高中數學三角函數知識點解題技巧總結

高中數學三角函數知識點解題方法總結

一、見“給角求值”問題，運用“新興”誘導公式

一步到位轉換到區(qū)間（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、見“sinα±cosα”問題，運用三角“八卦圖”

1.sinα+cosα>0(或0(或|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內;4.|sinα|“化弦為一”：已知tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形

還可以視其分母為1，轉化為sin2α+cos2α.

六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.

七、見“sinα±cosα與sinαcosα”問題，起用平方法則：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ”問題，啟用變形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、見三角函數“對稱”問題，啟用圖象特征代數關系：(A≠0)

1.函數y=Asin(wx+φ)和函數y=Acos(wx+φ)的圖象，關于過最值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱；2.函數y=Asin(wx+φ)和函數y=Acos(wx+φ)的圖象，關于其中間零點分別成中心對稱；3.同樣，利用圖象也可以得到函數y=Atan(wx+φ)和函數y=Acot(wx+φ)的對稱性質。十、見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式：1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.十一、見“高次”，用降冪，見“復角”，用轉化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

擴展閱讀：高中數學三角函數知識點總結實用版[1]

三角函數

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ

xcosx4sinx2sinx3④終邊在坐標軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx1SIN\\COS三角函數值大小關系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域軸上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：360k⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：360k902.角度與弧度的互換關系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝

180≈0.01745（rad）

3、弧長公式：l||r.扇形面積公式：s扇形12lr12||r

y24、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任�。ó愑谠�點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則sincosxryr；rya的終邊P（x,y)；tanyx；cotxy；secrx；.csc.rox5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函數線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

7.三角函數的定義域：三角函數f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcostan8、同角三角函數的基本關系式：sintancot1cscsin1

222

cossincot

16.幾個重要結論:

2seccos1

22sincos1sectan1csccot1

(1)y(2)y9、誘導公式：

把k2|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x的三角函數化為的三角函數，概括為：“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

coscos()coscossinsinsin22sincos()coscossinsinsin()sincoscossin2222cos2cossin2cos112sin

tan22tan1tan1cos22

sin()sincoscossintantan1tantantantan1tantansin2tan()

cos21cos2

sin1cos1cossintan()tan

21cos1cos公式組三公式組四公式組五2tansin1tan22sincos121212sinsincossinsincos(sin(tan(121212)sin)cos)cot2

cossincoscos1tancos1tan22cos22

sinsin12coscoscos(tan(sin(sinsin2sinsinsin2cos22cossin22121212)sin22tantan1tan22)cot)cos264

coscos2coscoscos2sin22cossinsin15cos75,,tan152cot7523,.

2tan75cot15223

sin75cos1564

10.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：定義域值域周期性奇偶性單調性ysinxycosxytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxyAsinx（A、＞0）RR[1,1]R[1,1]x|xR且xk,kZRRA,A22奇函數22偶函數[2k1,奇函數k,k22奇函數當當0,0,非奇非偶奇函數[2k,2k]；k,k1上為減函數（kZ）22k]上為增函上為增函數數（kZ）[2k,上為增函數[；2k,2k]2k1]數2k2(A),12k2(A)22上為減函（kZ）上為增函數；2k2(A),32k2(A)3上為減函數（kZ）上為減函數（kZ）

注意：①ysinx與ysinx的單調性正好相反；ycosx與ycosx的單調性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

cos(x)y③ysin(x)或yytanx2（0）的周期T2.

Ox的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2④ysin(x)的對稱軸方程是x對稱軸方程是x原點對稱k（kZ），對稱中心（k,0）；y12(socx)的

k（kZ），對稱中心（k；y,0）

(nat（x)的對稱中心

k2.,0）

ycos2xycos(2x)cos2x

tan⑤當tan

1,k2(kZ)tan；tan

1,k2(kZ).

⑥ycosx與ysin2k是同一函數,而y(x)是偶函數，則x212y(x)sin(xk)cos(x).

⑦函數ytanx在R上為增函數.（×）[只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域，ytanx為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：f(x)f(x)）

f(x)f(x)，奇函數：

奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數，ytan(x1)是非奇非偶.（定

3義域不關于原點對稱）

奇函數特有性質：若0x的定義域，則f(x)一定有質）

▲f(0)0.（0x的定義域，則無此性

⑨ysinx不是周期函數；ysinx為周期函數（T）；y▲yx1/2xycosx是周期函數（如圖）；ycosx為周期函數（T）；y=cos|x|圖象ycos2x12的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsinab22sin()cosba有a2b2y.

三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，頻率f1T||2，相位x;初相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

高中數學三角函數常見習題類型及解法

1.三角函數恒等變形的基本策略。

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。

（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－

22等。

（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=

ba確定。

2.證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。

（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。

4.解答三角高考題的策略。

（1）發(fā)現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。

四、例題分析例1．已知tan的值.

解：（1）

cossincossin1sin22322；

1tan1cossin1tan11cos222cossin2，求（1）；（2）sin2sin.cos2cos2cossin(2)sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos22

cos2cossin12cossin222221432.

說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

例2．求函數y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。

解：設tsinxcosx1232ytt1(t)242sin(xπ4)[2，2]，則原函數可化為

，因為t[2，2]，所以

12當t2時，ymax32，當t34時，ymin34，

所以，函數的值域為y[，32]。

例3．已知函數f(x)4sin2x2sin2x2，xR。

（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此時x的集合；（2）證明：函數f(x)的圖像關于直線xπ8對稱。

解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sinx22coxs22π2xsin(24)(1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因為xR，所以，當2xπ42kππ2，即xkπ3π8時，f(x)最大值為22；

π8(2)證明：欲證明函數f(x)的圖像關于直線x有f(π8x)f(π8π8π8π8x)成立，

π8π8x)x)π4π4對稱，只要證明對任意xR，

因為f(f(x)22sin[2(x)22sin[2(x)f(π8]22sin(]22sin(π2π22x)22cos2x，

2x)22cos2x，

π8所以f(x)成立，從而函數f(x)的圖像關于直線x12對稱。

例4．已知函數y=cos2x+

32sinxcosx+1（x∈R）,

（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；

（2）該函數的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（1）y=+1

==

141212cos2x+

32sinxcosx+1=

1412(2cos2x－1)+

14+

34（2sinxcosx）

cos2x+sin(2x+

346

sin2x+)+

5454=(cos2xsin

6+sin2xcos

6)+

54

所以y取最大值時，只需2x+

6=

2+2kπ,（k∈Z），即x=

66+kπ,（k∈Z）。

所以當函數y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=（2）將函數y=sinx依次進行如下變換：（i）把函數y=sinx的圖像向左平移

6+kπ,k∈Z}

6，得到函數y=sin(x+

12)的圖像；

（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的函數y=sin(2x+

6倍（縱坐標不變），得到

)的圖像；

12（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數y=

12sin(2x+

6)的圖像；

54（iv）把得到的圖像向上平移的圖像。

綜上得到y(tǒng)=

12個單位長度，得到函數y=

12sin(2x+

6)+

54cos2x+

32sinxcosx+1的圖像。

說明：本題是201*年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數的圖像和性質。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=a2b2sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx≠0時，

1y=

2cos2x23sin2xcossinxcosx21x+1=

221tan3tanx2x+1

化簡得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：∴ymax=

7434≤y≤

74

，此時對應自變量x的值集為{x|x=kπ+

x3cosx33cos26,k∈Z}

例5．已知函數f(x)sinx3.

（Ⅰ）將f(x)寫成Asin(x)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f(x)的值域.

解：

f(x)12sin2x332(1cos2x3)12sin2x332cos2x332sin(2x33)32

（Ⅰ）由sin(2x33)=0

即對稱中心的橫坐標為（Ⅱ）由已知b2=ac

33k12即

2x3k(kz)得xkz3k12kz

，cosx|12acb2ac222acac2ac222acac2ac2x32x312，593sin(2x3cosx1，0x3，3332||592|，32sin].

3sin(3)1，3)132，即f(x)的值域為(3,1綜上所述，x(0,]，f(x)值域為(3,1332].

說明：本題綜合運用了三角函數、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數形結合的思想來解決函數值域的問題，有利于培養(yǎng)學生的運算能力，對知識進行整合的能力。

例6．在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且(1)求sinB的值；

(2)若b42，且a=c，求ABC的面積。解：(1)由正弦定理及

cosCcosB3acbcosCcosB3acb，

，有

cosCcosB3sinAsinCsinB，

即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin(BC)3sinAcosB，

又因為ABCπ，sin(BC)sinA，所以sinA3sinAcosB，因為sinA0，所以cosB13，又0Bπ，所以sinB1cos2B23ac32223。

(2)在ABC中，由余弦定理可得a2c243，又ac，

所以有a232，即a224，所以ABC的面積為

S12acsinB12asinB822。

三角函數

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1．已知點P（tanα，cosα）在第三象限，則角α的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kππkπ2．集合M＝{x|x＝±，k∈Z}與N＝{x|x＝，k∈Z}之間的關系是（）

244A.MNB.NMC.M＝ND.M∩N＝

3．若將分針撥慢十分鐘，則分針所轉過的角度是（）

A.60°角

()

A.（1）（2）2A.

5

B.（2）（3）C.（1）（3）21B.－C.

55

B.－60°C.30°

D.－30°

4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的

是

D.（2）（4）

5．設a＜0，角α的終邊經過點P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（）

1

D.－

513

6．若cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，則sin(2π－α)等于（）

223313B.C.D.±2222

7．若α是第四象限角，則π－α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．已知弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是（）

A.－A.2

B.2

C.2sin1sin1

D.sin2

1

9．如果sinx＋cosx＝，且0＜x＜π，那么cotx的值是（）

5

4A.－

3

433B.－或－C.－

344

43

D.或－

34

D.9

10．若實數x滿足log2x＝2＋sinθ，則|x＋1|＋|x－10|的值等于（）A.2x－9B.9－2xC.11

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若sinα＋cosα

＝2，則sinαcosα的值是_____________.

sinα－cosα

2cosx

13．不等式（lg20)＞1，(x∈(0，π))的解集為_____________.

1

14．若θ滿足cosθ＞－，則角θ的取值集合是_____________.

215．若cos130°＝a，則tan50°＝_____________.－16．已知f(x)＝

1－xπ

，若α∈(，π)，則f(cosα)＋f(－cosα)可化簡為___________.1＋x三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）設一扇形的周長為C(C＞0)，當扇形中心角為多大時，它有最大面積？最大面積是多少？

18．(本小題滿分14分）設90°＜α＜180°，角α的終邊上一點為P（x，5)，且cosα＝

2

x，求sinα與tanα的值.4

m－34－2mπ

19．(本小題滿分14分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求m的值.

2m＋5m＋5

20．(本小題滿分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg33

－lg2，求cos3α－sin3α的值.2

7

21．(本小題滿分15分)已知sin(5π－α)＝2cos(π＋β)和3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，

2

且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.

三角函數

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1．下列函數中，最小正周期為π的偶函數是（）

A.y＝sin2xC.y＝sin2x＋cos2x

x

B.y＝cos

2

1－tanxD.y＝

1＋tan2x

2

2．設函數y＝cos(sinx)，則（）

A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數3．把函數y＝cosx的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩

π

倍，然后把圖象向左平移個單位.則所得圖象表示的函數的解析式為

4（）

A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(＋)

24π

C.y＝2cos(2x＋)

4π

4．函數y＝2sin(3x－)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是（）

4

πA.

3B.

2π

C.π3

D.

4π

3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，則α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6．函數y＝|cotx|sinx（0＜x≤

3π

且x≠π）的圖象是（）2

cos2x

7．設y＝，則下列結論中正確的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無最小值

C.y有最小值但無最大值D.y既無最大值又無最小值π

8．函數y＝sin（－2x)的單調增區(qū)間是（）

4

A.［kπ－

3πππ5π，kπ＋］(k∈Z)B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)8888

π3π3π7π

C.［kπ－，kπ＋］(k∈Z)D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)

8888

1

9．已知0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函數f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是（）

2

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函數y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)為奇函數，且在［0，］上是增函數的θ的一

4個

（）A.

5π

3B.值

4π2π

C.33

為πD.3

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．函數y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

的定義域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且滿足|sinx|＝2cosy－2，則x＝___________，y＝___________.14．已知函數y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，則它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形12．函數y＝

的面積是_____________

15．函數y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．關于函數f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命題：

3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數倍；π②y＝f(x)的表達式可改為y＝4cos(2x－)；

6π

③y＝f(x)的圖象關于點（－，0)對稱；

6π

④y＝f(x)的圖象關于直線x＝－對稱.

6

其中正確的命題的序號是_____________.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）如圖為函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，試求該函數的一個解析式.

18．（本小題滿分14分）已知函數y＝(sinx＋cosx)＋2cosx.(x∈R)

(1)當y取得最大值時，求自變量x的取值集合.

(2)該函數圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

2

19．（本小題滿分14分）已知函數f(x)＝log12(sinx－cosx)

（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調減區(qū)間；

（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數，求出它的一個周期.

20．（本小題滿分15分）某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠（如圖），為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.若水渠橫斷面面積設計為定值m，渠深3米，則水渠側壁的傾斜角α應為多少時，方能使修建的成本最低？

21．(本小題滿分15分）已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其3ππ

圖象關于點M（，0)對稱，且在區(qū)間［0，］上是單調函數，求φ和ω的值.

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