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