復變函數(shù)復習要點

目錄

第一章復數(shù)與復變函數(shù)………………………………1第二章解析函數(shù)………………………………………3第三章復變函數(shù)的積分………………………………5第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示…………………………6第五章留數(shù)及其應用…………………………………8第八章傅里葉變換……………………………………9第九章拉普拉斯變換………………………………10

第一章復數(shù)與復變函數(shù)

1．復數(shù)的基本概念：復數(shù)：，稱為復數(shù)單位，并規(guī)定，與是任意實數(shù)，依次稱為的實部與虛部，分別表示為。

2．共軛復數(shù)：設是一個復數(shù)，稱為的共軛復數(shù)，共軛復數(shù)的性質(zhì)：①②③④⑤⑥

3．復數(shù)的四則運算：設，是兩個復數(shù)，則：①加（減）法：②乘法：③除法：

4．復數(shù)的模與輻角：如果是一個不為零的復數(shù)，我們把它所對應向量的長度叫做的模，記作；把它所對應向量的方向角叫做輻角。用記號Arg作為的輻角的一般表示，再用arg表示的輻角中介于與之間（包括）的那一個角，并把它稱為的主輻角，即

④，，⑤，

6．復數(shù)的三角表示：設是一個不為零的復數(shù)，是的模，是的任意一個輻角，則：，一個復數(shù)的三角表示不是唯一的，因為其中的輻角有無窮多種選擇，如果有兩個三角表示相等：=，則可推出，，其中為某個整數(shù)。7．用復數(shù)的三角表示作乘除法：乘法：除法：

8．復數(shù)的乘方與開方：設是一個復數(shù)，是一個正整數(shù)，則：①

②設，則復數(shù)開方有：

9．平面曲線：以坐標原點為中心，以為半徑的圓周，寫成復數(shù)的形式為：

10．復變函數(shù)：設是復平面上的一個點集，如果對于中任意的一點，有確定的（一個或多個）復數(shù)和它對應，則說在上定義了一個復變函數(shù)，記作。11．復變函數(shù)的極限與連續(xù)性：①設函數(shù)，則的充要條件是，

②函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

12．在有界閉區(qū)域上的復連續(xù)函數(shù)，具有下列幾個性質(zhì)：①有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的

②有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在上其模至少取得最大值與最小值各一次③有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在上是一致連續(xù)的

第二章解析函數(shù)

1．復變函數(shù)的導數(shù)：

2．解析函數(shù)：如果在及的領域內(nèi)處處可導,則稱在處解析;如果在區(qū)域內(nèi)每一點解析,則稱在內(nèi)解析,或說是內(nèi)的解析函數(shù);如果在處不解析,則稱為的奇點。

３．函數(shù)在一點處解析，則一定在該點可導，但反過來不一定成立；函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)處處可導是等價的。４．解析函數(shù)的求導法則：

（１）四則運算法則：設和都是區(qū)域上的解析函數(shù)，則：①②③

（２）復合函數(shù)的求導法則：設，則有：

５．函數(shù)解析的充分必要條件：函數(shù)在處可導的充分必要條件是在點出可微，且滿足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：

６．調(diào)和函數(shù)：如果二元實函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足二維拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

７．定理：設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則的實部和虛部都是區(qū)域內(nèi)得調(diào)和函數(shù)。８．對于函數(shù)，其中的和的求法：

９．初等函數(shù)：

（１）指數(shù)函數(shù)：對于復數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)。歐拉公式：性質(zhì)：①

②設，，則

③是以為周期的函數(shù)，即：

④復變量指數(shù)函數(shù)當趨向于時沒有極限（２）對數(shù)函數(shù)：，令，則：性質(zhì)：①運算性質(zhì)：，

②解析性：的各分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)也解析，且有相同的導數(shù)值。（３）冪函數(shù)：（為復常數(shù)，）

性質(zhì)：①當為正整數(shù)時，，是一個單值函數(shù)②當為零時，

③當為有理數(shù)（與為互質(zhì)的整數(shù)，）時，④當為無理數(shù)或復數(shù)時，

（４）三角函數(shù)：函數(shù)與分別稱為復變量的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，記作與，即：＝；＝

性質(zhì)：①與均為單值函數(shù)

②與均為以為周期的周期函數(shù)③為偶函數(shù)，為奇函數(shù)④；⑤

⑥與在復平面上均為解析函數(shù)，且

第三章復變函數(shù)的積分

1．定理：設在光滑曲線上連續(xù)，則它的積分：

2．設曲線的參數(shù)方程為，則解析函數(shù)的積分就變成：3．圓的參數(shù)方程：，則積分4．復積分的基本性質(zhì):①②③

④,其中

5．柯西積分公式：設在簡單閉曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)解析，在上連續(xù)，是內(nèi)任一點，則

6．解析函數(shù)的高階導數(shù)：

第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

1．定理：設，，則的充分必要條件是，

2．復數(shù)項級數(shù)：，部分和序列：如果極限存在，則稱級數(shù)是收斂的，稱為級數(shù)的和；如果沒有極限，級數(shù)發(fā)散

3．定理：級數(shù)收斂的充分必要條件是級數(shù)和級數(shù)都收斂4．定理：級數(shù)收斂的必要條件是：；若，則級數(shù)必然發(fā)散5．定理：如果收斂，則也收斂6．復變函數(shù)項級數(shù)：7．冪級數(shù)：，或者：

8．定理：若冪級數(shù)在處收斂，那么該級數(shù)對任意滿足的都絕對收斂；在處發(fā)散，則該級數(shù)對任意滿足的都發(fā)散

9．定理：對冪級數(shù)，如果下列條件之一成立：（1）（2），那么級數(shù)收斂。

收斂半徑：

10．冪級數(shù)和函數(shù)性質(zhì)：若冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，則在收斂圓內(nèi)可逐次求導和逐次積分，即：

11．泰勒級數(shù)：設函數(shù)在圓盤內(nèi)解析，則在內(nèi)的泰勒級數(shù)展式為：12．邁克勞林展開式：在泰勒級數(shù)的基礎上取，則有：13．基本泰勒展式：①②

14．洛朗級數(shù)（含有負指數(shù)冪）：（①式）它可以分為：（②式）和（③式）

性質(zhì)：若②式的收斂半徑為，則當時，②式絕對收斂；若③式的收斂半徑為，則當時，③式絕對收斂，①式的收斂性如下：

（1）若，那么級數(shù)②③同時在圓環(huán)內(nèi)收斂，從而級數(shù)①在該圓環(huán)內(nèi)收斂；（2）若，級數(shù)①處處發(fā)散；

（3）若，則級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散15．定理：設函數(shù)在圓環(huán)上解析，則在內(nèi)有：

，其中

第五章留數(shù)及其應用

1．孤立奇點：在處不解析，但在的某一個去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱為的孤立奇點2．孤立奇點的分類：

（1）可去奇點：當時，有，則稱為函數(shù)的可去奇點，此時洛朗展式為

（2）極點：對于分子式的函數(shù)，若該函數(shù)的分母的階導數(shù)，使得將孤立奇點代入階導數(shù)后不為零，則稱是該函數(shù)的階極點

（3）本性奇點：若得洛朗展式有無限個，，則稱為函數(shù)的本性奇點3．定理：設在內(nèi)解析，則是的①可去奇點，②極點③本性奇點的充要條件是：①；②；③不存在也不為無窮大

4．留數(shù)：設在內(nèi)解析，而是的孤立奇點，作圓，稱為函數(shù)在處的留數(shù)，記作即：

5．留數(shù)的求法：

（1）當為的可去奇點時，

（2）當為的本性奇點時，只能通過的洛朗展式來求（3）當孤立奇點為的極點時，有：

①如果為的簡單極點（一階極點）時，②若，其中，則有：③如果為的階極點，則：

6．留數(shù)定理：設有有限個孤立奇點：，則：

第八章傅里葉變換

1．定理：設是以為周期的實值函數(shù)，且在上滿足狄氏條件：①連續(xù)或只有有限個第一類剪短點；②只有有限個極值點，則有：其中

2．傅氏積分定理：如果在上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件，且在上絕對可積（即），則有：

3.①傅里葉變換：②傅里葉逆變換：

4．單位沖擊函數(shù)（函數(shù)）：定義①：定義②5．單位沖擊函數(shù)的性質(zhì)：（1）對任意連續(xù)函數(shù)有：①；②

（2）函數(shù)為偶函數(shù)，即

（3）相似性質(zhì)：設為實常數(shù)，則有：

（4）函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)。單位階躍函數(shù)：6．函數(shù)的傅氏變換：

第九章拉普拉斯變換

1．拉普拉斯變換：設函數(shù)是定義在上的實值函數(shù)，如果對于復參數(shù)，積分收斂，則稱為的拉普拉斯變換2．若，則

3．拉普拉斯變換存在定理：設函數(shù)在上滿足下列兩個條件：①在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；②存在常數(shù)，使得則函數(shù)的拉普拉斯變換存在

4．拉普拉斯逆變換（反演積分公式）：，其中

5．利用留數(shù)計算反演積分：若是函數(shù)的所有奇點，且當時，有，則有：

擴展閱讀：【工程數(shù)學】復變函數(shù)復習重點

復變函數(shù)復習重點

(一)復數(shù)的概念

1.復數(shù)的概念：zxiy，x,y是實數(shù),xRez,yImz.i21.

注：一般兩個復數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小.2.復數(shù)的表示1）模：

zxy22

；

2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；

主值argz是位于(,]中的幅角。

3）argz與arctan之間的關系如下：

xy當x0,

argzarctanyx；

yy0,argzarctanx當x0,y0,argzarctanyx；

4）三角表示：z5）指數(shù)表示：zzcosisinzei，其中argz。

argz；注：中間一定是“+”

，其中(二)復數(shù)的運算1.加減法：若z1x1iy1,z22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y2

，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

z1z2x1iy1x2iy2ix1iy1x2iy2x2iy2x2iy2i2x1x2y1y2xy2222iy1x2y2x1xyz1z22222。

i122）若z1

z1e1,z2z2e,則z1z2z1z2ei12；

z1z2e

3.乘冪與方根1）若z2）若z1nz(cosisin)zez(cosisin)zei，則zn，則

z(cosnisinn)zennin。

izzn2k2kcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個相異的值）

（三）復變函數(shù)

1．復變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平

面上的一個點集G的映射.

2．復初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny，在z平面處處可導，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）

對數(shù)函數(shù)：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）

Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnz1z；

注：負復數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）

乘冪與冪函數(shù)：abebLna(a0)；zebbLnz(z0)

注：在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb1。

三角函數(shù)：sinzsinz,cosz在zee2iiziz,coszee2iziz,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinz

平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實函數(shù)不同）

雙曲函數(shù)shzshz

ee2zz,chzee2zz；

奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz。

（四）解析函數(shù)的概念1．復變函數(shù)的導數(shù)1）點可導：fz0=limfz0zfz0z；

z02）區(qū)域可導：fz在區(qū)域內(nèi)點點可導。2．解析函數(shù)的概念

1）點解析：fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導，稱fz在z0點解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱fz在區(qū)域內(nèi)解析；3）若f(z)在z0點不解析，稱z0為fz的奇點；

3．解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）

仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；

（五）函數(shù)可導與解析的充要條件

1．函數(shù)可導的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

,uyvxuxvy此時，有fzuxivx。

2．函數(shù)解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,yux和vx,y在x,y在

uyuxiD內(nèi)可微，且滿足

CD條件：

v,yvx；

此時fzvx。

注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)

域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時，函數(shù)f(z)uiv一定是可導或解析的。

3．函數(shù)可導與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）

2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習題3）

（六）復變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1．

復變函數(shù)積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。

nk1n注：復變函數(shù)的積分實際是復平面上的線積分。

2．復變函數(shù)積分的性質(zhì)

1）fzdzfzdz（c1與c的方向相反）；

cc12）[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；ccc3）若曲線c由c1與c2連接而成，則fzdzcc1fzdzcf2zdz。

3．復變函數(shù)積分的一般計算法

1）化為線積分：fzdzccudxvdyivdxudy；（常用于理論證明）

c2）參數(shù)方法：設曲線c：zzt(t)，其中對應曲線c的起點，對應曲線c的終點，則fzdzcf[zt]z(t)dt。

（七）關于復變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西古薩基本定理：

設fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則fzdz0

c2．復合閉路定理：設fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉

曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以

c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D

內(nèi)，則

①fzdzcfzdz,其中c與ck1cknk均取正向；

1②，其中由及fzdz0cc(k1,2,n)所組成的復合閉路。3．閉路變形原理：一個在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，

不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點。

4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設fz在單連域B內(nèi)解析，Gz為fz在B內(nèi)的一個原函數(shù)，則z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數(shù)即可。

5.柯西積分公式：設fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，

c的內(nèi)部完全屬于D，z0為c內(nèi)任意一點，則fzczz0dz2ifz0

6．高階導數(shù)公式：解析函數(shù)fz的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為

fzc(zz0)dzn12in!fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于D。

7．重要結(jié)論：

(za)c1n12i,dz0,n0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲線）

8．復變函數(shù)積分的計算方法

1）若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法cfzdz2）設fz在區(qū)域D內(nèi)解析，

c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0

cf[zt]ztdt

c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對應曲線c的起點和終點，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內(nèi)僅有一個奇點：fz2indzfz0c(zz)n1n!0（f(z)在c內(nèi)解析）

曲線c內(nèi)有多于一個奇點：fzdzcnfzdz（ck1ckni內(nèi)只有一個奇點zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數(shù)基本定理）

ck1若被積函數(shù)不能表示成

fzn1(zzo)，則須改用第五章留數(shù)定理來計算。

（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

1．調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足

x22y220，(x,y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

解析函數(shù)fzuiv的實部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實部u的共軛調(diào)和函數(shù)。

兩個調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西黎曼方程，則uiv一定是解析函數(shù)。3．已知解析函數(shù)fz的實部或虛部，求解析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實部uux,y，利用CR條件，得對

vv,xy；

vyux兩邊積分，得vuxdygx（*）

再對（*）式兩邊對x求偏導，得

uyvxuyvxudygx（**）xx由CR條件，

，得

udygx，可求出gx；xx代入（*）式，可求得虛部vxdygx。

uu,xu2）線積分法：若已知實部

dvvxdxvyudyyy，利用

CR條件可得

udx，故虛部為dyvxx,yx0,y0uydxuxdyc；

由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點。

3）不定積分法：若已知實部uux,y，根據(jù)解析函數(shù)的導數(shù)公式和CR條

件得知，fzuxivyuxiuy

將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，由于fz仍為解析函數(shù)，fzUzdzc注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.

（九）復數(shù)項級數(shù)1．復數(shù)列的極限

1）復數(shù)列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復數(shù)limana,nabi的充要條件為

limbnb（同時成立）

n2）復數(shù)列{n}收斂實數(shù)列{an},{bn}同時收斂。

2．復數(shù)項級數(shù)

1）復數(shù)項級數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級數(shù)an與bn同時收斂；

n0n0n02）級數(shù)收斂的必要條件是limn0。

n注：復數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。

（十）冪級數(shù)的斂散性

1．冪級數(shù)的概念：表達式cn(zz0)或cnzn為冪級數(shù)。

nn0n02．冪級數(shù)的斂散性

1）冪級數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：

如果冪級數(shù)cnzn在z00處收斂，那么對滿足zz0的一切z，該數(shù)絕對收斂；

n0如果在z0處發(fā)散，那么對滿足zz0的一切z，級數(shù)必發(fā)散。2）冪級數(shù)的收斂域圓域

冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果lim根值法limcn1cn0，則收斂半徑R11n；

ncn0，則收斂半徑R；

如果0，則R；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則R0；說明僅在zz0或z0點收斂；

注：若冪級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：

設anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記RminR1,R2，

nn0n0nn則當zR時，(anbn)zanzbnzn（線性運算）

n0n0n0(anzn0nn)(bnz)n0(an0nb0an1b1a0bn)zn（乘積運算）

2）復合性質(zhì)：設當析且gzr時，fann，當zn0R時，gz解

r，則當zR時，f[gz]an0n[gz]n。

3）分析運算性質(zhì)：設冪級數(shù)anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數(shù)fzan0nzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；

在收斂圓內(nèi)可逐項求導，收斂半徑不變；且fzznan0znn1zR

在收斂圓內(nèi)可逐項求積，收斂半徑不變；fzdz0ann1zn1zR

n0（十一）冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設函數(shù)fz在圓域

zz0R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)fz可以

n展開成冪級數(shù)fzn0fnz0n!zz0；并且此展開式是唯一的。

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑

Rz0a；其中R為從z0到fz的距z0最近一個奇點a之間的距離。

2．常用函數(shù)在z01）e2）

z0的泰勒展開式

z2n01n!z1zn2!z33!znn!z

11zzn0n2n1zzzz1

3）sinzn0(1)n(2n1)!(1)nz2n1zz33!z4z55!(1)n(2n1)!n2nz2n1z

4）coszn0(2n)!z2n1z22!4!(1)(2n)!zz

3．解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出cn1n!fnz0，于是fzcnzz0。

n0n2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開1.洛朗級數(shù)的概念：

ncnzz0n，含正冪項和負冪項。

2．洛朗展開定理：設函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)處處解析，c為圓環(huán)

域內(nèi)繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有

fzncznz0","p":{"h":20.977,"w":5.00fzcm(zz0)mc1(zz0)c0c1(zz0)cm(zz0)m

（十四）孤立奇點的判別方法1．可去奇點：limfzc0常數(shù)；

zz02．極點：limfz

zz03．本性奇點：limfz不存在且不為。

zz04．零點與極點的關系

1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)fz，如果能表示成fz(zz0)mz，其中z在z0解析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件：

fz0是fz的m級零點fnmz00,z00(n1,2,m1)

3）零點與極點的關系：z0是fz的m級零點z0是4）重要結(jié)論:

若za分別是z與z的m級與n級零點，則za是zz的mn級零點；當mn時，za是

zz1fz的m級極點；

的mn級零點；

當mn時，za是

zzzz的nm級極點；

當mn時，za是的可去奇點；

當mn時，za是zz的l級零點，lmin(m,n)當mn時，za是zz的l級零點，其中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的概念

1．留數(shù)的定義：設z0為fz的孤立奇點，fz在z0的去心鄰域0zz0內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡單閉曲線，則稱積分

-11-

fzdz為2ic，記作Res[fz,z0]fz在z0的留數(shù)（或殘留）2．留數(shù)的計算方法

12ifzdz

c若z0是fz的孤立奇點，則Res[fz,z]c1，其中c1為fz在z0的

0去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(zz0)1的系數(shù)。

1）可去奇點處的留數(shù)：若z0是fz的可去奇點，則Res[fz,z]0

02）m級極點處的留數(shù)

法則I

若z0是fz的m級極點，則Res[fz,z]01(m1)!zz0dzlimdm1m1[(zz0)fmz]

特別地，若z0是fz的一級極點，則Res[fz,z]lim(zz0)fz

0zz0注：如果極點的實際級數(shù)比m低，上述規(guī)則仍然有效。法則II設fzPzQzPzQz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,Qz00,Qz00，

Pz0Qz0則Res[,z0]

（十六）留數(shù)基本定理

設fz在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,zn外處處解析，c為D內(nèi)包

圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則cfzdz2iRes[fz,zn]

n1說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點處留數(shù)的局部問題。

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