赤峰十中數(shù)學(xué)校本課程總結(jié)

《生活中的數(shù)學(xué)》課程總結(jié)

-----八年級(jí)數(shù)學(xué)組校本課程

自201*年9月份以來(lái),我校師生在校領(lǐng)導(dǎo)的帶領(lǐng)下對(duì)我校校本課程的研發(fā)與實(shí)施作了大量細(xì)致認(rèn)真的工作。首先在課程的研發(fā)上針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)科特點(diǎn)以及學(xué)生的年齡特點(diǎn)，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)有用的數(shù)學(xué)。為了培養(yǎng)學(xué)生的口語(yǔ)表達(dá)能力、口語(yǔ)交際能力、觀察分析的能力、增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的美好情感，提高學(xué)生的綜合能力。進(jìn)而學(xué)會(huì)交際，學(xué)會(huì)展示，學(xué)會(huì)溝通，學(xué)會(huì)合作。我們特別制定了《生活中的數(shù)學(xué)這一課題》，這一課題在具體實(shí)施過(guò)程中充分發(fā)揮每個(gè)師生的個(gè)性特長(zhǎng)，尊重生命個(gè)體獨(dú)特性和差異性，使孩子們健康快樂(lè)地成長(zhǎng)，老師們享有職業(yè)的尊嚴(yán)和快樂(lè)。

我們的校本課程與學(xué)校整體計(jì)劃一致，有方案，有落實(shí)。我們通過(guò)常規(guī)的課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課外閱讀等活動(dòng)使學(xué)生在具體的情境中學(xué)習(xí)社會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，自然中的數(shù)學(xué)，學(xué)校生活中的數(shù)學(xué)，科學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)，家庭生活中的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)互動(dòng)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)，傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)，訓(xùn)練思維。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式中有條理地、清晰地、多角度的闡述自己的觀點(diǎn)。打破時(shí)空范本的限制，以學(xué)生的參與與體驗(yàn)為主，實(shí)現(xiàn)學(xué)科科學(xué)融合。

我校的數(shù)學(xué)校本課程充分挖掘每個(gè)學(xué)生的心智潛能，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性全面發(fā)展。集中體現(xiàn)學(xué)校的精神文化，彰顯學(xué)校文化的精髓與功力，有助于教師良好個(gè)性品質(zhì)的形成，實(shí)現(xiàn)新課程下的師生共同發(fā)展。并使學(xué)生在以下幾個(gè)方面獲益匪淺：

一、知識(shí)與技能方面：獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能。

二、數(shù)學(xué)思考方面：通過(guò)具體活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的形象思維與具體思維，

使學(xué)生能有條理地、清晰地表達(dá)自己的思考過(guò)程，發(fā)展其推理能力。

三、解決問(wèn)題方面：學(xué)生初步從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題，理解問(wèn)題，解

決問(wèn)題，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣化，發(fā)展其創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力；提高人際交流，溝通與合作能力；初步形成了評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。

四、情感與態(tài)度方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得了成功的體驗(yàn)，建立了

自信心；培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成了質(zhì)疑和獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教師對(duì)學(xué)生采用發(fā)展性的評(píng)價(jià)方式，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)，如情感態(tài)度價(jià)值觀，積極性，參與狀況等。達(dá)到發(fā)現(xiàn)、發(fā)展學(xué)生潛能的目的，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)的自我，規(guī)劃未來(lái)的自我，建立自信。關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，通過(guò)實(shí)踐操作、競(jìng)賽、匯報(bào)表演、思維表現(xiàn)等形式獲得展示。我們把評(píng)價(jià)的重點(diǎn)放在學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的學(xué)習(xí)愿望，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力等方面的水平。

通過(guò)數(shù)學(xué)校本課程的實(shí)施，使學(xué)生享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、去分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，解決日常生活中和其它學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，在體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的美好情感，提高學(xué)生的綜合能力。進(jìn)而學(xué)會(huì)交際，學(xué)會(huì)展示，學(xué)會(huì)溝通，學(xué)會(huì)合作。

擴(kuò)展閱讀：八年級(jí)校本課程目錄的解釋

掌握NE5000E/80E/40E產(chǎn)品的體系結(jié)構(gòu)掌握NE5000E/80E/40E的單板構(gòu)成掌握NE5000E/80E/40E換板操作了解NE5000E/80E/40E升級(jí)操作

校本課程目錄

數(shù)學(xué)與美----------------------------------------第2頁(yè)中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)美--------------------------------第6頁(yè)數(shù)學(xué)與文化--------------------------------------第8頁(yè)數(shù)學(xué)文化欣賞-----------------------------------第14頁(yè)從《數(shù)學(xué)與文化》中感受數(shù)學(xué)之美-----------------第17頁(yè)三角函數(shù)歷史-----------------------------------第19頁(yè)解析幾何建立的故事-----------------------------第28頁(yè)數(shù)學(xué)生活---------------------------------------第32頁(yè)半生癡迷數(shù)學(xué)著書(shū)立說(shuō)---------------------------第36頁(yè)山溝里的數(shù)學(xué)家---------------------------------第38頁(yè)數(shù)學(xué)家們的生活趣事-----------------------------第40頁(yè)牛頓與萊布尼茨的數(shù)學(xué)微積分之爭(zhēng)-----------------第43頁(yè)怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢-----------------------------第46頁(yè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法-------------------------------第50頁(yè)華羅庚談學(xué)數(shù)學(xué)方法-----------------------------第54頁(yè)怎樣才可以學(xué)好數(shù)學(xué)呢---------------------------第55頁(yè)

數(shù)學(xué)與美

數(shù)字，在人們生活中廣泛應(yīng)用；數(shù)字，創(chuàng)造了許多如詩(shī)如畫(huà)的篇章。值此第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)之際，南京大學(xué)教授方延明寫(xiě)一篇妙趣橫生的關(guān)于數(shù)字的文章，今轉(zhuǎn)載于此，以饗讀者。

我們國(guó)家是一個(gè)數(shù)學(xué)大國(guó)，也是一個(gè)數(shù)學(xué)古國(guó)，早在201*多年前，我們的祖先就有“周三經(jīng)一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國(guó)家到了17世紀(jì)才有這樣的概念，陳景潤(rùn)關(guān)于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。

實(shí)際上，我們每一個(gè)人，天天都在跟數(shù)字打交道。一個(gè)人不識(shí)字完全可以生活，但是若不識(shí)數(shù)，就很難生活了，現(xiàn)代科技進(jìn)步，對(duì)數(shù)學(xué)的要求越來(lái)越高，有一個(gè)著名科學(xué)家叫A．N．Rao，他前些年講過(guò)一句話：“一個(gè)國(guó)家的科學(xué)的進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量。”近30年來(lái)獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的專家的工作，絕大部分是因?yàn)樗麄冊(cè)跀?shù)學(xué)方面的重要成就而獲獎(jiǎng)。

人們都知道“黃金分割”的0.618,所謂“黃金分割”，實(shí)際上是一個(gè)比例的問(wèn)題，符合這樣的比例，人們就看著順眼、舒服。當(dāng)然，“情人眼里出西施”那是另外一回事。比如，人的肚臍，是人的身長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，你如果用從頭到肚臍的長(zhǎng)度去除以人的身高，接近0.618,一般講是比較好看的黃金身段。而膝蓋又是人體肚臍以下部分的黃金分割點(diǎn)，這方面的例子很多。數(shù)字本身有深刻的美的內(nèi)容。數(shù)字和一些美好事物聯(lián)系在一起，會(huì)給人以美的享受。如十個(gè)數(shù)字：一元復(fù)始，一帆風(fēng)順；雙喜臨門(mén)、二度梅開(kāi)；三陽(yáng)開(kāi)泰、三思而行；四通八通、四海為家；五世其昌、五官端正；六根清凈、六藝、六韜、六合、六極；七情六欲、七曜、七略；八面玲瓏、八面威風(fēng)、八仙、八卦；九霄云外、九轉(zhuǎn)金丹；十全十美。

中國(guó)古代的詩(shī)詞中更不乏數(shù)字美的佳句。如李白的“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。兩岸猿聲啼不住，輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”，是公認(rèn)的長(zhǎng)江漂流的名篇，展示了一幅輕快飄逸的畫(huà)卷�！帮w流直下三千尺，疑是銀河落九天”，“白發(fā)三千丈”，也是借助數(shù)字達(dá)到了高度的藝術(shù)夸張。杜甫的“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門(mén)泊東吳萬(wàn)里船”，同樣膾炙人口，數(shù)字深化了時(shí)空意境。他還有“霜皮溜雨四十圍，黛色參天二千尺”，“青松恨不高千尺，惡竹應(yīng)須斬萬(wàn)竿”等，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的夸張和愛(ài)憎。柳宗元的“千山鳥(niǎo)飛絕，萬(wàn)徑人蹤滅。孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪”，數(shù)字具有尖銳的對(duì)比和襯托作用。他的“一身去國(guó)六千里，萬(wàn)死報(bào)荒十二年”和韓愈的“一封朝奏九

重天，夕貶潮州路八千”一樣，抒發(fā)遷客的失意之情，異曲同工，驚心動(dòng)魄。岳飛的“三十功名塵與土，八千里路云和月”，陸游的“三萬(wàn)里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天”，同樣是壯懷激烈的。

還有一些狀似打油詩(shī)之作，也含有一定的哲理。如唐詩(shī)《題百鳥(niǎo)歸巢圖》：“一只一只復(fù)一只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥(niǎo)何多？食盡人間千萬(wàn)石�！眰髡f(shuō)鄭板橋見(jiàn)人賞雪吟詩(shī)，戲作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，飛入梅花總不見(jiàn)�！弊x來(lái)妙題橫生。

再比如，以數(shù)字入詩(shī)的唐詩(shī)“一片冰心在玉壺”（王昌齡）、“兩朝開(kāi)濟(jì)老臣心”（杜甫）、“三山半落青天外”（李白）、“四邊伐鼓雪海涌”（岑參）、“五湖煙水獨(dú)忘機(jī)”（溫庭筠）、“六年西顧空吟哦”（韓愈）、“七月七日長(zhǎng)生殿”（白居易）、“八駿日行三萬(wàn)里”（李商隱）、“九重誰(shuí)省諫書(shū)函”（李商隱）、“十鼓只戴數(shù)駱駝”（韓愈）、“百年都是幾多時(shí)”（元�。�、“萬(wàn)古云霄一羽毛”（杜甫）等等，數(shù)字和文學(xué)語(yǔ)言的結(jié)合到了出神入化的境界，引人入勝。

廣為傳頌的《秀才進(jìn)京趕考》與《文君復(fù)書(shū)》，把數(shù)字用活，體現(xiàn)了數(shù)字別具一格的神韻美�！缎悴胚M(jìn)京趕考》，是說(shuō)明朝時(shí)有一位窮書(shū)生，歷盡千辛萬(wàn)苦趕往京城應(yīng)試，由于交通不便，趕到京城時(shí)，試期已過(guò)。經(jīng)他苦苦哀求，主考官讓他先從一到十，再?gòu)氖�到一作一�?duì)聯(lián)。窮書(shū)生想起自己的身世，當(dāng)即一氣呵成：

一葉孤舟，坐著二三個(gè)騷客，啟用四槳五帆，經(jīng)過(guò)六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來(lái)遲。十年寒窗，進(jìn)了九八家書(shū)院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書(shū)，考了三番二次，今天一定要中。

幾十載的人生之路，通過(guò)十個(gè)數(shù)字形象深刻地表現(xiàn)出來(lái)了。主考官一看，拍案叫絕，并把他排在榜首。而《文君復(fù)書(shū)》說(shuō)的是司馬相如赴長(zhǎng)安趕考，對(duì)送行的妻子卓文君發(fā)誓：“不高車駟馬，不筆此過(guò)�！倍嗲榈淖课木�聽(tīng)說(shuō)后卻深為憂慮，就叮囑他：“男兒功名固然很重要，但也切勿為功名所纏，作繭自縛�！闭f(shuō)完，司馬相如便上路了。他到了長(zhǎng)安，由于在家勤奮讀書(shū)，終于官拜中郎將。從此，他沉湎于聲色犬馬、紙醉金迷，覺(jué)得卓文君配不上他了，于是就處心積慮想休妻，另娶名門(mén)千金。

一轉(zhuǎn)眼五年時(shí)間過(guò)去了。一天卓文君暗自垂淚，忽然京城來(lái)了一名差官，交給她一封信，說(shuō)司馬相如大人吩咐，立等回書(shū)。卓文君接過(guò)信又驚又喜，拆開(kāi)信一看，寥寥數(shù)語(yǔ)：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)。”卓文君一下子明白了，當(dāng)了新貴的丈夫，已有棄她之意。于是她回信寫(xiě)道：

一別以后，二地相懸，只說(shuō)三四個(gè)月，又誰(shuí)知五年六年。七弦琴無(wú)心彈，八行書(shū)無(wú)可傳，九連環(huán)又從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬(wàn)

般無(wú)奈把郎怨。萬(wàn)語(yǔ)千言說(shuō)不完，百無(wú)聊賴十依欄，重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓，七月半燒香秉燭問(wèn)蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴火紅偏遭陣陣雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對(duì)鏡心意亂。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來(lái)我為男。司馬相如讀后十分羞愧、內(nèi)疚，良心受到了譴責(zé)，他越想越對(duì)不起這位才華出眾、多情多義的妻子。后來(lái)他終于用高車駟馬，親自登門(mén)接走“糟糠”之妻卓文君，過(guò)上了幸福美滿的生活。

還有一些數(shù)字，往往要通過(guò)計(jì)算。通過(guò)不同數(shù)字的組合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫絕，回味無(wú)窮。19＋2＝11129＋3＝1111239＋4＝111112349＋5＝11111123459＋6＝1111111234569＋7＝111111112345679＋8＝11111111123456789＋9＝1111111111234567899＋10＝1111111111

這里的“”，是乘號(hào)的意思，以下都是如此。99＋7＝88989＋6＝8889879＋5＝888898769＋4＝88888987659＋3＝8888889876549＋2＝88888898765439＋1＝8888888987654329＋0＝8888888811＝11111＝121111111＝1232111111111＝1234321

1111111111＝123454321111111111111＝1234565432111111111111111＝12345676543211111111111111111＝123456787654321111111111111111111＝12345678987654321

99＝819999＝9801999999＝99800199999999＝999800019999999999＝9999800001999999999999＝99999800000199999999999999＝9999998000000118＋1＝9128＋2＝981238＋3＝98712348＋4＝9876123458＋5＝987651234568＋6＝98765412345678＋7＝9876543123456788＋8＝987654321234567898＋9＝987654321

數(shù)學(xué)是一門(mén)同人民大眾貼得很近的學(xué)科，它所討論的宇宙，遠(yuǎn)比現(xiàn)實(shí)的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說(shuō)的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至n維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了通常無(wú)窮大的空間，它們都遠(yuǎn)比我們現(xiàn)實(shí)的宇宙更具有莊嚴(yán)美、雄偉美。數(shù)學(xué)是一座遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個(gè)無(wú)比莊嚴(yán)、宏偉的宇宙中的數(shù)學(xué)家們，以崇敬贊嘆的目光遠(yuǎn)眺著它的壯觀、美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學(xué)美、宇宙美的人，是可以被稱為愛(ài)因斯坦所謂的有宇宙宗教性的人。

中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)美

美是什么？美學(xué)界眾說(shuō)紛紜，無(wú)論哪種說(shuō)法，美的本質(zhì)是不變的，它是人的一種心理愉悅感受�，F(xiàn)實(shí)生活中，人們?cè)诓粩嗟刈非竺�、發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美，同時(shí)也在欣賞美。大自然是美的，人類是美的，美無(wú)時(shí)不在，無(wú)處不有�！安皇侨鄙倜�，而是缺少發(fā)現(xiàn)美�！�201*多年來(lái)，人類在探索美的藝術(shù)的同時(shí)，也在探索著美的奧秘。

一、數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)中的美如美酒，如甘泉，自古以來(lái)就吸引著人們的注意力。古希臘的學(xué)者認(rèn)為球形是最完美的形體；畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，他為直角之角形具有這種簡(jiǎn)明、和諧的關(guān)系而贊嘆；愛(ài)因斯坦12歲時(shí)，得到了一本歐幾里德幾何教科書(shū)，它的嚴(yán)謹(jǐn)、明澈和確定，給愛(ài)因斯坦留下了不可磨滅的印象；羅索在學(xué)習(xí)歐幾里德幾何時(shí)，感到這是他一生中的一件大事，他像初戀一樣地入了迷，沒(méi)有想到世界上還會(huì)有這樣有趣的東西。

西方有一句名言：部分與部分及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致就是美。據(jù)此，應(yīng)用比例的方法，人們找到了造型藝術(shù)中具有美學(xué)價(jià)值的黃金比，并稱之為“黃金分割”或“黃金律”。維納斯像與女神雅典娜像就是美的比例，美的分割，它的下身與全身之比都接近0.618，人體天生有自然美，它的比例也符合“黃金律”。無(wú)怪于德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱黃金分割為“幾何學(xué)的一大寶藏！”對(duì)稱的圖形給人以美的享受，而不對(duì)稱的現(xiàn)象中同樣存在著美，這就是黃金分割的美。如今，設(shè)計(jì)師和藝術(shù)家們已經(jīng)利用這一規(guī)律創(chuàng)造出了許多令人心醉的建筑和無(wú)價(jià)的藝術(shù)珍寶。

數(shù)學(xué)美比比皆是，正如人們常說(shuō)的：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”數(shù)學(xué)美不同于自然美或藝術(shù)美。古希臘偉大的哲學(xué)家亞里斯多德說(shuō)過(guò)：雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離，因?yàn)槊赖闹饕�形式就是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學(xué)研究的原則。英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)邏輯學(xué)家羅索則把數(shù)學(xué)之美形容成一種“冷而嚴(yán)肅的美�！彼�說(shuō)：數(shù)學(xué)如果正確地對(duì)待它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，這種美不僅是投合我們天性的微弱方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)和音樂(lè)那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)能顯示的那種完美的境地。維納則說(shuō)：數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)美是一種完全和諧的、抽象形式的藝術(shù)美，是一種客觀存在，是自然美在數(shù)學(xué)中的反映；同時(shí)，也是反映客觀世界并能動(dòng)地改造客觀世界的科學(xué)美。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的美

人們常說(shuō)：“成功的教學(xué)給人一種美的享受。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅存在數(shù)學(xué)科的藝術(shù)美、科學(xué)美，而且存在著數(shù)學(xué)教學(xué)美。成功的教學(xué)是美的，因?yàn)樗�既符合�?shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，又顯示了人的本質(zhì)力量。教學(xué)活動(dòng)是師生的共同活動(dòng)，一方面

教師在數(shù)學(xué)寶庫(kù)中提練出知識(shí)并把它濃縮成教案，然后通過(guò)教學(xué)的方式傳遞給學(xué)生；另一方面在教學(xué)的過(guò)程中學(xué)生增長(zhǎng)了知識(shí)和聰明才智，顯示了自己的本質(zhì)力量。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程不僅僅是學(xué)生個(gè)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程和發(fā)展過(guò)程，而且是在教師的指導(dǎo)下的一種特殊的審美過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)審美活動(dòng)，可以激勵(lì)學(xué)生的情感、凈化學(xué)生的心靈、陶冶學(xué)生的情操。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，很多內(nèi)容都反映了數(shù)學(xué)美。如“勾三股四弦五”體現(xiàn)了直角三角形中的奇異美（特殊性），從到，又體現(xiàn)了一種統(tǒng)一美。而對(duì)于一般三角形，這種統(tǒng)一美又得到了突破，得到余弦定理，余弦定理在新的高度上又得到了新的統(tǒng)一。而CosC>0、CosC=0、CosC

學(xué)之美，將會(huì)取得事半功倍的效果。參考文獻(xiàn)：

《數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)概論》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)技能訓(xùn)練》《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》《數(shù)學(xué)教學(xué)論與數(shù)學(xué)改革》《發(fā)明創(chuàng)造100例》（數(shù)學(xué)卷）

數(shù)學(xué)與文化

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它作為一門(mén)基礎(chǔ)科學(xué)，既廣泛應(yīng)用于技術(shù)工程中，又是研究許多理論科學(xué)必不可少的工具。然而，由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，一般人對(duì)它存在著片面的認(rèn)識(shí)。本文開(kāi)篇就提出了鮮明的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時(shí)又是這種文化極其重要的因素�！弊髡吡信e了歷史上人們對(duì)數(shù)學(xué)的誤解，在各個(gè)層面上論述了數(shù)學(xué)在人類文化中的作用，對(duì)它的本質(zhì)和應(yīng)用作了精要的分析。作者引用懷特海關(guān)于“阿基米德死于一個(gè)羅馬士兵之手”的精彩論述，將數(shù)學(xué)放在廣闊的社會(huì)背景中來(lái)說(shuō)明它的文化意義，發(fā)人深省。本文文質(zhì)兼美，作者旁征博引，說(shuō)理透辟，議論精警。數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時(shí)又是這種文化極其重要的因素。這種觀點(diǎn)在許多人看來(lái)是難以置信的，或者充其量來(lái)說(shuō)也只是一種夸張的說(shuō)法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的錯(cuò)誤概念所帶來(lái)的結(jié)果。

由于受學(xué)校教育的影響，一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是對(duì)科學(xué)家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對(duì)這門(mén)學(xué)科的厭惡和對(duì)它的忽視。當(dāng)有人對(duì)這種狀況提出異議時(shí)，某些飽學(xué)之士可以得到權(quán)威們的支持。圣釩鹿潘茍彩シ奧古斯丁(354430)〕基督教神學(xué)家、哲學(xué)家，北非希波主教。生于北非塔加斯特(現(xiàn)在阿爾及利亞的蘇克阿赫臘斯)。他的神學(xué)體系5至12世紀(jì)在西歐基督教會(huì)中占統(tǒng)治地位。主要著作有《上帝之城》《預(yù)定論》《論三位一體》等。

他說(shuō)過(guò)：“好的基督徒應(yīng)該提防數(shù)學(xué)家和那些空頭許諾的人。這樣的危險(xiǎn)已經(jīng)存在，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)與魔鬼簽訂了協(xié)約，要使精神進(jìn)入黑暗，把人投入地獄�！惫帕_馬法官則裁決“對(duì)于作惡者、數(shù)學(xué)家諸如此類的人”，應(yīng)禁止他們“學(xué)習(xí)幾何技藝和參加當(dāng)眾運(yùn)算像數(shù)學(xué)這樣可惡的學(xué)問(wèn)”。叔本華〔叔本華(17881860)〕19世紀(jì)德國(guó)哲學(xué)家，惟意志論的創(chuàng)始人。認(rèn)為人生就是苦難。他對(duì)科學(xué)研究評(píng)價(jià)不高，認(rèn)為科學(xué)研究是為了滿足物質(zhì)欲望。，這位在現(xiàn)代哲學(xué)史上占有重要地位的哲學(xué)家，也把算術(shù)說(shuō)成是最低級(jí)的精神活動(dòng)，他之所以持這種態(tài)度，是基于算術(shù)能通過(guò)機(jī)器來(lái)運(yùn)算這一事實(shí)。

由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認(rèn)為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)仍然是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過(guò)是它微不足道的方面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫(huà)一樣。技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。

因此，讓我們看一看20世紀(jì)人們對(duì)這門(mén)學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的方法。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準(zhǔn)確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公理。具有極其嚴(yán)密的邏輯思維能

力的人從這些定義和公理出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀(jì)一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時(shí)，以某種不同的方式表述過(guò)：“數(shù)學(xué)家們像戀人承認(rèn)一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會(huì)推導(dǎo)出你也必須承認(rèn)的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論�！�

僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達(dá)販移妗泊鋟芬奇(14521519)〕意大利文藝復(fù)興時(shí)期的美術(shù)家、科學(xué)家、工程師。繪畫(huà)代表作有《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》等。《最后的晚餐》看作是畫(huà)布上顏料的組合一樣。數(shù)學(xué)也是一門(mén)需要?jiǎng)?chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測(cè)能被證明的內(nèi)容時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺(jué)和想像。例如，牛頓和開(kāi)普勒〔開(kāi)普勒(15711630)〕德國(guó)物理學(xué)家、天文學(xué)家，提出了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律。就是極富于想像力的人，這使得他們不僅打破了長(zhǎng)期以來(lái)僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運(yùn)用的范圍，只有通過(guò)檢驗(yàn)這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說(shuō)一下現(xiàn)在這門(mén)學(xué)科已有八十多個(gè)廣泛的分支就夠了。

如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏�的�?dòng)力是什么呢?研究數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動(dòng)力是為了解決因社會(huì)需要而直接提出的問(wèn)題。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的計(jì)算、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計(jì)，以及許多其他的人類需要，數(shù)學(xué)能對(duì)這些問(wèn)題給出最完滿的解決。在我們這個(gè)工程時(shí)代，數(shù)學(xué)被當(dāng)作普遍工具這一事實(shí)更是毋庸置疑。

數(shù)學(xué)的另外一個(gè)基本作用(的確，這一點(diǎn)在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物理學(xué)的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實(shí)的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機(jī)體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀察研究納入科學(xué)的實(shí)體之中。

智力方面的好奇心和對(duì)純思維的強(qiáng)烈興趣，激勵(lì)許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開(kāi)始于牌賭中的一個(gè)問(wèn)題一場(chǎng)賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個(gè)與社會(huì)需要或科學(xué)沒(méi)有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來(lái)的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)理論和非歐幾何〔非歐幾何〕一種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何體系的簡(jiǎn)稱，一般指羅巴切夫斯基的雙曲幾何和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何的最主要區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行公理。，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。

進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的驅(qū)動(dòng)力是對(duì)美的追求。羅素②〔羅素(18721970)〕英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家，分析哲學(xué)的創(chuàng)始人。1950年獲諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。一生著述一百多種，主要著作有《論幾何學(xué)的基礎(chǔ)》《數(shù)學(xué)原理》(與懷特海合著)《西方哲學(xué)史》《人類知識(shí)》等。，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說(shuō)：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有至高無(wú)上的美正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)或音樂(lè)的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在

數(shù)學(xué)里得到。

除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過(guò)程中，運(yùn)用必不可少的想像和直覺(jué)也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想像力，對(duì)稱性和比例、簡(jiǎn)潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門(mén)具有其特有完美性的藝術(shù)。盡管歷史已清楚地表明，上述所有因素推動(dòng)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，但是依然存在著許多錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來(lái)為對(duì)這門(mén)學(xué)科的忽視作辯解的)，認(rèn)為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無(wú)意義的臆測(cè)；或者認(rèn)為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無(wú)用處的夢(mèng)想家。對(duì)這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無(wú)言以對(duì)的駁斥。事實(shí)證明，即使是純粹抽象的研究，也是有極大用處的，更不用說(shuō)由于科學(xué)和工程的需要而進(jìn)行的研究了。圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)自被發(fā)現(xiàn)兩千多年來(lái)，曾被認(rèn)為不過(guò)是“富于思辨頭腦中的無(wú)利可圖的娛樂(lè)”，可是最終它卻在現(xiàn)代天文學(xué)、仿射運(yùn)動(dòng)理論和萬(wàn)有引力定律中發(fā)揮了作用。另一方面，一些“具有社會(huì)頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實(shí)際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達(dá)和飛機(jī)而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對(duì)人類方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進(jìn)行思考和研究時(shí)卻很少把這些放在心上。有些人對(duì)實(shí)際應(yīng)用漠不關(guān)心，這可能是因?yàn)樗麄兂晒�的�?yīng)用在幾百年后才實(shí)現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“”號(hào)和“”號(hào)的實(shí)際行動(dòng)來(lái)(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)乃是由日常的社會(huì)活動(dòng)所致”)，所作的貢獻(xiàn)要大得多。確實(shí)，幾乎每一個(gè)偉大的人物所考慮的都是他那個(gè)時(shí)代的問(wèn)題，流行的觀點(diǎn)會(huì)制約和限制他的思想。如果牛頓早生兩百年，他很有可能會(huì)成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時(shí)代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時(shí)髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛(ài)好的富有創(chuàng)造性的天才，也會(huì)去研究令專業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動(dòng)的問(wèn)題。但是，那些“業(yè)余愛(ài)好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實(shí)用價(jià)值。

實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和哲學(xué)的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻(xiàn)、產(chǎn)生影響的因素中的任何一個(gè)除去，或者抬高一個(gè)而去貶低另外一個(gè)都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰(shuí)具有相對(duì)的重要性。一方面，對(duì)美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻(xiàn)。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會(huì)力量的推動(dòng)。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會(huì)身疲力竭，然后他們就僅僅只能維持這門(mén)學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時(shí)期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會(huì)是曇花一現(xiàn)。

數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要特征是它的符號(hào)語(yǔ)言。如同音樂(lè)利用符號(hào)來(lái)代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話用的語(yǔ)言不同，日常語(yǔ)言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會(huì)和政治運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，就會(huì)顯得冗長(zhǎng)不堪。這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。J.K.杰羅姆〔J.K.杰羅姆(18591927)〕英國(guó)小說(shuō)家、劇作家。主要作品有《懶漢的癡想》《三人出游記》等。，為了需要求諸于代數(shù)符號(hào)，在下面一段描寫(xiě)中，盡管與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和明了性：

當(dāng)一個(gè)20世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時(shí)，他不會(huì)后退三步，看著他心愛(ài)的姑娘的眼睛，對(duì)她說(shuō)她是世界上最漂亮的人兒。他說(shuō)他要冷靜下來(lái)，仔細(xì)考慮這件事。如果他在外面碰上一個(gè)人，并且打破了他的腦袋我指另外一個(gè)人的腦袋于是那就證明了他的前面那個(gè)小伙子姑娘是個(gè)漂亮姑娘。如果是另外一個(gè)小伙子打破了他的腦袋不是他自己的，你知道，而是另外那個(gè)人的對(duì)第二個(gè)小伙子來(lái)說(shuō)的另外一個(gè)。因?yàn)榱硗庖粋�(gè)小伙子只是對(duì)他來(lái)說(shuō)是另外一個(gè)，而不是對(duì)前面那個(gè)小伙子那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘不是另外一個(gè)小伙子，而是那個(gè)小伙子，他瞧：如果A打破了B的腦袋，那么A的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個(gè)漂亮的姑娘，而B(niǎo)的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。

簡(jiǎn)潔的符號(hào)能夠使數(shù)學(xué)家們進(jìn)行復(fù)雜的思考時(shí)應(yīng)付自如，但也會(huì)使門(mén)外漢聽(tīng)數(shù)學(xué)討論如墮五里云霧。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言中使用的符號(hào)十分重要，它們能區(qū)別日常語(yǔ)言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，英語(yǔ)中使用“is”一詞時(shí)，就有多種不同的意義。在“他在這兒”（Heishere）這個(gè)句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”（Anangeliswhite）這個(gè)句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無(wú)關(guān)的屬性。在“那個(gè)人正在跑”（Themanisrunning）這個(gè)句子中，這個(gè)詞“is”表示的是動(dòng)詞時(shí)態(tài)。在“二加二等于四”（Twoandtwoarefour）這個(gè)句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動(dòng)物”（Menarethetwoleggedthinkingmammals）這個(gè)句子中，is的形式被用來(lái)斷言兩組之間的等同。當(dāng)然，在一般日常會(huì)話中引用各種各樣不同的詞來(lái)解釋is的所有這些意義，不過(guò)是畫(huà)蛇添足，因?yàn)楸M管有這些意義上的混亂，人們也不會(huì)因此產(chǎn)生什么誤會(huì)。但是，數(shù)學(xué)的精確性它與科學(xué)和哲學(xué)的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究者們更加謹(jǐn)慎。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺(jué)得莫名其妙。如果一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“今天我沒(méi)看見(jiàn)一個(gè)人”（Ididnotseeonepersontoday），那么他的意思可能是，他要么一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)，要么他看見(jiàn)了許多人。一般人則可能簡(jiǎn)單地認(rèn)為他一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個(gè)還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到它對(duì)于精密思維的重要性的人看來(lái)，似乎顯得過(guò)于呆板，過(guò)于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語(yǔ)言都是不可分割的。畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定里）數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡(jiǎn)潔和形式的完善作為其目標(biāo)，但有時(shí)由于過(guò)分地拘泥于形式上的完美和簡(jiǎn)潔，以致喪失了精確竭力要達(dá)到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語(yǔ)表述畢達(dá)哥拉斯定理所示的內(nèi)容，我們很有可能說(shuō)：“有一個(gè)直角三角形，畫(huà)兩個(gè)以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫(huà)一個(gè)以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第三個(gè)正方形的面積就等于前面兩個(gè)正方形面積之和�！钡�是沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)用這樣的方式來(lái)表達(dá)自己的想法。他會(huì)這樣說(shuō)：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方�！边@種簡(jiǎn)潔的用詞使表述更為精練，而且這種數(shù)學(xué)表達(dá)式具有重要的意義，因?yàn)樗�的確是言簡(jiǎn)意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的讀者有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗(yàn)。數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門(mén)藝術(shù)或一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)更主要的是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說(shuō)；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙音樂(lè)的冥想；甚至可能有時(shí)以難以察覺(jué)到的方式但無(wú)可置疑地影響著現(xiàn)

代歷史的進(jìn)程。在最廣泛的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問(wèn)題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)還有一個(gè)更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹(shù)，它隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時(shí)起，就為自己的生存而斗爭(zhēng)，這場(chǎng)斗爭(zhēng)經(jīng)歷了史前的幾個(gè)世紀(jì)和隨后有文字記載歷史的幾個(gè)世紀(jì)，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個(gè)較短的時(shí)期里茁壯成長(zhǎng)起來(lái)了。在這個(gè)時(shí)期，它綻出了一朵美麗的花歐氏幾何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔細(xì)觀察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形；但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹(shù)也沉睡了一千年之久。這就是數(shù)學(xué)那時(shí)的狀況。后來(lái)這棵樹(shù)被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時(shí)期曾有過(guò)的旺盛的生命力，而且準(zhǔn)備開(kāi)創(chuàng)史無(wú)前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀(jì)以前所了解的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說(shuō)，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是微不足道的。事實(shí)上，一個(gè)人擁有牛頓處于頂峰時(shí)期所掌握的知識(shí)，在今天不會(huì)被認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)家。因?yàn)榕c普通的觀點(diǎn)相反，現(xiàn)在應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)是從微積分開(kāi)始，而不是以此為結(jié)束。在我們這個(gè)世紀(jì)，這門(mén)學(xué)科已具有非常廣泛的內(nèi)容，以致沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱他已精通全部數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)發(fā)展的這幅素描，盡管簡(jiǎn)略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會(huì)生活之中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過(guò)數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時(shí)期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實(shí)用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對(duì)理想與美的追求。因此，看到這個(gè)時(shí)代具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個(gè)時(shí)代文明的文化里，這一點(diǎn)也是真實(shí)的。看看羅馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時(shí)期內(nèi)曾作出過(guò)貢獻(xiàn)，但從那以后他們就開(kāi)始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當(dāng)時(shí)他正在研究畫(huà)在沙盤(pán)中的幾何圖形。對(duì)此，A.N.懷特�！睞.N.懷特海(18611947)〕英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，過(guò)程哲學(xué)的創(chuàng)始人。曾任美國(guó)哈佛大學(xué)哲學(xué)教授，英國(guó)科學(xué)院院士。主要著作有《數(shù)學(xué)原理》(與羅素合著)《數(shù)學(xué)導(dǎo)論》《相對(duì)論原理》《科學(xué)與近代世界》等。說(shuō)過(guò)：

阿基米德死于一個(gè)羅馬士兵之手，是一個(gè)世界發(fā)生頭等重要變化的標(biāo)志；愛(ài)好抽象科學(xué)、擅長(zhǎng)推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實(shí)用的羅馬取代了。洛德繁瓤纖狗貧?LordBeaconsfield)，在他的一部小說(shuō)中，曾把重實(shí)用的人稱為是重復(fù)其先輩錯(cuò)誤的人。羅馬是一個(gè)偉大的民族，但是他們卻由于只重實(shí)用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒(méi)有發(fā)展其祖先的知識(shí)，他們所有的進(jìn)步都局限于工程技術(shù)的細(xì)枝末節(jié)。他們并不是那種能夠提出新觀點(diǎn)的夢(mèng)想家，這些新觀點(diǎn)能給人以更好地主宰自然界的力量。沒(méi)有一個(gè)羅馬人因?yàn)槌龄嫌跀?shù)學(xué)圖形而喪命。事實(shí)上，西塞羅〔西塞羅(公元前106前43年)〕古羅馬共和國(guó)末期的政

治家和哲學(xué)家。公元前63年任執(zhí)政官，公元前51年任西里西亞總督。主要哲學(xué)著作有《論目的》《神學(xué)論》《論命運(yùn)》等。夸耀自己的同胞感謝上帝不是像希臘人一樣的夢(mèng)想家，而是把他們的數(shù)學(xué)研究派上實(shí)際用場(chǎng)的人。注重實(shí)用的羅馬帝國(guó)，將其精力用于權(quán)術(shù)和征服外邦。為迎接軍隊(duì)勝利歸來(lái)的拱形的凱旋門(mén)，也許是羅馬帝國(guó)的最好象征，但它們不是顯得得體優(yōu)雅，而是顯得毫無(wú)生氣。羅馬最突出的特征也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒(méi)有真正的獨(dú)創(chuàng)精神。簡(jiǎn)言之，羅馬文化是外來(lái)的，羅馬時(shí)期的大多數(shù)成就主要淵源于小亞細(xì)亞的希臘，此時(shí)小亞細(xì)亞的希臘正處于羅馬政權(quán)統(tǒng)治之下。這幾個(gè)例子告訴我們，一個(gè)時(shí)代的總的特征在很大程度上與這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動(dòng)密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個(gè)時(shí)代尤為明顯。在不抹煞歷史學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、哲學(xué)家、作家、詩(shī)人、畫(huà)家和政治家功績(jī)的前提下，我們可以這樣說(shuō)：其他文明已經(jīng)產(chǎn)生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，盡管歐幾里得和阿基米德無(wú)疑地是極其卓越的思想家，盡管我們的數(shù)學(xué)家得以達(dá)到更高的水平，這僅僅是因?yàn)橄衽ｎD所說(shuō)的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)才達(dá)到了它應(yīng)該達(dá)到的范圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由于數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著現(xiàn)代生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區(qū)別。

數(shù)學(xué)文化欣賞

數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識(shí)。歷史地看，古希臘和文藝復(fù)興時(shí)期的文化名人，往往本身就是數(shù)學(xué)家。最著名的如柏拉圖和達(dá)芬奇。晚近以來(lái)，愛(ài)因斯坦、希爾伯特、羅素、馮諾依曼等文化名人也都是20世紀(jì)數(shù)學(xué)文明的締造者。

一、數(shù)學(xué)文化的存在價(jià)值

在公布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)文化是一個(gè)單獨(dú)的板塊，給予了特別的重視。許多老師會(huì)問(wèn)為什么要這樣做？一個(gè)重要的原因是，20世紀(jì)初年的數(shù)學(xué)曾經(jīng)存在著脫離社會(huì)文化的孤立主義傾向，并一直影響到今天的中國(guó)。數(shù)學(xué)的過(guò)度形式化，使人錯(cuò)誤地感到數(shù)學(xué)只是少數(shù)天才腦子里想象出來(lái)的“自由創(chuàng)造物”，數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)須社會(huì)的推動(dòng)，其真理性無(wú)須實(shí)踐的檢驗(yàn)，當(dāng)然，數(shù)學(xué)的進(jìn)步也無(wú)須人類文化的哺育。于是，西方的數(shù)學(xué)界有“經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興”。懷特（L.A.White）的數(shù)學(xué)文化論力圖把數(shù)學(xué)回歸到文化層面�？巳R因（M.Kline）的《古今數(shù)學(xué)思想》、《西方文化中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》相繼問(wèn)世，力圖營(yíng)造數(shù)學(xué)文化的人文色彩。

國(guó)內(nèi)最早注意數(shù)學(xué)文化的學(xué)者是北京大學(xué)的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》，匯集了一些數(shù)學(xué)名家的有關(guān)論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對(duì)數(shù)學(xué)文化的思考。稍后出版的有齊民友的《數(shù)學(xué)與文化》，主要從非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別指出了數(shù)學(xué)思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數(shù)學(xué)文化學(xué)》，特點(diǎn)是用社會(huì)建構(gòu)主義的哲學(xué)觀，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)共同體”產(chǎn)生的文化效應(yīng)。

以上的著作以及許多的論文，都力圖把數(shù)學(xué)從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來(lái)，重點(diǎn)是分析數(shù)學(xué)文明史，充分揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價(jià)值。

二、認(rèn)識(shí)和實(shí)施數(shù)學(xué)文化教育

進(jìn)入21世紀(jì)之后，數(shù)學(xué)文化的研究更加深入。一個(gè)重要的標(biāo)志是數(shù)學(xué)文化走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)，努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位，體察社會(huì)文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng)。

那么，如何在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下幾個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)和實(shí)施。

（一）認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化的民族性和世界性

每個(gè)民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。古希臘的數(shù)學(xué)和中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)都有輝煌的成就、優(yōu)秀的傳統(tǒng)。但是，它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國(guó)的不同政治文明孕育了不同的數(shù)學(xué)。

古希臘是奴隸制國(guó)家。當(dāng)時(shí)希臘的雅典城邦實(shí)行奴隸主的民主政治（廣大奴隸不能享受這種民主）。男性奴隸主的全體大會(huì)選舉執(zhí)政官，對(duì)一些戰(zhàn)爭(zhēng)、財(cái)政

大事實(shí)行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說(shuō)服對(duì)方，使學(xué)術(shù)上的辯論風(fēng)氣濃厚。為了證明自己堅(jiān)持的是真理，也就需要證明。先設(shè)一些人人皆同意的“公理”，規(guī)定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題，稱為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產(chǎn)生的。

中國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期也有百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，但是沒(méi)有實(shí)行古希臘統(tǒng)治者之間的民主政治，而是實(shí)行君王統(tǒng)治制度。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，也是知識(shí)分子自由表達(dá)見(jiàn)解的黃金年代。當(dāng)時(shí)的思想家和數(shù)學(xué)家，主要目標(biāo)是幫助君王統(tǒng)治臣民、管理國(guó)家。因此，中國(guó)的古代數(shù)學(xué)，多半以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn)，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計(jì)算稅收、運(yùn)輸糧食等國(guó)家管理的實(shí)用目標(biāo)。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國(guó)數(shù)學(xué)可以說(shuō)是“管理數(shù)學(xué)”和“木匠數(shù)學(xué)”，存在的形式則是官方的文書(shū)。

古希臘的文化時(shí)尚，是追求精神上享受，以獲得對(duì)大自然的理解為最高目標(biāo)。因此，“對(duì)頂角相等”這樣的命題，在《幾何原本》里列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。在中國(guó)的數(shù)學(xué)文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。

同樣，中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用的管理數(shù)學(xué)，卻在算法上得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開(kāi)根法，以及楊輝（賈憲）三角、祖沖之的圓周率計(jì)算、天元術(shù)那樣的精致計(jì)算課題，也只能在中國(guó)誕生，而為古希臘文明所輕視。

我們應(yīng)當(dāng)充分重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實(shí)用與算法的傳統(tǒng)，同時(shí)又必須吸收人類一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造，包括古希臘的文化傳統(tǒng)。當(dāng)進(jìn)入21世紀(jì)的時(shí)候，我們作為地球村的村民，一定要溶入世界數(shù)學(xué)文化，將民族性和世界性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

（二）揭示數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，走出數(shù)學(xué)孤立主義的陰影

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵十分豐富。但在中國(guó)數(shù)學(xué)教育界，常常有“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀念。據(jù)調(diào)查，學(xué)生們把數(shù)學(xué)看作“一堆絕對(duì)真理的總集”，或者是“一種符號(hào)的游戲”�！皵�(shù)學(xué)遵循記憶事實(shí)-運(yùn)用算法-執(zhí)行記憶得來(lái)的公式-算出答案”的模式[1]，“數(shù)學(xué)=邏輯”的公式帶來(lái)了許多負(fù)面影響。正如一位智者所說(shuō)，一個(gè)充滿活力的數(shù)學(xué)美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，包括用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察現(xiàn)實(shí)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、圖表、符號(hào)表示，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流。通過(guò)理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學(xué)之美。

半個(gè)多世紀(jì)以前，著名數(shù)學(xué)家柯朗（R.Courant）在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫(xiě)道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過(guò)分專門(mén)化和過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師學(xué)生和一般受過(guò)教育的人都要求有一個(gè)建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)�！�

201*年8月20日，丘成桐接受《東方時(shí)空》的采訪時(shí)說(shuō)：“我把《史記》當(dāng)作歌劇來(lái)欣賞”，“由于我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常采取宏觀的觀點(diǎn)，和別人的看法不一樣。”這是一位數(shù)學(xué)大家的數(shù)學(xué)文化闡述。

《文匯報(bào)》201*年8月21日摘要刊出錢(qián)偉長(zhǎng)的文章《哥丁根學(xué)派的追求》，其中提到：“這使我明白了：數(shù)學(xué)本身很美，然而不要被它迷了路。應(yīng)用數(shù)學(xué)的

任務(wù)是解決實(shí)際問(wèn)題，不是去完善許多數(shù)學(xué)方法，我們是以解決實(shí)際問(wèn)題為己任的。從這一觀點(diǎn)上講，我們應(yīng)該是解決實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多么鋒利而不去解決實(shí)際問(wèn)題的刀匠。”這是一個(gè)力學(xué)家的數(shù)學(xué)文化觀。

和所有文化現(xiàn)象一樣，數(shù)學(xué)文化直接支配著人們的行動(dòng)。孤立主義的數(shù)學(xué)文化，一方面拒人于千里之外，使人望數(shù)學(xué)而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語(yǔ)，令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué)，原本是青少年喜愛(ài)的學(xué)科，卻成為過(guò)濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化，會(huì)是美麗動(dòng)人的數(shù)學(xué)王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。（三）多側(cè)面地開(kāi)展數(shù)學(xué)文化研究

談到數(shù)學(xué)文化，往往會(huì)聯(lián)想到數(shù)學(xué)史。確實(shí)，宏觀地觀察數(shù)學(xué)，從歷史上考察數(shù)學(xué)的進(jìn)步，確實(shí)是揭示數(shù)學(xué)文化層面的重要途徑。但是，除了這種宏觀的歷史考察之外，還應(yīng)該有微觀的一面，即從具體的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想中揭示數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)。以下將闡述一些新視角，力求多側(cè)面地展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。

1.數(shù)學(xué)和文學(xué)。數(shù)學(xué)和文學(xué)的思考方法往往是相通的。舉例來(lái)說(shuō)，中學(xué)課程里有“對(duì)稱”，文學(xué)中則有“對(duì)仗”。對(duì)稱是一種變換，變過(guò)去了卻有些性質(zhì)保持不變。軸對(duì)稱，即是依對(duì)稱軸對(duì)折，圖形的形狀和大小都保持不變。那么對(duì)仗是什么？無(wú)非是上聯(lián)變成下聯(lián)，但是字詞句的某些特性不變。王維詩(shī)云：“明月松間照，清泉石上流”。這里，明月對(duì)清泉，都是自然景物，沒(méi)有變。形容詞“明”對(duì)“清”，名詞“月”對(duì)“泉”，詞性不變。其余各詞均如此。變化中的不變性質(zhì)，在文化中、文學(xué)中、數(shù)學(xué)中，都廣泛存在著。數(shù)學(xué)中的“對(duì)偶理論”，拓?fù)鋵W(xué)的變與不變，都是這種思想的體現(xiàn)。文學(xué)意境也有和數(shù)學(xué)觀念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”，正是極限概念的意境。

2.歐氏幾何和中國(guó)古代的時(shí)空觀。初唐詩(shī)人陳子昂有句云：“前不見(jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者，念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下�！边@是時(shí)間和三維歐幾里得空間的文學(xué)描述。在陳子昂看來(lái)，時(shí)間是兩頭無(wú)限的，以他自己為原點(diǎn)，恰可比喻為一條直線。天是平面，地是平面，人類生活在這悠遠(yuǎn)而空曠的時(shí)空里，不禁感慨萬(wàn)千。數(shù)學(xué)正是把這種人生感受精確化、形式化。詩(shī)人的想象可以補(bǔ)充我們的數(shù)學(xué)理解。

3.數(shù)學(xué)與語(yǔ)言。語(yǔ)言是文化的載體和外殼。數(shù)學(xué)的一種文化表現(xiàn)形式，就是把數(shù)學(xué)溶入語(yǔ)言之中�！安还苋�七二十一”涉及乘法口訣，“三下二除五就把它解決了”則是算盤(pán)口訣。再如“萬(wàn)無(wú)一失”，在中國(guó)語(yǔ)言里比喻“有絕對(duì)把握”，但是，這句成語(yǔ)可以聯(lián)系“小概率事件”進(jìn)行思考。“十萬(wàn)有一失”在航天器的零件中也是不允許的。此外，“指數(shù)爆炸”“直線上升”等等已經(jīng)進(jìn)入日常語(yǔ)言。它們的含義可與事物的復(fù)雜性相聯(lián)系（計(jì)算復(fù)雜性問(wèn)題），正是所需要研究的。“事業(yè)坐標(biāo)”“人生軌跡”也已經(jīng)是人們耳熟能詳?shù)脑~語(yǔ)。

4.數(shù)學(xué)的宏觀和微觀認(rèn)識(shí)。宏觀和微觀是從物理學(xué)借用過(guò)來(lái)的，后來(lái)變成一種常識(shí)性的名詞。以函數(shù)為例，初中和高中的函數(shù)概念有變量說(shuō)和對(duì)應(yīng)說(shuō)之分，其實(shí)是宏觀描述和微觀刻畫(huà)的區(qū)別。初中的變量說(shuō)，實(shí)際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢(shì)和性態(tài)。高中的對(duì)應(yīng)則是微觀的分析。在分段函數(shù)的端點(diǎn)處，函數(shù)值在這一段，還是下一段，差一點(diǎn)都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛頓力學(xué)與量子力學(xué)，電影中有全景和細(xì)部，國(guó)畫(huà)中有潑墨山水畫(huà)和工筆花鳥(niǎo)畫(huà)，其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點(diǎn)考察函數(shù)呢？

5.數(shù)學(xué)和美學(xué)�！�1/2+1/3=2/5？”是不是和諧美？二次方程的求根公式美不美？這涉及到美學(xué)觀。三角函數(shù)課堂上應(yīng)該提到音樂(lè)，立體幾何課總得說(shuō)說(shuō)繪畫(huà)，如何把立體的圖形畫(huà)在平面上。欣賞艾舍爾（M.C.Escher）的畫(huà)、計(jì)算機(jī)畫(huà)出的分形圖，也是數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)。

總之，數(shù)學(xué)文化離不開(kāi)數(shù)學(xué)史，但是不能僅限于數(shù)學(xué)史。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達(dá)課堂、溶入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會(huì)更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)通過(guò)文化層面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

從《數(shù)學(xué)與文化》中感受數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)是我們從小就開(kāi)始學(xué)習(xí)的學(xué)科，但很少有人去關(guān)注它所蘊(yùn)含的文化。其實(shí)，數(shù)學(xué)是一種文化，它是人類文明的重要組成部分。而在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，原本屬于文化范疇的數(shù)學(xué)，如今正漸漸喪失著它的文化性，變得不那么“文化”了。教育語(yǔ)境下的數(shù)學(xué)，已經(jīng)開(kāi)始和文化背道而馳。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)積累、數(shù)學(xué)技巧訓(xùn)練等工具性價(jià)值的過(guò)分關(guān)注，正在使數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)和氣度一點(diǎn)點(diǎn)剝落、喪失。“讓數(shù)學(xué)變得文化些，還數(shù)學(xué)以文化之本來(lái)面目”，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育亟須關(guān)注、思考和探索的問(wèn)題。

在西方文明中，數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量。幾乎每個(gè)人都知道，數(shù)學(xué)在工程設(shè)計(jì)中具有極其重要的實(shí)用價(jià)值。但是卻很少有人懂得數(shù)學(xué)在科學(xué)推理中的重要性，以及它在重要的物理科學(xué)理論中所起的核心作用。至于數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容和研究方法，摧毀和構(gòu)建了諸多宗教教義，為政治學(xué)說(shuō)和經(jīng)濟(jì)理論提供了依據(jù)，塑造了眾多流派的繪畫(huà)、音樂(lè)、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)，而且為我們必須回答的人和宇宙的基本問(wèn)題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。作為理性精神的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，而且取代它們成為思想和行動(dòng)的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無(wú)可比擬的人類成就，數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面，至少可與其他任何一種文化門(mén)類媲美�？巳R因的眼光是深邃的，他敏銳地把握住“數(shù)學(xué)是西方文化中的一種主要的文化力量”！事實(shí)上，正是這種力量孕育了希臘的理性精神，構(gòu)建了縝密思維的邏輯體系，催生了文藝復(fù)興的人文主義，從而迎來(lái)從哥白尼到牛頓科學(xué)革命的新的曙光，并把西方文明推向了近代科技發(fā)展的快車道。所以，克萊因在書(shū)中著重考察了數(shù)學(xué)如何影響了直到20世紀(jì)的人類生活和思想。全書(shū)按照歷史的順序?qū)��?shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，涉及的內(nèi)容從古巴比倫、古埃及，到希臘數(shù)學(xué)精神的誕生，從文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)與藝術(shù)的關(guān)系，一直到現(xiàn)代的相對(duì)論。

對(duì)于我們學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解數(shù)學(xué)不一定非要去啃大量數(shù)學(xué)書(shū)。事實(shí)上，就算讀完了大學(xué)數(shù)學(xué)系四年的課程，也未必能夠了解到數(shù)學(xué)與文化的關(guān)系。因?yàn)椋�“千錘百煉”的數(shù)學(xué)教科書(shū)早已割斷了數(shù)學(xué)與歷史、數(shù)學(xué)與文化的血脈聯(lián)系。文化不是外在附屬品。數(shù)學(xué)文化也不是簡(jiǎn)單意義上的“數(shù)學(xué)十文化”。在關(guān)注數(shù)學(xué)歷史性和數(shù)學(xué)美的同時(shí)，我們更應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)文化有一種更為家常的樸素理解:文化者，以文化人也。數(shù)學(xué)真正的文化要義在于，它可以最大限度地張揚(yáng)數(shù)學(xué)思考的魅力，并改變一個(gè)人思考的方式、方法、視角。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一旦使學(xué)生感受到了思維的樂(lè)趣，使學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富、數(shù)學(xué)方法的精巧、數(shù)學(xué)思想的博大、數(shù)學(xué)思考的美妙，那么，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值必顯露無(wú)遺。從這一意義上講，數(shù)學(xué)文化又怎會(huì)僅屬于“圓”和“軸對(duì)稱圖形”?任何數(shù)學(xué)課堂.我們都可以觸摸到數(shù)學(xué)文化的脈搏，因?yàn)�，擁有思考，便擁有了�?shù)學(xué)的文化力量。

細(xì)細(xì)想來(lái)，數(shù)學(xué)不只是知識(shí)和方法的簡(jiǎn)單匯聚，它應(yīng)該是一個(gè)開(kāi)放的文化體系，是人類智慧和創(chuàng)造力的結(jié)晶。它在給予我們知識(shí)與方法的同時(shí)，更以一種文化的姿態(tài)改變?nèi)祟惖乃伎计焚|(zhì)，拓展人類的視野，豐富人類的精神世界，增進(jìn)人的本質(zhì)力量。數(shù)學(xué)的文化特征不僅僅只在于數(shù)學(xué)的歷史性和美學(xué)價(jià)值，凝聚在數(shù)學(xué)之中的美妙絕倫的數(shù)學(xué)思維方法、探索不止的數(shù)學(xué)精神、求真臻善達(dá)美的數(shù)學(xué)品格，對(duì)于一個(gè)人全面和諧的發(fā)展，都具有極為重要的意義。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我們?cè)诔姓J(rèn)和弘揚(yáng)數(shù)學(xué)工具價(jià)值的同時(shí)，更應(yīng)該看到它的文化價(jià)值，并借助日常的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，使其外化為一種現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)影響，努力彰顯數(shù)學(xué)的文化品性，真正使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生獲得知識(shí)、形成方法、感悟價(jià)值、提升精神的生命歷程。

仔細(xì)閱讀《數(shù)學(xué)與文化》這篇文章，就可以讓我們更好地理解數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的文化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，從而愛(ài)上數(shù)學(xué).

三角函數(shù)歷史

起源

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說(shuō)是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過(guò)程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對(duì)函數(shù)概念來(lái)龍去脈認(rèn)識(shí)的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．

（一）馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來(lái)源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽．自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們?cè)谒妓鳎杭热坏厍虿皇怯钪嬷行�，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問(wèn)題，既是科學(xué)家的力圖解決的問(wèn)題，也是軍事家要求解決的問(wèn)題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來(lái)源．

（二）早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的一般意義．

1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.當(dāng)時(shí)，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算，所以后來(lái)歐拉就索性把用這些運(yùn)算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．

8世紀(jì)中葉，由于研究弦振動(dòng)問(wèn)題，達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說(shuō)法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時(shí)候，達(dá)朗貝爾說(shuō)是指“任意的解析式”，而歐拉則認(rèn)為是“任意畫(huà)出的一條曲線”．現(xiàn)在看來(lái)這都是函數(shù)的表達(dá)方式，是函數(shù)概念的外延．

（三）函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實(shí)踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒(méi)有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開(kāi)始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W威伯爾合作發(fā)明電報(bào)的過(guò)程中，做了許多關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)工作，提出了

“力與距離的平方成反比例”這個(gè)重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支而出現(xiàn)了，實(shí)際的需要促使人們對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)一步研究．

后來(lái)，人們又給出了這樣的定義：如果一個(gè)量依賴著另一個(gè)量，當(dāng)后一量變化時(shí)前一量也隨著變化，那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù)．“這個(gè)定義雖然還沒(méi)有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進(jìn)步．”在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國(guó)數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說(shuō)，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律；他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)．”在該書(shū)中，他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè)由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說(shuō)就是，任意一個(gè)以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由表示出，其中富里埃的研究，從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動(dòng)．原來(lái)，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．通過(guò)一場(chǎng)爭(zhēng)論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個(gè)定義建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展，因?yàn)椤皩?duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”

根據(jù)這個(gè)定義，即使像如下表述的，它仍然被說(shuō)成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：f（x）=1（x為有理數(shù)），

0（x為無(wú)理數(shù)）．

在這個(gè)函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無(wú)論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無(wú)限止地忽0忽1．因此，它難用一個(gè)或幾個(gè)式子來(lái)加以表示，甚至究竟能否找出表達(dá)式也是一個(gè)問(wèn)題．但是不管其能否用表達(dá)式表示，在狄里克萊的定義下，這個(gè)f（x）仍是一個(gè)函數(shù)．狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受．至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義．

（四）生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀(jì)20年代，人類開(kāi)始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問(wèn)世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)δ-函數(shù)，即ρ（x）＝0，x≠0，∞,x=0．

且δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭(zhēng)論．按照函數(shù)原來(lái)的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，而沒(méi)有把“∞”作為數(shù)．另外，對(duì)于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象．例如，當(dāng)汽車、火車通過(guò)橋梁時(shí)，自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力．從

理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè)，設(shè)車輛對(duì)軌道、橋面的壓力為一單位，這時(shí)在接觸點(diǎn)x=0處的壓強(qiáng)是

P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．其余點(diǎn)x≠0處，因無(wú)壓力，故無(wú)壓強(qiáng)，即P（x）=0.另外，我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力，即

函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對(duì)集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變?cè)�，元素y稱為因變?cè)�．函�?shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個(gè)字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．

函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)二百多年來(lái)的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說(shuō)已經(jīng)相當(dāng)完善了．不過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展是無(wú)止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關(guān)系”．

設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為XY=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無(wú)關(guān)系．現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fXY，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對(duì)應(yīng)”的術(shù)語(yǔ)，全部使用集合論的語(yǔ)言了．

從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過(guò)程中，我們體會(huì)到，聯(lián)系實(shí)際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄�(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全�，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。

由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。

基本初等內(nèi)容

它有六種基本函數(shù)(初等基本表示)：函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）有正弦函數(shù)sinθ=y/r余弦函數(shù)cosθ=x/r正切函數(shù)tanθ=y/x余切函數(shù)cotθ=x/y正割函數(shù)secθ=r/x余割函數(shù)cscθ=r/y

（斜邊為r，對(duì)邊為y，鄰邊為x。）

以及兩個(gè)不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)：正矢函數(shù)versinθ=1-cosθ

余矢函數(shù)coversθ=1-sinθ

正弦（sin）:角α的對(duì)邊比上斜邊余弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊正切（tan）:角α的對(duì)邊比上鄰邊余切（cot）:角α的鄰邊比上對(duì)邊正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊余割（csc）:角α的斜邊比上對(duì)邊同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：

sin²(α)+cos²(α)=1cos²(a)=(1+cos2a)/2tan²(α)+1=sec²(α)sin²(a)=(1-cos2a)/2cot²(α)+1=csc²(α)積的關(guān)系：

sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα倒數(shù)關(guān)系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)三角和的三角函數(shù)：

sin(α+β+γ)=sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ-sinαsinβsinγ

cos(α+β+γ)=cosαcosβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ-sinαsinβcosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ)/(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tanγtanα)

輔助角公式：

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：

sin(2α)=2sinαcosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin³(α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降冪公式

sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))萬(wàn)能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]積化和差公式：

sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)++sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)++cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx證明：

左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（積化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊等式得證

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx證明:

左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊等式得證

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)正余弦定理

正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．

余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA

角A的對(duì)邊于斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sinA=角A的對(duì)邊/斜邊

斜邊與鄰邊夾角a

sin=y/r無(wú)論y>x或y≤x

無(wú)論a多大多小可以任意大小，正弦的最大值為1，最小值為-。部分高等內(nèi)容

高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展開(kāi)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1�。珃^2/2�。珃^3/3！＋z^4/4�。�＋z^n/n！＋

此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：

對(duì)于微分方程組y=-y"";y=y""""，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊角的三角函數(shù):

角度a0°30°45°60°90°120°180°1.sina01/2√2/2√3/21√3/202.cosa1√3/2√2/21/20-1/2-13.tana0√3/31√3無(wú)限大-√304.cota/√31√3/30-√3/3/三角函數(shù)的計(jì)算冪級(jí)數(shù)

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù),這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).

泰勒展開(kāi)式(冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法):

f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實(shí)用冪級(jí)數(shù)：

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

正切第一，三象限為正第二，四象限為負(fù)三角函數(shù)定義域和值域

sin(x),cos(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椤?1,1〕tan(x)的定義域?yàn)閤不等于π/2+kπ,值域?yàn)镽cot(x)的定義域?yàn)閤不等于kπ,值域?yàn)镽初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=sinx---y"=cosxy=cosx---y"=-sinx

y=tanx---y"=1/(cosx)²=(secx)²y=cotx---y"=-1/(sinx)²=-(cscx)²y=secx---y"=secxtanxy=cscx---y"=-cscxcotx

y=arcsinx---y"=1/√1-x²y=arccosx---y"=-1/√1-x²y=arctanx---y"=1/(1+x²)y=arccotx---y"=-1/(1+x²)反三角函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx，反正割A(yù)rcsecx=1/cosx，反余割A(yù)rccscx=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsinx；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctanx的主值限在-π/2

解析幾何建立的故事

一句話，科學(xué)的需要和對(duì)方法論的興趣，推動(dòng)了費(fèi)爾馬和笛卡爾對(duì)坐標(biāo)幾何的研究。

費(fèi)爾馬，出身于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好。雖然他只能利用閑暇時(shí)間研究數(shù)學(xué)，但他對(duì)數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。并同巴斯卡(Passcal)一同開(kāi)創(chuàng)了概率論的研究工作，他和笛卡爾都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者。

費(fèi)爾馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開(kāi)始的。阿波羅尼的《論平面軌跡》一書(shū)久已失傳，而費(fèi)爾馬是把它重新寫(xiě)出來(lái)的人之一。他用代數(shù)來(lái)研究曲線。他說(shuō)，他打算發(fā)起一個(gè)關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒(méi)有做到的。1629年他寫(xiě)了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表）書(shū)中說(shuō)，他找到了一個(gè)研究有關(guān)曲線問(wèn)題的普遍方法。

費(fèi)爾馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點(diǎn)J，J的位置用A、E兩個(gè)字母定出：A是從原點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒(méi)有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的X,Y.

費(fèi)爾馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，這兩個(gè)量之一，其末端描繪出一條直線或曲線�！鼻拔闹袑�(duì)不同位置的E,其末端J,J‘,J’‘就把“線”描出，它的未知量A和E，實(shí)際是變數(shù)�；蛘呖梢哉f(shuō)，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫(xiě)出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出方程（用我們現(xiàn)在的寫(xiě)法就是）dx=by，并指出這代表一條直線。他又給出d(a-x)=by,并指出它也表示一條直線。方程p2-x2=y2代表一個(gè)圓。a2+x2=ky2和xy=a各代表一條雙曲線，x2=ay代表一條拋物線，而且費(fèi)爾馬確實(shí)領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。因?yàn)樗�給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡(jiǎn)化到的簡(jiǎn)單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個(gè)聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。

笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時(shí)間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個(gè)軍隊(duì)中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達(dá)地方的招貼牌有一個(gè)挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開(kāi)始用心于數(shù)學(xué)�；氐桨屠韬螅�他為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動(dòng)，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時(shí)移居荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫(xiě)出了著名的作品。1649年他被邀請(qǐng)去做瑞典女皇的教師，第二年

在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。1637年笛卡爾寫(xiě)的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書(shū)出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個(gè)著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》�！稁缀巍肥撬�所寫(xiě)的唯一一本數(shù)學(xué)書(shū)，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂(lè)概要》。

笛卡爾是通過(guò)三個(gè)途徑來(lái)研究數(shù)學(xué)的，作為一個(gè)哲學(xué)家，他把數(shù)學(xué)方法看作是在一切領(lǐng)域建立真理的方法來(lái)研究。作為自然科學(xué)的研究者，它廣泛地研究了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)方面，它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人，他強(qiáng)調(diào)把科學(xué)成果付之應(yīng)用。在這一點(diǎn)上，他同希臘人明白地公開(kāi)決裂。由于他注意到數(shù)學(xué)的力量，他就是要去尋找數(shù)學(xué)的用途。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)不是思維訓(xùn)練，而是一門(mén)建設(shè)性的有用科學(xué)。他認(rèn)為把數(shù)學(xué)方法用到數(shù)學(xué)本身是沒(méi)有價(jià)值的，因?yàn)檫@不算是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費(fèi)精力的盲目研究者。

笛卡爾對(duì)當(dāng)時(shí)幾何和代數(shù)的研究方法進(jìn)行了分析和比較，他認(rèn)為沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達(dá)事物是非常有益的，但他對(duì)歐幾里德幾何中的每一個(gè)證明都要求某種新的往往是奇巧的想法，這一點(diǎn)深感不安。他還批評(píng)希臘人的幾何過(guò)多地依賴于圖形。他完全看到了代數(shù)的力量，看到他在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把程序機(jī)械化和把解題工作量減小的價(jià)值。他看到代數(shù)具有作為一門(mén)普遍的科學(xué)方法的潛力。他對(duì)當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)也加以批評(píng)，說(shuō)它完全受公式和法則的控制，不像一門(mén)改進(jìn)思想的科學(xué)。因此它主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短。它所作的工作就是把代數(shù)用到幾何上去。在這里，他對(duì)方法的普遍興趣和他對(duì)代數(shù)的專門(mén)知識(shí)，就組成了聯(lián)合力量，于是就產(chǎn)生了它的《幾何》一書(shū)。

在《幾何》一書(shū)中，他開(kāi)始仿照韋達(dá)(Vjeta)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來(lái)才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。

在《幾何》第一卷的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖題，這只不過(guò)是代數(shù)在幾何上的一個(gè)應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。下一步，笛卡爾考慮了不確定的問(wèn)題，其結(jié)果可以有很多長(zhǎng)度作為答案。這些長(zhǎng)度的端點(diǎn)充滿一條曲線。他說(shuō)：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點(diǎn)的曲線”。曲線的描出，根據(jù)于最后得到的不定方程，笛卡爾指出：對(duì)于每一個(gè)ｘ，長(zhǎng)度ｙ滿足一個(gè)確定的方程，因而可以畫(huà)出。

笛卡爾的做法，是選定一條直線作為基線，以點(diǎn)Ａ為原點(diǎn)，ｘ值是基線上從Ａ量起一個(gè)線段的長(zhǎng)度。ｙ是由基線出發(fā)與基線作成一個(gè)固定角度的一個(gè)線段的長(zhǎng)度。這個(gè)坐標(biāo)系我們現(xiàn)在叫作斜角坐標(biāo)系。笛卡爾的ｘ、ｙ只取正值，即圖形在第一象限內(nèi)。有了曲線方程的思想之后，笛卡爾進(jìn)一步發(fā)展了它的思想。1、曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)。

2、同一坐標(biāo)系中兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，可解出交點(diǎn)。

3、曲線概念的推廣，古希臘人說(shuō)平面曲線是可以用直尺和圓規(guī)畫(huà)出的曲線，而笛卡爾則排斥了這種認(rèn)為只有用直尺和圓規(guī)畫(huà)出的曲線才是合法的思想，他提出，那些可用一個(gè)唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示出的曲線，都是幾何曲線。這樣，例如蔓葉線（x3+y3-3axy=0)和蚌線都被承認(rèn)是幾何曲線，其他如螺線等，笛卡爾稱之為機(jī)械曲線[萊布尼茲(Leibniz)后來(lái)把它們分別稱之為代數(shù)

曲線和超越曲線]。笛卡爾對(duì)曲線概念的這一推廣，取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規(guī)和直尺畫(huà)出這個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)，不但接納了以前被排斥的曲線，而且開(kāi)辟了整個(gè)曲線領(lǐng)域，牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何里”。

從上面的敘述我們可以看出，費(fèi)爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費(fèi)爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評(píng)了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個(gè)傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費(fèi)爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說(shuō)真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時(shí)沒(méi)有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。一個(gè)原因是因?yàn)橘M(fèi)爾馬的書(shū)《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對(duì)幾何作圖題的強(qiáng)調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實(shí)上，許多和他同時(shí)代的人，都認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問(wèn)題的工具，甚至萊布尼茲說(shuō)笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實(shí)知道，它的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個(gè)解決作圖問(wèn)題的工具，他在《幾何》的引言中說(shuō)：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述�！钡�他利用曲線方程之處，確實(shí)被他的作圖問(wèn)題所掩蓋。坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個(gè)原因，是笛卡爾的書(shū)《幾何》寫(xiě)得使人難懂。書(shū)中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說(shuō)歐洲幾乎沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫(xiě)入細(xì)節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計(jì)劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說(shuō)：“我沒(méi)有做過(guò)任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見(jiàn)到，對(duì)于那些自命無(wú)所不知的人，我如果寫(xiě)的使他們能充分理解，他們將不失機(jī)會(huì)地說(shuō)我寫(xiě)的都是他們已經(jīng)知道的東西�！边�有另一理由，在《幾何》中他說(shuō)，他不愿意奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂(lè)趣。的確，它的思想必須從它的書(shū)中許多解出的例題里去推測(cè)，他說(shuō)，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因?yàn)槿绻�有人不嫌麻煩而去系統(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。

影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個(gè)是許多數(shù)學(xué)家反對(duì)把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，認(rèn)為數(shù)量運(yùn)算和幾何量的運(yùn)算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個(gè)原因是當(dāng)時(shí)代數(shù)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)密性的。上述種種原因，雖然阻礙了對(duì)費(fèi)爾馬和笛卡爾的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并擴(kuò)展了坐標(biāo)幾何。二、解析幾何的重要性解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個(gè)巨大的成就，但在方法論上卻是一個(gè)了不起的創(chuàng)建。1、笛卡爾希望通過(guò)解析幾何引進(jìn)一個(gè)新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實(shí)，而且這個(gè)探索問(wèn)題的方式，幾乎成為自動(dòng)的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時(shí)，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點(diǎn)時(shí)，必須分別考慮交點(diǎn)在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時(shí)，則不須加區(qū)別。

2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具。一方面，

幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過(guò)代數(shù)來(lái)達(dá)到。反過(guò)來(lái)，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點(diǎn)來(lái)求三次和四次方程的實(shí)根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把這些優(yōu)點(diǎn)寫(xiě)進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門(mén)科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善�！钡拇_，十七世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于解析幾何，可以說(shuō)微分學(xué)和積分學(xué)如果沒(méi)有解析幾何的預(yù)先發(fā)展是難以想象的。

3、解析幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它是數(shù)量工具。這個(gè)數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開(kāi)要求著的，例如當(dāng)開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時(shí)就必須計(jì)算這些橢圓和炮彈飛時(shí)所畫(huà)的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運(yùn)動(dòng)物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識(shí)。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識(shí)。三、一點(diǎn)啟示

解析幾何的重要性在于他的方法建立坐標(biāo)系，用方程來(lái)表示曲線，通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線。

蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說(shuō)：“解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對(duì)它來(lái)說(shuō)，決定性的因素，不是研究對(duì)象，而是方法�！薄斑@個(gè)方法的實(shí)質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對(duì)象（即圖形）相對(duì)應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來(lái)�！庇捎诮馕鰩缀畏椒ń鉀Q各類問(wèn)題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個(gè)基本方法。不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中。

因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不僅僅在于記住它的某些具體結(jié)論。

解析幾何的基本方法，包括兩個(gè)方面：一是由圖形到方程，二是從方程到圖形，也就是選擇坐標(biāo)系，建立圖形方程。通過(guò)對(duì)方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀。

解析幾何離不開(kāi)代數(shù)，但又要隨時(shí)把各種代數(shù)表示的幾何涵義放在心中。學(xué)習(xí)中要特別注意，培養(yǎng)自己的幾何直觀能力。這種能力對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為重要的。

應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體對(duì)象。因?yàn)槲覀儜?yīng)把目的放在掌握基本方法上，采取“研究對(duì)象簡(jiǎn)單一些，突出基本方法”的方針，避免發(fā)生因?yàn)檠芯繉?duì)象復(fù)雜，引起很多枝節(jié)，從而淹沒(méi)了基本方法的現(xiàn)象。這也是笛卡爾留給我們的一個(gè)教訓(xùn)。它就是因?yàn)橹v了很多很多的作圖題，把它的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒(méi)了。

數(shù)學(xué)生活

數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)就是教師與學(xué)生的特殊生活過(guò)程。新課程改革強(qiáng)調(diào)：教學(xué)是生活的內(nèi)容，學(xué)習(xí)是學(xué)生生活的方式，生活是教學(xué)的源頭，教學(xué)與生活是密不可分的。這為生活化教學(xué)的提出提供了依據(jù)。生活化教學(xué)就是將教學(xué)植根于學(xué)生生活世界，關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活，引導(dǎo)學(xué)生不斷超越現(xiàn)實(shí)生活，改善當(dāng)前生存狀態(tài)，以提升生活質(zhì)量為主旨的教學(xué)狀態(tài)。生活化教學(xué)是學(xué)生的已知與學(xué)科知識(shí)未知的碰撞，在已知的基礎(chǔ)上構(gòu)建未知的一種教學(xué)手段。生活化教學(xué)關(guān)注學(xué)科教學(xué)中面向?qū)W生周圍的生活環(huán)境、生活經(jīng)驗(yàn)及未來(lái)生活的發(fā)展趨勢(shì)，目的是實(shí)現(xiàn)書(shū)本知識(shí)與生活知識(shí)的融通�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)�！币虼�，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活實(shí)際中去，能使學(xué)生依照生活經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的有效建構(gòu)；能使學(xué)生深刻感悟所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的生活意義和價(jià)值，產(chǎn)生追求科學(xué)的內(nèi)在內(nèi)驅(qū)力；能使學(xué)生接近科學(xué)與生活間的距離并習(xí)得分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

筆者在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，力圖把數(shù)學(xué)生活化教學(xué)理念引入課堂，下面是幾點(diǎn)在平時(shí)課堂教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行高中數(shù)學(xué)生活化教學(xué)的嘗試。一、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可用生活情境為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)修筑“跑道”

生活情境是指符合學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流，便于師生互動(dòng)和共同發(fā)展的學(xué)習(xí)氛圍。創(chuàng)設(shè)生活情境，要求數(shù)學(xué)教學(xué)注重現(xiàn)實(shí)性。從客觀上講，數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了解決生活中的實(shí)際問(wèn)題；從主觀上講，學(xué)生可以通過(guò)自己熟悉的現(xiàn)實(shí)生活或教學(xué)的指導(dǎo)，借助生活情境，逐步發(fā)現(xiàn)和得出數(shù)學(xué)結(jié)論。譬如在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生在參觀本縣的博物館的課外活動(dòng)中，有同學(xué)就問(wèn)：“老師，博物館中的出土文物和古生物恐龍化石都有注明它們所處的年代，考古學(xué)家是如何測(cè)算它們所處的年代呢？”他這一問(wèn)，同學(xué)們也都隨聲附和：“對(duì)呀，老師，這是怎樣推測(cè)出來(lái)呀？”我笑著說(shuō)：“這可是一個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題，大家回去可以先查查資料，討論討論，當(dāng)一回考古學(xué)家�！痹诨貋�(lái)后，我就順著學(xué)生的問(wèn)題進(jìn)入指數(shù)函數(shù)的課堂教學(xué)。在這樣的生活情境引導(dǎo)下，學(xué)生帶著好奇與興奮，順利進(jìn)入了新課內(nèi)容。用學(xué)生熟悉的生活現(xiàn)象來(lái)修筑數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“跑道”，將文本知識(shí)還原為學(xué)生熟悉的生活情境，使學(xué)生的思想與課本之間有了一個(gè)斜坡。這樣更能促進(jìn)課堂對(duì)話，形成課堂互動(dòng)，使學(xué)習(xí)過(guò)程更具有吸引力。

在已知的基礎(chǔ)上建構(gòu)未知才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)貼近生活，貼近學(xué)生。新課改下的高中數(shù)學(xué)生活教學(xué)注重從已知建構(gòu)未知的教學(xué)方式，從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的生活意義與價(jià)值，感受構(gòu)建求知的興趣與激情，從而激發(fā)學(xué)生探究的熱情和認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力。二、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象

新課程改革要求教師要“關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣”，也就需要教師積極開(kāi)發(fā)利用各種生活材料，為學(xué)生增添趣味盎然、豐富多彩的數(shù)學(xué)形象。使呆板的數(shù)學(xué)概

念鮮活化；抽象的原理形象化；干澀的公式趣味化；為數(shù)學(xué)教學(xué)增添樂(lè)趣。數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可運(yùn)用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象。如在數(shù)學(xué)歸納法原理講解中，本人就引入了“黃芩牙膏廣告中的動(dòng)畫(huà)圖象”第一個(gè)牙齒倒了，第二個(gè)牙齒接著倒廣告圖象設(shè)計(jì)中用到了數(shù)學(xué)中的多米諾骨牌現(xiàn)象，其中滲透了數(shù)學(xué)歸納法原理。若①第一個(gè)牙齒倒了；②第k個(gè)牙齒必推倒第k+1個(gè)牙齒；則滿足這兩個(gè)條件，所有的牙齒都會(huì)倒下。

，的斜線段，A再如在分析201*浙江高考卷的第10題：如圖，AB是平面xab，內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定為斜足，若點(diǎn)P在平面xab值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A圓B橢圓C一條直線D兩條平行直線

我設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題①：我們切甘蔗時(shí)，如果用刀角度不同（把甘蔗近似地看為圓柱體）它的切痕有何不同？（圓或橢圓）問(wèn)題②：到一線段距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡什么？（圓柱）本小題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一

個(gè)圓柱表面的問(wèn)題，由于線段AB是定長(zhǎng)線段,而△ABP的面積為定值，所以動(dòng)點(diǎn)P到線段AB的距離也是定值。由此可知空間點(diǎn)P在以AB為中心線的圓柱側(cè)面上.又因P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于一個(gè)平面去斜切一個(gè)圓柱(AB是平面的斜線段)，得到的切痕是橢圓。

這樣用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象，激發(fā)了學(xué)生興趣，使課堂氣氛活躍，使教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)通俗化、生活化，大大提高了教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

三、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可讓學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用中研究數(shù)學(xué)

學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力來(lái)自于觀念沖突，由于數(shù)學(xué)知識(shí)本身對(duì)學(xué)生注意力的吸引不夠，很難引起大多數(shù)高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的興趣，而學(xué)生往往對(duì)于生活的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)等表現(xiàn)出更強(qiáng)烈的好奇心和征服欲。因此在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，適當(dāng)?shù)乩�用生活資源手段來(lái)誘發(fā)學(xué)生好奇心與征服欲，產(chǎn)生觀念沖突，激勵(lì)學(xué)生參與解決問(wèn)題的熱情。如為了鞏固學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)和三角函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用中研究數(shù)學(xué)的能力。

我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：201*年5月1日至10月31日要在上海召開(kāi)世博會(huì)，上海201*年5月1日10月31日的氣溫成為人們關(guān)注的問(wèn)題之一，有很多人士認(rèn)為：上海這段時(shí)間是上海氣象災(zāi)難多發(fā)時(shí)間，會(huì)對(duì)參加世博會(huì)展出方和參展方造成一些不便，甚至對(duì)人員身體造成傷害。那么，上海的氣溫事實(shí)上果真如此嗎？讓學(xué)生成立一個(gè)“關(guān)注美好世博會(huì)，科學(xué)預(yù)測(cè)世博氣溫”的研究小組。

⑴收集數(shù)據(jù)。根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，上海地區(qū)201*年112月份的月平均氣溫如下表：

月份123456789101112溫度11.16.21.24.30.28.25.20.13.4.34.17.5(℃)529146982⑵確定研究中心①預(yù)測(cè)201*世博會(huì)開(kāi)幕式（4月31日）和閉幕式（10月31日）的當(dāng)日氣溫

②上海當(dāng)年最高氣溫可能出現(xiàn)的時(shí)間

③5-10月份（世博會(huì)期間）上海地區(qū)的平均氣溫⑶數(shù)學(xué)構(gòu)建，擬合函數(shù)模型通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，計(jì)算機(jī)擬合。從擬合結(jié)果看：三角函數(shù)擬合效果明顯好于二次函數(shù)。

⑷數(shù)學(xué)應(yīng)用：利用函數(shù)計(jì)算出開(kāi)幕式21.5℃，閉幕式15.3℃

上海當(dāng)年最高氣溫出現(xiàn)在7月15日左右，510月份的平均氣溫為25.2℃。

⑸學(xué)習(xí)交流：科學(xué)統(tǒng)計(jì)表明人體感覺(jué)最舒適的氣溫是21~24℃，因此可以這樣說(shuō)，上海201*世博會(huì)期間氣溫非常理想，世界各地來(lái)展覽和參展的人在上海一定可以過(guò)得很好，上海這個(gè)城市會(huì)讓世界人民的生活更美好。

新課程改革要求改革學(xué)習(xí)方式，凸顯研究性學(xué)習(xí)。通過(guò)這種學(xué)習(xí)方式引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)科學(xué)思想，形成科學(xué)精神，培養(yǎng)研究能力。教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的過(guò)程就是幫助學(xué)生克服認(rèn)知障礙，引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)猜想和假設(shè)的過(guò)程。數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中尋找問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，按照一定的研究程序，綜合應(yīng)用多方面的知識(shí)分析、解決問(wèn)題。激勵(lì)學(xué)生關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的能力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的能力。

四、數(shù)學(xué)生活化教學(xué)可讓學(xué)生在生活問(wèn)題的解決中運(yùn)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)偉人華羅庚說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)�！边@段話闡明了學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。應(yīng)用不但使知識(shí)的價(jià)值得以體現(xiàn)，而且也使學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得以提高。數(shù)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性學(xué)科，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注課程內(nèi)、生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的同時(shí)了解相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用性，有效地把抽象的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題。

如201*年5月12日四川汶川發(fā)生了8級(jí)地震，中國(guó)人民的生命財(cái)產(chǎn)遭到巨大損失。那么8級(jí)地震含義是什么？破壞力到底有多大？如何測(cè)量反映地震能量大小的地震能量尺度呢？20世紀(jì)30年代查爾斯里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為

10x，則x(12x)。其中A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”振幅（使用22標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）。

⑴假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)。（精確到0.1）

⑵5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算汶川8級(jí)地震最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的多少倍？（精確到1）

學(xué)生在課堂教學(xué)中成功地解決了生活的問(wèn)題，在生活問(wèn)題的解決中運(yùn)用數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和成就感。

數(shù)學(xué)是一門(mén)工具學(xué)科，它既可以幫我們追溯研究歷史，又可以幫我們分析解決現(xiàn)況，更可以幫我們預(yù)測(cè)指導(dǎo)未來(lái)。新課改下的高中數(shù)學(xué)生活化教學(xué)就是實(shí)施“從生活走向數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)走進(jìn)生活”的教學(xué)理念。讓高中數(shù)學(xué)教學(xué)走向生活化，可在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用生活情境激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)的內(nèi)驅(qū)力；可用形式多樣的生活材料為學(xué)生增添數(shù)學(xué)形象、豐富數(shù)學(xué)知識(shí)的生活內(nèi)涵；可讓學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用中研究數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的鉆研數(shù)學(xué)的欲望；可讓學(xué)生在生活問(wèn)題的解決中運(yùn)用數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性和運(yùn)用數(shù)學(xué)的成就感。作為新課程背景下的數(shù)學(xué)教師，讓我們?cè)跀?shù)學(xué)生活化這一領(lǐng)域中進(jìn)一步思索探究，更好地將教學(xué)的目標(biāo)與要求轉(zhuǎn)化為學(xué)生作為生活主體的內(nèi)在需要，使課堂充滿生命活力，使學(xué)生獲取有活力的知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]吳增強(qiáng)現(xiàn)代學(xué)校心理輔導(dǎo)[M]上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社201*

半生癡迷數(shù)學(xué)著書(shū)立說(shuō)

小欖一紙箱廠有個(gè)數(shù)學(xué)“奇?zhèn)b”，他的新著今年已出版

來(lái)源于：中山日?qǐng)?bào)201*年5月7日第5590期B3版

紙箱廠送貨員鄧壽才的《新編平面解析幾何解題方法全書(shū)》今年由哈爾濱工業(yè)大

學(xué)出版社出版發(fā)行。

小欖一紙箱廠有個(gè)數(shù)學(xué)“奇?zhèn)b”。他在廠里負(fù)責(zé)送貨，平時(shí)不打牌，不看電視，什么也不舍得買，就喜歡看有關(guān)數(shù)學(xué)的“天書(shū)�！彼�曾因拿不出給出版社的“編印費(fèi)”而未能出版約100萬(wàn)字的數(shù)學(xué)專著，他在小欖鎮(zhèn)各工廠打工謀生期間繼續(xù)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。從201*年開(kāi)始，他有多篇文章發(fā)表。今年，他的新著《新編平面解析幾何解題方法全書(shū)》終于由哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社付梓出版了，該書(shū)在各大書(shū)店均有售。

■打工十年日日做數(shù)學(xué)題"別人下班后都去玩、去休息，唯獨(dú)他快六十歲了卻天天挑燈夜戰(zhàn)讀一些《高等數(shù)學(xué)》，看上去好像還挺過(guò)癮。大家都說(shuō)這個(gè)老頭是個(gè)怪人，還想繼續(xù)出版數(shù)

學(xué)方面的專著。"近日，小欖鎮(zhèn)績(jī)東社區(qū)一位讀者鄭先生向本報(bào)報(bào)料說(shuō)。

在緊鄰105國(guó)道的東達(dá)紙類包裝廠，記者打聽(tīng)得知確有這樣一個(gè)怪人--58歲的四川瀘州人鄧壽才。老板稱他為"奇?zhèn)b"，工友戲稱其"肥佬"。外號(hào)"密斯田"廣西籍工友告訴記者，鄧壽才在廠里負(fù)責(zé)送貨，平時(shí)不打牌，不看電視，什么也不舍得買，就喜歡看"天書(shū)。"

工友所說(shuō)的"天書(shū)"，其實(shí)是一些關(guān)于高等數(shù)學(xué)、奧林匹克數(shù)學(xué)習(xí)題的書(shū)籍。在這家工廠的宿舍內(nèi)，記者看到鄧壽才購(gòu)買的書(shū)籍足足裝了3只大紙箱，全部是關(guān)于數(shù)學(xué)的。知道其底細(xì)的老鄉(xiāng)介紹，在單科分?jǐn)?shù)為100分的1981年，鄧壽才參加高考數(shù)學(xué)考了98分，但因總分不夠落榜。做了農(nóng)民，仍癡迷數(shù)學(xué)，妻子很早就以"不務(wù)正業(yè)"與其離了婚。"他曾在四川老家做過(guò)代課教師、在北京一家小飯館當(dāng)過(guò)會(huì)計(jì)，但他這一輩子除了數(shù)學(xué)學(xué)得好，其他啥都沒(méi)干好過(guò)。"

201*年，鄧壽才來(lái)到中山黃圃鎮(zhèn)一家磚廠工作。"因?yàn)榇u廠晚上不加班，可以做做數(shù)學(xué)題。"鄧壽才回憶。近10年來(lái)，他一直在黃圃、民眾、小欖等鎮(zhèn)區(qū)打工，自稱唯一的休閑就是偶爾也因?yàn)橄氤鰯?shù)學(xué)專著的事情去成都、重慶跑跑。"我走過(guò)很多廠，遇到很多打工仔，他們幾乎沒(méi)有一個(gè)人不笑我的"，鄧壽才操著濃重的四川口音講，"他人笑我太癡顛，我笑他人看不穿。其實(shí)人類有很多消遣方式，由簡(jiǎn)到繁地看，普通人都能理解的音樂(lè)是第一個(gè)臺(tái)階；很多人都可以理解的文學(xué)，是第二個(gè)臺(tái)階；數(shù)學(xué)肯定是比音樂(lè)、文學(xué)更高的一個(gè)娛樂(lè)方式。毛澤東說(shuō)過(guò)，無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰，不是每一個(gè)人都能欣賞數(shù)學(xué)的美。"

■花甲農(nóng)民工今年出專著

記者隨后上網(wǎng)搜索發(fā)現(xiàn)，201*年11月10日《四川日?qǐng)?bào)》"人物寫(xiě)真"版曾經(jīng)報(bào)道過(guò)這個(gè)"山溝里的數(shù)學(xué)家"，稱其在當(dāng)年10月完稿一部約100萬(wàn)字的數(shù)學(xué)專著，分為四部分，卻因拿不出給出版社的"編印費(fèi)"而未能出版。此后，鄧壽才繼續(xù)在小欖鎮(zhèn)各工廠之間打工謀生，也繼續(xù)研究感興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。但其實(shí)，他一直沒(méi)有氣餒，并終于獲得了業(yè)內(nèi)專家的首肯。在哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化》201*年第二輯（競(jìng)賽卷）中，該書(shū)主編、哈工大出版社第四編輯室主任劉培杰這樣描述鄧壽才：

"與1913年哈代遇到的類似情景出現(xiàn)在201*年下半年，一天一只超重大口袋被收發(fā)室送來(lái)。從外觀看不像是來(lái)自高校或科研院所寄信件那樣外表整潔光鮮，倒像是經(jīng)常收到的"民科"們宣稱證明了哥德巴赫猜想或者費(fèi)馬大定理那樣的稿件，作者注明的暫住地址是廣東省中山市小欖鎮(zhèn)泰豐工業(yè)大道南9

號(hào)，以編者的想象力要將這樣兩個(gè)地址與IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克）、CMO（中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）聯(lián)系起來(lái)有些難度。然而就像哈代和李特伍德最后判定瘦高的作者是個(gè)天才一樣，讀完鄧壽才的稿子我也有了自己的判斷：來(lái)稿者是一個(gè)心懷夢(mèng)想、酷愛(ài)數(shù)學(xué)并受生活所迫的青年，他應(yīng)該得到人們的認(rèn)識(shí)與鼓勵(lì)。所以，編者推遲了本文集的出版時(shí)間，加入了鄧壽才的兩篇長(zhǎng)文。"

從201*年開(kāi)始，每年兩輯的《數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化》都會(huì)有鄧壽才的文章發(fā)表。今年，他的《新編平面解析幾何解題方法全書(shū)》終于由哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社付梓出版了。記者發(fā)現(xiàn)這本書(shū)在各大書(shū)店均有售。但58歲的鄧壽才還在為生活而奔波。

山溝里的數(shù)學(xué)家

傳奇他是個(gè)農(nóng)民，卻長(zhǎng)期癡迷于數(shù)學(xué)，執(zhí)著追求，毫不動(dòng)搖。在艱難的探索中，他寫(xiě)出了100萬(wàn)字專著，且有18篇論文在國(guó)家及省級(jí)刊物發(fā)表，被當(dāng)?shù)厝俗u(yù)為“數(shù)學(xué)奇才”。

■廖榮華文/圖鄧壽才是瀘州市納溪區(qū)上馬鎮(zhèn)銀坪一組人，兄妹6人，他排行老四。由于家道艱難，8歲才到水口寺小學(xué)發(fā)蒙讀書(shū)。

1979年，鄧壽才考入上馬中學(xué)讀高中。數(shù)學(xué)教師最令他佩服，那些枯燥乏味的數(shù)字、公式，經(jīng)他一講，就變成了潺潺小溪，茂密森林。1981年，鄧壽才參加高考，數(shù)學(xué)考98分，但最后以高考總分7分之差落榜。憑其天賦，他補(bǔ)習(xí)一年即可再考大學(xué)，但想到兄妹早輟學(xué)，自己讀完高中已實(shí)屬不易，再補(bǔ)習(xí)，不僅負(fù)擔(dān)不起，兄妹也有意見(jiàn)。不得已，他只好放棄學(xué)業(yè)，回到農(nóng)村。

別人視他為異類。有人甚至說(shuō)：你都能當(dāng)數(shù)學(xué)家，我手板心煎魚(yú)給你吃離開(kāi)學(xué)校時(shí)，數(shù)學(xué)老師送了鄧壽才一本《數(shù)學(xué)難題》。鄧壽才將其視為至寶。勞動(dòng)間隙，別人嬉戲取樂(lè)，他便跑到一旁，琢磨破解之法。且像中了魔法，如癡如醉。因此出了不少事，他在山上放牛，由于埋頭算題，牛跑到別人田里，吃了半塊田秧子。牛被人家牽去，賠了50元錢(qián)，才了事。一次，他在家做飯,因?yàn)橄腩}入迷，忘了時(shí)間。將飯燒成了鍋巴。被全家人臭罵一頓。在地里干活，有了靈感，他會(huì)丟下活路，找個(gè)田邊地角，坐下就算。別人視他為異類，他也不在意。

他扛著一捆柴，一邊走一邊想題，樹(shù)枝掛痛了行人胳膊。對(duì)方罵他：“一天到晚，神頭神腦，是不是神經(jīng)有問(wèn)題？”一次，鄧壽才看書(shū)倦了，靠在床頭睡著了，插在墻縫里的松樹(shù)明子燃著了蚊帳，差點(diǎn)引起火災(zāi)，父親一氣之下，將他的書(shū)籍、手稿，統(tǒng)統(tǒng)付之一炬。一向孝順的鄧壽才，平生第一次與父親吵了架。在鄧壽才眼里，論文是寶貝，在家人眼里，則一文不值。這些年，他在《數(shù)學(xué)通訊》、《中等數(shù)學(xué)》等刊物上，共發(fā)表論文18篇。他將這些刊有他文章的刊物，珍藏在一個(gè)自制的木箱里，輕易不肯示人。他去深圳打工后，卻被侄子當(dāng)引火材料。妻子對(duì)其手稿，更是燒了多次，撕了多次。對(duì)于親人的不理解，鄧壽才很傷心，但他并不氣餒，依舊沉醉其中，自得其樂(lè)。1988年，鄧壽才的論文《舊題新解》，被《中等數(shù)學(xué)》刊用。收到編輯部寄來(lái)的雜志，整個(gè)大山都沸騰了。崇尚成功的山民紛紛向鄧壽才道賀，一些過(guò)去看不起他的人，也對(duì)他翹起了大拇指。

山溝名人多波折。家里人勸他務(wù)實(shí)，他不聽(tīng)，妻一氣之下，便與他離了婚除了數(shù)學(xué)，鄧壽才對(duì)其它事均不敏感，遇事很迂。1984年秋，納溪縣招考鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部，離考試還有兩天時(shí)間，鄧壽才才臨陣磨槍，結(jié)果數(shù)學(xué)考了第一名，但政治不及格，未被錄取。論文發(fā)表后，水口寺小學(xué)，文昌中學(xué)請(qǐng)他代課，可惜他解題是把好手，講課卻不行。無(wú)論怎么講，學(xué)生都聽(tīng)不懂。鄧壽才覺(jué)得自己不是教書(shū)的料。一個(gè)在北京做生意的兒時(shí)伙伴請(qǐng)他當(dāng)會(huì)計(jì)，他又覺(jué)得做賬太死板，不

久也辭了。家人見(jiàn)他東不成西不就，便為他張羅婚事。眼見(jiàn)周圍人一個(gè)一個(gè)富起來(lái)，有的建樓房，有的買車，有的在水口寺街上購(gòu)鋪面，他家還是老樣子，妻子心里急，勸他不聽(tīng)，還打了幾架，一氣之下，妻便與他離了婚。

今年10月4日，100萬(wàn)字書(shū)稿殺青。他跑了多家出版社，編輯都說(shuō)很有價(jià)值，但要墊付5萬(wàn)元編印費(fèi)，這對(duì)他真是個(gè)天文數(shù)字離婚后，鄧壽才同9歲兒子相依為命，又當(dāng)?shù)�又�?dāng)媽，生活搞得一團(tuán)糟。為了擺脫困境，201*年春，鄧壽才將兒子托付給父親，孤身一人南下深圳打工，先在一家無(wú)線電加工廠當(dāng)包裝工，因?qū)��?xiě)作不利，便辭了職，到一磚廠當(dāng)搬運(yùn)工。為不影響工友休息，他將床從屋中挪到工棚門(mén)口，可借門(mén)外射光來(lái)寫(xiě)作，經(jīng)過(guò)4年，十易其稿，廢稿紙裝滿了十麻袋。今年10月4日，書(shū)稿終于殺青，全書(shū)約100萬(wàn)字，分為《國(guó)內(nèi)外數(shù)奧名題妙題既新編題的多種證明與初探》、《國(guó)際國(guó)內(nèi)名題專題研究與欣賞》、《三角形不等式的系統(tǒng)探討》、《平均值不等式縱橫論》四部。鄧壽才背著書(shū)稿，跑了重慶出版社，華東師大出版社等，編輯看了都說(shuō)有價(jià)值，有兩家出版社也愿意出版，但要他先墊付5萬(wàn)元編印費(fèi)。以鄧壽才的現(xiàn)有收入，不吃不喝，至少也要五年才能湊齊。僅管如此，鄧壽才還是很興奮，說(shuō)是只要有價(jià)值，既使每天打兩份工，也要湊齊這筆錢(qián)。

據(jù)中山商報(bào)報(bào)道，外來(lái)工鄧壽才癡迷數(shù)學(xué)研究20余載，5年來(lái)發(fā)表近百萬(wàn)字文章。

看了這則新聞，筆者不由得心生敬意。試想，在物欲橫流、世人浮躁的當(dāng)下，他卻在打工之余，不打牌，不看電視，不逛街，在光線昏暗、擁擠狹小的房間，刻苦鉆研“天書(shū)”以及寫(xiě)就有關(guān)數(shù)學(xué)的文章，僅僅高二文化程度，卻論著頗豐，數(shù)學(xué)專著一部接一部付梓出版，這在常人看來(lái)難以想像，殊難能可貴。

由此，我再次拜讀我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的散文《取法務(wù)上，僅得乎中》，文中他舉了兩個(gè)例子：宋朝有一位蘇洵蘇老泉，到27歲的時(shí)候才發(fā)憤讀書(shū)，終于成為一位大文學(xué)家。

元朝有位王冕王元章，他從小貧窮，不能從師學(xué)畫(huà)，買了紙筆和顏料，放牛的時(shí)候看著荷花臨摹，經(jīng)過(guò)刻苦鍛煉，終于自學(xué)成為大畫(huà)家。

其實(shí)，華老本身就是自學(xué)成才的成功典范。他初中畢業(yè)后就失了學(xué)而自學(xué)，埋頭讀書(shū)，1930年在《科學(xué)》雜志上發(fā)表數(shù)學(xué)論文，得到我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家、教育家熊慶來(lái)首肯，被請(qǐng)進(jìn)了清華園，安排其在清華大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，這樣可以一面自學(xué)，一面聽(tīng)課。后派遣其留學(xué)英國(guó)劍橋大學(xué)，學(xué)成回國(guó)，又推薦其當(dāng)西南聯(lián)大教授，往后歷任清華大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)教授，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，中國(guó)科學(xué)院學(xué)部委員（后稱院士）。

古有伯樂(lè)相馬的故事，今有我國(guó)數(shù)學(xué)家薪盡火傳的佳話，說(shuō)的是：熊慶來(lái)慧眼認(rèn)珠（華羅庚），華羅庚睿目識(shí)采（陳景潤(rùn)）。

誠(chéng)然，以鄧壽才目前的成就尚不能與諸位數(shù)學(xué)大師并肩。不過(guò)，令人欽佩的是鄧壽才依然孜孜不倦，數(shù)年如一日，勇敢攀登險(xiǎn)峰，前程萬(wàn)里。

不用揚(yáng)鞭自?shī)^蹄，倘若有伯樂(lè)賞識(shí)，駿馬不是奔得更快？

數(shù)學(xué)家們的生活趣事

徐遲先生的一篇精彩報(bào)告文學(xué)，讓中國(guó)老百姓認(rèn)識(shí)了一個(gè)叫“陳景潤(rùn)”的數(shù)學(xué)家。陳景潤(rùn)先生走路撞樹(shù)，或者張廣厚先生吃饅頭醮墨水之類的軼聞更為廣大人民群眾所熟知。

王元買瓜算得賣瓜人目瞪口呆

中關(guān)村每到盛夏，82樓門(mén)口總有個(gè)大號(hào)的西瓜攤，攤主是個(gè)歪脖子大興人，姓魏，挑西瓜不用敲，用耳朵貼上聽(tīng)，十拿九穩(wěn)。大概是1987年或1988年，我爹讓我去買西瓜，我騎上車，直奔魏歪脖的瓜棚子畢竟他的瓜好。一看買的人不少，正要往里擠，忽然看到有兩位熟悉的人物，也在挑西瓜呢。誰(shuí)呢？數(shù)學(xué)家王元先生和太太，兩位一邊挑一邊算價(jià)錢(qián)呢。

魏歪脖的西瓜賣得好，不免有些“作怪”。不稱重，分大瓜小瓜賣，大瓜3塊一個(gè)，小瓜1塊一個(gè)�？吹酱蠊闲」铣叽绮顒e不是很大，很多人都拼命往小瓜那邊擠。

王太太好像也是這樣，卻聽(tīng)見(jiàn)王元先生說(shuō)：“咱買那個(gè)大的�！薄按蟮馁F3倍呢”王太太猶豫�！按蟮谋刃〉闹怠！蓖跸壬�說(shuō)。王太太挑了兩個(gè)大瓜，交了錢(qián)，看看別人都在搶小瓜，似乎又有些猶豫。王先生看出她猶豫，笑笑說(shuō)：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容積，不是面積。那小瓜的半徑是大瓜的2／3稍弱，容積可是按立方算的。小的容積不到大的30％，當(dāng)然買大的賺�！�

王太太點(diǎn)點(diǎn)頭，又搖搖頭：“你算得不對(duì)，那大西瓜皮厚，小西瓜還皮薄呢，算容積，恐怕還是買大的吃虧�！�

卻見(jiàn)王先生胸有成竹，點(diǎn)點(diǎn)頭道：“嘿嘿，你別忘了那小西瓜的瓜皮卻是3個(gè)瓜的，大西瓜只有1個(gè)，哪個(gè)皮多你再算算表面積看�！�

王太太說(shuō)：“頭疼，我不算了。”兩個(gè)人抱了西瓜回家，留下魏歪脖看得目瞪口呆。

鐘家慶“羞于見(jiàn)人”

鐘家慶研究員和我爹曾是課題搭檔。鐘為人俠義正直，敢說(shuō)敢為而又懂得辦事的方式方法。

有一天，我爹所在的數(shù)學(xué)所分橘子，每人一箱，所里住平房宿舍的人多，鐘先生就帶著幾個(gè)學(xué)生拉著板車給大伙兒送。那天天熱，鐘先生光著個(gè)膀子，只剩一件二指背心，他喜歡游泳，全身曬得又黑又紅。他好像有事和我爹講，所以把學(xué)生和板車打發(fā)走。他幫著把橘子搬進(jìn)我家，抓了一個(gè)橘子，正用嘴撕著扯掉橘子皮的時(shí)候，有一個(gè)目光炯炯的小丫頭湊上來(lái)了，問(wèn)：大爺，您知道鐘家慶鐘老師在哪兒?jiǎn)幔?/p>

我爹聽(tīng)見(jiàn)了，剛要介紹，又打住了。他雖然迂，但是并不傻，看看鐘先生，曬得像個(gè)黑炭頭，二指背心大褲衩子，嘴里叼著一個(gè)橘子，這這什么形象啊。幸好我爹沒(méi)說(shuō)什么，鐘先生馬上就接茬兒了唔，他不住這院兒啊。那小丫頭說(shuō)：大爺，剛才碰上他的學(xué)生，說(shuō)他在這兒呢，您能幫我看看他在不在這院?jiǎn)�？求您了，我想找機(jī)會(huì)見(jiàn)見(jiàn)鐘教授，我從武漢來(lái)的。

啊鐘先生好像也不知道該怎么回答了。他回頭看見(jiàn)我爹，像看見(jiàn)救星一樣，沖我爹一指，說(shuō)，哦，我是蹬三輪的，不認(rèn)識(shí)什么鐘家慶，你問(wèn)他吧，他住在這兒，可能知道。說(shuō)完，鐘先生掉頭就跑，把我爹給撂在那兒了。

唔，你找他什么事��？我是從武漢來(lái)的，我要考他的研究生。您認(rèn)識(shí)鐘教授嗎？唔，認(rèn)識(shí)，你認(rèn)識(shí)他嗎？

當(dāng)然啦，您看我這個(gè)包。打開(kāi)包，我爹看到厚厚一本剪報(bào)，都是鐘先生參加會(huì)議、授獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)的報(bào)道和照片，鐘先生西服革履，神采奕奕。我爹就只會(huì)唔唔了。那小丫頭還問(wèn)呢：你們科學(xué)院的研究員都住在哪兒啊？我來(lái)這兒好幾天了，怎么一個(gè)教授都沒(méi)看見(jiàn)呢？這時(shí)候，她后面有一個(gè)搬橘子的，是呂以輦研究員，也是二指背心的形象

好歹把小丫頭哄走了，我爹和鐘先生一說(shuō)，鐘先生就跳起來(lái)了，不行不行，我那天那個(gè)形象，怎么見(jiàn)這個(gè)學(xué)生�。∥业�說(shuō)要是人家考上了，你能不要？鐘先生那些日子就很苦惱，直到發(fā)榜，那小丫頭的分?jǐn)?shù)沒(méi)有上線，才松了口氣。那個(gè)小丫頭后來(lái)去了蘭州，多次給鐘先生來(lái)信，討教問(wèn)題，兼敘崇拜之情，鐘先生非常熱情認(rèn)真地回復(fù)，對(duì)她極盡幫助指點(diǎn)，但始終不肯和這學(xué)生見(jiàn)面，直到鐘先生去世。

左手畫(huà)方右手畫(huà)圓

我爹是數(shù)學(xué)所的普通人士，后來(lái)又半道出家去了其他領(lǐng)域工作了，就不再介紹他的真實(shí)姓名了。我爹的記憶力十分驚人，學(xué)打撲克我爹就占了上風(fēng)，一盤(pán)“爭(zhēng)上游”下來(lái)，沒(méi)弄明白規(guī)則，一不留神，就用上了他那個(gè)背100位圓周率不打磕巴的怪腦袋，問(wèn)人家：第三輪出牌，你為什么出10、J、Q�。咳思艺f(shuō)為什么不能出呢？我爹說(shuō)你第九輪還出了一個(gè)梅花Q，為什么把兩個(gè)Q破開(kāi)呢？教牌的人一愣，您記得這么清楚？老爺子說(shuō)湊合吧，短短一局牌嘛。人家說(shuō)那從頭到尾我們打的牌您都記得？我爹點(diǎn)點(diǎn)頭，就從出一對(duì)三開(kāi)局，一直說(shuō)到了結(jié)尾某人連甩三條大順子。打牌的人頻頻吃驚點(diǎn)頭，我娘當(dāng)場(chǎng)崩潰，高掛免戰(zhàn)牌。

我娘聰明也是稱得上的，高考數(shù)學(xué)、物理滿分，按照我娘恩師劉素校長(zhǎng)的說(shuō)法，我爹除了記憶力驚人以外別無(wú)所長(zhǎng)，學(xué)什么東西我娘總比我爹快得多，兩人比起來(lái)那整個(gè)一個(gè)龜兔賽跑。

有一天，我想起金庸小說(shuō)《射雕英雄傳》里周伯通教郭靖雙手互搏，入門(mén)課是一手畫(huà)方，一手畫(huà)圓。后來(lái)我在同學(xué)中試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)人都是不成的，無(wú)論聰明與否。跟老太太一說(shuō)，有個(gè)智力測(cè)試，如此如此，果然把我娘的興趣勾了

起來(lái)。半個(gè)小時(shí)以后，我爹回來(lái)，看見(jiàn)一大沓被糟蹋掉的白紙，好奇地問(wèn)：你畫(huà)這么多梨子做什么？問(wèn)明原委后，我爹隨手抓過(guò)筆來(lái)，左手如山，右臂如弓，抬手就畫(huà)，再看，赫然是左方右圓！

驚奇中，我爹擺擺手道：“這有什么新奇，當(dāng)初我們到德國(guó)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)原理課程，教授有個(gè)練習(xí)就是讓我們左手寫(xiě)英文，右手寫(xiě)德文，體會(huì)計(jì)算機(jī)分時(shí)系統(tǒng)的工作方式呢�！�

“您練了多久？”“一個(gè)月以后才像點(diǎn)兒模樣。在國(guó)外舉目無(wú)親的，做點(diǎn)兒這種練習(xí)免得想家�！薄耙粋�(gè)月啊？”“那也得看誰(shuí)”，我爹瞇起眼睛說(shuō)，“回國(guó)了我傳授課程，也拿這個(gè)做例子，結(jié)果有人當(dāng)場(chǎng)就做出來(lái)了，還加上了發(fā)揮�！薄罢l(shuí)��？”“吳文俊啊，下課就上來(lái)在黑板上練起來(lái)�！�

吳先生德文稍差，英文法文都好，所以是左手英文，右手法文，居然是洋洋灑灑。而內(nèi)容，竟是現(xiàn)場(chǎng)翻譯《紅燈記》選段！嘴里還唱著《莫斯科郊外的晚上》。天，這哪是雙手互搏，這是四國(guó)大戰(zhàn)��！

牛頓與萊布尼茨的數(shù)學(xué)微積分之爭(zhēng)

大多數(shù)現(xiàn)代歷史學(xué)家都相信，牛頓與萊布尼茨獨(dú)立發(fā)展出了微積分學(xué)，并為之創(chuàng)造了各自獨(dú)特的符號(hào)。根據(jù)牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出牛頓的方法，但在1693年以前牛頓幾乎沒(méi)有發(fā)表任何內(nèi)容，并直至1704年牛頓才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發(fā)表了牛頓的方法的完整敘述。

此外，萊布尼茨的符號(hào)和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以后，英國(guó)也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了牛頓的思想從初期到成熟的發(fā)展過(guò)程，而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了牛頓最終的結(jié)果。牛頓聲稱牛頓一直不愿公布牛頓的微積分學(xué)，是因?yàn)榕ｎD怕被人們嘲笑。

牛頓與瑞士數(shù)學(xué)家尼古拉法蒂奧丟勒（NicolasFatiodeDuillier）的聯(lián)系十分密切，后者一開(kāi)始便被牛頓的引力定律所吸引。1691年，丟勒打算編寫(xiě)一個(gè)新版本的牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，但從未完成它。一些研究牛頓的傳記作者認(rèn)為牛頓們之間的關(guān)系可能存在愛(ài)情的成分。[7]不過(guò)，在1694年這兩個(gè)人之間的關(guān)系冷卻了下來(lái)。在那個(gè)時(shí)候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。在1699年初，皇家學(xué)會(huì)（牛頓也是其中的一員）的其牛頓成員們指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭(zhēng)論在1711年全面爆發(fā)了。牛頓所在的英國(guó)皇家學(xué)會(huì)宣布，一項(xiàng)調(diào)查表明了牛頓才是真正的發(fā)現(xiàn)者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在后來(lái)，發(fā)現(xiàn)該調(diào)查評(píng)論萊布尼茨的結(jié)語(yǔ)是由牛頓本人書(shū)寫(xiě)，因此該調(diào)查遭到了質(zhì)疑。這導(dǎo)致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學(xué)論戰(zhàn)，并破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。

牛頓的一項(xiàng)被廣泛認(rèn)可的成就是廣義二項(xiàng)式定理，它適用于任何冪。牛頓發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項(xiàng)式），為有限差理論作出了重大貢獻(xiàn)，并首次使用了分式指數(shù)和坐標(biāo)幾何學(xué)得到丟番圖方程的解。牛頓用對(duì)數(shù)趨近了調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個(gè)先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級(jí)數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級(jí)數(shù)。牛頓還發(fā)現(xiàn)了π的一個(gè)新公式。

牛頓在1669年被授予盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位。在那一天以前，劍橋或牛津的所有成員都是經(jīng)過(guò)任命的圣公會(huì)牧師。不過(guò)，盧卡斯教授之職的條件要求其持有者不得活躍于教堂（大概是如此可讓持有者把更多時(shí)間用于科學(xué)研究上）。牛頓

認(rèn)為應(yīng)免除牛頓擔(dān)任神職工作的條件，這需要查理二世的許可，后者接受了牛頓的意見(jiàn)。這樣避免了牛頓的宗教觀點(diǎn)與圣公會(huì)信仰之間的沖突。

微積分的誕生，是在數(shù)學(xué)史上發(fā)生的一件具有劃時(shí)代意義的事件。巧的是，在17世紀(jì)中葉，牛頓、萊布尼茨兩位大數(shù)學(xué)家分別獨(dú)自建立起了微積分體系的基礎(chǔ)。歷史上關(guān)于究竟是誰(shuí)是微積分的真正奠基人有著很長(zhǎng)事件的爭(zhēng)論，目前我們普遍認(rèn)為是牛頓、萊布尼茨兩人分別建立起各自的體系，沒(méi)有互相交流或抄襲，因此當(dāng)我們談起微積分的誕生的時(shí)候，牛頓、萊布尼茨兩人都占有著舉足輕重的地位。

牛頓的科學(xué)生涯中最光輝的歲月是1665年到1667年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，在這個(gè)時(shí)間段中，他發(fā)明了流數(shù)術(shù)，也就是現(xiàn)在說(shuō)的微積分。當(dāng)時(shí)牛頓正認(rèn)真研究笛卡爾的《幾何學(xué)》，對(duì)里面求切線的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣。然后他翻閱了古希臘留下的求解無(wú)限小問(wèn)題的文獻(xiàn)，并將它總結(jié)為兩種運(yùn)算：正流數(shù)術(shù)（微分）與反流數(shù)術(shù)（積分）。牛頓畢竟是一代偉大的科學(xué)家，經(jīng)過(guò)細(xì)致的研究，牛頓得以確定正流數(shù)術(shù)與反流數(shù)術(shù)的互為逆運(yùn)算的關(guān)系。

微積分的誕生，是為了解決如瞬時(shí)速度、切線等問(wèn)題，這些問(wèn)題在微積分誕生以前主要由幾何法解決（尤其像切線問(wèn)題是純幾何問(wèn)題）。牛頓對(duì)微積分最大的貢獻(xiàn)在于，他大膽地采用了在解題面上遠(yuǎn)遠(yuǎn)廣于幾何法的代數(shù)方法。他的代數(shù)方法完全取代了卡瓦列里、巴羅等人的幾何法，實(shí)現(xiàn)了積分的代數(shù)化。

然而，在牛頓在微積分方面做出巨大貢獻(xiàn)的時(shí)候，也存在著很大的問(wèn)題他的微積分體系實(shí)際上還并不健全。于是他在隨后的二十多年里還發(fā)表了幾篇論文來(lái)完善和改進(jìn)他的微積分學(xué)說(shuō)。盡管如此，即使牛頓完成微積分的著作比萊布尼茨要早，但現(xiàn)在普遍承認(rèn)是他們兩人共同建立的微積分體系，一個(gè)重要原因是現(xiàn)代微積分采用的都是萊布尼茨的符號(hào)系統(tǒng)和規(guī)則。牛頓生活在英國(guó)，與歐洲大陸分離，與外界交流不如萊布尼茨方便是一個(gè)原因，不過(guò)更主要原因是牛頓在微積分的一些小細(xì)節(jié)問(wèn)題上不如萊布尼茨用心，通俗地說(shuō)就是：牛頓太天才了，他建立的符號(hào)系統(tǒng)與規(guī)則對(duì)于他理解與使用沒(méi)有問(wèn)題，但對(duì)于一般的人來(lái)說(shuō)理解起來(lái)有些困難，導(dǎo)致使用不方便。

與牛頓在數(shù)學(xué)、物理等方面都取得了巨大成就相比，萊布尼茨一生對(duì)數(shù)學(xué)、物理也有不少貢獻(xiàn)，不過(guò)物理方面顯然不能和經(jīng)典物理學(xué)奠基人牛頓相提并論。

但是在數(shù)學(xué)上，因?yàn)槲⒎e分的建立，他們還是享有同樣高的聲譽(yù)。萊布尼茨與牛頓一樣，很早便認(rèn)識(shí)到微分與積分互為逆運(yùn)算，并給出了微積分基本定理，也就是現(xiàn)在人們所說(shuō)的“牛頓-萊布尼茨公式”。雖然萊布尼茨在提出這個(gè)公式接近20年后才給出它的證明，但是萊布尼茨能大膽提出公式還是說(shuō)明他對(duì)微積分有著敏銳的嗅覺(jué)。

經(jīng)過(guò)考證，萊布尼茨所建立的微積分體系與牛頓所建立的流數(shù)術(shù)本質(zhì)上是一致的。然而，牛頓從物理學(xué)問(wèn)題出發(fā)，應(yīng)用了運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，造詣?shì)^高；萊布尼茨從幾何問(wèn)題出發(fā)，用分析法引進(jìn)微積分，得出運(yùn)算法則，比牛頓的流數(shù)術(shù)要嚴(yán)密得多。

正如前面所提到的，萊布尼茨之所以被人們記住，一個(gè)很重要的原因是我們現(xiàn)在使用的微積分符號(hào)系統(tǒng)是萊布尼茨所創(chuàng)立的。不像牛頓一代大科學(xué)家，只要有解決問(wèn)題的工具就可以使用得得心應(yīng)手，萊布尼茨深刻地認(rèn)識(shí)到，好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。實(shí)踐也證明了，萊布尼茨精心選擇的微積分符號(hào)要比牛頓的更優(yōu)越，更具有啟示性。這些符號(hào)，也是萊布尼茨對(duì)微積分建立留下的一個(gè)巨大貢獻(xiàn)。

牛頓和萊布尼茨共同建立了微積分體系，然而可惜的是，他們并沒(méi)有進(jìn)行深入的研究，把微積分弄清楚，更不用說(shuō)讓微積分體系變得嚴(yán)密了。早期的微積分體系在嚴(yán)密性的缺陷導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，一直到19世紀(jì)初，以法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西為主的科學(xué)家在仔細(xì)研究了微積分后，建立起極限理論后，再在德國(guó)數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯的完善下，使極限理論成為微積分的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，讓微積分理論能繼續(xù)開(kāi)展起來(lái)，數(shù)學(xué)才有了燦爛的今天。

怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

首先，課內(nèi)重視聽(tīng)講，課后及時(shí)復(fù)習(xí)。（初中時(shí)）新知識(shí)的接受，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)主要在課堂上進(jìn)行，所以要特別重視課內(nèi)的學(xué)習(xí)效率，尋求正確的學(xué)習(xí)方法。上課時(shí)要緊跟老師的思路，積極展開(kāi)思維預(yù)測(cè)下面的步驟，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同。特別要抓住基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，課后要及時(shí)復(fù)習(xí)不留疑點(diǎn)。首先要在做各種習(xí)題之前將老師所講的知識(shí)點(diǎn)回憶一遍，正確掌握各類公式的推理過(guò)程，慶盡量回憶而不采用不清楚立即翻書(shū)之舉。認(rèn)真獨(dú)立完成作業(yè)，勤于思考，從某種意義上講，應(yīng)不造成不懂即問(wèn)的學(xué)習(xí)作風(fēng)，對(duì)于有些題目由于自己的思路不清，一時(shí)難以解出，應(yīng)讓自己冷靜下來(lái)認(rèn)真分析題目，盡量自己解決。在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把知識(shí)的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來(lái)交織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系。

其次，適當(dāng)多做題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開(kāi)始要從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題，以幫助開(kāi)拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規(guī)律。對(duì)于一些易錯(cuò)題，可備有錯(cuò)題集，寫(xiě)出自己的解題思路和正確的解題過(guò)程兩者一起比較找出自己的錯(cuò)誤所在，以便及時(shí)更正。在平時(shí)要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進(jìn)入最佳狀態(tài)，在考試中能運(yùn)用自如。實(shí)踐證明：越到關(guān)鍵時(shí)候，你所表現(xiàn)的解題習(xí)慣與平時(shí)練習(xí)無(wú)異。如果平時(shí)解題時(shí)隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平時(shí)養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣是非常重要的。

第三、調(diào)整心態(tài)，正確對(duì)待考試。

1、應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法這三個(gè)方面上，因?yàn)槊看慰荚囌冀^大部分的也是基礎(chǔ)性的題目，而對(duì)于那些難題及綜合性較強(qiáng)的題目作為調(diào)劑，認(rèn)真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結(jié)歸納。調(diào)整好自己的心態(tài)，使自己在任何時(shí)候鎮(zhèn)靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。特別是對(duì)自己要有信心，永遠(yuǎn)鼓勵(lì)自己，除了自己，誰(shuí)也不能把我打倒，要有自己不垮，誰(shuí)也不能打垮我的自豪感。

2、在考試前要做好準(zhǔn)備，練練常規(guī)題，把自己的思路展開(kāi)，切忌考前去在保證正確率的前提下提高解題速度。對(duì)于一些容易的基礎(chǔ)題要有十二分把握拿全分；對(duì)于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學(xué)會(huì)嘗試得分，使自己的水平正常甚至超常發(fā)揮。

由此可見(jiàn)，要把數(shù)學(xué)學(xué)好就得找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，使自己進(jìn)入數(shù)學(xué)的廣闊天地中去。（高中時(shí)）

一、高中數(shù)學(xué)課的設(shè)置

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，知識(shí)面廣泛，五本必修，三本選修，還有系列4，在高一、

高二全部學(xué)習(xí)完高中的所有高中三年的知識(shí)內(nèi)容，高三進(jìn)行全面復(fù)習(xí)，高三將有數(shù)學(xué)“會(huì)考”和重要的“高考”。二、初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的差異。1、知識(shí)差異。

初中數(shù)學(xué)知識(shí)少、淺、難度容易、知識(shí)面笮。高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，將對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)推廣和引伸，也是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“01800”范圍內(nèi)的，但實(shí)際當(dāng)中也有7200和“300”等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負(fù)在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學(xué)習(xí)《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實(shí)體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識(shí)，以便解決排隊(duì)方法種數(shù)等問(wèn)題。如：①三個(gè)人排成一行，有幾種排隊(duì)方法，（=6種）；②四人進(jìn)行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場(chǎng)次？（答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中中對(duì)一個(gè)負(fù)數(shù)開(kāi)平方無(wú)意義，但在高中規(guī)定了i21,就使-1的平方根為±i.即可把數(shù)的概念進(jìn)行推廣，使數(shù)的概念擴(kuò)大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識(shí)同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中將逐漸學(xué)習(xí)到。2、學(xué)習(xí)方法的差異。

（1）初中課堂教學(xué)量小、知識(shí)簡(jiǎn)單，通過(guò)教師課堂教慢的速度，爭(zhēng)取讓全面同學(xué)理解知識(shí)點(diǎn)和解題方法，課后老師布置作業(yè)，然后通過(guò)大量的課堂內(nèi)、外練習(xí)、課外指導(dǎo)達(dá)到對(duì)知識(shí)的反反復(fù)復(fù)理解，直到學(xué)生掌握。而高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)隨著課程開(kāi)設(shè)多（有九們課學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)），每天至少上六節(jié)課，自習(xí)時(shí)間三節(jié)課，這樣各科學(xué)習(xí)時(shí)間將大大減少，而教師布置課外題量相對(duì)初中減少，這樣集中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間相對(duì)比初中少，數(shù)學(xué)教師將相初中那樣監(jiān)督每個(gè)學(xué)生的作業(yè)和課外練習(xí)，就能達(dá)到相初中那樣把知識(shí)讓每個(gè)學(xué)生掌握后再進(jìn)行新課。（2）模仿與創(chuàng)新的區(qū)別。初中學(xué)生模仿做題，他們模仿老師思維推理教多，而高中模仿做題、思維學(xué)生有，但隨著知識(shí)的難度大和知識(shí)面廣泛，學(xué)生不能全部模仿，即就是學(xué)生全部模仿訓(xùn)練做題，也不能開(kāi)拓學(xué)生自我思維能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)也只能是一般程度。現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)考察，旨在考察學(xué)生能力，避免學(xué)生高分低能，避免定勢(shì)思維，提倡創(chuàng)新思維和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力培養(yǎng)。初中學(xué)生大量地模仿使學(xué)生帶來(lái)了不利的思維定勢(shì)，對(duì)高中學(xué)生帶來(lái)了保守的、僵化的思想，封閉了學(xué)生的豐富反對(duì)創(chuàng)造精神。如學(xué)生在解決：比較a與2a的大小時(shí)要不就錯(cuò)、要不就答不全面。大多數(shù)學(xué)生不會(huì)分類討論。3、學(xué)生自學(xué)能力的差異初中學(xué)生自學(xué)那能力低，大凡考試中所用的解題方法和數(shù)學(xué)思想，在初中教師基本上已反復(fù)訓(xùn)練，老師把學(xué)生要學(xué)生自己高度深刻理解的問(wèn)題，都集中表現(xiàn)在他的耐心的講解和大量的訓(xùn)練中，而且學(xué)生的聽(tīng)課只需要熟記結(jié)論就可以做題（不全是），學(xué)生不需自學(xué)。但高中的知識(shí)面廣，知識(shí)要全部要教師訓(xùn)練完高考中的習(xí)題類型是不可能的，只有通過(guò)較少的、較典型的一兩道例題講解去融會(huì)貫通這一類型習(xí)題，如果不自學(xué)、不靠大量的閱讀理解，將會(huì)使學(xué)生失去一類型習(xí)題的解法。另外，科學(xué)在不斷的發(fā)展，考試在不斷的改革，高考也隨著全面的改革不斷的深入，數(shù)學(xué)題型的開(kāi)發(fā)在不斷的多樣化，近年來(lái)提出了應(yīng)用型題、探索型題和開(kāi)放型題，只有靠學(xué)生的自學(xué)去深刻理解和創(chuàng)新才能適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。其實(shí)，自學(xué)能力的提高也是一個(gè)人生活的需要，他從一個(gè)方面也代表了一個(gè)人的素養(yǎng)，人的一生只有18---24年時(shí)間是有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)，其后半生，最精彩的人生是人在一生學(xué)習(xí)，靠的自學(xué)最終達(dá)到了自強(qiáng)。

4、思維習(xí)慣上的差異

初中學(xué)生由于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍小，知識(shí)層次低，知識(shí)面笮，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的思維受到了局限，就幾何來(lái)說(shuō)，我們都接觸的是現(xiàn)實(shí)生活中三維空間，但初中只學(xué)了平面幾何，那么就不能對(duì)三維空間進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯思維和判斷。代數(shù)中數(shù)的范圍只限定在實(shí)數(shù)中思維，就不能深刻的解決方程根的類型等。高中數(shù)學(xué)知識(shí)的多元化和廣泛性，將會(huì)使學(xué)生全面、細(xì)致、深刻、嚴(yán)密的分析和解決問(wèn)題。也將培養(yǎng)學(xué)生高素質(zhì)思維。提高學(xué)生的思維遞進(jìn)性。5、定量與變量的差異初中數(shù)學(xué)中，題目、已知和結(jié)論用常數(shù)給出的較多，一般地，答案是常數(shù)和定量。學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)，大多是按定量來(lái)分析問(wèn)題，這樣的思維和問(wèn)題的解決過(guò)程，只能片面地、局限地解決問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們將會(huì)大量地、廣泛地應(yīng)用代數(shù)的可變性去探索問(wèn)題的普遍性和特殊性。如：求解一元二次方程時(shí)我們采用對(duì)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解，討論它是否有根和有根時(shí)的所有根的情形，使學(xué)生很快的掌握了對(duì)所有一元二次方程的解法。另外，在高中學(xué)習(xí)中我們還會(huì)通過(guò)對(duì)變量的分析，探索出分析、解決問(wèn)題的思路和解題所用的數(shù)學(xué)思想。三、如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)良好的開(kāi)端是成功的一半，高中數(shù)學(xué)課即將開(kāi)始與初中知識(shí)有聯(lián)系，但比初中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)。高一數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，它也是高考的重點(diǎn)，近年來(lái)，高考?jí)狠S題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個(gè)試題的60%以上。1、有良好的學(xué)習(xí)興趣

兩千多年前孔子說(shuō)過(guò)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者�！币馑颊f(shuō)，干一件事，知道它，了解它不如愛(ài)好它，愛(ài)好它不如樂(lè)在其中�！昂谩焙汀皹�(lè)”就是愿意學(xué)，喜歡學(xué)，這就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛(ài)好，愛(ài)好它就要去實(shí)踐它，達(dá)到樂(lè)在其中，有興趣才會(huì)形成學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂(lè)趣出發(fā)上升為自覺(jué)的理性的“認(rèn)識(shí)”過(guò)程，這自然會(huì)變?yōu)榱⒅緦W(xué)好數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者。那么如何才能建立好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣呢？

（1）課前預(yù)習(xí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生疑問(wèn)，產(chǎn)生好奇心。

（2）聽(tīng)課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽(tīng)課中重點(diǎn)解決預(yù)習(xí)中疑問(wèn)，把老師課堂的提問(wèn)、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂(lè)，及時(shí)回答老師課堂提問(wèn)，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對(duì)你的提問(wèn)的評(píng)價(jià)，變?yōu)楸薏邔W(xué)習(xí)的動(dòng)力。

（3）思考問(wèn)題注意歸納，挖掘你學(xué)習(xí)的潛力。

（4）聽(tīng)課中注意老師講解時(shí)的數(shù)學(xué)思想，多問(wèn)為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的？

（5）把概念回歸自然。所有學(xué)科都是從實(shí)際問(wèn)題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學(xué)概念也回歸于現(xiàn)實(shí)生活，如角的概念、至交坐標(biāo)系的產(chǎn)生、極坐標(biāo)系的產(chǎn)生都是從實(shí)際生活中抽象出來(lái)的。只有回歸現(xiàn)實(shí)才能使對(duì)概念的理解切實(shí)可靠，在應(yīng)用概念判斷、推理時(shí)會(huì)準(zhǔn)確。

2、建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣。

習(xí)慣是經(jīng)過(guò)重復(fù)練習(xí)而鞏固下來(lái)的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會(huì)使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動(dòng)手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要把教師所傳授的知識(shí)翻譯成為自己的特殊語(yǔ)言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時(shí)間，以便加寬知識(shí)面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。3、有意識(shí)培養(yǎng)自己的各方面能力

數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計(jì)算能力、空間想象能力和分析解決問(wèn)題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意開(kāi)發(fā)不同的學(xué)習(xí)場(chǎng)所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競(jìng)賽、智力競(jìng)賽等活動(dòng)。平時(shí)注意觀察，比如，空間想象能力是通過(guò)實(shí)例凈化思維，把空間中的實(shí)體高度抽象在大腦中，并在大腦中進(jìn)行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會(huì)精心設(shè)計(jì)“智力課”和“智力問(wèn)題”比如對(duì)習(xí)題的解答時(shí)的一題多解、舉一反三的訓(xùn)練歸類，應(yīng)用模型、電腦等多媒體教學(xué)等，都是為數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)開(kāi)設(shè)的好課型，在這些課型中，學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最終達(dá)到自己各方面能力的全面發(fā)展。四、其它注意事項(xiàng)

1、注意化歸轉(zhuǎn)化思想學(xué)習(xí)。

人們學(xué)習(xí)過(guò)程就是用掌握的知識(shí)去理解、解決未知知識(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程都是用舊知識(shí)引出和解決新問(wèn)題，當(dāng)新的知識(shí)掌握后再利用它去解決更新知識(shí)。初中知識(shí)是基礎(chǔ)，如果能把新知識(shí)用舊知識(shí)解答，你就有了化歸轉(zhuǎn)化思想了�？梢�(jiàn)，學(xué)習(xí)就是不斷地化歸轉(zhuǎn)化，不斷地繼承和發(fā)展更新舊知識(shí)。2、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想溶于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，因此，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想一般可分為兩步進(jìn)行：一是揭示數(shù)學(xué)思想內(nèi)容規(guī)律，即將數(shù)學(xué)對(duì)象其具有的屬性或關(guān)系抽取出來(lái)，二是明確數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)的聯(lián)系，抽取解決全體的框架。實(shí)施這兩步的措施可在課堂的聽(tīng)講和課外的自學(xué)中進(jìn)行。課堂學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場(chǎng)。課堂中教師通過(guò)講解、分解教材中的數(shù)學(xué)思想和進(jìn)行數(shù)學(xué)技能地訓(xùn)練，使高中學(xué)生學(xué)習(xí)所得到豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師組織的科研活動(dòng)，使教材中的數(shù)學(xué)概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。如初中學(xué)習(xí)的相反數(shù)概念教學(xué)中，教師的課堂教學(xué)往往有以下理解：①?gòu)亩�義角度求3、-5的相反數(shù)，相反數(shù)是的數(shù)是_____.②從數(shù)軸角度理解：什么樣的兩點(diǎn)表示數(shù)是互為相反數(shù)的。（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)）③從絕對(duì)值角度理解：絕對(duì)值_______的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)的。④相加為零的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)嗎？這些不同角度的教學(xué)會(huì)開(kāi)闊學(xué)生思維，提高思維品質(zhì)。望同學(xué)們把握好課堂這個(gè)學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場(chǎng)。五、學(xué)數(shù)學(xué)的幾個(gè)建議。

1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對(duì)概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識(shí)。

2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭(zhēng)取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥；解答問(wèn)題完整、推理嚴(yán)密。3、記憶數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論。

4、與同學(xué)建立好關(guān)系，爭(zhēng)做“小老師”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“互助組”。5、爭(zhēng)做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度。

6、反復(fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。

7、學(xué)會(huì)總結(jié)歸類。可：①?gòu)臄?shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識(shí)應(yīng)用上分類。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

進(jìn)入高中以后，往往有不少同學(xué)不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響到學(xué)習(xí)的積極性，甚至成績(jī)一落千丈。出現(xiàn)這樣的情況，原因很多。但主要是由于學(xué)生不了解高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)與自身學(xué)習(xí)方法有問(wèn)題等因素所造成的。在此結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，談一下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，供同學(xué)參考。一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化1、數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上突變

初、高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語(yǔ)言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及非常抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言、函數(shù)語(yǔ)言、圖象語(yǔ)言等。2、思維方法向理性層次躍遷

高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個(gè)原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的，便于操作的定勢(shì)方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績(jī)下降。3、知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)又一個(gè)明顯的不同是知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加了，單位時(shí)間內(nèi)接受知識(shí)信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)地減少了。

4、知識(shí)的獨(dú)立性大

初中知識(shí)的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，給我們學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大的方便。因?yàn)樗�便于記憶，又適合于知識(shí)的提取和使用。但高中的數(shù)學(xué)卻不同了，它是由幾塊相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)拼合而成（如高一有集合，命題、不等式、函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)和對(duì)數(shù)方程、三角比、三角函數(shù)、數(shù)列等），經(jīng)常是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)剛學(xué)得有點(diǎn)入門(mén)，馬上又有新的知識(shí)出現(xiàn)。因此，注意它們內(nèi)部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時(shí)必須花力氣的著力點(diǎn)。

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