高中數學必修5知識點總結歸納

高中數學必修5知識點總結

第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為Cabc2R．的外接圓的半徑，則有

sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

2224、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c2coscosCcos5、余弦定理的推論：，，．

2bc2ab2ac6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90；②若a2b2c2，則C90；③若a2b2c2，則C90．

第二章數列

7、數列：按照一定順序排列著的一列數．8、數列的項：數列中的每一個數．9、有窮數列：項數有限的數列．10、無窮數列：項數無限的數列．

11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．13、常數列：各項相等的數列．

14、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．

15、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式．16、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

-1-

17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．

18、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為

ac，則稱b為a與c的等差中項．a與b的等差中項．若b219、若等差數列

an的首項是a，公差是d，則a1na1n1d．

20、通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dana1；

n1anamana11；⑤d④n．

nmd21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、，則amanq*）若an是等差數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；

apaq．

na1annn1Sd．22、等差數列的前n項和的公式：①n；②Snna12223、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S2n且S偶S奇nd，

nanan1，

S奇an．S偶an1S奇n（其S偶n1②若項數為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，中S奇nan，S偶n1an）．

24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．

25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則稱G為a與b的等比中項．26、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通項公式的變形：①n；②1；③qn1mnan；a1nm④qan．am-2-

28、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等比數列，且2npq（n、p、q*），則an2apaq．

na1q129、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q30、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則②SnmS偶S奇q．

SnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列．

第三章不等式

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③

abacbc；

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．34、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：

判別式b24ac000二次函數yax2bxca0的圖象一元二次方程ax2bxc0有兩個相異實數根有兩個相等實數b根x1x22aa0的根x1,2b2a沒有實數根-3-

x1x2ax2bxc0xxx或xx12一元二次不等式的解集a0ax2bxc0bxx2aRa0xx1xx235、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．

yC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；①若0，則xxyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域．

yC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；②若0，則xxyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域．

40、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．

目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

-4-

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．

ab41、設a、b是兩個正數，則稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數2a、b的幾何平均數．

abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即2a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、極值定理：設x、y都為正數，則有

s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．

422⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

-5-

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必修5知識點總結

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數列：按照一定順序排列著的一列數．8、數列的項：數列中的每一個數．9、有窮數列：項數有限的數列．10、無窮數列：項數無限的數列．

11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）．12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q*），則aman差數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；若an是等

apaq．

na1anSn2；②

22、等差數列的前n項和的公式：①

Snna1nn1d．③2sna1a2an

*23、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇anS偶an1．

*②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：

an1q（注：①等比數列中不會出現值為0的項；②同號位上an的值同號）

注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列.

25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通項公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．ama1*28、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數列，且2npq（n、p、q*），則an2apaq．

na1q129、等比數列an的前n項和的公式：①Sna11qnaaq．②sn1nq11q1qs1a1(n1)30、對任意的數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：an

ss(n2)n1na1a2an

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.②等差{an}前n項和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若22d為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．附：幾種常見的數列的思想方法：

⑴等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列等差數列等比數列數列等差數列等比數列我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數列分析：因為

d2dn(a1)n利用二次函數的性質求n的值.22通項公式對應函數（時為一次函數）（指數型函數）前n項和公式對應函數（時為二次函數）（指數型函數）中，，則.

是等差數列，所以是關于n的一次函數，

一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數

列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數列前n項和可以看成關于n的二次函數=，

是拋物線=上的離散點，根據題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，

例題：3遞增數列，對任意正整數n，

遞增得到：

恒成立，設

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構造一次函數，由數列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數

的取值范圍是：

構造二次函數，，它的定義域是

增數列，即函數為遞增函數，單調增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數f(x)

為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應圖像上看，對稱軸的左側

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前111n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，

公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證

anan1(an)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

3.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,dsn=121222323n2n①

把①式兩邊同乘2后得

2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論

n(n1)121）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=n3）1323n3n(n1)

224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()

n(n2)2nn26）

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

1111()(pq)pqqppq⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x3x6x80的解集為：

22x|2x1,或x4

例題：求解不等式解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數0002

(x1)(x2)(x5)0的解集。

(x6)(x4)yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx2對于a0(或（2）轉化為整式不等式（組）

f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)

例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

11xx1的解集。x13.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：

x2x292x92(x2)(x3)10x2由①②③得原不等式的解集為：x|函數圖像法：

令f(x)|x2||x3|

119x（注：是把①②③的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)在直角坐標系中作出此分段函數及f(x)10的圖像如圖1132o292x由圖像可知原不等式的解集為：x|2

119x224.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：y設ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

22

0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對稱軸x=xb2a0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

11

y對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數m,n之間，即mn，

yoxy0bnm則有2af(m)0omf(n)0⑤若兩個根在三個實數之間，即mtn，

yX=nb2axf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個正實數根，求m的取值范圍。

omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解：由①型得02(m1)0m1m3

0m1,或m3m22m30所以方程有兩個正實數根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

225522(1)4(m1)00m解：因為有兩個不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線①若0，則xyCxyC0下方的區(qū)域．

0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線②若0，則xyCxyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．

ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．2abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即241、設a、b是兩個正數，則

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR22a2b2；②aba,bR；③

2ababa0,b0；

2a2b2ab④a,bR．

2244、極值定理：設x、y都為正數，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當xy4時，和xy取得最小值2p．例題：已知x解：∵x51，求函數f(x)4x2的最大值。44x55，∴4x504由原式可以化為：

f(x)4x552

當54x1111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時取到“=”號54x2也就是說當x1時有f(x)max2

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