高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)匯總

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)匯總

為了幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)，減少不必要的丟分，蘇州中學(xué)網(wǎng)特意總結(jié)了這一高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)。總結(jié)了高中數(shù)學(xué)常見的錯(cuò)誤，供同學(xué)們參考。

1．在應(yīng)用條件A∪B＝B，A∩B＝A時(shí)，易忽略A是空集Φ的情況。2．求解與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題易忽略定義域優(yōu)先的原則，尤其是在與實(shí)際生活相聯(lián)系的應(yīng)用題中，判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)也要判斷函數(shù)的定義域，求三角函數(shù)的周期時(shí)也應(yīng)考慮定義域。

3．判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,優(yōu)先考慮定義域?qū)ΨQ。

4．解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，易忽略真數(shù)大于0、底數(shù)大于0且不等于1這一條件。

5．用判別式法求最值（或值域）時(shí)，需要就二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論，易忽略其使用的條件，應(yīng)驗(yàn)證最值。

6．用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0。尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略。

7．用均值定理求最值（或值域）時(shí)，易忽略驗(yàn)證“一正（幾個(gè)數(shù)或代數(shù)式均是正數(shù)）二定（幾個(gè)數(shù)或代數(shù)式的和或者積是定值）三等（幾個(gè)數(shù)或代數(shù)式相等）”這一條件。

8．用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性。9．求反函數(shù)時(shí)，易忽略求反函數(shù)的定義域。

10．求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，易錯(cuò)誤地在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪”和“或”；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示,而應(yīng)用逗號(hào)連接多個(gè)區(qū)間。

11．用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比ｑ＝1的情況。12．已知Sn求an時(shí),易忽略n＝1的情況。

13．用直線的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線的方程時(shí),易忽略斜率不存在的情況；題目告訴截距相等時(shí)，易忽略截距為0的情況。

14.求含系數(shù)的直線方程平行或者垂直的條件時(shí)，易忽略直線與x軸或者y軸平行的情況。

15．用到角公式時(shí)，易將直線L1、L2的斜率ｋ1、ｋ2的順序弄顛倒；使用到角公式或者夾角公式時(shí)，分母為零不代表無(wú)解，而是兩直線垂直。

16．在做應(yīng)用題時(shí),運(yùn)算后的單位要弄準(zhǔn)，不要忘了“答”及變量的取值

范圍；在填寫填空題中的應(yīng)用題的答案時(shí),不要忘了單位。應(yīng)用題往往對(duì)答案的數(shù)值有特殊要求，如許多時(shí)候答案必須是正整數(shù)。

17．在分類討論時(shí),分類要做到“不重不漏、層次分明,進(jìn)行總結(jié)”。18．在解答題中，如果要應(yīng)用教材中沒(méi)有的重要結(jié)論，那么在解題過(guò)程中要給出簡(jiǎn)單的證明，如使用函數(shù)y=x+1的單調(diào)性求某一區(qū)間的最值時(shí)，應(yīng)先

x證明函數(shù)y=x+1的單調(diào)性。

x19．在求不等式的解集、定義域及值域時(shí)，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示；不能用不等式表示。

20．兩個(gè)不等式相乘時(shí),必須注意同向同正時(shí)才能相乘,即同向同正可乘；同時(shí)要注意“同號(hào)可倒”即A＞B＞0，0

線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行＂而導(dǎo)致證明過(guò)程跨步太大，正確的判定方法是：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。

31．函數(shù)的圖象的平移、方程的平移以及點(diǎn)的平移公式易混：（1）函數(shù)的圖象的平移為“左+右-,上+下-”；如函數(shù)y＝2x+4的圖象左移2個(gè)單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為y=2（x＋2）+4－3。即y=2x+5。

（2）方程表示的圖形的平移為“左+右-,上-下+”；如直線2x－y+4=0左移2個(gè)單位且下移3個(gè)單位得到的圖象的解析式為2(x＋2)-(y＋3)+4=0。即y=2x+5。

（3）點(diǎn)的平移公式：點(diǎn)P(x,y)按向量=(h，k)平移到點(diǎn)P’(x’，y’)，則x’＝x+h，

y’＝y(tǒng)+k。

32．橢圓、雙曲線A、B、ｃ之間的關(guān)系易記混。對(duì)于橢圓應(yīng)是A2－B2＝ｃ2

，對(duì)于雙曲線應(yīng)是A2＋B2＝ｃ2。

33．“屬于關(guān)系”與“包含關(guān)系”的符號(hào)易用混，元素與集合的關(guān)系用a∈A，集合與集合的關(guān)系用AB。

34．“點(diǎn)A在直線A上”與“直線A在平面α上”的符號(hào)易用混，如：A∈A，Aα.

35．橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在ｘ軸上與焦點(diǎn)在ｙ軸上的焦半徑公式易記混；橢圓和雙曲線的焦半徑公式易記混。它們都可以用其第二定義推導(dǎo)，建議不要死記硬背，用的時(shí)候再根據(jù)定義推導(dǎo)。

36．兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行易混,兩個(gè)向量平行(也稱向量共線)包含兩個(gè)向量重合,兩條直線平行不包含兩條直線重合。

37．各種角的范圍：

兩條異面直線所成的角0°

兩個(gè)向量的夾角0°≤α≤180°銳角0°

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高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問(wèn)題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例1、設(shè)

Ax|x28x150，Bx|ax10，若ABB，求實(shí)數(shù)a組成的集

合的子集有多少個(gè)？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件

ABB易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易

忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合A化簡(jiǎn)得A3,5，由ABB知BA故（Ⅰ）當(dāng)B時(shí)，即方程ax10無(wú)

11或。35解，此時(shí)a=0符合已知條件（Ⅱ）當(dāng)B時(shí)，即方程ax10的解為3或5，代入得a綜上滿足條件的a組成的集合為0,11,，故其子集共有238個(gè)。35Ｂ時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡ將集合Ａ是空集Φ的情況優(yōu)先進(jìn)行討論．

（2）在解答集合問(wèn)題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過(guò)程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：

Ax,y|x2y24，

2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范圍。將集合所表達(dá)

的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用。【練1】已知集合

Ax|x24x0、Bx|x22a1xa210，若BA，

1或a1。

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：a【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知

x22y21,求x2y2的取值范圍4【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、

y滿足

x22y21這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。4-1-

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解析：由于

x22y2y221得(x+2)=1-442

2

≤1，∴-3≤x≤-1從而x+y=-3x-16x-12=

222

+

283因此當(dāng)x=-1時(shí)x+y有最小值1,當(dāng)x=-

82822

時(shí)，x+y有最大值33。故x+y的取值范圍是[1,

22

283]

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件x22y21對(duì)4x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，2轉(zhuǎn)化為三角最值求解。y2。此外本題還可通過(guò)三角換元【練2】（05（）

x2y221b0上變化，則x22y的最大值為高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線

4bb2b2b240b440b24（D）2b（A）4（B）4（C）42bb42bb2答案：A

【易錯(cuò)點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例3、

a2x11fx是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)fxx12【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（1）利用

fxfx0（或f00）求得a=1.

2x11yxxfxx，設(shè)yfx,則21y1y由于y1故2，

211y1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1fxx2121（2）由a1即

1y1yxlog2，而

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）。（2）應(yīng)用

f1(b)af(a)b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和

函數(shù)值要互換。

【練3】（201*全國(guó)理）函數(shù)A、C、

fxx11x1的反函數(shù)是（）

yx22x2x1B、yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx1

-2-

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答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例4、已知函數(shù)稱，則A、gfx12x1，函數(shù)ygx的圖像與yfx1的圖象關(guān)于直線yx對(duì)

1xygx的解析式為（）

x32x2x1x3B、gxC、gxD、gxx1x2x2x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由

ygx與yf1x1互為反函數(shù)，而認(rèn)為yf1x1的

=

=反函數(shù)是

yfx1fx則

ygxfx112x11x132x而錯(cuò)選A。x解析：由

1x12x12x1x11得fx從而yfx1再求1x2x211x2x。正確答案：B1xyf1x1的反函數(shù)得gx【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)

yf1x1與函數(shù)yfx1并不互為反函數(shù)，他只是表示f1xyfx1則f1yx1，

中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過(guò)程來(lái)看：設(shè)

1y互換即得yfx1的反函數(shù)為yfx1，故yfxxf1y1再將x、1的

反函數(shù)不是

yf1x1，因此在今后求解此題問(wèn)題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。

-1-1

【練4】（201*高考福建卷）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f(x)，則函數(shù)y=f(1-x)的圖象是（）

答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

例5、判斷函數(shù)

f(x)lg1x2x22的奇偶性。

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【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：

f(x)lg1x2x22fx從

而得出函數(shù)

fx為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。

21x0解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)?,00,1定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

x22在定義域下

fxlg1x2x易證

fxfx即函數(shù)為奇函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)

fx具有奇偶性，則fxfx或fxfx是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常

常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值�！揪�5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①

fx4x2x24②fxx11sinxcosx1x③fx1sinxcosx1x

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過(guò)程繁鎖。

例6、函數(shù)

fxlog22x22x11111證明fx是奇函數(shù)且在x或x的反函數(shù)為fx，

22其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求只需研究原函數(shù)

f1x的表達(dá)式，再證明。若注意到f1x與fx具有相同的單調(diào)性和奇偶性，

fx的單調(diào)性和奇偶性即可。

2x12x1解析：

fxlog2log22x12x1log22x12x1fx，故fx為奇函數(shù)從而f1x為

奇函數(shù)。又令t2x1211t1在,和,上均為增函數(shù)且ylog2為增函數(shù)，

2x12x122故

11fx在,和,上分別為增函數(shù)。故f1x分別在0,和,0上分別為

22增函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧�素的偶函�?shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即

f1(b)af(a)b。

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【練6】（1）（99全國(guó)高考題）已知

exexf(x)2，則如下結(jié)論正確的是（）

A、C、

fx是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、fx是奇函數(shù)且為減函數(shù)fx是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、fx是偶函數(shù)且為減函數(shù)

1則使fx1成立的x的f1x是函數(shù)fx1axaxa1的反函數(shù)，

答案：A

（2）（201*天津卷）設(shè)

2a21a21a21,)B、(,)C、(,a)D、(a,)取值范圍為（）A、(2a2a2a2a11a1答案：A（時(shí)，fx單調(diào)增函數(shù)，所以fx1ffxf1xf11.）

2a【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數(shù)

fxaxba0,b0的單調(diào)性并給出證明。x【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義

x1D,x2Dfx1fx2fx1fx2中的x1,x2的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是

函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于

fxfx即函數(shù)fx為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)fx在0,上的單調(diào)性x1x20，

即可。設(shè)

fx1fx2x1x2ax1x2bx1x2由于

x1x20故當(dāng)

bbx1,x2,,時(shí)，此時(shí)函數(shù)在fxfxfx012aa上增函數(shù)，同理可證

函數(shù)

bbfx在0,a上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在a,0為減函數(shù)，在

bbb,,,為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在fxaaabb0,a和a,0上分別為減函數(shù).【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問(wèn)題中，應(yīng)引起足夠重視。

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（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：fx在a,b上是增函數(shù)fx1fx20，fx在x1x2a,b上是減函數(shù)點(diǎn)112fx1fx20，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩x1x22x,fx,x,fx連線的斜率都大于（小于）零。fxaxba0,b0是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不x（3）能說(shuō)bbbb,0上為減函數(shù),在敘在0,fx在,aa,上為增函數(shù)，aafxax1xa0（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)fx在ax述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪”和“或”，【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）

（2）設(shè)fx在0x1的最小值為ga，求yga的解析式。0,上的單調(diào)性。

1112a1答案：（1）函數(shù)在,為增函數(shù)在0,為減函數(shù)。（2）ygaaaaa0a1（2）（201*天津）設(shè)a0且

exafxxae為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在

0,上的單調(diào)性并給出證明。答案：（1）a1（2）函數(shù)在0,上為增函數(shù)（證明略）

【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、（201*全國(guó)高考卷）已知函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】

fxax33x2x1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

fx0xa,b是fx在a,b內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過(guò)程

fxx3在R上遞減，但fx3x20。

fx3a2x6x1（1）當(dāng)fx0時(shí)，fx是減函數(shù)，則

解得

中易誤作是充要條件，如解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

a0故fx3a2x6x10xR03a3。（2）當(dāng)

a3時(shí)，

18（3）當(dāng)a3時(shí)，fx3x33x2x13x易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。

39-6-

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在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有的取值范圍是

fx0，所以當(dāng)a3時(shí)，函數(shù)fx不是減函數(shù)，綜上，所求

a

,3。

其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明：①f(x)0fx可導(dǎo)，

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)

與

f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)f(x)x3在

(,)上單調(diào)遞增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件。②f(x)0時(shí)，f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:若將f(x)0的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定f(x)0，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)f(x)為增函數(shù)，就一定有f(x)0�！喈�(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分必要條件。③f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f(x)為增函數(shù)，

一定可以推出

f(x)0，但反之不一定，因?yàn)閒(x)0，即為f(x)0或f(x)0。當(dāng)函數(shù)在f(x)0，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性�！鄁(x)0是f(x)為增函數(shù)的

某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有

必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)a維的嚴(yán)密性。

【練8】（1）（201*新課程）函數(shù)A、b3和a3進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條

件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中注意思

yx2bxcx0,是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）

0B、b0C、b0D、b0

答案：A

（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)上遞增？答案：k在

fxk2x4231xkx22x在1,2上遞減，在2,321。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f20，但f20是函數(shù)在1,2上遞減，2）2,上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f20求出K值后要檢驗(yàn)。

【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+

1a)+(b+

2

1b)的最小值。

2

-7-

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錯(cuò)解:(a+值是8

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=

二次等號(hào)成立的條件ab=解析：原式=a+b+

2222

1a)+(b+

2

1b)=a+b+

222

11+22ab+4≥2ab+

2ab+4≥4

ab11+4=8∴(a+

aab)+(b+

2

1b)的最小

2

12,第

1ab，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

2222

1111112++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+[(+)-]+4

ababa2b2a2b21ab11111=(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17

2422ababab12511125∴原式≥17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。

222ab22

22

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三

相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)�！揪�9】（97全國(guó)卷文22理22）甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)ckm/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）ysabv2a0vc（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)vb≤c時(shí)，行駛速度v=

ab；

當(dāng)

ab＞c時(shí)，行駛速度v=c。

【易錯(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)明理由。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過(guò)程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)

fxlogaax2x在

2,4上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說(shuō)

fx是由xax2x和ylogax復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方

fxlogaax2法（1）當(dāng)a>1時(shí)，若使

x在

2,4上是增函數(shù)，則xax2x在2,4上是增函

212ax數(shù)且大于零。故有2a解得a>1。（2）當(dāng)a★育英輔導(dǎo)班內(nèi)部資料★

142函數(shù)，則xaxx在2,4上是減函數(shù)且大于零。2a不等式組無(wú)解。綜上

416a40所述存在實(shí)數(shù)a>1使得函數(shù)

fxlogaax2x在

2,4上是增函數(shù)

【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）�！揪�10】（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)a間。答案：當(dāng)00，且a1試求函數(shù)yloga43xx2的的單調(diào)區(qū)

333a1，函數(shù)在1,上單調(diào)遞減在,4上單調(diào)遞增當(dāng)a1函數(shù)在1,上單調(diào)

222遞增在

3

,4上單調(diào)遞減。2

1fxlogax3axa0,a1在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的

21399取值范圍是（）A、[,1)B、[,1)C、(,)D、(1,)

4444（2）（201*高考天津）若函數(shù)答案：B.（記g2則g"x3xa當(dāng)a1時(shí)，要使得fx是增函數(shù)，則需有g(shù)"x0xx3ax，

231恒成立，所以a3.矛盾.排除C、D當(dāng)0a1時(shí)，要使fx是函數(shù)，則需有g(shù)"x0恒

4231成立，所以a3.排除A）

422【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性．

12求sinycosx的最大值31【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過(guò)條件sinxsiny將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進(jìn)而利用換

3元的思想令tsinx將問(wèn)題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成

例11、已知sinxsiny錯(cuò)解，

解析：由已知條件有siny2sinx13，而

11sinx且sinysinx1,1（結(jié)合sinx1,1）得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33-9-

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2222tsinxt1則原式=t2tt1根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)t3333sinx24時(shí)，原式取得最大值

93。

即

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)�；蛘咦�?yōu)槭煜さ男问剑�把�?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

【練11】（1）（高考變式題）設(shè)a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a的最大值和最小值。

2答案：f(x)的最小值為－2a－2

212(0a)1222a－，最大值為21222a22a(a)22（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。21,b36（提示令換元xt原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為2,b8）

【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知Sn求an時(shí),易忽略n＝１的情況．例12、（201*高考北京卷）數(shù)列

（1）求a2,a3,a4的值及數(shù)列an前n項(xiàng)和sn且a11,an13sn。

1an的通項(xiàng)公式。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用sn與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為an的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列

snsn1對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=1

an為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：易求得

111416a2,a3,a4。由a11,an1sn得ansn1n2故

33392741111an1ansnsn1ann2得an1ann2又a11，a2故該數(shù)列從第

333331n1二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故an14n2。

n233-10-

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【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列an與sn之間有如下關(guān)系：ans1n1利用兩者之間的關(guān)系snsn1n2可以已知sn求an。但注意只有在當(dāng)a1適合an的形式。

【練12】（201*全國(guó)理）已知數(shù)列則數(shù)列

snsn1n2時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)

an滿足a11,ana12a23a3n1an1n2an的通項(xiàng)為。

1n1答案：（將條件右端視為數(shù)列nan的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）ann!

n22【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）例13、等差數(shù)列

an的首項(xiàng)a10，前n項(xiàng)和sn，當(dāng)lm時(shí)，smsl。問(wèn)n為何值時(shí)sn最大?

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎�整�?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知sn=

fnna1nn12dd2dna1n此函數(shù)是以22n為變量的二次函

數(shù)，因?yàn)閍10，當(dāng)lm時(shí)，smsl故d0即此二次函數(shù)開口向下，故由flfm得當(dāng)

時(shí)

x當(dāng)llm2fx取得最大值，但由于nN，故若lm為偶數(shù)，當(dāng)nlm1時(shí)sn最大。2lm2時(shí)，sn最大。

m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎�整�?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如snan2bn所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由snsanb知數(shù)列中的點(diǎn)n,n是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如nn前n項(xiàng)和sncanc所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和�！揪�13】（201*全國(guó)高考題）設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、dan是等差數(shù)列，sn是前n項(xiàng)和，且s5s6，s6s7s8，則下列

0B、a70C、s9s5D、s6和s7均為sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)14】解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。

-11-

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例14、已知關(guān)于的方程x23xa0和x23xb0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為

34的等差數(shù)列，求

ab的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)

34是方程x23xa0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程

2x23xa0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程x3xb0的兩根是等差數(shù)列的中間兩

項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：

2735313579,b,,故a從而ab=。1616844,44【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列an，若nmpq，則anamapaq；對(duì)于等比數(shù)列an，若nmuv，則anamauav；若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前nan是等差數(shù)列，Sn是其前n*項(xiàng)的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列；若數(shù)列項(xiàng)的和，kN，那么Sk，S2k*Sk，S3kS2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。2【練14】（201*全國(guó)理天津理）已知方程x為

2xm0和x22xn0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)

34C、

14的等差數(shù)列，則

mn=（）A、1B、

12D、

38答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比ｑ＝１的情況例15、數(shù)列{an}中，a1（I）求使anan11，a22，數(shù)列{anan1}是公比為q（q0）的等比數(shù)列。

（II）求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n．a(chǎn)n1an2an2an3成立的q的取值范圍；

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒(méi)有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列{anan1}是公比為q（q0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)

列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（I）∵數(shù)列{an由anan1an1}是公比為q的等比數(shù)列，∴an1an2anan1q，an2an3anan1q2，

an1an2an2an3得anan1anan1qanan1q21qq2，即

152．

，解得0qq2q10（q0）

-12-

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（II）由數(shù)列{anan1}是公比為q的等比數(shù)列，得

an1an2aqn2q，這表明數(shù)列{an}的

anan1an1，a22，∴當(dāng)q1時(shí)，

所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1S2na1a2a3a4a2n1a2n

(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)a1(1qn)a2(1qn)3(1qn)，當(dāng)q1時(shí)，1q1q1qS2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)(1111)(2222)3n．

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中an2q是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列an的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。【練15】（201*高考全國(guó)卷一第一問(wèn)）設(shè)等比數(shù)列圍。答案：

an的公比為q，前n項(xiàng)和sn0（1）求q的取值范

1,00,

【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、．（201*北京理）已知數(shù)列（1）求數(shù)列

an是等差數(shù)列，且a12,a1a2a312

an的通項(xiàng)公式（2）令bnanxnxR求數(shù)列bn前項(xiàng)和的公式。

an的通項(xiàng)公式再由數(shù)列bn的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列bn是一

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列

個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn2n

2nxn令sn2x4x26x32nxn（Ⅰ）則

（注意錯(cuò)過(guò)一位再相減）得xsn2x24x32n1xn2nxn1（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ）

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x1xn2n123nn1nx當(dāng)1xsn2x2x2x2x2nx當(dāng)x1sn1x1xx1時(shí)sn2462nnn1

綜上可得：

n2x1xn1當(dāng)x1snnx當(dāng)x1時(shí)sn2462nnn11x1x【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列

cn有cnanbn其中數(shù)列an和bn分別為等差數(shù)列和等

比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例�！揪�16】（201*全國(guó)卷一理）已知

求數(shù)列an的unanan1ban2b2abn1bnnN,a0,b0當(dāng)ab時(shí)，前n項(xiàng)和sn

答案：a1時(shí)snn1an2n2an1a22a當(dāng)a1時(shí)sn21ann32.

【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例17、求Sn1111．112123123n【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得123nn(n1)2，∴

1111211，就分別得到,，，,2()，n取1，2，3，

112123123nn(n1)nn1∴Sn2(11)2(11)2(11)2(11)

22334nn12(112n)．n1n1【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求1111，方法還是抓通項(xiàng)，即122224326n22n11111()，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，2n2nn(n2)2nn2-14-

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如：an1nn1，求其前n項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。221421621(2n)21【練17】（201*濟(jì)南統(tǒng)考）求和Sn2＋＋＋＋．

21421621(2n)21答案：Sn112n1111111111＝n．

2n12n12n1133557【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、（201*年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.3

(Ⅰ)若首項(xiàng)a1，公差d1，求滿足S2(Sk)2的正整數(shù)k；

2k(Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2(Sk)2成立.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.學(xué)生在解第(Ⅱ)

時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2(Sk)2成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)

列的首項(xiàng)和公差，但沒(méi)有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。

解：（I）當(dāng)a1由S3,d1時(shí)Snna1n(n1)d3nn(n1)1n2n2222214131kk2(k2k)2，即k(k1)0又k0,所以k4.

422n2k2(Sk)2,得

（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在S(Sn)2中分別取k=1,2,得

S1(S1),2S4(S2)由（1）得若a1若a12a1a12,（1）即43212

d(2a1d)（2）4a122d0或d6,

,

a10或a11.當(dāng)a10時(shí),代入(2)得0,d0,則an0,Sn0,從而Sk(Sk)2成立

20,d6,則an6(n1),由S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得

數(shù)列不符合題意.當(dāng)a11時(shí),代入(2)得

若a146d(2d)2,解得d0或d2

1,d0,則an1,Snn,從而Sk2(Sk)2成立;

若a11,d2,則an2n1,Sn13(2n1)n2,從而S(Sn)2成立.綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：

①{an}:an=0，即0，0，0，；②{an}:an=1，即1，1，1，；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，，

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【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有Sk2(Sk)2成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方

程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18】（1）（201*全國(guó)）已知數(shù)列

cn,其中cn2n3n,且數(shù)列cn1pcn為等比數(shù)列.求常數(shù)p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說(shuō)明p值對(duì)任意自然數(shù)n都成立）

【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例19、已知雙曲線x2y24，直線ykx1，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。

ykx122222解析：聯(lián)立方程組消去y得到1kx2kxk40（1）當(dāng)1k0時(shí)，

22xy4即k1，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)

2231k0時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)k23443k0223231k0k時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且k1。（4）當(dāng)233443k0223231k0kk時(shí)即或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。233443k0綜上知當(dāng)k1或k232323時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且k1。時(shí)k3332323或k時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。33直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)也說(shuō)明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過(guò)本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

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x2y21，雙曲線c2的左右焦點(diǎn)分別為c1的左右【練19】（1）（201*重慶卷）已知橢圓c1的方程為4頂點(diǎn)，而c2的左右頂點(diǎn)分別是c1的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線l:ykx2與橢圓c1及雙曲線c2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與c2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足lOAOB6，其中O為原

x2133113132點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：（1）y1（2）1,,,,1315322315（2）已知雙曲線C：，過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線l,使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有

y21中整理有(4-k)x+2k(k-1)x-____條。答案：4條（可知k存在時(shí)，令l:y-1=k(x-1)代入x422

2l

(1-k)-4=0,∴當(dāng)4-k=0即k=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠±2時(shí)，由Δ=0有k

225

，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)k2

l

不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)∴綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于sin和cos齊次式的處理方法。例20、已知tan2，求（1）

cossincossin2；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1sincos2可將（2）式分子分母除去sin即可。

sincossincos1tan12322；

解：（1）sin1tan12cossin1cos1(2)

sin2sincos2cos2sinsincos2cos

sin2cos222sin2sin2222242cos2cos.sin2131cos2【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。(1sin2cos2sec2tan2tancot

這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．【練20】．（201*年湖北卷理科）已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin(2)的值.

23tan31tan22）

1tan2答案：653（原式可化為6tan2tan20，sin231326【易錯(cuò)點(diǎn)21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。

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例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對(duì)拆,再對(duì)拆....對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為410米)

8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來(lái)的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列an，則數(shù)列an是以a1=0.0510米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對(duì)拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.05102=5.6310,而地球和月球間的距離為410

-3501038

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解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即tan理可知sintanB、同

sinC、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角。正確。D、同理可知應(yīng)為sin的正切線的數(shù)量要大即

tantansin。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長(zhǎng)度。三角函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易知等�！揪�22】（201*全國(guó)高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將和求錯(cuò)。

0,,sintan，sincos12sin，那么下列命題正確的是（）

、都是第二象限角，則tan、都是第四象限角，則tan、都是第一象限角，則cos、都是第三象限角，則coscosB、若cosD、若tantan

例23．要得到函數(shù)

1ysin2x的圖象，只需將函數(shù)ysinx的圖象（）

23個(gè)單位。31B、先將每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。

43C、先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。

61D、先把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。

4611【易錯(cuò)點(diǎn)分析】ysinx變換成ysin2x是把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的

42A、先將每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向右平移大到原來(lái)的倍，這樣就誤選A或C，再把

倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是擴(kuò)

ysin2x平移到y(tǒng)sin2x有的同學(xué)平移方向錯(cuò)了，

3有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是

3。

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解析：由

ysin1x變形為ysin2x常見有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將23倍得到函數(shù)

ysin再將函數(shù)

11x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

42y2sin2x的圖象，

y2sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移

ysin6單位。即得函數(shù)

ysin2x。

3個(gè)單位，得到

或者先進(jìn)行相位變換，即將

12x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移

32函數(shù)

12ysinx231sinx的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍即得即得函數(shù)

32ysin2x的圖象。

3【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖象的一種重要的方法，一般地由ysinx得到y(tǒng)Asinwx的圖象有如下兩種思路：一先進(jìn)行振幅變換即由ysinx橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍得到y(tǒng)Asinx，再進(jìn)行周期變換即由yAsinx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1倍，得到y(tǒng)Asinwx，再進(jìn)行相位變換即由yAsinwx橫坐標(biāo)向左（右）平移個(gè)單位，即得yAsinxAsinx，另種就是先進(jìn)行了振幅變換后，再進(jìn)行相位變換即由個(gè)單位，即得到函數(shù)yAsinx向左（右）平移原來(lái)的yAsinx的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)?倍即得不論哪一種變換都要注意一點(diǎn)就是不論哪一種變換都是對(duì)純粹yAsinwx。的變量x來(lái)說(shuō)的�！揪�23】（201*全國(guó)卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的A、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

12倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。B、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

12倍

（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度。答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)24】沒(méi)有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。例24、已知0,，sincos7求tan的值。13-20-

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7，利用sincos12sincos可13解得sincos的值，再通過(guò)解方程組的方法即可解得sin、cos的值。但在解題過(guò)程中易忽視sincos0這個(gè)隱含條件來(lái)確定角范圍，主觀認(rèn)為sincos的值可正可負(fù)從而造成增解。

71200，又由于0,，故有解析：據(jù)已知sincos（1）有2sincos1316917（2）sin0,cos0，從而sincos0即sincos12sincos1312512,cos聯(lián)立（1）（2）可得sin，可得tan。13135【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題可依據(jù)條件sincos【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在0,區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。本題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若0,則必有sincos1,故必有,。221cos,0,，則cot5的值是。

【練24】（1994全國(guó)高考）已知sin答案：34【易錯(cuò)點(diǎn)25】根據(jù)已知條件確定角的大小，沒(méi)有通過(guò)確定角的三角函數(shù)值再求角的意識(shí)或確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。例25、若sin510，且、,sin510均為銳角，求的值。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題在解答過(guò)程中，若求的正弦，這時(shí)由于正弦函數(shù)在

0,區(qū)間內(nèi)不單調(diào)故滿

的余弦就不易

足條件的角有兩個(gè)，兩個(gè)是否都滿足還需進(jìn)一步檢驗(yàn)這就給解答帶來(lái)了困難，但若求出錯(cuò)，這是因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在

0,內(nèi)單調(diào)，滿足條件的角唯一。

均為銳角知解析：由sin解析：由sin510且、,sin510510且、,sin510均為銳角知cos25310253105102,cos,則cos由5105105102、均為銳角即0,故

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】根據(jù)已知條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)此三角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點(diǎn)一就是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)名稱同時(shí)要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：2等。

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二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)要注意確定角的范圍的技巧。【練25】（1）在三角形ABC中，已知sin答案：arccos35A,cosB，求三角形的內(nèi)角C的大小。

51316（提示確定已知角的余弦值，并結(jié)合已知條件確定角A的范圍）65（2）（201*天津理，17）已知cos（α＋

4答案：cos","p":{"h":18.141,"w":24.133,"x":205.016,"y":325.688,"z":2★育英輔導(dǎo)班內(nèi)部資料★

【練26】（1）（201*年高考江蘇卷18）已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M(答案：3,0)對(duì)稱，且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù)，求和ω的值.

242或2。32,（2）（201*全國(guó)卷一第17題第一問(wèn)）設(shè)函數(shù)的

fxsin2x，

34

yfx圖象的一條對(duì)稱軸是直線x解的個(gè)數(shù)。

例27、在ABC中，B308，求答案：=【易錯(cuò)點(diǎn)27】利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形

,AB23,AC2。求ABC的面積

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C，則相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用s1bcsinA即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間0,內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的2ABAC232即sinCsinBsinCsin30角可能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。

得sinC解析：根據(jù)正弦定理知：

32，由于

ABsin30ACAB即滿足條件的三角形有兩個(gè)故C60或120.則A30或90故相應(yīng)

的三角形面積為s11232sin303或23223.

22【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問(wèn)題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間

0,內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)

三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，可通過(guò)幾何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在ABC中，已知a,b和A解的情況如下：

（1）當(dāng)A為銳角

（2）若A為直角或鈍角

-23-

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【練27】（201*全國(guó)）如果滿足ABC范圍是（）A、8答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)28】三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題。對(duì)三角變換同三角形邊、角之間知識(shí)的結(jié)合的綜合應(yīng)用程度不夠。例28、（1）（201*湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題在解答過(guò)程中若忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象。解法一由sin所以sin60，AC2，BCk的三角表恰有一個(gè)那么k的取值

3B、0k12C、k12D、0k12或k83

A(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

AsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.

B0，從而cosAsinA.由A(0,),知A因?yàn)锽(0,),所以sin3.從而BC.44由sinBcos2C0得sinBcos2(由此得cos3B)0.即sinBsin2B0.亦即sinB2sinBcosB0.4155,B,C.所以A,B,C.

423123123解法二：由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(2C).由0B、c，所以

B2B33或2CB.由2C或B2C.即B2C2222sinA(sinBcosB)sinC0得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.

所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.0，所以cosAsinA.由A(0,),知A1B2，得B因?yàn)閟inB4.從而BC合要求.再由2C3,C5.所以A,41233，知B+2C=

245B,C.

312不

2、（北京市東城區(qū)201*年高三年級(jí)四月份綜合練習(xí)）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且

cosBb.（Ⅰ）求角B的大�。á颍┤鬮13,ac4，求△ABC的面積.

cosC2acabc2R得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.將sinAsinBsinC【思維分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關(guān)系或角的關(guān)系解答。（Ⅰ）解法一：由正弦定理

上式代入已知

cosBbcosBsinB得.即cosC2accosC2sinAsinC2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0.2sinAcosBsin(BC)0.故A+B+C=，

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sin(BC)sinA.2sinAcosBsinA0.sinA0,cosB1.B為三角形的內(nèi)

2角，B2.

3a2c2b2b2c2a2,cosC解法二：由余弦定理得cosB2ac2bc將上式代入

cosBba2c2b22abb得222.整理得a2c2b2ac.cosC2ac2acabc2ac2a2c2b2ac1cosB.B為三角形的內(nèi)角，B.

32ac2ac22222（Ⅱ）將b13,ac4,B代入余弦定理bac2accosB得

3113b2(ac)22ac2accosB,13162ac(1).ac3.SABCacsinB3.

224【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。對(duì)正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角互化（如判斷三角形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有的邊和角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系是解三角形的常規(guī)思路），三角形內(nèi)的三角函數(shù)求值、三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都體現(xiàn)了三角函數(shù)知識(shí)與三角形知識(shí)的交匯，體現(xiàn)了高考命題的原則。

【練28】（1）（201*年北京春季高考）在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知A，B，CABCa，b，c成等比數(shù)列，且a，求A的大小及cacbc22bsinBc的值。

答案：A60，

bsinB3c2

（2）（201*天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2c2bca2和

c13。求∠A和tanB的值。b2答案：A60，tanB12【易錯(cuò)點(diǎn)29】含參分式不等式的解法。易對(duì)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重不漏的目的。例29、解關(guān)于x的不等式

a(x1)＞1(a≠1).x2【易錯(cuò)點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論，導(dǎo)致錯(cuò)解。

(a1)x(2a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

x2a2a2a2當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無(wú)解；若

a1a1a1a2＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).

a1a2a2當(dāng)a＜1時(shí)，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)

a1a1解：原不等式可化為：

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a2a2)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，a1a1a2解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2).

a1綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，

【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論.

【練29】（201*年江西高考）已知函數(shù)

x2f(x)(a,b為常數(shù)）,且方程f(x)x120有兩個(gè)

axb實(shí)根為x13,x24.

f(x)的解析式；（2）設(shè)k1,解關(guān)于x的不等式：f(x)(k1)xk2x

（1）求函數(shù)

答案：

x2f(x)(x2).①當(dāng)1k2時(shí),解集為(1,k)(2,);②當(dāng)k2時(shí),不等式為

2x解集為(1,2)(2,);③當(dāng)k2時(shí),解集為(1,2)(k,).(x2)2(x1)0【易錯(cuò)點(diǎn)30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位例30、已知函數(shù)

22fxlgm3m2x2m1x5（1）如果函數(shù)fx的定義域?yàn)?/p>

R求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（2）如果函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生易忽視對(duì)m2fx的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

3m2是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。另一方面

對(duì)兩個(gè)問(wèn)題中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的含義理解不透徹導(dǎo)致錯(cuò)解。解析：（1）據(jù)題意知若函數(shù)的定義域?yàn)镽即對(duì)任意的x值成立，令g驗(yàn)證當(dāng)mm23m2x22m1x50恒

xm23m2x22m1x5，當(dāng)m23m2=0時(shí)，即m1或2。經(jīng)

1時(shí)適合，當(dāng)m23m20時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)若對(duì)任意x值函數(shù)值大于零恒成立，只需

m23m2099解之得m1或m綜上所知m的取值范圍為m1或m。440（2）如果函數(shù)數(shù)，令gfx的值域?yàn)镽即對(duì)數(shù)的真數(shù)m23m2x22m1x5能取到任意的正

xm23m2x22m1x5當(dāng)m23m2=0時(shí)，即m1或2。經(jīng)驗(yàn)證

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當(dāng)m2時(shí)適合，當(dāng)m23m20時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)知要使的函數(shù)值取得所有正值只需

m23m20992m2m解之得綜上可知滿足題意的m的取值范圍是。440【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對(duì)字母是否為零進(jìn)行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。同時(shí)通過(guò)本題的解析同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過(guò)二者的相互轉(zhuǎn)化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數(shù)的定義域和值域?yàn)镽是兩個(gè)不同的概念，前者是對(duì)任意的自變量x的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別�！揪�30】已知函數(shù)

fxa21x22a1x2的定義域和值域分別為

1或a3（2）3a1或a1

R試分別確定滿足

條件的a的取值范圍。答案：（1）a【易錯(cuò)點(diǎn)31】不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的證明方法,達(dá)不到對(duì)各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。

1125)(b+)≥.

ba411【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然a+和b+不能同時(shí)取得等號(hào)，本題可有如下證

ba例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+明方法。

證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab

11或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，從而得證.441111證法二：(均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

2222≤

111122(t1)21(t2)21(t1t11)(t2t21)11a1b14(a)(b)2241111ababt1t2(t1)(t2)222225322511542222t2t2(t1t11)(t2t21)(t2)2t22544416216.11114222t2t2t2444422顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=

1時(shí)，等號(hào)成立.21ab，∴ab≤

4證法三：(比較法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2

1125a21b21254a2b233ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab1125(a)(b)ab41證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤.

4-27-

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252(1ab)1139(1ab)21251621ab1(1ab)14416ab44ab1125

即(a)(b)ab4證法五：(三角代換法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sinα，b=cosα，α∈(0，

222)

1111sin4cos42sin2cos2222(a)(b)(sin)(cos)22absincos4sin2242sin22162522(4sin)1622sin21,4sin2413.114sin22sin224(4sin22)2251125即得(a)(b).24ab44sin2

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч�，而分析法是�?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).

【練31】（201*北京文）數(shù)列

x由下列條件確定：xn1a0,xn11ax,nNn2xn（1）證明：對(duì)于n2總有xna,（2）證明：對(duì)于n2，總有xnxn1.

【易錯(cuò)點(diǎn)32】函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。

例32、已知二次函數(shù)

1()(xf(x)滿足f(1)0，且xfx2n21)對(duì)一切實(shí)數(shù)

x恒成立.(1)求

f(1)；(2)求f(x)的解析式；(3)求證：i112n(nN).f(k)n2【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)條件中的不等關(guān)系向等式關(guān)系的轉(zhuǎn)化不知如何下手，沒(méi)有將二次不等式與二次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，解題找不到思路。

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解：（1）由已知令

x1得：1f(1)12(11)1f(1)1.2（2）令

f(x)ax2bxc(a0)由f(1)0,f(1)1得：

111112abc02b,caf(x)axxaxf(x)(x1)即則22222abc1121axxa0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立就是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即：22(12a)x2x2a0a0,12a011121112a,cf(x)xx則(2a)0144424222(4a1)0（3）由（2）知

f(x)1144(x1)2故24f(k)(k1)(k1)(k2)n111111111))4(4(k1k2n2f(k)2334n1i12n故原不等式成立．n2【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問(wèn)題，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化�！揪�32】（201*濰坊三月份統(tǒng)考）已知二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a,b,cR)，滿足

(x1)2f(x),（1）求

4f(1)0；且對(duì)任意實(shí)數(shù)

x都有

f(x)x0；當(dāng)x(0,2)時(shí)有

f(1)的值；（2）證明a0,c0;（3）當(dāng)x[1,1]時(shí)，函數(shù)g(x)f(x)mx(mR)是

單調(diào)的，求證：m（1）

0或m1.

f(1)1.（2）運(yùn)用重要不等式（3）略

【易錯(cuò)點(diǎn)33】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。

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例33、記

fxax2bxc，若不等式fx0的解集為1,3，試解關(guān)于t的不等式

ft8f2t2。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題雖然不能求出a,b,c的具體值，但由不等式的解集與函數(shù)及方程的聯(lián)系易知1,3是方程ax2bxc0的兩根，但易忽視二次函數(shù)開口方向，從而錯(cuò)誤認(rèn)為函數(shù)在2,上是增函數(shù)。

解析：由題意知

fxaxx1x2ax1x3，且a0故二次函數(shù)在區(qū)間2,t8,2t22，故由二次函數(shù)的單調(diào)性知不等式ft8f2t2上是增函數(shù)。又因?yàn)?等價(jià)于8t2t2即t2t60故t3即不等式的解為：3t3。

【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)的單調(diào)性實(shí)質(zhì)是就體現(xiàn)了不等關(guān)系，故函數(shù)與不等式的結(jié)合歷來(lái)都是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是我們解答不等式問(wèn)題的重要工具，在解題過(guò)程中要加意應(yīng)用意識(shí)，如指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、涉及抽象函數(shù)類型的不等式等等都與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)�！揪�33】（1）（201*遼寧4月份統(tǒng)考題）解關(guān)于x的不等式log2(x1)答案：當(dāng)1當(dāng)alog4[a(x2)1](a1)

a2時(shí)，解集為{x|231xa或x2}當(dāng)a2時(shí)，解集為{x|x且x2}

2a2時(shí)解集為{x|21x2或xa}。a（2）（201*全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)函數(shù)答案：x取值范圍是[fx2|x1||x1|,求使fx≥的22的x取值范圍。

3,)4【易錯(cuò)點(diǎn)34】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。學(xué)生易缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)問(wèn)題的意識(shí)，忽視其步驟的規(guī)范性及不理解數(shù)學(xué)歸納法的每一步的意義所在。

例34、自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響。用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N＊，且x1＞0。不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，

c。（Ⅰ）求xn1與xn的關(guān)系式；（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的

總量保持不變？（不要求證明）（Ⅲ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，nN，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題為數(shù)列模型應(yīng)用題,主要考查數(shù)列、不等式和數(shù)學(xué)歸納法。201*年高考主要涉及兩種類型應(yīng)用題，一種類型為概率，另一種為數(shù)列。給我們信息：數(shù)學(xué)越來(lái)越貼近生活，數(shù)學(xué)越來(lái)越強(qiáng)調(diào)實(shí)用性,我們?cè)趥淇贾幸�注意�?duì)幾種常見模型建模的訓(xùn)練；可見，高考數(shù)學(xué)越來(lái)越注意與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、向量等工具結(jié)合，這是將來(lái)高考的方向，

【解析】（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax，被捕撈量為bx，死亡量為

*-30-

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cx2n因此xn1xnaxnbxncx2n即xn1xnab1cxnnN*。

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，nN，從而由上式得xn于零,nN故abcx1**abcxn恒等

0即x1ab因?yàn)閤1>0，所以ab.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)ab，且cx1ab時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.c*（Ⅲ）若b的值使得xn>0，nN，由xn1別地，有0xn3bxn知0xn3b,nN*特

b的最

x13b.即0b3x1，而x1∈(0,2)，所以b(0,1]，由此猜測(cè)

*大允許值是1.下證當(dāng)x1∈(0,2)，b=1時(shí)，都有xn∈(0,2),nN。①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0,2),則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk12xk2xk0.又因?yàn)?/p>

xk1xk2xkxk1112.所以xk1∈(0,2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由

①、②可知，對(duì)于任意的nN，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0，

*nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或n≥n0且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等�！揪�34】（201*年全國(guó)卷Ⅰ統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)（Ⅱ）設(shè)正數(shù)

f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0x1)，求f(x)的最小值；

p1,p2,p3,,p2n滿足p1p2p3p2n1，證明

p1log2p1p2log2p2p3log2p3p2nlog2p2nn

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答案：（Ⅰ）

1f1（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明。2f(x)x3(x1).設(shè)數(shù)列{an}滿足a11,an1f(an)，x1（2）（201*高考遼寧）已知函數(shù)數(shù)列{bn}滿足bn|an3|,Snb1b2bn(nN*).

23(31)n（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn；（Ⅱ）證明Sn.

n132【易錯(cuò)點(diǎn)35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例35、下列命題：①(a)2(a)2|a|4

②(ab)c③(ac)b|a|b|④若a∥b,b∥c,則ab|=|a|

且c≠o，則ab⑦設(shè)e1,e2bc，

∥c⑤a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ba⑥若ac是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量a，都存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使axe1ye2成立。⑧

若|a+b|=|a－b|則ab=0。⑨ab=0，則a=0或b=0真命題個(gè)數(shù)為（）A．1

B．2

C．3

D．3個(gè)以上

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來(lái)，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。

2解析：①正確。根據(jù)向量模的計(jì)算aaa判斷。②錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義(ac)b表示和向量b共線的向量，同理(ab)c表示和向量c共線的向量，顯然向量b和向量c不一定是共線向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③錯(cuò)誤。應(yīng)為

abab④錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。⑤錯(cuò)誤。應(yīng)加

條件“非零向量a”⑥錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量b和向量b在向量c方

向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)。⑦錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共線的向量即一組基底。⑧正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，即

四邊形為矩形。故ab=0。⑨錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。答案：B

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：①ａｂ＝ｂａ(交換律)②（λａ）ｂ＝λ（ａｂ）＝ａ（λｂ）(數(shù)乘結(jié)合律)③(ａ＋ｂ)с＝ａс＋ｂс(分配律)說(shuō)明：（1）一般地，(ａｂ)

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с≠ａ（ｂс）（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）

２２

（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａｂ＋ｂ

【練35】（1）（201*上海春，13）若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（）．．．

２２２

A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mbD.（ab）c=a（bc）（2）(201*江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（ab）c－（ca）b=0②|a|－|b|★育英輔導(dǎo)班內(nèi)部資料★

（2）（201*全國(guó)卷文科）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOBOBOCOCOA，則點(diǎn)O是ABC的（

）

（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)

（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)

（3）（201*全國(guó)卷Ⅰ）

ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，

OHm(OAOBOC)，則實(shí)數(shù)m=

答案：（1）B（2）D（3）m=1

【易錯(cuò)點(diǎn)37】忽視向量積定義中對(duì)兩向量夾角的定義。

例37、已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題易錯(cuò)誤碼的認(rèn)為兩向量BC和CA夾角為三角形ABC的內(nèi)角C導(dǎo)致錯(cuò)誤答案.解析:由條件a5,b8,c7根據(jù)余弦定理知三角形的內(nèi)角C60，故兩向量BC和CA夾角為

C60的補(bǔ)角即

BC,CA120,故據(jù)數(shù)量積的定義知BCCA58cos12020.

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習(xí)過(guò)程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是0,180，兩直線的夾角的范圍是0,90，兩向量的夾角的范圍是0,180，

異面直線所成的角的范圍是

0,90，直線和平面所成的角的范圍是0,90二面角的取值范圍是

0,180。

【練37】（201*上海春招）在ΔABC中，有如下命題，其中正確的是（）

BACABAC（1）ABACBC（2）ABBCCA0（3）若A0，則ΔABC

為等腰三角形（4）若ACAB0，則ΔABC為銳角三角形。

A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)38】向量數(shù)積積性質(zhì)的應(yīng)用。

例38、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角。

【思維分析】本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。

解析：由(a+3b)(7a5b)=07a+16ab15b=0①(a4b)(7a2b)=0

22

7a30ab+8b=0②兩式相減：2ab=b代入①或②得：a=b設(shè)a、b的夾角為，則cos

22222

abb21=∴=60。|a||b|2|b|22【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決涉及長(zhǎng)度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數(shù)等問(wèn)題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)ａ與ｂ都是非零向量，①ａ與ｂ的數(shù)

-34-

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量積的幾何意義是向量ａ在向量ｂ方向的單位向量正射影的數(shù)量②ａ⊥ｂａｂ＝０③ａａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa2④ｃｏｓθ＝２abab⑤｜ａｂ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜5【練38】（1）（201*高考江西卷）已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c,則a與

2c的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C

（2）（201*浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

(A)

a⊥e(B)a⊥(a－e)(C)e⊥(a－e)(D)(a＋e)⊥(a－e)答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)39】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯例39、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a與c,求sin的夾角為θ，b與c的夾角為θ，且12的值.321

2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過(guò)程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來(lái)，注意在用已知角表示

兩組向量的夾角的過(guò)程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。解析：

a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin2(sin2,cos2)(0,),(,2),(0,),(,),故有

222222cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos22sin2bc2sin,0,因

cos22222222|b||c|2sin212222,26，從而sin2sin1.62【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是新課程新

增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì)。高考對(duì)三角的考查常常以向量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的�；蛳蛄康倪\(yùn)算來(lái)進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力�！揪�39】（1）（201*高考江西）已知向量axxxx(2cos,tan()),b(2sin(),tan()),

2242424令

f(x)ab是否存在實(shí)數(shù)x[0,],使f(x)f"(x)0（其中f"(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)）？

若存在,則求出x的值；若不存在,則證明之答案：存在實(shí)數(shù)x2使等式成立。

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（2）（201*山東卷）已知向量

和m(cos,sin)n2sin,cos,,2，且

824mn,求cos28的值.答案：。

55【易錯(cuò)點(diǎn)40】向量與解三角形的交匯。

→→→→→→→→

例40、ΔABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3OA＋4OB＋5OC=0。①求數(shù)量積，OAOB，OBOC，→→

OCOA；②求ΔABC的面積。

→→→

【思維分析】第1由題意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第2問(wèn)據(jù)題意可將已知三角形分割成三個(gè)小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0得：3OA＋4OB=－5OC兩邊平方得：9OA＋

→→→→→→→→→→→2

→→→2→2→→→→→→→4→→24OAOB＋16OB=25OC∴OAOB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OBOC=－由3OA＋5OC=－

5

3→→→

4OB求得OAOC=－

5

1→→1→→443→→

②由OAOB=0,故s0AB=|OA||OB|=由OBOC=－得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－∴

22555

1→→3341→→3

由OCOA=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴s0AC=s0BC=|OB||OC|sin∠BOC=，

2105552

21326→→

|OC||OA|sin∠COA=即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC=＋＋=

521055

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算，用于表達(dá)三角形的內(nèi)角、面積�！揪�40】（1）（201*全國(guó)卷Ⅲ）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，

3。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)BABC，求ac的值。

247（3）ac3。答案：（1）73abaab3且cosB＝

4（2）已知向量

=（2，2），向量

與向量的夾角為

4，且

=－2，①求向量b；

②若

t(1,0)且bt,c(cosA,2cos2B、C依次成等差數(shù)列，試求|

b+

c|的取值范圍.答案：①b(1,0)或b(0,1)②

C)，其中A、C是△ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、225|bc|.22【易錯(cuò)點(diǎn)41】與向量相結(jié)合的三角不等式，學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力不夠。

例41、已知二次函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，設(shè)向量a=(sinx,2)，b

→→

1→→→→→→=(2sinx,)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，求不等式f(ab)＞f(cd)的

2

解集.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】易忽視二次函數(shù)的開口方向的討論和三角、向量、函數(shù)三者的綜合程度不夠。

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(1－x)＋(1＋x)

2

=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，若m＞0，則x

1→→

≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；若m＜0，則x≥1時(shí)，f(x)是減函數(shù)�！遖b=（sinx，2）（2sinx,）

2

→→→→2

=2sinx＋1≥1，cd=（cos2x，1）(1,2)=cos2x＋2≥1∴當(dāng)m＞0時(shí)，f(ab)＞→→22

f(cd)f(2sinx＋1)＞f(cos2x＋2)2sinx＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x

解析：設(shè)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為m，其圖象上的兩點(diǎn)為A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因?yàn)?/p>

33＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0

242433→→

≤x≤π∴＜x＜當(dāng)m＜0時(shí)，同理可得0≤x＜或＜x≤π綜上所述，不等式f(ab)

444433→→

＞f(cd)的解集是：當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|＜x＜；當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|0≤x＜或＜x

4444＋2cos2x＜02kπ＋＜π。

【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】在運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式時(shí)，一定要明確函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間或定義域上的單調(diào)性

如何（不可忽視定義域的限制），通過(guò)本題要很好的體會(huì)向量、不等式、函數(shù)三者的綜合，提高自已應(yīng)用知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力。

f(x)在定義域（－1，1）內(nèi)可導(dǎo),且f"(x)0，點(diǎn)A(1,f(a));B(f(－a),1)，對(duì)任意a∈(－1，1)恒有OAOB成立，試在,內(nèi)求滿足不等式f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值

【練41】若范圍.答案：x(32,4)(,)，(kZ)24【易錯(cuò)點(diǎn)42】向量與解析幾何的交匯

例42、（03年新課程高考）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R.試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問(wèn)題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)解答，使思維陷入僵局。

解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直線OP和AP的方程分別為yax和ya2ax.消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程

a(y)2y(ya)2ax.整理得x21.①因?yàn)閍1a()2822220,所以得：（i）當(dāng)a22時(shí)，方程

①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；（ii）當(dāng)0a2時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)

2E(11a11a（iii）當(dāng)a2時(shí)，方程①也表示橢圓，a2,)和F(a2,)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；

2222222焦點(diǎn)E(0,1111(aa2))和F(0,(aa2))為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

2222【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過(guò)程中一方面要注意在給出的向量問(wèn)題情景中轉(zhuǎn)化出來(lái)另一方面也

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要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決解析幾何問(wèn)題如：線段的比值、長(zhǎng)度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問(wèn)題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問(wèn)題的意識(shí)。

【練42】（1）（201*全國(guó)卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，OAOB與a上任意一點(diǎn)，且OM（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓(3,1)共線。

OAOB(,R)，證明22為定值。

答案：（1）e622（2）=13PM（2）（02年新課程高考天津卷）已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使MPMN，PN,NMNP成公差小于零的等差數(shù)列（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（xo,yo），記為PM與PN的夾角，求tan；答案：①點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，

3為半徑的右半圓②tan=|y0|

（3）（201*高考江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則

OAOB等于（）A.

33B.－C.3D.－3答案：B44【易錯(cuò)點(diǎn)43】解析幾何與向量的數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。

x2y21上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Mm,0,其中0m2的距離PM例43、已知橢圓C：42件OAOBAB的最小值

為1.（1）請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的直線l,使l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條

（O為原點(diǎn)）,若存在,求出l的方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)是理由。

【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件OAOBAB再結(jié)合韋達(dá)定理解答。

知OAOB0從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算

x2x2y221得y21故解析：設(shè)px,y，由424PM2xm2x2x2122121x2m2m2由于0m2且

44222x2故當(dāng)02m2時(shí)，PM的最小值為2m21此時(shí)m1，當(dāng)22m4時(shí)，

x2取得最小值為24mm221解得m1,3不合題意舍去。綜上所知當(dāng)m1是滿足題意

此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，0）。

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（2）由題意知條件OAOBAB等價(jià)于OAOB0，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l與C的交點(diǎn)為

6l1,2，此時(shí)OAOB0，設(shè)的方程為ykx1，代入橢圓方程整理得

222212kx4kx2k40，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故0恒成立，由OAOB0知

4k2x1x2y1y20即1kx1x2k1x2k0，據(jù)韋達(dá)定理得x1x212k2222，

2k242222222x1x2代入上式得1k2k4k4kk12k0得k4不合212k題意。綜上知這樣的直線不存在。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在解題過(guò)程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)、融會(huì)貫通�！揪�43】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)F2為圓心，過(guò)另一焦點(diǎn)F1的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長(zhǎng)之比2:1,P2,1為此平面上一定點(diǎn)，且PF1PF21.（1）求橢圓的方程（2）若直線

ykx1k0與橢圓交于如圖兩點(diǎn)A、B，令

x2y21（2）0,8域答案：（1）42fkABF1F2k0。求函數(shù)fk的值

[易錯(cuò)點(diǎn)44]牢記常用的求導(dǎo)公式，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.例44、函數(shù)

yxe1cosx的導(dǎo)數(shù)為。

[易錯(cuò)點(diǎn)分析]復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即

yxyuux。

解析：

ye1cosxxe1cosxe1cosxxe1cosx1cosxe1cosx

xe1cosxsinx1xsinxe1cosx

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。[練習(xí)44]（201*年江蘇，21）已知a0，n為正整數(shù)。設(shè)yxan，證明

ynxan1；

（1）設(shè)

fnxxnxan，對(duì)任意na，證明fn1n1n1fnn

解析：證明：（1）xankCnak0nnkxk,

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ykCk1nknankxk1k1nCn1ak1nnkxk1nxan1

（2）對(duì)函數(shù)

fnxxnxan求導(dǎo)數(shù)：

n1fnnxn1nxa，

n1fnnnnn1na.當(dāng)xa0時(shí)，fnx0

當(dāng)na時(shí)，fnxxnxan是關(guān)于x的增函數(shù)因此，當(dāng)nna時(shí)，

n1nn1annnan。

nnnn1fn1n1n1n1n1an1nnnan1nnnnan1fnn即對(duì)任意na，fn1n1n1fnn.

【易錯(cuò)點(diǎn)45】求曲線的切線方程。例45、（201*高考福建卷）已知函數(shù)f（－1））處的切線方程為6x，且在點(diǎn)M（－1，f(x)x3bx2axd的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2）

y70.（Ⅰ）求函數(shù)yf(x)的解析式；

【思維分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。解析：（Ⅰ）由

32，知d=2，所以f(x)xbxcx2,f(x)的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2）

f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1))處的切線方程是6xy70，知

6f(1)70,即f(1)1,f(1)6.32bc6,2bc3,32即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x3x3x2.1bc21.bc0,【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,求得切線方程為

f(x0))處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，

如果曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線平y(tǒng)y0f"(x0)(xx0)特別地，

行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).

x0。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，

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【練45】（1）（201*福建卷）已知函數(shù)

f(x)ax6的圖象在點(diǎn)M（－1，f(x)）處的切線方程為2xbx+2y+5=0.

（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；答案：

f(x)2x62x3（2）（201*高考湖南卷）設(shè)t0，點(diǎn)P（t，0）是函數(shù)f(x)x3ax與g(x)bx2c的圖象的

abt3.故

一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：cat2，bt，ct3.

【易錯(cuò)點(diǎn)46】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域。

例46、(201*全國(guó)卷III)已知函數(shù)

4x27fx，x01，（Ⅰ）求fx的單調(diào)區(qū)間和值域；

2x（Ⅱ）設(shè)a221，函數(shù)gxx3ax2a，x01，，，，若對(duì)于任意x101，總存在x001使得gx0fx1成立，求a的取值范圍。

，ygx在區(qū)間01上的

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識(shí)，同時(shí)要培養(yǎng)自已的求導(dǎo)及解

不等式的運(yùn)算能力第（Ⅱ）問(wèn)要注意將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域是函數(shù)

fx的值域的子集，從而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)ygx在區(qū)間01，上的值域。

4x216x7解析(Ⅰ)

f(x)2x22(2x1)(2x7)2x22，令

f(x)0解得x12或

x72,在

11x(0,)，f(x)0,所以f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；在x(,1)，f(x)0,所以f(x)為單調(diào)

2271遞增函數(shù)；又f(0),f(1)3,f()4，即f(x)的值域?yàn)閇-4，-3]，所以f(x)的單調(diào)遞

2211減區(qū)間為(0,)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)，f(x)的值域?yàn)閇-4，-3].(單調(diào)區(qū)間為閉區(qū)間也可以).

22（Ⅱ）∵g(x)3(x2a2),又a1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)3(1a2)0，

因此，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x[0,1]時(shí)，有g(shù)(x)[g(1),g(0)].又g(1)12a3a任給x1[0,1]，有

2,g(0)2a，即當(dāng)x[0,1]時(shí)，有g(shù)(x)[12a3a2,2a]，

f(x1)[4,3]，存在x0[0,1]使得g(x0)f(x1)，

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52a1,或a則12a3a43又a1，所以a的取值范圍是1a。

332a3a22【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下幾個(gè)方面：①運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值問(wèn)題，一直是高考長(zhǎng)考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容．另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問(wèn)題．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為201*年高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意．單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，已知

yf(x)（1）分析yf(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)

yf(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式f(x)0，解

集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間，對(duì)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并:函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)

f(x)在

(a,b)單調(diào)遞增，在(b,c)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在f(x)b處連續(xù)，因此f(x)在(a,c)單調(diào)遞增。同

理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。

32

【練46】（1）（201*高考北京卷）已知函數(shù)f(x)=－x＋3x＋9x＋a,（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，

＋∞）（2）－7

（2）(201*全國(guó)卷III)用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小

正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?

答案：當(dāng)x=10時(shí),V有最大值V(10)=1960

【易錯(cuò)點(diǎn)47】二項(xiàng)式

abnn展開式的通項(xiàng)中，因a與b的順序顛倒而容易出錯(cuò)。

例47、x232x展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，則x的一次項(xiàng)為。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題中若x與23x2的順序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變化，導(dǎo)致出錯(cuò)。

解析：椐題意有：Cn2122Cn2162,即2nn12n162,n9

則Tr1C9rx9r9r2r29r2rrr231,r3由32C92x23xr-42-

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3T4123C9x672x

3【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)式

abn與ban的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在

遇到類似問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)分。

41【練47】（濰坊高三質(zhì)量檢測(cè)）x11x數(shù)項(xiàng)為。解析：據(jù)題意有

n展開式中第5項(xiàng)與第12項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等，則展開式的常

14411Cn1Cn11，即

4114n411,n411,n15CnCnCnCnCnr1r6015r令6015r0,得：r4故展開式中常數(shù)項(xiàng)為：111C15xxrrTr1C15x415r144C151365

【易錯(cuò)點(diǎn)48】二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。

32例48、在x2x5的展開式中，x的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為。

5【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在通項(xiàng)公式Tr1解析：令155rrC52rx155r中，C5r是二項(xiàng)式系數(shù)，C5r2r是項(xiàng)的系數(shù)。

225，得r2，則項(xiàng)x5的二項(xiàng)式系數(shù)為C510，項(xiàng)的系數(shù)為C52240。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在二項(xiàng)展開式中，利用通項(xiàng)公式求展開式中具有某些特性的項(xiàng)是一類典型問(wèn)題，其通常做法就是確定通項(xiàng)公式中r的取值或取值范圍，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。

11【練48】（201*高考山東卷）如果3x的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)332xx是（）（A）7（B）7（C）21（D）21答案：當(dāng)xn1時(shí)(311312r)n2n128,n7即(3x23r57r313x2)7,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得

Tr1C(3x)r77r(1)(x)C3r77r(1)xr57r3,r6時(shí)對(duì)應(yīng)

31x3,即

676T61C73(1)61112173.故

x3x3x3x3項(xiàng)系數(shù)為21.

【易錯(cuò)點(diǎn)49】二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò)。

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2例49、已知x2nN的展開式中，第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為10：1

x求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)可由其二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，同時(shí)取得最大值，求系數(shù)的最大值項(xiàng)的位置不一定在中間，需要利用通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)值的增減性具體討論而定。解析：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為Cn4n24，第三項(xiàng)的系數(shù)為Cn2(2)2，則有

4Cn22Cn24210，1r1r1rrr1r1n8設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為C82,C82,C82，r1r1rrC82C82若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則，解得：5r6

r1r1rrC82C82系數(shù)最大值為

T717921x11由n8知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)T511201x6

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在

abn的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，但當(dāng)a，b的系數(shù)不為1時(shí)，最大

Tr1Tr系數(shù)值的位置不一定在中間，可通過(guò)解不等式組來(lái)確定之。

TTr1r2【練49】（201*年上海）在二項(xiàng)式果用數(shù)值表示）

解析：展開式中第r+1項(xiàng)為C11x得rr11rx111的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為。（結(jié)

15r，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使C11為最大，由此

r51462。5，所以項(xiàng)的系數(shù)為C11【易錯(cuò)點(diǎn)50】對(duì)于排列組合問(wèn)題，不能分清是否與順序有關(guān)而導(dǎo)致方法出錯(cuò)。例50、有六本不同的書按下列方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人兩本，1人3本；（3）平均分成三組，每組2本；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】分成三組是與順序無(wú)關(guān)是組合問(wèn)題，分給三人與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題。

解析：(1)分三步：先選一本有C6種選法，再?gòu)挠嘞碌?本中選兩本，有C5種選法，最后余下的三本全選有C3種選法，有分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式有：C6C5312123C360

（2）由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在（1）題的基礎(chǔ)上，還考慮再分配問(wèn)題，分配方式共有

1233C6C5C3A3360種。

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（3）先分三步：則應(yīng)是C6222種方法，但在這里容易出現(xiàn)重復(fù)。不妨記六本書為A,B,C,D,E,FC4C2222中還有C4C2若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF）則C63（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A3種情況，而且這些情

222C6C4C2況僅是AB，CD，EF順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有15種3A3222C6C4C23在問(wèn)題（3）的基礎(chǔ)上，再分配即可，共有分配方式種。A33A3（5）

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】本題是有關(guān)分組與分配的問(wèn)題，是一類極易出錯(cuò)的題型，對(duì)于詞類問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān)，分清先選后排，分類還是分步完成等，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)算重復(fù)或遺漏。

【練50】（201*年全國(guó)9）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個(gè)班擔(dān)任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（）A、210種B、420種C、630種D、840種

解析：首先選擇3位教師的方案有：①一男兩女；計(jì)C5C4其次派出

3

位教師的方案是

3A3121=40。30；②兩男一女：計(jì)C52C4=6。故不同的選派方案共有

3121A3C5C4C52C463040420種。

【易錯(cuò)點(diǎn)51】不能正確分析幾種常見的排列問(wèn)題，不能恰當(dāng)?shù)倪x擇排列的方法導(dǎo)致出錯(cuò)。例51、四個(gè)男同學(xué)和三個(gè)女同學(xué)站成一排。

（1）三個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？（4）甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？

（5）女同學(xué)從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個(gè)女生身高互不相等）

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】排列問(wèn)題常見題型有相鄰問(wèn)題及不相鄰問(wèn)題，順序一定問(wèn)題等，如果對(duì)題意理解不夠充分，往往選擇錯(cuò)誤的方法。

解析：（1）3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排列好，共有

3種排法；由于3個(gè)同學(xué)必須排在一起，A35種排法。由乘A5我們可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，在與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是五個(gè)元素的全排列，應(yīng)有法原理，有

35A3A5720種不同排法。

（2）先將男生排好，共有

43種排法；再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空中插入3個(gè)女生，有A5種A4方案。故符合條件的排法共有

43A4A51440種。

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（3）甲、乙2人先排好，共有A2種排法；再?gòu)挠嘞碌?人中選三人排在甲、乙2人中間，有A5種排法，這時(shí)把已排好的5人看作一個(gè)整體，與剩下的2人再排，又有A3種排法；這樣，總共有種不同的排法。

（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有

42種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有A2種A42323423A4A2A3720排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的空當(dāng)中，有A5種排法；這樣，總共有

422A4A2A5960種不同的排法。

4種排法；然后再在余下得個(gè)空位置中排女生，由于女A7（5）從七個(gè)位置中選出4個(gè)位置把男生排好，有生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有

4種不同的排法。A7【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】解決有限制條件的排列問(wèn)題方法是：①直接法：位置分析法②間接法：即排除不符合要求的情形③一般先從特殊元素和特殊用加法原理（分類）元素分析法用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問(wèn)題）捆綁法（相鄰問(wèn)題）位置入手�！揪�52】（201*年遼寧）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間三個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)（）A、234B、346C、350D、363

解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間3個(gè)座位，共有

212A20A19A24346種。

rnrrTr1Cnab12種，再加上4種不能算相鄰的，共有A19A2【易錯(cuò)點(diǎn)53】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為

kkPnkCnP1Pnk，事件A發(fā)生k次的概率：的

概率公式：

。二項(xiàng)分布列

kknkpkCnpq,k0,1,2,3,n且0p1,pq1，三者在形式上的相似，在應(yīng)用容易混

淆而導(dǎo)致出錯(cuò)。

例53、（201*年全國(guó)理）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響。

（1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望。（2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即0）的概率。

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【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于滿足二項(xiàng)分布的分布列的概率計(jì)算公式中對(duì)于隨機(jī)變量以及二項(xiàng)分布的條件的理解出錯(cuò)。

解析：（1）的可能取值為300，100，100，300。

P3000.230.008P10030.220.80.096P10030.20.80.3842

P3000.830.512所以的概率分布為

P3000.0081000.0961000.3843000.512根據(jù)的概率分布，可得的期望

E3000.0081000.0961000.3843000.512180

（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為

P00.3840.5120.896。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)分布是一種常見的重要的離散型隨機(jī)變量分布列，其概率

Pkk0,1,2,就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)n次其中發(fā)生k次的概率CnkPk1P際問(wèn)題時(shí)一定看清是否滿足二項(xiàng)分布。

nk。但在解決實(shí)

【練53】（201*年重慶理18）設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，汽車在每個(gè)路口遇到綠燈（允許通行）的概率為

34，遇到紅燈（禁止通行）的概率為

14。假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，表

示停車時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求：

（1）的概率分布列及期望E；（2）停車時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率。解析：（1）的所有可能值為0，1，2，3，4。用

Ak表示“汽車通過(guò)第k個(gè)路口時(shí)不停”‘則

PAk13k1,2,3,4且A1,A2,A3,A4獨(dú)立。故P0PA1

44313319P1PA1A2,P2PA1A2A3()2,

44164464-47-

wenku_48({"font":{"0d70b872f46527d3240ce0a10010030":"宋體","0d70b872f46527d3240ce0a100201*0":"TimesNewRoman","0d70b872f46527d3240ce0a10030030":"TimesNewRomanBold","0d70b872f46527d3240ce0a10040030":"宋體","0d70b872f46527d3240ce0a10050030":"Symbol","0d70b872f46527d3240ce0a10060030":"TimesNewRomanItalic","0d70b872f46527d3240ce0a10070030":"MTExtra"},"style":[{"t":"style","c":[0],"s":{"font-size":"21.06"}},{"t":"style","c":[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,1],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[18,2],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10010030"}},{"t":"style","c":[5,9,16,23,24,25,27,30,37,42,43,48,52,54,62,64,65,69,70,76,3],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a100201*0"}},{"t":"style","c":[5,18,20,21,22,4],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[5],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[7,13,14,15,17,19,29,31,32,35,36,40,41,45,46,47,49,51,57,58,61,66,67,71,72,73,75,77,79,80,81,8],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10050030"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,12,14,15,19,28,32,34,36,38,47,49,56,60,73,77,78,79,81,10],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"18.12"}},{"t":"style","c":[11,28,34,38,56,60,78,12],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10060030"}},{"t":"style","c":[13],"s":{"font-size":"23.742"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"font-size":"19.113"}},{"t":"style","c":[14,19,32,36,47,49,73,77,79,81,15],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-size":"10.502"}},{"t":"style","c":[17],"s":{"font-size":"31.248"}},{"t":"style","c":[18],"s":{"font-size":"13.5"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"18.632"}},{"t":"style","c":[21,22,20],"s":{"font-family":"0d70b872f46527d3240ce0a10040030"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"letter-spacing":"0.089"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"letter-spacing":"0.09"}},{"t":"style","c":[24,23],"s":{"font-size":"17.733"}},{"t":"style","c":[24],"s":{"letter-spacing":"0.177"}},{"t":"style","c":[27,30,25],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[25,27,28,29,30,26],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"letter-spacing":"-0.09"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"letter-spacing":"-0.054"}},{"t":"style","c":[31],"s":{"font-size":"23.249"}},{"t":"style","c":[32],"s":{"font-size":"18.769"}},{"t":"style","c":[34,37,63,33],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[35],"s":{"font-size":"27.771"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-size":"18.541"}},{"t":"style","c":[37],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[38,41,43,39],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[40],"s":{"font-size":"23.328"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[42],"s":{"font-size":"10.163"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"font-size":"17.804"}},{"t":"style","c":[45,44],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"10.283"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"13.444"}},{"t":"style","c":[47],"s":{"font-size":"10.846"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"7.448"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"18.879"}},{"t":"style","c":[51,52,64,50],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[51],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[64,52],"s":{"font-size":"17.822"}},{"t":"style","c":[54,56,58,53],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"10.524"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[57],"s":{"font-size":"23.813"}},{"t":"style","c":[58],"s":{"font-size":"18.179"}},{"t":"style","c":[60,62,59]★育英輔導(dǎo)班內(nèi)部資料★

【易錯(cuò)點(diǎn)55】對(duì)于數(shù)列的兩個(gè)基本極限①limqnn0；②limSnna11q，兩個(gè)極限成立的條件不同，

前者為

q1；而后者為0q1。

Snan中，a11，且n項(xiàng)和Sn，滿足limn2例55、在等比數(shù)列

1,那么a1的取值范圍是（）a1A、

1,B、1,C、1,2D、1,4

a1，求a1的范圍時(shí)，容易忽視q0這個(gè)條1q【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式s件。

解析：設(shè)公比為q，由limSnn1a1知

1a11qaa211q122a1110a12q12又a11所以1a12。q12a11q0q0a110存在q1或q1n【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】對(duì)于limq0q1，公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列n不存在q1或q1前n項(xiàng)和在n無(wú)限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)的和�！揪�55】lim3n3n1a1nn1，求a的取值范圍。3lim解析：

3n3n1a1nn1a1limlim0nnn33a1331na11,4a23【易錯(cuò)點(diǎn)56】立體圖形的截面問(wèn)題。

例56、（201*哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯(lián)考）正方體

ABCD--A1B1C1D1，E、F分別是AA1、

，過(guò)E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌CC1的中點(diǎn)，p是CC1上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）跡是（）

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A、線段C1FB、線段CFC、線段CF和一點(diǎn)C1D、線段C1F和一點(diǎn)C。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生的空間想象能力不足，不能依據(jù)平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。解析：如圖當(dāng)點(diǎn)P在線段CF上移動(dòng)時(shí)，易由線面平行的性質(zhì)定理知：直線DE平行于平面BB1CC1，則過(guò)DE的截面DEP與平面BB1CC1的交線必平行，因此兩平面的交線為過(guò)點(diǎn)P與DE平行的直線，由于點(diǎn)P在線段CF上故此時(shí)過(guò)P與DE平行的直線與直線BB1的交點(diǎn)在線段BB1上，故此時(shí)截面為四邊形（實(shí)質(zhì)上是平行四邊形），特別的當(dāng)P點(diǎn)恰為點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)截面為DEFB1也為平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)P在線段C1F上時(shí)如圖分別延長(zhǎng)DE、DP交A1C1于點(diǎn)H、G則據(jù)平面基本定理知點(diǎn)H、G既在平1D1、D截面DEP內(nèi)也在平面

A1B1C1D1內(nèi)，故GH為兩平面的交線，連結(jié)GH分別交A1B1、B1C1于點(diǎn)K、N

（注也有可能交在兩直線的延長(zhǎng)線上），再分別連結(jié)EK、KN、PN即得截面為DEKNP此時(shí)為五邊形。故選C

DAEA1D1C1B1BCPF

HA1AEDBD1KNCFPC1GB1【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高考對(duì)用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實(shí)質(zhì)上對(duì)學(xué)生空間想象能力及對(duì)平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查。考生往往對(duì)這一類型的題感到吃力，實(shí)質(zhì)上高中階段對(duì)作截面的方法無(wú)非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個(gè)就是一條直線上有兩點(diǎn)在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點(diǎn)都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過(guò)該公共點(diǎn)的直線（即交線）（注意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點(diǎn)的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點(diǎn)在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點(diǎn)在第三條直線；諸點(diǎn)共線：即證明此諸點(diǎn)都是某兩平面的共公點(diǎn)即這此點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上）據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過(guò)空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點(diǎn)必為兩平面的公共點(diǎn)，并且兩交點(diǎn)的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用。

【練56】（1）（201*高考全國(guó)卷二）正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R、分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)。那么正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是（）

（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形答案：D（2）在正三棱柱

ABC-A1B1C1中，P、Q、R分別是BC、CC1、A1C1的中點(diǎn)，作出過(guò)三點(diǎn)P、Q、R

截正三棱柱的截面并說(shuō)出該截面的形狀。答案：五邊形。

【易錯(cuò)點(diǎn)57】判斷過(guò)空間一點(diǎn)與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)

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