導數(shù)及其應用 知識點總結

導數(shù)及其應用知識點總結

1、函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率：

fx2fx1x2x1xx0

f(x0x)f(x0)x2、導數(shù)定義：fx在點x0處的導數(shù)記作yf(x0)lim；．

處的切線的斜率．

x03、函數(shù)yfx在點x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線4、常見函數(shù)的導數(shù)公式：

yfx在點

x0,fx0①C"0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(log5、導數(shù)運算法則：

ax)"1xlna；⑧(lnx)"1x

1

fxgxfxgx；

fxgxfxgxfxgx；

2

fxfxgxfxgxgx02gx3gx．

6、在某個區(qū)間a,b內，若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內單調遞增；

若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內單調遞減．7、求解函數(shù)yf(x)單調區(qū)間的步驟：

（1）確定函數(shù)yf(x)的定義域；（2）求導數(shù)y"f"(x)；（3）解不等式f"(x)0，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式f(x)0，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．

8、求函數(shù)yfx的極值的方法是：解方程fx0．當fx00時：

"1如果在x0附近的左側fx0，右側fx0，那么fx0是極大值；fx0，右側fx0，那么fx0是極小值．

2如果在x0附近的左側

9、求解函數(shù)極值的一般步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導數(shù)f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況10、求函數(shù)yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟是：

1求函數(shù)yfx在a,b內的極值；

2將函數(shù)yfx的各極值與端點處的函數(shù)值fa，fb比較，其中最大的一個是最大值，最

小的一個是最小值．

擴展閱讀：高中數(shù)學人教版選修2-2導數(shù)及其應用知識點總結

數(shù)學選修2-2導數(shù)及其應用知識點必記

1．函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數(shù)的概念是什么？

答：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是limf(x0x)f(x0)y，則稱limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做yf(x)在x0處的導數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導數(shù)的幾何意義是什么？

答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。

4導數(shù)的背景是什么？

答：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。5、常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導數(shù)和定積分運算公式有哪些？答：若fx，gx均可導（可積），則有：和差的導數(shù)運算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導數(shù)運算特別地：Cfx"Cf"x商的導數(shù)運算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復合函數(shù)的導數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟是什么？答：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在a,b上的極值；

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

注：實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；9．求曲邊梯形的思想和步驟是什么？

答：分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質有哪些？

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1

1dxba

ababbbbb性質5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種？

答：定積分的值可能取正值，也可能取負值，還可能是0.

(l）當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識有哪些？答：（1）位移的導數(shù)為速度，速度的導數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

數(shù)學選修2-2推理與證明知識點必記

13.歸納推理的定義是什么？答：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。．．．．．．．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過程是什么？答：大致如圖：

實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論15.歸納推理的特點有哪些？

答：①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義是什么？

答：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類比推理的思維過程是什么？答：

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結論18.演繹推理的定義是什么？

答：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演繹推理的主要形式是什么？答：三段論20.“三段論”可以表示為什么？

答：①大前題：M是P②小前提：S是M③結論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？

答：直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法？

答：綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。23.什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。

要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。24什么是間接證明？

答：即反證法：是指從否定的結論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么？

答：（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；

（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。．．．26常見的“結論詞”與“反義詞”有哪些？原結論詞反義詞原結論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反．．．．

28.如何歸繆矛盾？

答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．數(shù)學歸納法（只能證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題）的步驟是什么？．．．nnN答：(1)證明：當n取第一個值時命題成立；00．．．．(2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)學選修2-2數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點必記

30.復數(shù)的概念是什么？答：形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實部，b叫虛部，數(shù)集．．．．

Cabi|a,bR叫做復數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強調：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實數(shù)(b0)31．數(shù)集的關系有哪些？答：復數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復數(shù)的幾何意義是什么？答：復數(shù)與平面內的點或有序實數(shù)對一一對應。

33.什么是復平面？

答：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)zabi，都可以由一個有序實數(shù)對

(a,b)唯一確定。由于有序實數(shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應，因此

復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。34.如何求復數(shù)的模(絕對值)？答：與復數(shù)z對應的向量OZ的模r叫做復數(shù)zabi的模(也叫絕對值)記作

z或abi。由模的定義可知：zabia2b2

35.復數(shù)的加、減法運算及幾何意義是什么？

答：①復數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。

注：復數(shù)的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。．．②復數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復數(shù)的除法法則：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實數(shù)化因子36.什么是共軛復數(shù)？

答：兩復數(shù)abi與abi互為共軛復數(shù)，當b0時，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設

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