[復(fù)變函數(shù)與積分變換][總結(jié)]

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》復(fù)習(xí)要點(diǎn)：

(1)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)）值的計(jì)算；(2)判別復(fù)函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和解析性（包括Cauchy－Riemann方程）；(3)求復(fù)積分（包括利用Cauchy－Goursat基本定理和留數(shù)定理）；(4)求共軛調(diào)和函數(shù)；

(5)求復(fù)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)；(6)求留數(shù)及其在積分中的應(yīng)用；

(7)Fourier正逆變換公式以及七條常用性質(zhì)（線性、位移、微分、積分、卷積、乘積、相似性質(zhì)）；(8)Laplace正逆變換公式以及七條常用性質(zhì)（線性、微分、積分、位移、延遲、卷積、相似性質(zhì)）；(9)利用Laplace變換求解線性微分方程（組）；

(10)1,t,u(t),et,(t),sinkt,coskt的Fourier變換公式和Laplace變換公式．Fourier變換公式：

12()；t2j()；u(t)1t2(j)；(t)1；()；ejsinktj[(k)(k)]；coskt[(k)(k)]．

Laplace變換公式：

1111；t2；u(t)；

ssset1kscoskt；(t)1；sinkt2；．

ssk2s2k2計(jì)算題．例1．計(jì)算

Ln(1i),sin(i)，ii．

1ln2i(2k)；24解：Ln(1i)ln1iiArg(1i)1iz1i(i)11izi(i)sin(i)(ee)[ee](ee)i；

2i2i2ziie

iiLniei[lniiArgi]e2k2,(kZ)．

（大寫L）（大寫Z）

例2．問函數(shù)f(z)yix在何處連續(xù)？何處可導(dǎo)？何處解析？(zxiy)．解：uy2,vx2．

22u(x,y),v(x,y)在實(shí)平面處處連續(xù)，f(z)在復(fù)平面處處連續(xù)．

f(z)僅在直線xy0上可導(dǎo)；但直線不含鄰域，f(z)無

ux0vy0xy0，uy2yvx2x處解析．例3．計(jì)算I解：記f(z)1dzz，其中曲線Ｃ為：(a)圓周的正向；(b)圓周z2的正向．

C(zi)3(z3i)21．

(zi)3(z3i)(a)f(z)在曲線Ｃ內(nèi)部解析，根據(jù)Cauchy－Goursat基本定理，I0．(b)f(z)有奇點(diǎn)：z1i，三級(jí)極點(diǎn)．利用留數(shù)定理，

I2iRes[f(z),i]2i例4．

1(zi)lim．2!zi(zi)3(z3i)323P103．30(2),(3)．（共軛調(diào)和函數(shù)）PP例5．143．11(4)，12(3),16(3),(5)．

例6．183．1(2),(7),8(3),9(5)．

例7．《積分變換》例8．

P29．3(1),16．

P51．3,5(3),(6)．

t5(3)據(jù)P12例1，F(xiàn)e1u(t),(0)，利用線性性質(zhì)和象函數(shù)位移性質(zhì)得：

jFe

t1j0tj0ttcos0tu(t)F(ee)eu(t)

11j0ttF{e[eu(t)]}F{ej0t[etu(t)]}

221111jj22象函數(shù)位移性質(zhì)2j2(j)００0　　5(6)

．

F[ej0ttu(t)]象函數(shù)F[tu(t)]象函數(shù)jF[[jtu(t)]位移性質(zhì)0微分性質(zhì)0

1j()j例9．

0112j()j(0)．20(0)P92．1(2),(3),(8),3(1)(利用性質(zhì)計(jì)算)．PP10．51(10)．

例10．100．3(3),(7),

例11．135．1(6),4(2)．

P201*/201*學(xué)年第一學(xué)期《復(fù)變函數(shù)與積分變換B》課程考核試卷A√、B□

課程代碼：2201*142學(xué)分/學(xué)時(shí)數(shù)2.5/40任課教師_______

課程性質(zhì)：必修□、限選□、任選□考試形式：開卷□、閉卷√

適用年級(jí)/專業(yè)_全校工科類各專業(yè)_考試時(shí)間100分鐘……………………………………………………………………………………………………………………

學(xué)號(hào)姓名__________得分_______________

注意：務(wù)請(qǐng)考生保持卷面整潔、少涂改，否則適當(dāng)扣分．

一．填空題(每小題5分，共15分．可以增補(bǔ)一個(gè)中間式）：

1．計(jì)算函數(shù)值：cos(2i)=_______________________________________________________________；

3i=_______________________________________________________________________________．

2．函數(shù)f(t)1在z01處的Taylor級(jí)數(shù)為___________________________________________；2z其收斂半徑為________________________________________________________________________．3．若C是圓周z10的正向，則二．（10分）試問函數(shù)f(z)e三．（12分）計(jì)算積分I=C1sindz的值為_________________________________．z1C4yix4(其中zxiy)在何處連續(xù)？何處可導(dǎo)？何處解析？為什么？

zdz，其中曲線C為：2(z3i)(z1)(a)圓周z0.5的正向；(b)圓周z11的正向．四．（8分）試將函數(shù)f(z)5在區(qū)域1z1內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)．

(z1)(z2)五．（10分）試指出f(z)sinz在有限復(fù)平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)及其類型，并求各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．

z(z5i)六．（16分）(1)試求f(t)2u(t3)cos(4t)的Fourier變換；(2)試求f(t)e3jt(t2)t的Fourier變換．

七．（16分）(1)設(shè)函數(shù)f(t)以2為周期，且f(t)kt,t[0,2]．試求f(t)的Laplace變換(k為常數(shù))；

(2)試求

f(t)t(t)sinktdt

0t的Laplace變換(k為常數(shù))．

八．（13分）試用積分變換法求解初值問題：

xx2x2,（其中xx(t)為未知函數(shù)）．

x(0)0,x(0)2,

201*/201*學(xué)年第一學(xué)期《復(fù)變函數(shù)與積分變換A》課程考核試卷A√、B□

課程代碼：2201*141學(xué)分/學(xué)時(shí)數(shù)3/48任課教師________

課程性質(zhì)：必修□、限選□、任選□考試形式：開卷□、閉卷√

適用年級(jí)/專業(yè)_全校工科類各專業(yè)_考試時(shí)間_100分鐘…………………………………………………………………………………………………………………

學(xué)號(hào)姓名__________得分_______________

注意：務(wù)請(qǐng)考生保持卷面整潔、少涂改，否則適當(dāng)扣分．

一．填空題(每小題6分，共18分．可以增補(bǔ)一個(gè)中間式）：

1．復(fù)數(shù)Ln(2i)=_______________________________，其主值為______________________________．2．f(z)cos(z2)在z0＝0處的Taylor級(jí)數(shù)為_____________________________________________；收斂半徑為___________________________________________________________________________．3．計(jì)算積分

2i0zezdz的值_____________________________________________________________．

二．（10分）試求解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)，其中zxiy，v(x,y)2(x1)y，f(0)1．

ez三．（13分）計(jì)算積分I=dz，其中曲線C為：2Cz(zi)(a)圓周z10.5的正向；(b)圓周z5的正向．四．（9分）試將函數(shù)f(z)10在區(qū)域1z2內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)．

(z1)(z2)x2dx五．（5分）計(jì)算廣義積分I＝．

16x

六．（16分）(1)求f(t)t(t2)1的Fourier變換；(2)求f(t)e2tjtcos(2t)的Fourier變換．七．（16分）(1)試求f(t)e2tu(t3)sin4t的Laplace變換；

(2)按照積分變換第二章，計(jì)算卷積u(t)t2．

x2xxe2t1八．（13分）試用積分變換法求解初值問題：

x(0)0,x(0)2,（其中xx(t)為未知函數(shù)）．

寄語當(dāng)代大學(xué)生“刻苦學(xué)習(xí)，勇于實(shí)踐，立志創(chuàng)業(yè)”。

擴(kuò)展閱讀：復(fù)變函數(shù)與積分變換重要知識(shí)點(diǎn)歸納

復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

(一)復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的概念：zxiy，x,y是實(shí)數(shù),

xRez,yImz.i21.

注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1）模：zx2y2；

2）幅角：在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz與arctany之間的關(guān)系如下：

xy；xyxyx當(dāng)x0,

argzarctany0,argzarctan當(dāng)x0,y0,argzarctan；

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中間一定是“+”號(hào)。

5）指數(shù)表示：z(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.加減法：若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y22.乘除法：

1）若z1x1iy1,z2x2iy2，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

zei，其中argz。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,

。

2）若z1則

z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2

3.乘冪與方根1）若z2）若zn1nz(cosisin)zei，則znz(cosnisinn)zeinnn。

z(cosisin)zei，則

2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個(gè)相異的值）

（三）復(fù)變函數(shù)

1．復(fù)變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G的映射.2．復(fù)初等函數(shù)

1）指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny，在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3）對(duì)數(shù)函數(shù)：

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）

Lnz的每一個(gè)主值分支lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處

解析，且lnz1；

z注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）

3）乘冪與冪函數(shù)：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb1。

eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函數(shù)：sinz2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）

4）雙曲函數(shù)

shzezezezezshz,chz22；

平面內(nèi)解析，且

奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。在sh,zchzzshzc,hzchz。shz

（四）解析函數(shù)的概念1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：

fz0=limfz0zfz0zz0；

2）區(qū)域可導(dǎo)：fz在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2．解析函數(shù)的概念

1）點(diǎn)解析：fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱fz在z0點(diǎn)解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱fz在區(qū)域內(nèi)解析；3）若f(z)在z0點(diǎn)不解析，稱z0為fz的奇點(diǎn)；

3．解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件

1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

uvyxuv,xy此時(shí)，有fzuiv。

xx2．函數(shù)解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,y和vx,y在x,y在

uv；yxD內(nèi)可微，且滿足

CD條件：

uv,xy此時(shí)fzuiv。

xx注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足CR條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv一定是可導(dǎo)或解析的。

3．函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題1）2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習(xí)題2）

3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習(xí)題3）

（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1．復(fù)變函數(shù)積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。nk1注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。2．復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1）2）

nfzdzccc1fzdz（c1與c的方向相反）；

cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；

123）若曲線c由c1與c2連接而成，則cfzdzcfzdzcfzdz。

3．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法

1）化為線積分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：

zzt(t)，其中對(duì)應(yīng)曲線c的起

點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則cfzdz[f)。tdtz]t(z（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論

1．柯西古薩基本定理：設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則

fzdz0

c2．復(fù)合閉路定理：設(shè)fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi)，則

fzdz,其中c與ck均取正向；①fzdzk1cckn1②fzdz0，其中由c及c(k1,2,n)所組成的復(fù)合閉路。

3．閉路變形原理：一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點(diǎn)。

4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，Gz為fz在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則zz21fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。

5�？挛鞣e分公式：設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于

4

D，z0為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則

zzdz2ifz

c00fz6．高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為

fz2idzc(zz)n1n!0fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于D。7．重要結(jié)論：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡(jiǎn)單閉曲

線）

8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法

1）若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法

fzdzcf[zt]ztdt

2）設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，

c是D內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由柯西古薩定理，cfzdz0c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：（f(z)在c內(nèi)解析）fzdz2ifnz0c(zz)n1n!0n曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：fzdz（ci內(nèi)只有一個(gè)奇fzdzck1ck

點(diǎn)zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數(shù)基本定理）

ck1n若被積函數(shù)不能表示成算。

fz(zzo)n1，則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)

（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

1．調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

22且滿足220，

xy(x,y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

解析函數(shù)fzuiv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實(shí)部u的共軛調(diào)和函數(shù)。

兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西

黎曼方程，則uiv一定是解析函數(shù)。

3．已知解析函數(shù)fz的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件，得v,v；

xy對(duì)vu兩邊積分，得vudygx（*）

yxx再對(duì)（*）式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得vxudygxxx（**）

gx；

由CR條件，uv，得uyxyudygx，可求出xx

代入（*）式，可求得虛部vudygx。

x2）線積分法：若已知實(shí)部

dvvvuudxdydxdy，xyyxx,y00uu,xy，利用

CR條件可得

故虛部為vx,yudxudyc；

yx由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡(jiǎn)單路徑（如折線）計(jì)算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。

3）不定積分法：若已知實(shí)部uux,y，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條件得知，

fzuvuuiixyxy將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，由于fz仍為解析函數(shù)，故

fzUzdzc（c為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部v也可用類似方法求出實(shí)部u.（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限

1）復(fù)數(shù)列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復(fù)數(shù)abi的充要條件為

limana,nlimbnb

n（同時(shí)成立）

2）復(fù)數(shù)列{n}收斂實(shí)數(shù)列{an},{bn}同時(shí)收斂。2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)an與bn同

n0n0n0時(shí)收斂；

n0。2）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是limn

注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。

（十）冪級(jí)數(shù)的斂散性

1．冪級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式cn(zz0)或cnzn為冪級(jí)數(shù)。

nn0n02．冪級(jí)數(shù)的斂散性

1）冪級(jí)數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級(jí)數(shù)cnzn在z00n0處收斂，那么對(duì)滿足zz0的一切z，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果在的一切z，級(jí)數(shù)必發(fā)散。

z0處發(fā)散，那么對(duì)滿足zz02）冪級(jí)數(shù)的收斂域圓域

冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。

3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。

cn1比值法如果limncn0，則收斂半徑R1；

根值法

limcn0，則收斂半徑Rn1；

如果0，則R；說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；

如果，則R0；說明僅在zz0或z0點(diǎn)收斂；

注：若冪級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記

nn0n0RminR1,R2，

則當(dāng)zR時(shí)，有

nn(an0nbn)zanzbnzn

n0n0（線性運(yùn)算）

（乘積運(yùn)算）

(anz)(bnz)(anb0an1b1a0bn)znnnn0n0n02）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)且gzr，

則當(dāng)zr時(shí)，fannn0，當(dāng)zR時(shí)，gz解析

R時(shí)，f[gz]an[gz]n。

n03）分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數(shù)fzanzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；

n0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且

zR

fznanzn1

n0

在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；0fzdzzR

zann1zn0n1

（十一）冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設(shè)函數(shù)fz在圓域zz0可以展開成冪級(jí)數(shù)fzn0R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)fzfnz0n!n并且此展開式是唯一的。zz0；

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑Rz0a；

其中R為從z0到fz的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。

2．常用函數(shù)在z00的泰勒展開式

1nz2z3zn1）ez1z

2!3!n!n0n!z12）zn1zz2zn

1zn0z

z1

(1)n2n1z3z5(1)n2n13）sinzzzz

3!5!(2n1)!n0(2n1)!z

(1)n2nz2z4(1)n2n4）coszz1z

(2n)!2!4!(2n)!n0z

3．解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1）直接法：直接求出cn1fnz0n!，于是fzcnzz0n。

n02）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開

1.洛朗級(jí)數(shù)的概念：cnzz0n，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。

n2．洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)處處解析，

c為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則在此在圓

環(huán)域內(nèi)，有fzcnzz0n，且展開式唯一。

n3．解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開。*4．利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)fz在rrzz0R內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則c1為f(z)在rzz0R內(nèi)洛朗展開式中

zz0R內(nèi)解析，c為

fzdz2ic。其中

c11zz0的系數(shù)。

說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中(zz0)1的系

數(shù)。

（十三）孤立奇點(diǎn)的概念與分類

1。孤立奇點(diǎn)的定義：fz在z0點(diǎn)不解析,但在z0的0析。

2。孤立奇點(diǎn)的類型：

1）可去奇點(diǎn)：展開式中不含

fzc0c1zz0c2zz0

2zz0內(nèi)解

zz0的負(fù)冪項(xiàng)；

2）極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng)zz0的負(fù)冪項(xiàng)；

c(m1)gzcmc12fzcc(zz)c(zz),01020(zz0)m(zz0)m1(zz0)(zz0)m其中g(shù)zcmc(m1)(zz0)c1(zz0)m1c0(zz0)m在z0解析，且gz00,m1,cm0；

3）本性奇點(diǎn)：展開式中含無窮多項(xiàng)zz0的負(fù)冪項(xiàng)；

fzcmc1mcc(zz)c(zz)010m0m(zz0)(zz0)

（十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法

fzc0常數(shù)；1．可去奇點(diǎn)：zlimz0fz2．極點(diǎn)：zlimz0fz不存在且不為。3．本性奇點(diǎn)：zlimz04．零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

1）零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)fz，如果能表示成

fz(zz0)mz，

其中z在z0解析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級(jí)零點(diǎn)；2）零點(diǎn)級(jí)數(shù)判別的充要條件

z0是

nfz00,fz的m級(jí)零點(diǎn)mfz00(n1,2,m1)

1的m級(jí)極點(diǎn)；fz3）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：z0是fz的m級(jí)零點(diǎn)z0是4）重要結(jié)論

若za分別是z與z的m級(jí)與n級(jí)零點(diǎn)，則

za是zz的mn級(jí)零點(diǎn)；

z當(dāng)mn時(shí)，za是的mn級(jí)零點(diǎn)；

zz當(dāng)mn時(shí)，za是的nm級(jí)極點(diǎn)；

zz當(dāng)mn時(shí)，za是的可去奇點(diǎn)；

z當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，lmin(m,n)

當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，其中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的概念

1．留數(shù)的定義：設(shè)z0為fz的孤立奇點(diǎn)，fz在z0的去心鄰域

0zz0內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，則稱

c積分

fz2i1d為zfzfzdz

在

z0的留數(shù)（或殘留），記作

Res[fz,z0]c2i12．留數(shù)的計(jì)算方法

若z0是fz的孤立奇點(diǎn)，則Res[fz,z0]c1，其中c1為fz在

z0的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(zz0)1的系數(shù)。

1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若z0是fz的可去奇點(diǎn)，則Res[fz,z

12

0]

2）m級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)

法則I若z0是fz的m級(jí)極點(diǎn)，則

1dm1Res[fz,z0]limm1[(zz0)mfz]

(m1)!zz0dz特別地，若z0是fz的一級(jí)極點(diǎn)，則Res[fz,z0]lim(zz0)fz

zz0注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比m低，上述規(guī)則仍然有效。

Pz法則II設(shè)fz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,

QzQz00,Qz00，則Res[PzQz,z0]Pz0Qz0（十六）留數(shù)基本定理

設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,zn外處處解析，c為

cD內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則

nn1fzdz2iRes[fz,z]

說明：留數(shù)定理把求沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。

積分變換復(fù)習(xí)提綱

一、傅里葉變換的概念

F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)

F1[F()]12F()ejtdf(t)

二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換

F[e(t)]1j1()jF[u(t)]F[(t)]1F[1]2()

三、傅里葉變換的性質(zhì)

位移性（時(shí)域）：F[f(tt0)]ejwt00F[f(t)]

0位移性（頻域）：F[ejwtf(t)]F(w)www位移性推論：F[sinw0tf(t)]F(ww0)

1[F(ww0)F(ww0)]2j位移性推論：F[cosw0tf(t)]1[F(ww0)F(ww0)]

2微分性（時(shí)域）：F[f(t)](jw)F(w)（tF[f(n)(t)](jw)nF(w)，t,f(n1)(t)0

,f(t)0），

微分性（頻域）：F[(jt)ft]Fw,F[(jt)nf(t)]F(n)(w)相似性：F[f(at)]1wF()aa(a0)

四、拉普拉斯變換的概念

L[f(t)]0f(t)estdtF(s)

五、幾個(gè)常用函數(shù)的拉普拉斯變換

L[ekt]1；sk(m1)m!1是自然數(shù)；（)L[tm](m(1)1,(),(m1)m(m)）

sm1sm12

L[u(t)]L[1]L[(t)]1

1；sL[sinkt]k,s2k2kL[shkt]2,sk2設(shè)

ss2k2sL[chkt]2sk2T1則L[f()（f(t)是以T為周期的周期f(tT)f(t)，]t()ftdt。Ts01eL[coskt]函數(shù)）

六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

微分性（時(shí)域）：L[ft]sFsf0,L[f(t)]s2F(s)sf(0)f(0)

([)tft]F微分性（頻域）：Ls，L[(t)nft]F(n)s

tFs積分性（時(shí)域）：L[0ftdt]

s積分性（頻域）：L[ftt]Fsds（收斂）

s位移性（時(shí)域）：L[eatft]Fsa相似性：L[f(at)]1F(s)

aa

位移性（頻域）：L[ft]esFs（0,t0,f(t)0）

(a0)

七、卷積及卷積定理

f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d

F[f1(t)f2(t)]F1(w)F2(w)

F[f1(t)f2(t)]1F1(w)F2(w)2L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)

八、幾個(gè)積分公式f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)

15

0f(t)dtL[f(t)]dsF(s)ds1600t

0f(t)ektdtL[f(t)]sk

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