歸納思想

淺談化歸思想方法在數學中的應用

黃發(fā)富摘要：化規(guī)思想是數學解題的一種方法，所謂的化規(guī)指的是轉化與歸結，

把數學中未解決或者待解決的問題通過恰當的方法進行變換，轉化，歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題，從而最終解決原問題的的一種思想。在數學領域有著廣泛應用。在教學中經常進行化歸思想教學，學生的解題能力和思維的靈活性就會逐步提高。重視化歸思想在高中數學教學中的應用顯得尤其重要。

關鍵詞：化歸數學思想解題方法化歸思想解題能力

總結下我們處理數學問題的過程和經驗會發(fā)現，我們常常是將待解決的

陌生問題通過轉化、歸結為一個比較熟悉的問題來解決。因為這樣就可以充分調動和運用我們已有的知識、經驗和方法于問題的解決，也常將一個復雜的問題轉化歸結為一個或幾個簡單的問題來解決，等等。它們的科學概括就是數學上解決問題的一般思想方法——化歸。近幾年高考試題十分重視數學思想方法的考查，特別是考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法�！爸�識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”

在中學數學中，化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的

思維策略。所謂的化歸，指的是轉化與歸結。即把數學中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換、轉化，歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題，從而最終解決原問題的一種思想。

化歸應遵循一定的原則：（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利運用熟知的知識、經驗和問題來解決。（2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過以簡單問題的解決，達到復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解

下面就化歸思想在中學數學解題中的應用談幾點自己的體會：一、將未知的問題轉化歸結為已知的知識

將未知的問題向已知的知識轉化，并使未知和已知的知識發(fā)生聯系，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉化經�？蛇_到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數的最值問題有時也可以通過換元轉化為熟悉的二次函數最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等。

例1、求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最值

12(t1)2（分析）引入代換t=sinx+cosx，則sinxcosx=

將問題轉化為熟悉的二次函數最值問題，極易求解。

t21解：設sinx+cosx=t,則sinxcosx=2t2112(t1)1∴y=2+t=2

∵t∈[2，2]

1∴1≤y≤2＋2

1且當t=2即x=2kπ+4時，ymax=2+2(k為整數)當t=1即x=

k2或kπ時，ymin=1(k為奇數)

二、正與反的相互轉化

對有些從“正面進攻”很難奏效或運算較繁的問題，可以用迂回戰(zhàn)術攻其反面，再利用“對立互補”的思想使正面得以解決。

例2.某射手射擊1次擊中目標的概率是0.9他連續(xù)射擊4次且他各次射擊是否

擊中目標是相互獨立的，則他至少擊中目標1次的概率為。

[分析]至少擊中目標一次的情況包括1次、2次、3次、4次擊中目標共四種情

況，可轉化為其對立事件：一次都未中，來求解[略解]他四次射擊未中1次的概率P1=C40.14=0.14∴他至少射擊擊中目標1次的概率為1－P1=1－0.14=0.9999三、數形之間的轉化

注意數形的相互轉化，使數形達到和諧的統(tǒng)一，以增強直觀性和形象性及深刻了解數學的內涵，便于發(fā)現和解決實質問題。某些代數問題、三角問題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質，可使那些抽象的概念，復雜的數量關系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結論。

4242x3x6x13xx1的最大值。例3：求函數f(x)=

4分析：將函數式變形，得：

f(x)(x22)2(x3)2(x21)2(x0)2

上式可看作“在拋物線y=x2上的點P(x,x2)到點A(3,2)，B(0,1)的距離之差”如圖：由

|PA||PB||AB|知，當P在AB的延長線上的P0處時，f(x)取到最

yP大值|AB|所以fmax(x)=

(30)2(21)210

AP00Bx四、高維轉化為低維

例4.如圖，正三棱錐P-ABC中，各條棱的長都是2，E是側棱PC的中點，D是

側棱PB上任一點，求△ADE的最小周長。

[分析]：把空間問題化歸成平面問題，是立體幾何中化歸思想最重要的內容，有這種思想作指導，結合圖形如圖1，由于AE是定長：

2332，故只要

把側面PAB、PBC展開，那么當A、D、E三點共線時的AE長，即AD+DE的最小值。在圖2的AED中，PA=2，PE=1，APE=1200，故依余弦定理有AE2=22+12-221COS1200=7。所以AE=7，于是得AED的最小周長為37

五、實際問題向數學問題的轉化歸結

將實際問題轉化為數學問題，使之能用數學理論解決具體的實際問題。解答數學應用問題。要善于調整應用題中的條件關系和題型結構，使問題化難為易，化繁為簡。若有些較復雜的應用題采用直接設元列方程轉化較困難，則可合理地設置間接未知數來設法進行轉化，以尋求解決問題的新途徑。

例5：某織布工廠有工人200名，為改善經營，增設制衣項目，已知每人每天能

織布30米，或利用所織布制衣4件，制衣一件需布1.5米，將布直接出售每米可獲利2元，將布制成衣出售，每件可獲利25元，若每名工人只能做一項工作，且不計其他因素，設安排x名工人制衣，問該廠一天所獲總利潤S（元）最多為多少？

分析：該廠一天所獲總利潤包括兩部分，分別是一天制衣所獲利潤和剩余布所獲

利潤。由此可得S＝25×4x+2[30(200x)1.5×4x]=28x+1201*這樣就將獲利問題轉化為x和S的一次函數關系。但要注意其中的x受到x中，經常地進行化歸思想教學，針對不同的問題，縝密思考，及時總結各種“轉化歸結”方法，學生解題能力及靈活性就會逐步地得到提高參考文獻

1、普通高中數學課程標準（實驗）解讀，江蘇教育出版社，201*.42、數學思想方法與中學數學教學，錢佩玲邵光華編，北京師范大學出版社201*年5月

3、高考數學解題技法大全，袁亞良編，中國少年兒童出版社，201*.94、學海導航-高考二輪復習-數學，李瑞坤編，海南出版社，201*.125、狀元之路-高考總復習-數學，北京教育出版社，201*.

擴展閱讀：歸納思想1

歸納思想

在研究一般性問題之前，先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況，從而歸納出一般的規(guī)律和性質，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。歸納思想是一種重要的數學思想，不少學、數學方面的新發(fā)現就是通過歸納猜想面獲得的。因此，歸納的過程就是創(chuàng)新的過程，這對解決復雜問題能起到事半功倍的效果。

歸納思想方法常用于探索規(guī)律問題，因為有些規(guī)律探究型問題，若直接從所要求解的問題出發(fā)，往往無從下手，這時可從較為簡單的情形開始探究，采用“由少及多”即由特殊到一般的解題方法，逐步過渡到復雜的情形，并從中總結出規(guī)律，這樣的解題策略既可以使問題得到解決，同進又考查了學生的探究能力、歸納概括能力和類比推理能力。

歸納思想的最大優(yōu)點是易理解、易掌握、易操作，從感性到理性，清晰地展現思維的過程，容易從中發(fā)現學習的樂趣，從中提煉出有血有肉的規(guī)律，促進學生的創(chuàng)造精神和自我發(fā)現能力的生成。自學運用歸納思想，能幫助學生由淺入深地體驗、感悟數學思想的真諦。

友情提示：本文中關于《歸納思想》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，歸納思想：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網絡整理 免責聲明：本文僅限學習分享，如產生版權問題，請聯系我們及時刪除。

《歸納思想》由互聯網用戶整理提供,轉載分享請保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://m.seogis.com/gongwen/666948.html

• 上一篇：初中數學思想方法主要有哪些
• 下一篇：轉化思想在數學學習中的應用