復(fù)變函數(shù)論文

復(fù)變函數(shù)的精確之美學(xué)習(xí)復(fù)變的感想

對(duì)于理科類(lèi)學(xué)科的學(xué)習(xí)而言，最重要的一點(diǎn)莫過(guò)于概念的清晰程度。因?yàn)樗�有的推�?dǎo)、證明以及應(yīng)用，歸根結(jié)底都是在基本概念的基礎(chǔ)上衍生而來(lái)的。因此只有將相關(guān)概念真正理解同時(shí)牢記于心，才可以真正地走進(jìn)一門(mén)學(xué)科，真正的領(lǐng)略一門(mén)學(xué)科的美妙與精華所在。

在我的理解看來(lái)，復(fù)變函數(shù)從某種意義上來(lái)說(shuō)可以看成是大一所學(xué)的高等數(shù)學(xué)的一種延伸與拓展。在高等數(shù)學(xué)，也就是我們通常所說(shuō)的微積分學(xué)中，我們所研究討論的對(duì)象都是實(shí)函數(shù)，也就是函數(shù)的定義域與值域所代表的集合都是實(shí)數(shù)集合。這樣的研究將許多生活中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題用實(shí)變函數(shù)的微分與積分表達(dá)出來(lái)，讓我們能夠很快地了解一些微積分中的基本概念、知識(shí)以及應(yīng)用技巧。但是同時(shí)，實(shí)變函數(shù)的應(yīng)用范圍十分狹窄。尤其是電氣工程等方面的計(jì)算和問(wèn)題中，實(shí)變函數(shù)幾乎可以算是毫無(wú)用武之地。因此為了能夠更好地解決工程中遇到的問(wèn)題，我們便對(duì)現(xiàn)有的實(shí)變函數(shù)進(jìn)行了拓展延伸，創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)體系，并總結(jié)發(fā)現(xiàn)了一系列復(fù)變函數(shù)的定義、定理、方法以及技巧。

精確是所有理科研究學(xué)科，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特點(diǎn)，這一點(diǎn)在復(fù)變函數(shù)中也體現(xiàn)的尤為明顯。復(fù)變函數(shù)是將復(fù)數(shù)域之間的映射的特點(diǎn)和關(guān)系進(jìn)行全面系統(tǒng)的總結(jié)和歸納。其研究對(duì)象就是復(fù)數(shù)域之間映射的函數(shù)關(guān)系。因此在復(fù)變函數(shù)的研究中基本都是代數(shù)運(yùn)算，

沒(méi)有帶數(shù)字之后為計(jì)算方便而出現(xiàn)約等的情況。當(dāng)然復(fù)變函數(shù)的精確美遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止表現(xiàn)與這些方面。

為了解決問(wèn)題的方便，復(fù)變函數(shù)的研究中總結(jié)歸納了許多的定理和方法。但每一種的定理與方法都有其十分明確的適用范圍和使用方法。這是為了保證它們?cè)诒皇褂糜谇蠼庀鄳?yīng)問(wèn)題時(shí)不出現(xiàn)錯(cuò)用、誤用而最終導(dǎo)致結(jié)果有偏差甚至完全錯(cuò)誤。比如在我們?cè)谟?jì)算閉路積分時(shí)常運(yùn)用的留數(shù)定理就有其很明確的適用范圍。此外，復(fù)變函數(shù)在許多相似概念的區(qū)分上也做到了精確二字。如可導(dǎo)、連續(xù)以及解析之間的區(qū)別，在復(fù)變函數(shù)中就體現(xiàn)的尤為明顯。

作為一門(mén)研究數(shù)的學(xué)科，復(fù)變函數(shù)對(duì)于結(jié)果的精確程度是有著相當(dāng)高的要求的。在絕大部分問(wèn)題上，復(fù)變函數(shù)的求解結(jié)果都是一個(gè)代數(shù)式或者函數(shù)式。也就是說(shuō)這樣的結(jié)果保證了求解的100%的準(zhǔn)確度，過(guò)程中的每一個(gè)步驟都是嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)上的公理以及定理進(jìn)行推導(dǎo)和演算的，不存在任何意義上的誤差。

但在有些問(wèn)題上，復(fù)變函數(shù)為了求解的方便，經(jīng)常采用極限以及逼近的思想。有部分人認(rèn)為這便是復(fù)變函數(shù)中不精確的一大表現(xiàn)，而我認(rèn)為恰恰相反。舉一個(gè)最簡(jiǎn)單卻也最典型的例子來(lái)說(shuō)，復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)中都存在有級(jí)數(shù)展開(kāi)這一運(yùn)算方法。級(jí)數(shù)是表示解析函數(shù)，研究解析函數(shù)性質(zhì)的有力工具，可以在解決某些特定問(wèn)題時(shí)極大程度地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。其核心思想是將函數(shù)通過(guò)相應(yīng)定理展開(kāi)成無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式之和，再借助多項(xiàng)式運(yùn)算中的一些便利條件幫助我們解決相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題。可以說(shuō)極限與逼近就是級(jí)數(shù)展開(kāi)的精華所在。我認(rèn)

為這樣的數(shù)學(xué)思想非但不是不精確的表現(xiàn)，恰恰相反，這正是復(fù)變函數(shù)中為了追求能夠更加精確的解決問(wèn)題而探索出的一條極佳的解題方法。對(duì)于某些特定的復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，如果我們不采用級(jí)數(shù)方法對(duì)其進(jìn)行研究，我們幾乎無(wú)法獲得函數(shù)的一些性質(zhì)與特性，甚至我們連它的導(dǎo)數(shù)和積分都無(wú)法求得，更不要說(shuō)在工程問(wèn)題中應(yīng)用這些函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。而級(jí)數(shù)思想以嚴(yán)格證明過(guò)的極限逼近作為基礎(chǔ)，即在n趨近于無(wú)窮大時(shí)相應(yīng)多項(xiàng)式的和與函數(shù)式完全等價(jià)的。因此以函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)形式作為研究對(duì)象是完全不會(huì)導(dǎo)致精確性降低的，反而能夠?yàn)槲覀兏�加方便精確的研究和使用復(fù)變函數(shù)鋪平了道路。

以上為本人本學(xué)期的復(fù)變函數(shù)期末總結(jié)論文。該論文只是就本人粗淺的學(xué)識(shí)和個(gè)人觀點(diǎn)，對(duì)復(fù)變函數(shù)的一些特征和優(yōu)越性作出淺顯的分析以及點(diǎn)評(píng)，由于知識(shí)和能力有限，文章中必然有一些問(wèn)題和許多不到位的地方存在，懇請(qǐng)老師批評(píng)指正。

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河南城建學(xué)院

測(cè)會(huì)與城市空間信息系

論復(fù)變函數(shù)在專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用

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《復(fù)變函數(shù)》結(jié)課論文

摘要：1.復(fù)變函數(shù)的概況

2.復(fù)變函數(shù)的廣泛應(yīng)用

3.復(fù)變函數(shù)在本專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用

關(guān)鍵詞：1.復(fù)變函數(shù)

2.GIS

3.應(yīng)用、發(fā)展

正文：

論復(fù)變函數(shù)在專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用

1.復(fù)變函數(shù)的概況

在我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的《高等數(shù)學(xué)》課程中共，研究的主要對(duì)象是復(fù)變函數(shù)。經(jīng)過(guò)理論的探討和生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，又提出了對(duì)復(fù)變函數(shù)的研究，而研究復(fù)變函數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系，就是復(fù)變函數(shù)這門(mén)課程的主要任務(wù)。

復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里，人們對(duì)這類(lèi)數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類(lèi)數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái)。復(fù)數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類(lèi)具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就是研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱(chēng)復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱(chēng)贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。

復(fù)變函數(shù)中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因而它們之間有著許多的相似之處。但是，復(fù)變函數(shù)又有與實(shí)變函數(shù)不同之點(diǎn)。在我們學(xué)習(xí)中，要勤于思考，善于比較，既要注意共同點(diǎn)，更要弄清不同點(diǎn)。這樣，才能抓住本質(zhì)，融會(huì)貫通。

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、彈性理論中的平面問(wèn)題的有力工具。而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展又極大地推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展，豐富了它的內(nèi)容。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，要正確理解和掌握復(fù)變函數(shù)中的數(shù)學(xué)概念和方法，逐步培養(yǎng)利用這些概念和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。2.復(fù)變函數(shù)的廣泛應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，其涵蓋面極廣，甚至可以用來(lái)解決一些復(fù)

雜的計(jì)算問(wèn)題。作為最豐饒的數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用尤為可見(jiàn)。特別是在解析函數(shù)的微分理論（Cauchy-Riemann方程），積分理論（Cauchy積分定理雨積分公式），Weierstrass的級(jí)數(shù)理論（Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)）等方面的應(yīng)用。除此之外，在別的領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用也是顯而易見(jiàn)的，諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)等領(lǐng)域。比如說(shuō)，物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。

3.復(fù)變函數(shù)在地理信息系統(tǒng)中的應(yīng)用

既然復(fù)變函數(shù)在其他領(lǐng)域內(nèi)有那么重要的應(yīng)用，那么在本專(zhuān)業(yè)中是否同樣有著重要的應(yīng)用呢，是否起著不可或缺的作用呢？下面討論這個(gè)問(wèn)題。

首先，地理信息系統(tǒng)（GeographicInformationSystem或Geo－Informationsystem，GIS）它是一種特定的十分重要的空間信息系統(tǒng)。它是在計(jì)算機(jī)硬、軟件系統(tǒng)支持下，對(duì)整個(gè)或部分地球表層（包括大氣層）空間中的有關(guān)地理分布數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、儲(chǔ)存、管理、運(yùn)算、分析、顯示和描述的技術(shù)系統(tǒng)。

那么，正是因?yàn)镚IS對(duì)復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算要求以及空間函數(shù)的分析，復(fù)變函數(shù)的廣泛應(yīng)用同樣也滲透到了地理信息系統(tǒng)領(lǐng)域，它對(duì)復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算能力使得在GIS上的應(yīng)用也不可或缺。

GIS的操作對(duì)象是空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)，即點(diǎn)、線、面、體這類(lèi)有三維要素的地理實(shí)體。空間數(shù)據(jù)的最根本特點(diǎn)是每一個(gè)數(shù)據(jù)都按統(tǒng)一的地理坐標(biāo)進(jìn)行編碼，實(shí)現(xiàn)對(duì)其定位、定性和定量的描述、這是GIS區(qū)別于其它類(lèi)型信息系統(tǒng)的根本標(biāo)志，也是其技術(shù)難點(diǎn)之所在。而復(fù)變函數(shù)中的黎曼曲面理論就是用來(lái)解決這種問(wèn)題的。復(fù)變函數(shù)研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。

函數(shù)f(z)=sqrt(z)的黎曼曲面

數(shù)學(xué)上，特別是在復(fù)分析中，一個(gè)黎曼曲面是一個(gè)一維復(fù)流形。黎曼曲面可以被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)平面的變形版本:在每一點(diǎn)局部看來(lái)，他們就像一片復(fù)平面，但整體的拓?fù)淇赡軜O為不同。例如，他們可以看起來(lái)像球或是環(huán)，或者兩個(gè)頁(yè)面粘在一起。黎曼曲面的要點(diǎn)在于在他們之間可以定義全純函數(shù)。黎曼曲面現(xiàn)在被認(rèn)為是研究這些函數(shù)的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對(duì)數(shù)這樣的多值函數(shù)。

于是乎，黎曼曲面理論成了復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來(lái)。復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來(lái)說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，幾何函數(shù)論將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用到了GIS的空間數(shù)據(jù)中，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)其定位，定性和定量的描述。

把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿(mǎn)足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過(guò)改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

如果能將你所在州的降雨和你所在縣上空的照片聯(lián)系起來(lái)，可以判斷出哪塊濕地在一年的某些時(shí)候會(huì)干涸。一個(gè)GIS系統(tǒng)就能夠進(jìn)行這樣的分析，它能夠?qū)⒉煌瑏?lái)源的信息以不同的形式應(yīng)用。對(duì)于源數(shù)據(jù)的基本要求是確定變量的位置。位置可能由經(jīng)度，緯度和海拔的x、y、z坐標(biāo)來(lái)標(biāo)注，或是由其他地理編碼系統(tǒng)比如ZIP碼，又或是高速公路英里標(biāo)志來(lái)表示。任何可以定位存放的變量都能被反饋到GIS。一些政府機(jī)構(gòu)和非政府組織正在制作能夠直接訪問(wèn)GIS的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)庫(kù)，可以將地圖中不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)格式輸入GIS。GIS系統(tǒng)同時(shí)能將不是地圖形式的數(shù)字信息轉(zhuǎn)換成可識(shí)別利用的形式。例如，通過(guò)分析由遙感生成的數(shù)字衛(wèi)星圖像，可以生成一個(gè)與地圖類(lèi)似的有關(guān)植被覆蓋的數(shù)字信息層。同樣,人口調(diào)查或水文表格數(shù)據(jù)也可在GIS系統(tǒng)中被轉(zhuǎn)換成作為主題信息層的地圖形式。

GIS的技術(shù)優(yōu)勢(shì)在于它的數(shù)據(jù)綜合、模擬與分析評(píng)價(jià)能力，可以得到常規(guī)方法或普通信息系統(tǒng)難以得到的重要信息，實(shí)現(xiàn)地理空間過(guò)程演化的模擬和預(yù)測(cè)。

復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，正是這個(gè)特性，使得它在GIS上廣泛使用。黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。利用黎曼曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。這就是關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門(mén)數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。這里就不再討論了。后記：

在寫(xiě)論文的過(guò)程中，通過(guò)論文資料的收集，結(jié)合平時(shí)老師的講解和自己的理解和

整理，讓我了解到了復(fù)變函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用和地位，尤其是在本專(zhuān)業(yè)中的應(yīng)用及其不可或缺的地位。對(duì)于理科的物理專(zhuān)業(yè)、工科的空氣動(dòng)力學(xué)專(zhuān)業(yè)、化工流變學(xué)專(zhuān)業(yè)以及一切與研究電場(chǎng)有關(guān)的專(zhuān)業(yè)和研究流體流速場(chǎng)有關(guān)的專(zhuān)業(yè)，尤其是在信息處理及計(jì)算上更是與復(fù)變函數(shù)緊密結(jié)合。所以說(shuō)它對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是很基礎(chǔ)的一門(mén)課程。通過(guò)對(duì)復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，使我掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，并獲得初步應(yīng)用的能力。地理信息系統(tǒng)作為一門(mén)介于信息科學(xué)、空間科學(xué)、管理科學(xué)之間的一門(mén)新興交叉學(xué)科，是傳統(tǒng)科學(xué)與現(xiàn)代技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，而復(fù)變函數(shù)在其發(fā)展中起著不可或缺的推動(dòng)作用。特別是現(xiàn)在GIS已經(jīng)深入到了人們的日常生活中，它被公認(rèn)為是21世紀(jì)的支柱性產(chǎn)業(yè)。同時(shí)GIS明顯地具有多學(xué)科交叉的特征，既要吸取諸多相關(guān)學(xué)科的精華和營(yíng)養(yǎng)，并逐步形成獨(dú)立的邊緣學(xué)科，又將被多個(gè)相關(guān)學(xué)科所運(yùn)用，并推動(dòng)它們的發(fā)展。那么我們就要掌握好這門(mén)學(xué)科的知識(shí)，并且應(yīng)用于實(shí)際。

參考書(shū)目：[1]復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]高等教育出版社，201*

[2]測(cè)繪與空間地理信息，201*(1)

[3]同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，201*(4)

[4]地理信息系統(tǒng)原理[M]黃河水利出版社，201*[5]多變函數(shù)理論基礎(chǔ)[M]高等教育出版社,1996[6]復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用[M],機(jī)械工業(yè)出版社，201*

[7]工程數(shù)學(xué)矢量分析與場(chǎng)論[M]，高等教育出版社，201*

[8]復(fù)變函數(shù)，高等教育出版社，1996（4）[9]復(fù)變函數(shù)，科學(xué)出版社，201*

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