高中數學易錯點與應試技巧總結：函數1

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

函數

一．映射f:AB的概念。在理解映射概念時要注意：

㈠中元素必須都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）設f:MN是集合M到N的映射，下列說法正確的是A、M中每一個元素在N中必有象B、N中每一個元素在M中必有原象C、N中每一個元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

（答：A）；

（2）點(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，則在f作用下點(3,1)的原象為點________

（答：（2，－1））；

（3）若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，則A到B的映射有個，B到A的映射有個，A到B的函數有個

（答：81,64,81）；

（4）設集合M{1,0,1},N{1,2,3,4,5}，映射f:MN滿足條件“對任意的

xM，xf(x)是奇數”，這樣的映射f有____個

（答：12）；

2（5）設f:xx是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則AB一定是_____

（答：或{1}）.

二．函數f:AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集！據此可知函數圖

像與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如：

（1）已知函數f(x)，xF，那么集合{(x,y)|yf(x),xF}{(x,y)|x1}中所含元素的個數有個

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

（答：0或1）；

（2）若函數y12x22x4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝（答：2）

三．同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和

對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數。如

若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函數”，那么解析式為yx，值域為{4，1}的“天一函數”共有______個

（答：9）

四．求函數定義域的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：

1．根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數logax中x0,a0且a1，三角形中0A,最大角x4xlgx3223，最小角3等。如

（1）函數y的定義域是____

(答：(0,2)(2,3)(3,4))；

（2）若函數ykx7kx4kx32的定義域為R，則k_______

3)；4(答：0,（3）函數f(x)的定義域是[a,b]，ba0，則函數F(x)f(x)f(x)的定義域是__________

(答：[a,a])；

（4）設函數f(x)lg(ax2x1)，①若f(x)的定義域是R，求實數a的取值范圍；②若f(x)的值域是R，求實數a的取值范圍

（答：①a1；②0a1）

2．根據實際問題的要求確定自變量的范圍。

3．復合函數的定義域：若已知f(x)的定義域為[a,b],其復合函數f[g(x)]的定義域由

2版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于當x[a,b]時，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）。如

1（1）若函數yf(x)的定義域為,2，則f(log22x)的定義域為__________

（答：x|22x4）；

（2）若函數f(x1)的定義域為[2,1)，則函數f(x)的定義域為________

（答：[1,5]）．

五．求函數值域（最值）的方法：

1．配方法二次函數（二次函數在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系），如（1）求函數yx2x5,x[1,2]的值域

（答：[4,8]）；

（2）當x(0,2]時，函數f(x)ax值范圍是___

（答：a（3）已知f(x)3值域為______

（答：[2,5]）

2．換元法通過換元把一個較復雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮�，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，如�?）y2sinx3cosx1的值域為_____

（答：[4,（2）y2x1x1的值域為_____

178]）；

2224(a1)x3在x2時取得最大值，則a的取

122）；

xb(2x4)的圖象過點（2,1），則F(x)[f1(x)]f21(x)的

（答：(3,)）

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

（3）ysinxcosxsinxcosx的值域為____

（答：[1,（4）yx49x2122]）；

的值域為____

（答：[1,324]）；

3．函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性，如求函數y2sin11sin，y3xx13，y2sin11cos的值域

132,]（答：(,]、（0,1）、(2）；

4．單調性法利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，如

求yx1x(1x9)，ysinx291sinx2，y2x5log3809x1的值域112,9]、[2,10]）；

（答：(0,)、[5．數形結合法函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如

（1）已知點P(x,y)在圓xy1上，求

22yx2及y2x的取值范圍

3333（答：[,]、[5,5]）；

（2）求函數y(x2)2(x8)的值域

2（答：[10,)）；

（3）求函數y域

（答：[43,)、(26,26)）

注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在x軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在x軸的同側。

6．判別式法對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不

版權所有@高考資源網

-4-

x6x132x4x5及y2x6x132x4x5的值高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

等式：①y求ybkx32x22型，可直接用不等式性質，如的值域

（答：(0,]）

23②ybxxmxnx1x22型，先化簡，再用均值不等式，如的值域

（答：(,]）；

2x2x3（1）求y1（2）求函數y的值域

1（答：[0,]）

2xmxnxmxn22③y型，通常用判別式法；如

已知函數ylog3mx8xnx122的定義域為R，值域為[0，2]，求常數m,n的值

（答：mn5）

④yxmxnmxn2型，可用判別式法或均值不等式法，如

求yxx1x12的值域

（答：(,3][1,)）

7．不等式法利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如

設x,a1,a2,y成等差數列，x,b1,b2,y成等比數列，則

(a1a2)b1b22的取值范圍是__.

（答：(,0][4,)）。

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

8．導數法一般適用于高次多項式函數，如

求函數f(x)2x4x40x，x[3,3]的最小值。

（答：－48）

提醒：（1）求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數的最值與值域之間有何關系？

六．分段函數的概念。分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示

對應關系的函數，它是一類較特殊的函數。在求分段函數的值f(x0)時，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如

2(x1).(x1)（1）設函數f(x)，則使得f(x)1的自變量x的取值范圍是__

4x1.(x1)32（答：(,2][0,10]）；

(x0)1　　(x0)1　�。�2）已知f(x)，則不等式x(x2)f(x2)5的解集_____

32（答：(,]）

版權所有@高考資源網

擴展閱讀：高中數學易錯點與應試技巧總結：函數3

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

函數

十二．函數的對稱性。

1．滿足條件fxafbx的函數的圖象關于直線x已知二次函數f(x)ax等根，則f(x)＝_____

(答：12xx)

22ab2對稱。如

bx(a0)滿足條件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有

2．點(x,y)關于y軸的對稱點為(x,y)；函數yfx關于y軸的對稱曲線方程為

yfx；

3．點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,y)；函數yfx關于x軸的對稱曲線方程為

yfx；

4．點(x,y)關于原點的對稱點為(x,y)；函數yfx關于原點的對稱曲線方程為

yfx；

5．點(x,y)關于直線yxa的對稱點為((ya),xa)；曲線f(x,y)0關于直線yxa的對稱曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(x,y)關于直線yx的對稱點為(y,x)；曲線f(x,y)0關于直線yx的對稱曲線的方程為f(y,x)

)關于直線yx的對稱點為(y,x)；0；點(x,y曲線f(x,y)0關于直線yx的對

稱曲線的方程為f(y,x)0。如

己知函數f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的圖像是C1,它關于直線yx對稱圖

像是C2,C2關于原點對稱的圖像為C3,則C3對應的函數解析式是___________

（答：yx22x1）

6．曲線f(x,y)0關于點(a,b)的對稱曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數yxx與yg(x)的圖象關于點（-2，3）對稱，則g(x)＝______

版權所有@高考資源網

-1-

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

（答：x7x6）

7．形如yaxb(c0,adbc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線xd(由分

cxdc2母為零確定)和直線ya(由分子、分母中x的系數確定)，對稱中心是點(d,a)。如

ccc已知函數圖象C與C:y(xa1)axa1關于直線yx對稱，且圖象C關于點（2，－3）對稱，則a的值為______

（答：2）

8．|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關于y軸的對稱圖形得到。如

（1）作出函數y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；

（2）若函數f(x)是定義在R上的奇函數，則函數F(x)f(x)f(x)的圖象關于____對稱

（答：y軸）

提醒：（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像C1與C2的對稱性，需證兩方面：①證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上；②證明C2上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C1上。如

（1）已知函數f(x)心對稱圖形；

（2）設曲線C的方程是yxx,將C沿x軸,y軸正方向分別平行移動t,s單位長度后得曲線C1。①寫出曲線C1的方程

（答：y(xt)(xt)s）；②證明曲線C與C1關于點A十三．函數的周期性

版權所有@高考資源網

-2-

32x1aax(aR)。求證：函數f(x)的圖像關于點M(a,1)成中

3ts對稱。22,高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

1．類比“三角函數圖像”得：

①若yf(x)圖像有兩條對稱軸xa,xb(ab)，則yf(x)必是周期函數，且一周期為T2|ab|；

②若yf(x)圖像有兩個對稱中心A(a,0),B(b,0)(ab)，則yf(x)是周期函數，且一周期為T2|ab|；

③如果函數yf(x)的圖像有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸xb(ab)，則函數

yf(x)必是周期函數，且一周期為T4|ab|；

如已知定義在R上的函數f(x)是以2為周期的奇函數，則方程f(x)0在[2,2]上至少有__________個實數根（答：5）

2．由周期函數的定義“函數f(x)滿足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期函數”得：

①函數f(x)滿足fxfax，則f(x)是周期為2a的周期函數；

1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，則T2a；

③若f(xa)(a0)恒成立，則T2a.

如(1)設f(x)是(,)上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(47.5)等于_____

(答：0.5)

(2)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是減函數，若,是銳角三角形的兩個內角，則f(sin),f(cos)的大小關系為________

_(答：f(sin)f(cos))

（3）已知f(x)是偶函數，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函數，求f(201*)的值

(答：993)

（4）設fx是定義域為R的函數，且fx21fx1fx，又

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

f222，則f201*=222(答：十四．指數式、對數式：

amn)

nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，

abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，

logablogcblogca，

nmlogab。如

（1）log225log34log59的值為________

(答：8)

（2）()21log28的值為________

(答：

164)

十五．指數、對數值的大小比較：

（1）化同底后利用函數的單調性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；

（4）化同指數（或同真數）后利用圖象比較。

十六．函數的應用。（1）求解數學應用題的一般步驟：①審題——認真讀題，確切理解題意，

明確問題的實際背景，尋找各量之間的內存聯系；②建�！�—通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；③解�！�—求解所得的數學問題；④回歸——將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數模型有：①建立一次函數或二次函數模型；②建立分段函數模型；③建立指數函數模型；④建立yaxbx型。

十七．抽象函數：抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件

（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題。求解抽象函數問題的常用方法是：

1．借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數：

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

①正比例函數型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；

xf(x)f(y)②冪函數型：f(x)x--------------f(xy)f(x)f(y)，f()y2；

③指數函數型：f(x)a------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；

④對數函數型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

yx⑤三角函數型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。

如已知f(x)是定義在R上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則

f(T2)____

（答：0）

2．利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如

（1）設函數f(x)(xN)表示x除以3的余數，則對任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)

（答：A）；

（2）設f(x)是定義在實數集R上的函數，且滿足f(x2)f(x1)f(x)，如果

f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)

（答：1）；

（3）如設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x2)f(x)，證明：直線x1是函數

f(x)圖象的一條對稱軸；

（4）已知定義域為R的函數f(x)滿足f(x)f(x4)，且當x2時，f(x)單調遞增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，則f(x1)f(x2)的值的符號是____

（答：負數）

版權所有@高考資源網

高考資源網（ks5u.com）您身邊的高考專家

3．利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如

（1）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：奇函數）；

（2）若xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性是______

（答：偶函數）；

（3）已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數，當0x3時，f(x)的圖像如圖所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________

（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；

（4）設f(x)的定義域為R，對任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時，

y1f(x)0，又f()1，①求證f(x)為減函數；②解不等式f(x)f(5x)2.

2（答：0,14,5）

版權所有@高考資源網

友情提示：本文中關于《高中數學易錯點與應試技巧總結：函數1》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高中數學易錯點與應試技巧總結：函數1：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網絡整理 免責聲明：本文僅限學習分享，如產生版權問題，請聯系我們及時刪除。

《高中數學易錯點與應試技巧總結：函數1》由互聯網用戶整理提供,轉載分享請保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://m.seogis.com/gongwen/689612.html

• 上一篇：高一政治知識點總結和易錯點分析
• 下一篇：年終總結文檔