高中數學題函數經典知識總結

職中函數章節(jié)知識總結（一）

一．相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

下列各組函數表示同一函數的是

A．f(x)C．f(x)x2,g(x)(x)2

3B．f(x)1,2g(x)x0

x2,g(x)(x)3D．

x21f(x)x1,g(x)x1例：判斷下列各組中的兩個函數是否是同一函數？為什么？1．

y1(x3)(x5)x3

y2x5

解：不是同一函數，定義域不同

解：不是同一函數，定義域不同

2。

y1x1x1y2(x1)(x1)

3．4．5．

f(x)x

g(x)x2解：不是同一函數，值域不同解：是同一函數

解：不是同一函數定義域值域都不同

f(x)x

F(x)3x3f1(x)(2x5)2f2(x)2x5

二．求函數的定義域有哪些常見類型？函數定義域求法：

分式中的分母不為零；

偶次方根下的數（或式）大于或等于零；指數式的底數大于零且不等于一；

．求下列函數的定義域：

x＋11

（1）y＝（2）y＝＋－x＋x＋4

x＋2x＋2x－110

（3）y＝（4）y＝＋(5x－4)

x－16－5x－x2（指數式的底數大于零且不等于一5x－4>0且5x－41）分段函數按照自己所在的的定義域代入相對應的解析式3.已知f(x)=x5(x6)，則f(3)的值為____

f(x4)(x6)f(x)的定義域為m,n，求yfg(x)的

4復合函數定義域的求法：已知y定義域，可由mg(x)n解出x的范圍，即為yfg(x)的定義域

例如：已知函數f(x)的定義域為（1，3），則函數F(x)f(x1)f(2x)的定義域。

x1(1,3)2x(1,3)注意大括號的表示幾個條件要同時滿足！也就是幾個不等式的解集的交集。

設f(x)=2x3g(x)=x2+2則稱f[g(x)]（或g[f(x)]）為復合函數。f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11

例：已知：f(x)=xx+3求：f()f(x+1)

解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3三求值域

1.直接觀察法

對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例1.求函數解：∵x0

10x∴

y1x2

1x1x1x1x的值域。

顯然函數的值域是：(,0)(0,)例2.求函數y3x的值域。解：∵xx0,3x3

故函數的值域是：[,3]2.配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。

2yx2x5,x[1,2]的值域。例3.求函數

2解：將函數配方得：y(x1)4∵x[1,2]

4，當x1時，ymiax由二次函數的性質可知：當x=1時，ymn故函數的值域是：[4，8]

3.單調性法就是利用函數單調性在定義域內進行判斷這是重點3．函數單調性法

8

如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：

根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關可以變形為求

f(x)f(x1)f(x2)的正負號或者1與

f(x2)x1x21的關系

18．函數f(x)=－x3＋1在R上是否具有單調性？如果具有單調性，它在

R上是增函數還是減函數？試證明你的結論．

解析：f(x)在R上具有單調性，且是單調減函數，證明如下：設x1、x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，則f(x1)=－x13＋1，f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

32

x2］．42

2

x22)2＋

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋x2)＋3x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

24四．判斷函數奇偶性的方法一、定義域法

一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.二、奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算f(x)，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.

這種方法可以做如下變形f(x)+f(-x)=0奇函數f(x)-f(-x)=0偶函數f(x)1偶函數f(-x)f(x)1奇函數f(-x)

你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(x)的圖象關于y軸對稱聯想點（x,y）,(-x,y)f(x)與f(x)的圖象關于x軸對稱聯想點（x,y）,(x,-y)f(x)與f(x)的圖象關于原點對稱聯想點（x,y）,(-x,-y)

函數這一章內容主要在于聯系和自己認真思考，這也是高中數學的特點，希望各位同學要認真努力的研讀課本多多做課后習題，多總結，俗話說得好一日練一日功一日不練一日松！只有你勤加練習勤動腦筋肯定會有大的進步！

擴展閱讀：高中數學函數與方程知識點總結、經典例題及解析、高考真題及答案

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2.8函數與方程

【考綱說明】

1、了解函數的零點與方程根的聯系，能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。2、能夠根據具體函數的圖像，用二分法求出相應方程的近似解。

【知識梳理】

1、函數零點的定義

（1）對于函數yf(x)，我們把方程f(x)0的實數根叫做函數yf(x)的零點。

（2）方程f(x)0有實根函數yf(x)的圖像與x軸有交點函數yf(x)有零點。因此判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)0是否有實數根，有幾個實數根。函數零點的求法：解方程f(x)0，所得實數根就是f(x)的零點（3）變號零點與不變號零點

①若函數f(x)在零點x0左右兩側的函數值異號，則稱該零點為函數f(x)的變號零點。②若函數f(x)在零點x0左右兩側的函數值同號，則稱該零點為函數f(x)的不變號零點。

③若函數f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則f(a)f(b)0是f(x)在區(qū)間a,b內有零點的充分不必要條件。

2、函數零點的判定

（1）零點存在性定理：如果函數yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數yf(x)在區(qū)間a,b內有零點，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，這個x0也就是方程f(x)0的根。（2）函數yf(x)零點個數（或方程f(x)0實數根的個數）確定方法

①代數法：函數yf(x)的零點f(x)0的根；②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點。（3）零點個數確定

0yf(x)有2個零點f(x)0有兩個不等實根；0yf(x)有1個零點f(x)0有兩個相等實根；

0yf(x)無零點f(x)0無實根；對于二次函數在區(qū)間a,b上的零點個數，要結合圖像進行確定.

3、二分法

（1）二分法的定義:對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數yf(x),通過不斷地把函數yf(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步驟:

①確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精確度;

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②求區(qū)間(a,b)的中點c;③計算f(c);

()若f(c)0,則c就是函數的零點;

()若f(a)f(c)0,則令bc(此時零點x0(a,c));()若f(c)f(b)0,則令ac(此時零點x0(c,b));

④判斷是否達到精確度,即ab,則得到零點近似值為a(或b);否則重復②至④步.

【經典例題】

【例1】（201*天津）函數f(x)=2+x2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是（）A、0B、1C、2D、3【答案】B

【解析】解法1：因為f(0)=1+02=1，f(1)=2+22=8，即f(0)f(1)中國教育培訓領軍品牌

合題意；當a1時，兩個函數的圖像有兩個交點，滿足題意.

【例4】（201*遼寧）設函數f(x)(xR)滿足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且當x[0,1]時，f(x)=x3.又函數g(x)=|xcos(x)|，則函數h(x)=g(x)-f(x)在[13,]上的零點個數為（）22A、5B、6C、7D、8【答案】B

【解析】因為當x[0,1]時，f(x)=x3.所以當x[1,2]時，(2x)[0,1]，f(x)f(2x)(2x)，

當x[0,]時，g(x)xcos(x)；當x[,]時，g(x)xcos(x)，注意到函數f(x)、g(x)都是偶函數，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，g()g()0，作出函數f(x)、g(x)的大致圖象，函數h(x)除了0、1這兩個零點之外，分別在區(qū)間[,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一個零點，共有6個零點，故選B

【例5】（201*湖北）函數f(x)xcosx在區(qū)間[0,4]上的零點個數為（）A、4B、5【答案】C

C、6

D、7

23121322123212121232【解析】：f(x)=0，則x=0或cosx2=0，x2=kπ+【例6】（201*陜西）函數f(x)π,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6個解．選C．2

xcosx在[0,)內（）

A、沒有零點B、有且僅有一個零點C、有且僅有兩個零點D、有無窮多個零點【答案】B

【解析】解法一：數形結合法，令f(x)xcosx0，則xcosx，設函數yx和ycosx，它們在

[0,)的圖像如圖所示，顯然兩函數的圖像的交點有且只有一個，所以函數f(x)xcosx在[0,)內有且

僅有一個零點；

解法二：在x[2,)上，x1，cosx1，所以f(x)xcosx0；

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在x(0,2]，f(x)12xsinx0，所以函數f(x)xcosx是增函數，又因為f(0)1，

f()20，所以f(x)xcosx在x[0,]上有且只有一個零點．22a，a－b≤1，

【例7】（201*天津）對實數a和b，定義運算“”：ab＝設函數f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R，若

b，a－b>1.

函數y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是()

3－1，A、(－∞，－2]∪2

3

－1，－B、(－∞，－2]∪411

－1，∪，＋∞C、44

31

－1，－∪，＋∞D、44

【答案】B

x－2，x－2－(x－x)≤1，

【解析】f(x)＝＝2223x－x()x－x，x－2－>1x－x2，x，

2223

x2－2，－1≤x≤，2

2

則f(x)的圖象如圖

∵y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，∴y＝f(x)與y＝c的圖象恰有兩個公共點，

3

由圖象知c≤－2，或－1中國教育培訓領軍品牌

（2）f(x)x4.x2【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.【解析】（1）由x2xx20,

3x2(x2)(x2)0,(x2)(x1)(x1)0,x2或x1或x1.故函數的零點是2，1，-1.

4x24（2）由x0,得0,

xx(x2)(x2)0,(x2)(x2)0,xx2或x=-2.故函數的零點是2，-2.

【例10】判斷函數y＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內有無零點，如果有，求出一個近似零點(精確度0.1)．【答案】1.3125

【解析】因為f(1)＝－10，且函數y＝x3－x－1的圖象是連續(xù)的曲線，所以它在區(qū)間[1,1.5]內有零點，用二分法逐次計算，列表如下：

區(qū)間(1,1.5)(1.25,1.5)(1.25,1.375)(1.3125,1.375)中點值1.251.3751.31251.34375中點函數近似值－0.30.22－0.050.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625中國教育培訓領軍品牌

A．（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）

5、（201*浙江）設函數fx=4sin（2x+1）-x，則在下列區(qū)間中函數fx不存在零點的是（）A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]

6、（201*陜西）函數fx=x-cosx在[0，內（）A、沒有零點B、有且僅有一個零點C、有且僅有兩個零點D、有無窮多個零點

7、（201*福建）若函數f(x)的零點與g(x)42x2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是（）A、f(x)4x1B、f(x)(x1)C、f(x)e1D、f(x)ln(x)

8、下列函數零點不宜用二分法的是()

A、f(x)x8B、f(x)lnx3C、f(x)x22x2D、f(x)x4x19、（201*泉州）函數f(x)=log2x+2x-1的零點必落在區(qū)間

11A、,

842x2x1232（）

11B、,

42

C、,1

12

D、(1,2)

（）D、(100,)

10、（201*廈門）lgx10有解的區(qū)域是x

A、(0,1]B、(1,10]C、(10,100]

11、（201*湖北文）在下列區(qū)間中，函數f(x)ex4x3的零點所在的區(qū)間為（）

111113A、(,0)B、(0,)C、(,)D、(,)

42244412、（201*合肥）函數f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為（）

A、[0,]

x18B、[,]

1184C、[,]

x1142D、[,1]

1213、設fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2內近似解的過程中得f10,f1.50,f1.250,則方程的根落在區(qū)間（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能確定

14、（201*浙江）設函數f(x)4sin(2x1)x，則在下列區(qū)間中函數f(x)不存在零點的是（）．A、4,2B、2,0C、0,2D、2,4

x22x3,x015、（201*福建）函數f(x)，零點個數為（）

2lnx,x0A、3B、2C、1D、0

16、（201*惠州）若函數f(x)x3x22x2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：

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f(1)=－2f(1.375)=－0.260f(1.5)=0.625f(1.4375)=0.162f(1.25)=－0.984f(1.40625)=－0.054那么方程x3x22x20的一個近似根（精確到0.1）為（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、（201*湖北）方程22xx23的實數解的個數為.218、已知函數f(x)x(a1)xa2的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數a的取值范圍。

19、判斷函數f(x)4xx223x3在區(qū)間[1,1]上零點的個數，并說明理由。20、求函數f(x)x32x23x6的一個正數零點(精確度0.1)．

【課后作業(yè)】

1、下列函數圖象與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是(x2

2、設f(x)3x，則在下列區(qū)間中，使函數f(x)有零點的區(qū)間是A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]

3、已知f(x)唯一的零點在區(qū)間(1,3)、(1,4)、(1,5)內，那么下面命題錯誤的A、函數f(x)在(1,2)或2,3內有零點B、函數f(x)在(3,5)內無零點C、函數f(x)在(2,5)內有零點D、函數f(x)在(2,4)內不一定有零點4、（201*莆田）若函數f(x)x33xa有3個不同的零點,則實數a的取值范圍是

A、2,2B、2,2

C、,1D、1,

5、（201*沈陽）函數f(x)xlnx的零點所在的區(qū)間為

A、（－1，0）

B、（0，1）

C、（1，2）

D、（1，e）

6、求函數f(x)2x33x1零點的個數為A、1B、2C、3D、4

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)()

）（）

（）

（）（中國教育培訓領軍品牌

7、如果二次函數yxxm3有兩個不同的零點，則m的取值范圍是（）A、(211111111,)B、(,)C、(,)D、(,)42428、方程lgxx0根的個數為（）A、無窮多B、3C、1D、0

9、用二分法求方程f(x)0在(1,2)內近似解的過程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)中國教育培訓領軍品牌

318、用“二分法”求方程x2x50在區(qū)間[2,3]內的實根，取區(qū)間中點為x02.5，那么下一個有根的區(qū)間是19、函數f(x)lnxx2的零點個數為.20、證明方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內有唯一一個實數解，并求出這個實數解(精確度0.1)．

【參考答案】

【課堂練習】

1-16、CDCBABACCBCCBABC17、2

18、解：設方程x(a1)xa20的兩根分別為x1,x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韋達定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a119、解：因為f1412222272130，f14103333所以fx在區(qū)間[1,1]上有零點

91"2又fx42x2x2x

22當1x1時，0f"2x92所以在[1,1]上單調遞增函數，所以fx在[1,1]上有且只有一個零點。

20、解由于f(1)60,f(2)40，可取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如下：

區(qū)間(1,2)(1.5,2)(1.5,1.75)(1.625,1.75)(1.6875,1.75)中點1.51.751.6251.68751.71875中點函數值－2.6250.2344－1.3027－0.5618－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625中國教育培訓領軍品牌

1-13、BDCABCCDADAAB14、215、(2,3)16、(0,1)17、{2,3}18、[2,2.5)

19、2

20、證明設函數f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－10，

又∵f(x)是增函數，所以函數f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間[1,2]內有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內有唯一一個實數解．設該解為x0，則x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)

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