二次函數(shù)平移旋轉(zhuǎn)總歸納及二次函數(shù)典型習(xí)題

二次函數(shù)圖像平移、旋轉(zhuǎn)總歸納

一、二次函數(shù)的圖象的平移，先作出二次函數(shù)y=2x2+1的圖象①向上平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=2x2+4；②向下平移4個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=2x2-3；③向左平移5個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=2（x-6）2+1．由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+c

向上平移m個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=ax2+c+m；向下平移m個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=ax+c-m；向左平移n個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函數(shù)的圖象的翻折

在一張紙上作出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，

⑤沿x軸把這張紙對(duì)折，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=x2+2x-3．⑥沿y軸把這張紙對(duì)折，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=x2+2x-3由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c

若沿x軸翻折，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是:y=-ax2-bx-c，若沿y軸翻折，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=ax2-bx+c三、二次函數(shù)的圖象的旋轉(zhuǎn)，

將二次函數(shù)y=-2x+x-1的圖象，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y=22

122

1x-x+1；

由此可以歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y=-ax2-bx-c．（備用圖如下）

1、（201*桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+2x+3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2

B．y=-（x－1）2+4

C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+4

2、（201*浙江寧波中考）把二次函數(shù)y＝（x－1）2＋2的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖象的解析式為_(kāi)_______．

3、飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式是s=60t-1.5t2，飛機(jī)著陸后滑行的最遠(yuǎn)距離是（）A．600m

B．300mC．1200m

D．400m

4、（201*襄陽(yáng)）某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x-1.5x2，該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行m才能停下來(lái)．

5、已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象與

x軸交于點(diǎn)（－2，0），(x1，0)且1＜x1

＜2，與y軸正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(0，2）的下方，下列結(jié)論：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）__________．6、已知二次函數(shù)y＝ax2（a≥1）的圖像上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是－1、2，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果△AOB是直角三角形，則△OAB的周長(zhǎng)為。

37、如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐

433)的直線yx3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)C(0，4t一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PHOB于點(diǎn)H．若PB5t，且0t1．（1）確定b，c的值：

（2）寫(xiě)出點(diǎn)B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）：

（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

CyPAOQHBx8、已知P（m，a）是拋物線yax2上的點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限.（1）求m的值

（2）直線ykxb過(guò)點(diǎn)P，交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交拋物線于另一點(diǎn)M.①當(dāng)b2a時(shí)，∠OPA=90°是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，舉出一個(gè)反例說(shuō)明；

1②當(dāng)b4時(shí)，記△MOA的面積為S，求的最大值

sMyPOAx

9、已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為yx2b10xc.

（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線y2xb的解析式.

擴(kuò)展閱讀：二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

二次函數(shù)

考點(diǎn)1、二次函數(shù)的概念

定義：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).注意：（1）二次函數(shù)是關(guān)于自變量x的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)a必須為非零實(shí)數(shù)，即a≠0，而b、c為任意實(shí)數(shù)。

2（2）當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)yax是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)。

（3）二次函數(shù)yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)自變量的取值為全體實(shí)數(shù)（axbxc為整式）

例1：函數(shù)y=（m＋2）x＋2x－1是二次函數(shù)，則m=_______．

2

例2：已知函數(shù)y=ax＋bx＋c（其中a，b，c是常數(shù)），當(dāng)a____時(shí)，是二次函數(shù)；當(dāng)a______，b_____時(shí)，是一次函數(shù)；當(dāng)a_______，b_______，c_________時(shí)，是正比例函數(shù)．

2

例3：函數(shù)y=（m－n）x＋mx＋n是二次函數(shù)的條件是（）

A．m、n為常數(shù)，且m≠0B．m、n為常數(shù)，且m≠nC．m、n為常數(shù)，且n≠0D．m、n可以為任何常數(shù)例4：下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）

①y=x＋

m2222211222

；②y=3（x－1）＋2；③y=（x＋3）－2x；④y=2＋x．xxA．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

考點(diǎn)2、三種函數(shù)解析式：

2

（1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0），

b4acb2b對(duì)稱軸：直線x=頂點(diǎn)坐標(biāo)：()，2a4a2a2（2）頂點(diǎn)式：yaxhk（a≠0），對(duì)稱軸：直線x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

對(duì)稱軸:直線x=

x1x222(其中x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

例1：拋物線yx2x8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________；對(duì)稱軸是___________。例2：二次函數(shù)y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是_______例3：已知函數(shù)ymx(mm)x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m＝________；

2

例4：拋物線y=x-4x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______.例5：把方程x(x+2)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____.考點(diǎn)3、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最值，通常選擇頂點(diǎn)式.

2222yaxx1xx2.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：

2

例1：一個(gè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，1），形狀與拋物線y=2x相同，這個(gè)函數(shù)解析式為_(kāi)_____________．

例2：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－2，1），且過(guò)點(diǎn)（1，－2），求拋物線的解析式。

例3：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)（0，1），（2，1）和（3，4），求該二次函數(shù)的解析式。

例4：已知二次函數(shù)的圖像與x軸的2個(gè)交點(diǎn)為（1，0），（2，0），并且過(guò)（3，4），求該二次函數(shù)的解析式。

考點(diǎn)4.二次函數(shù)的圖象

1、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.2、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax；②yaxk；③

222yaxh；④yaxh2k；⑤yax2bxc.

2注：二次函數(shù)的圖象可以通過(guò)拋物線的平移得到

3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像的畫(huà)法

因?yàn)槎�次函�?shù)的圖像是拋物線，是軸對(duì)稱圖形，所以作圖時(shí)步驟是：(1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫(huà)出對(duì)稱軸；

(2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；(3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).

典型例題：

2

例1：函數(shù)y=x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______．若點(diǎn)（a，4）在其圖象上，則a的值是________．

2

例2：若點(diǎn)A（3，m）是拋物線y=－x上一點(diǎn)，則m=________．

2222

例3：函數(shù)y=x與y=－x的圖象關(guān)于________對(duì)稱，也可以認(rèn)為y=－x，是函數(shù)y=x的圖象繞___________旋轉(zhuǎn)得到．

2

例4：若二次函數(shù)y=ax（a≠0），圖象過(guò)點(diǎn)P（2，－8），則函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)________．

2

例5：．函數(shù)y=x的圖象的對(duì)稱軸為_(kāi)_____，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為_(kāi)______，是函數(shù)的頂點(diǎn)．

2

例7：若a＞1，點(diǎn)（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函數(shù)y=x的圖象上，判斷y1、y2、y3的大小關(guān)系？

考點(diǎn)5.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2yax2yax2k2yaxh當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下x0（y軸）x0（y軸）xh（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)(yaxhk2xhxb2ayaxbxc2b4acb2，2a4a)注：常用性質(zhì)：1、開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口方向向上；當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x=，y最�。�

4a2a4acb2b當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0；當(dāng)x為何值時(shí)，y考點(diǎn)7.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)。①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向

②對(duì)稱軸平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.③頂點(diǎn)決定拋物線的位置.

幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.例1：函數(shù)

在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是圖中的（）

2

例2：拋物線y(x2)3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）例3：二次函數(shù)y(x1)2的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．

22，n是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）例4：拋物線y2(xm)n（mn)D．(m，n)A．(m，n)B．(m，n)C．(m，2

例5：函數(shù)y=ax＋1與y=ax＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（）

23y1y1y1y1oxo2xoxox

A．B．C．D．

考點(diǎn)8.拋物線yaxbxc中a、b、c的作用1、a決定拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小

a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口方向向上；當(dāng)a3、c的大小決定拋物線于y軸的交點(diǎn)位置。（于y=kx+b中的b作用相同）

2yaxbxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）ycx0當(dāng)時(shí)，，∴拋物線：

注意：

①c0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則

2b0.a例1：已知拋物線yaxbxc經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、二、三象限，則（）A.a>0，b考點(diǎn)9、拋物線的平移

方法：左加右減，上加下減

拋物線的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)的平移，因?yàn)轫旤c(diǎn)決定拋物線的位置，所以，拋物線平移時(shí)首先化為頂點(diǎn)式

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng)x=，y最小＝

4a2ab4acb2當(dāng)a例4：二次函數(shù)y(x1)2的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-2

例2：拋物線y=-x+x+7與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

2

例3：拋物線y=-3x+2x-1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．沒(méi)有交點(diǎn)B．只有一個(gè)交點(diǎn)C．有且只有兩個(gè)交點(diǎn)D．有且只有三個(gè)交點(diǎn)

考點(diǎn)12、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題

（1）y軸與拋物線yaxbxc得交點(diǎn)為(0,c).

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yaxbxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2222

2bhc).

（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yaxbxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是axbxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yaxbxca0的圖像G的交

2222點(diǎn)，由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

例1：已知a0，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yax與yax2的圖象有可能是（）

1yy1yO1yx1O1xO1x1O1xA．B．C．D．

例3：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)ymxm和函數(shù)ymx2x2（m是常數(shù)，且m0）的圖象可能是．．

例4：已知直線y=－2x＋3與拋物線y=ax相交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，m）．（1）求a、m的值；

（2）求拋物線的表達(dá)式及其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax中的y隨x的增大而減��；

22

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