北航制造技術(shù)實習報告習題答案1

數(shù)控基礎(chǔ)導論

解兆宏教學內(nèi)容：數(shù)控基礎(chǔ)知識教材版本：北京航空航天大學《制造實習》教學方法：課堂講授、學生編程練習

教學時間：講授100分鐘、練習60分鐘

教具：外圓車刀、切斷車刀、立銑刀各1把師范講解掛圖2張教學目的：了解數(shù)控的基本知識掌握手工編程的技能

引言：點名書P231至306實習報告P29、30、35簡介數(shù)控組指導老師、機床、實習場地、教室一．教程第一天上午1。數(shù)控基礎(chǔ)2。編程（學生車銑各編一圖）下午講機床的結(jié)構(gòu)和操作第二天講CAXA軟件《平面作圖》（學生畫一個數(shù)銑圖案；畫一個數(shù)車圖案）第三天講CAXA《曲面、立體造型》二．評分按上級規(guī)定：每個同學兩個分數(shù)技能：1．手編2。零件設(shè)計制作3。曲面造型表現(xiàn)：1．紀律2。安全3。考勤4。實習態(tài)度5。實習報告三.注意事項1．按規(guī)定穿工作服，女生戴帽子。2．同學一定不要遲到、早退。3．按時交作業(yè)。4．每個實習環(huán)節(jié)都要有競爭意識和創(chuàng)新意識講課摘要一概述什么叫數(shù)控機床？即是采用數(shù)字信息技術(shù)控制的機床，是靈性極強的，高效的自動化機床。1946年2月美國發(fā)明計算機；49年開始研制數(shù)控機床；52年世界第一臺三坐標數(shù)控銑誕生，到74年數(shù)控機床經(jīng)歷五代，數(shù)控技術(shù)臻于成熟，迅速普及。后來又在質(zhì)量上、功能上得到不斷發(fā)展，（例如加工中心、柔性制造系統(tǒng)FMS、計算機集成系統(tǒng)CIMS）。加工中心---在一臺數(shù)控機床上可進行多工序加工，并能自換刀、零件自動裝卸、切硝自動清除。柔性制造系統(tǒng)的作用：①多工位數(shù)控加工②自動輸送和儲存③自動檢測④自動化管理目前使用的三臺新數(shù)控銑床型號是XK6325B/6，其中X代表銑床，K代表數(shù)控，機床所控制的軸數(shù)為３，系統(tǒng)是KND100。舊數(shù)控銑床型號是J320---1系統(tǒng)是FANUC---3M。都是三坐標控制，可三坐標聯(lián)動。XK6325B/6數(shù)控搖臂銑床共有六個部分組成：床身部分、銑頭和變速部分、工作臺部分、橫進給部分、升降臺部分、冷卻，潤滑及電氣部分。數(shù)控車床八臺，其中兩臺型號為CJK1630其中C代表車床，JK代表簡式數(shù)控機床，16代表最大回轉(zhuǎn)直徑為410mm，為最大加工長度為750mm。系統(tǒng)是FANUC均為兩坐標控制，可兩坐標聯(lián)動。兩坐標數(shù)控機床加工平面曲線；三坐標數(shù)控機床加工立體曲面。加工中心分為以鏜銑為主的“鏜銑類加工中心”二臺和以車為主的“車類加工中心”一臺。其中一臺鏜銑類加工中心型號為VMC750系統(tǒng)采用美國VICKERS公司生產(chǎn)的ACRAMATIC2100E數(shù)控系統(tǒng)。VMC750銑加工中心組成部分有：主軸箱、刀庫、立柱、工作臺、滑板、床身、控制箱、電氣柜。三坐標測量機的型號是0101DH/T-P目前我國數(shù)控機床使用的系統(tǒng)還有華中工學院的華中1號、德國的西門子CAD/CAM軟件除了我們常用的caxa系列外，還有美國的Por/E、UG法國的CIA等兩坐標數(shù)控機床加工平面曲線；三坐標數(shù)控機床加工立體曲面數(shù)控機床適合加工多品種、中小批量和形狀復雜的零件加工。數(shù)控機床的加工過程：準備階段；編程階段；準備信息載體；加工階段。二數(shù)控機床的組成：控制介質(zhì)、控制機、伺服機構(gòu)、測量機構(gòu)、機床五部分伺服機構(gòu)的作用：接收來自控制機的進給信號，驅(qū)動機床工作臺，加工出合格的零件。數(shù)控車床與普通車床的主要區(qū)別是使用伺服電機控制實現(xiàn)兩軸聯(lián)動。三數(shù)控系統(tǒng)分類1．按運動方式分三類：⑴點位控制系統(tǒng)用于鉆床和沖床⑵直線控制系統(tǒng)用于車床⑶連續(xù)控制系統(tǒng)用于銑床和加工中心2．按控制方式分三類：開環(huán)控制系統(tǒng)、閉環(huán)控制系統(tǒng)、半閉環(huán)控制系統(tǒng)。開環(huán)控制系統(tǒng)不帶位置測量裝置，不能將控制誤差反饋的系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)測量裝置檢測出工作臺的實際位移量，經(jīng)反饋回路送回控制機去與指令值進行比較，用差值進行控制，直到差值消除。閉環(huán)控制系統(tǒng)能消除機床傳動的間隙。半閉環(huán)控制系統(tǒng)---測量裝置安裝在伺服電機的端部，只檢測系統(tǒng)的一部分。四數(shù)控機床加工的特點：①適應(yīng)性強②有較高的生產(chǎn)率③有較高的重復定位精度和穩(wěn)定的加工質(zhì)量④縮短生產(chǎn)準備時間，減輕勞動強度⑤利于生產(chǎn)管理現(xiàn)代化五名詞解釋1．脈沖當量---控制機每發(fā)出一個脈沖，機床運動部件相應(yīng)的位移量叫脈沖當量。目前使用的數(shù)控車、銑床一個脈沖當量是0.001mm；加工中心則是0.0001mm。目前數(shù)控機床加工精度0.015/300mm2．插補---在一條線段的起點和終點之間進行數(shù)據(jù)密化計算過程。插補直線或曲線時不會影響加工精度，因為逼近的誤差小于一個脈沖的當量。插補四個節(jié)拍：偏差判別→進給控制→新偏差判別→終點判別。3．刀具半徑補償是刀具中心自動從零件輪廓上偏離一個指定的刀具半徑黑板畫圖講解。4．尖角過度只要輪廓線上的斜率不連續(xù)就需要尖角過度（畫圖講解）。5．絕對制編程G90:采用的是絕對坐標，坐標原點是唯一的，不變的。增量制編程G91:采用的是相對坐標，坐標原點是很多的，變化的（畫圖講解）六．編程1．坐標系的建立數(shù)控機床的坐標軸和運動方向均已標準化。平行主軸中心線的刀具運動方向為z軸，遠離方向為正，X軸為水平方向，垂直于Z軸并平行于工件的裝夾面，軸用右手直角笛卡爾坐標系確定。Y對于銑床、鏜床、鉆床等主軸帶動刀具旋轉(zhuǎn)的軸是Z軸，X、Y則平行于工件裝夾平面。對于車床、磨床和其它加工旋轉(zhuǎn)體的機床，主軸帶動工件旋轉(zhuǎn)，Z軸與主軸旋轉(zhuǎn)中心重合，平行于床身導軌，X軸與Z軸垂直，橫臥于床身導軌。數(shù)控車是X、Z兩坐標控制的機床，X坐標用零件的直徑表示，所以永遠是正值；Z坐標與機床主軸（零件軸線）重合，刀具向右移動為正方向，反之為負方向。不同的數(shù)控系統(tǒng)，編程代碼和操作指令也不完全相同。編程坐標系是編程時假定工件不動，刀具相對于工件運動，用標準坐標系X、Y、Z進行編程。數(shù)控機床編程時每程序段尺寸字的坐標值為刀具要移動的終點坐標，如果尺寸字不變在程序的下一段可以省落，R不能省。G代碼表示準備功能；M代碼表示輔助功能。2．工件坐標系原點的確定在編制加工程序時一般習慣是把編程坐標系設(shè)在軸線右端（數(shù)控車）、對稱中心（數(shù)控銑）位置上。具體解釋如下：數(shù)控車工件坐標系原點確定在零件的軸線和右端面的交點上。數(shù)控銑工件坐標原點的確定以坐標便于運算為原則。一般有對稱中心的，對稱中心就是原點；有對稱軸的，原點應(yīng)定在對稱軸上；有直線有曲線的，原點的確定要照顧曲線；有的圖紙要照顧設(shè)計基準。數(shù)控機床開機運行程序之前應(yīng)首先讓機床回零點，然后才能執(zhí)行下面操作。操作機床時出現(xiàn)緊急情況后可采取中斷機床執(zhí)行程序的方法應(yīng)按下急停鍵防止事故發(fā)生。3．起刀點的確定數(shù)控車的起刀點確定在上述坐標系中X100Z100的點上。數(shù)控銑的起刀點一般確定在零件圖任意一條直線延長線20毫米的點上。若多條直線，盡量選平行X軸或Y軸的直線；若沒直線，則選在任意一條圓弧的切線上。4．編程的基本格式O____；N__G__X__Y__Z__R__F__H__S__T__M__；O____表示程序號，后面是任意四位數(shù)；N__表示程序段號，后面是任意14位數(shù)；G__表示準備功能，后面是2位數(shù)，例如G00表示快速移動；G01表示直線移動G02表示順圓移動；G03表示逆圓移動；G41表示左刀補；G42表示右刀補；G54G59建立工件坐標系等數(shù)十種。X__Y__Z__表示坐標字；R__表示圓弧半徑F__表示進給量（刀移動的速度）；H__刀具半徑補償?shù)拇�號；S__主軸旋轉(zhuǎn)的速度；T__刀具代號M---輔助功能，用于開關(guān)控制。例如M03表示主軸右轉(zhuǎn)；M05表示主軸停；M30表示程序結(jié)束。數(shù)控銑編程的規(guī)律和要點是刀具每次移動寫終點坐標。上一句的終點是下一句的起點（第一句應(yīng)寫初始起點的坐標）。大于3π/2小于2π的弧是優(yōu)弧，應(yīng)編一段，整圓編兩段。Z方向的自動控制是銑刀套筒的伸縮。編程方法編制數(shù)控車加工程序時，程序段中尺寸字Ｘ值永遠為正值，代表直徑。編程注意事項：1.R不能省略。2.上一句有R，本句沒R，要加G01。數(shù)控銑零件圖：數(shù)控銑程序單：O____；N10G54G90Z2N20M03N30G00X3Y-19.774N40G01Z-2F500N50X61.65Y10.876N60G03X55.325Y9.957R-11N70G02X12.775Y15.388R40N80G03X3Y-19.774R-20N90G01Z2M05N100G00X0Y0N110M30數(shù)控車零件圖：數(shù)控車程序單：N10T11；N20G00X27Z0；N30G01X0F0.08N40G00Z1N50X23N60G01Z0F0.1N70X25Z-1F0.08N80Z-20N90X35Z-30N100Z-50N110X45N120Z-60N130G03X45Z-80R30N140G01Z-100N150G00X100Z100N160T22N170GX47Z-104N180G01X0F0.05N190X100Z-10024題：數(shù)控車零件圖：（起刀點Ｘ100Ｚ100）N10T11；N80X30Z-21:N20G00X22Z0；N90Z-54N30G01X0F0.05:N100G00X100Z100；N40X18F0.08；N110T22:N50X20Z-1；N120X32Z-54:N60Z-20；N130G01X0F0.05:N70X28：N140G00X100Z100；25題：數(shù)控銑圖形及程序:漢字不抄N10G54Z2；設(shè)定坐標系N20M03；銑刀右轉(zhuǎn)N30G00G90X-50Y-50；快速由原點到起刀點絕對制N40G01Z-2F100；直線慢速下刀（由Z2到Z-2）N50Y-30F500；到X-50Y-30N60G02X-40Y-20R10；順圓R10終點是X-40Y-20N70G01X20；線走刀X20Y-20N80G03X40Y0R20；逆圓R20終點是X40Y0N90X-6.915Y39.398R40；逆圓R40終點是X-6.915Y39.398N100G01X-40Y20；直線走刀X-40Y20N110Y-20；直線走刀X-40Y-20N120Z2M05；抬刀停轉(zhuǎn)N130G00X0Y0；快速回原點N140M30；結(jié)束以上均為最簡化。如果問，兩句能不能合并，應(yīng)回答：不能。因為兩段的坐標不同。用caxa數(shù)控車、制造工程師軟件畫加工零件圖形時應(yīng)分別注意什么問題？數(shù)控車：①最細直徑6mm；②槽寬不小于3mm數(shù)控銑：①不重線；②等距線不小于1mm圖形交互式自動編程步驟及所碰到的問題應(yīng)用→軌跡生成→平面輪廓→拾取曲線→生成代碼→傳輸→加工。主要是圖形有錯，修改后方能生成程序。畫球體時，需用“旋轉(zhuǎn)增料”，不能用“拉伸增料”。答疑（同學應(yīng)鍛煉獨立解決問題的能力）1．畫數(shù)控車的矩形四個角點的坐標實什么？答：（0，0）（-60，0）（-60，10）（0，10）。2．畫數(shù)控銑的圖怎樣開始？答：（1）拾取“整圓”圖標（2）拾取“原點”（3）輸入半徑16（4）拾取“顯示全部”（5）畫任意圖形3．畫數(shù)車圖形注意什么？（1）答：右邊可以是尖的，也可以是圓的，但左邊必須至少￠6mm（2）除右邊第一點，曲線上其余各點距中心線3mm（3）槽的平面。寬3mm⑷向下凹的尖角要用R1.5的弧過渡。4．畫數(shù)銑圖形注意什么？答：（1）不能畫重線（2）等距線距離1mm5．寫字有哪些嚴格規(guī)定？答：⑴字體：漢字、西文均為”A”打頭，后面帶“MS”的，選第三種（2）字數(shù)：漢字四個或西文六個6．怎樣平移？（1）拾取“平移”圖標（2）整理菜單為：兩點、移動、非答：正交（3）拾取圖形（4）右鍵確定（5）拾取基點7．怎樣鏡像？（1）拾取“鏡像”圖標（2）拾取鏡像軸首點、未點（如沒有，答：可畫一條）（3）拾取圖形（4）右鍵確定8．我的圖形已存，為什么打不開？答：⑴網(wǎng)絡(luò)忙。⑵路徑不對。正確路徑是：先打開CAXA軟件，在拾取左上角“文件”-打開-網(wǎng)絡(luò)鄰居-整個網(wǎng)絡(luò)-MicrosoftWindowsNetwork-Mshome-數(shù)車（銑）-文件名-打開。如果還打不開，可能軟件用錯了，重畫。9．實體造型規(guī)律是什么？答：（1）把復雜零件分成多個簡單的塊（像搭積木）（2）選平面-繪草圖-畫封閉圖-退草圖-拉伸增（除）料。10．畫“軸承座”難點是什么？答：難點是畫“側(cè)板”，畫封閉圖時，少畫了一條底線，要在“草圖”狀態(tài)下補上（絕大多數(shù)同學問題出在此）。11．如何剪裁四種方法：答：①剪裁②拉伸③打斷刪除④曲線過渡（選用“尖角”過渡）詳細操作自己試。12．如何縮放？答：①拾取“縮放”圖標②選擇“移動”③改寫比例④拾取“基點”⑤拾取元素，右鍵。13．如何旋轉(zhuǎn)？答：①拾取“平面旋轉(zhuǎn)”圖標②填寫份數(shù)、度數(shù)③拾取中心④拾取元素，右鍵14．如何圓陣列？答：①點“陣列”圖標②填寫“份數(shù)”③圓陣④拾取圖，右確⑤拾取中心關(guān)于數(shù)控銑圖形的檢查：15．如何生成刀具軌跡？答：拾取應(yīng)用→軌跡生成→平面輪廓→填寫參數(shù)表（參看說明一）→確定→拾取任意一條曲線（參看說明二）→查看每一條曲線是否能生成刀具軌跡（參看說明三）。16．如何填寫參數(shù)表？答：①底層高度-0.1②每層下降0.1③走刀方式“單向”④輪廓補償”O(jiān)N”17．如何拾取曲線：答：①閉曲線（需點五次鼠標:三下左鍵，兩下右鍵）②開曲線（需點六次鼠標:左左右左右右）拾取任意一條曲線，按兩下左鍵，如果不出‘雙向箭頭’說明是開曲線，需要再按一下右鍵，再按一下左鍵，再按兩下右鍵18．如何查看每一條曲線是否生成刀具軌跡：答：如果曲線變綠，并且有豎直的下、抬刀紅線，即可。19．常見的問題有哪些？答：①8字形②重線③圖形疊加④特小圓弧⑤特小角度需修改后，重新拾取“應(yīng)用”……20．如果每一條曲線都生成刀具軌跡，再怎么辦？答：保存。

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2-1已知三矢量i2iA2ixiyizBixizCixyz求：AB

AC

(AB)C

A與B,B與C,C與A之間夾角的余弦A與C為一對鄰邊的平行四邊

形的面積

解：iiA2ixyzBixizi2iCixyz(1)AB3ixiy2i3i(2)AC3ixyz2(3)(AB)C11(4)cos(A^B)1011102212636AB|A||B|

(^C)cosBBC3

6|B||C|(^A)cosCCA5

6|C||A|ix（5）|AC|det21iy11iz1211

2-2對于任意的三個矢量A,B,C,證明：A(BC)B(AC)C(AB)

A(BC)B(CA)C(AB)

解：對本題可采用兩種方法計算：直接計算和適當選取坐標系。使其一軸與一矢量平行的方法，下面我們分別介紹這兩個方法。⒈直接計算法：

A(BC)B(AC)C(AB)

ixiybycyizbzczixaxbyczbzcyiyaybzcxbxczizazbxcybycx左=(ixaxiyayizaz)bxcx

axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2bxaxbycyaybzbzbxbz(1)cxazczB(CA)

azA(BC)B(CA)

axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2cxbxcyaybybzbxbz(1)axazazC(AB)bzczA(BC)B(AC)C(AB)A(BC)B(CA)C(AB)

2．在不失一般性情況下，對于任意給定的A，B，C，選取坐標系，使X軸與C平行，

aiaiaXOY面過B,C,則有AixxyyzzbibBixxyyCixcx

bib，因為這樣并不具有一般性）（注意，這里不能說取Cixcx，Bixxyy于是有：

左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxcxiyby0iz00

(ixaxiyayizaz)(izbycx)iyaxbycxixaybycx右B(AC)C(AB)(ixbxiyby)[(ixaxiyayizaz)(ixcx)](ixcx)[(ixaxiyayizaz)(ixbxiyby)]

(ixbxiyby)axcxixcx(axbxayby)ixaxbxcxiyaxbycxixaxbxcxixaybycxiyaxbycxixaybycx左右

左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxaxiyby0iz00

(ixaxiyayizaz)(izbycx)azbycz中B(CB)ixiy0ayiz0az

(ixbxiyby)cxax

(ixbxiyby)(iyazcxizaycx)azbycx右C(AB)ixiyaybyizaz0

(ixcx)axbx

(ixcx)[ixazbyiyazbxiz(axbyaybx)]azbycx2-3已知B和A都是常量。求X，使

XBA

解：在不失一般性的情況下，可設(shè)AiXAXiYAYiZAZBiXBXiYBYiZBZ

其中AX，AY，AZ，BX，BY，BZ均為常數(shù)。

顯然，要使XBA能成立，必須，有A⊥B，此時才能有解。

另外，由矢量的有關(guān)知識可知，只要A⊥B，那么，可以找到任意多的X,使X⊥A，且XAB。更具體的說，可通過調(diào)整X與A矢量之間的夾角，來調(diào)整X的值。所以，若

有解，解也不是唯一的。這表明，使用矢量做除法，是沒有意義的。2-4已知兩個矢量場

2xizixyAixyz3yixzi2yBixyz求：矢量場FAB

并證明在空間各點，F(xiàn)x,y,z的場矢量都與A的場矢量垂直。

解：依題意

2xizixyi3yixzi2yFABixyzxyzixiyzxzizxy2y=2x3y

yzx22ixy3y4iz2x23y=ixyz根據(jù)矢量垂直的定義，若F與A垂直必有FA0

yzx22ixy3y4iz2x3yi2xizixy故FAixyzxyz=yzx22xxy3y4zz2x3yxy

220

所以，在空間各點，F(xiàn)總是與A垂直。

A3i4i5i2-5已知xyz，求A在柱坐標和球坐標中的表達式。

解：①若A位于原點，即如圖2-5-1（孟春，補出圖）所示，則有A3ix4iy5iz

在柱坐標系中

ArCAirC=

4i5iicosisin3ixyzxy=3cos+4sin=335445

=5

(圖2-5-1)

AAi4i5iicosisin=3ixyzxy=0

5AzAizi)A5(irCz其中irirCCtg143

在球坐標系中：ArSAirS4i5iisincosisinsinicos=3ixyzxYz其中tg1434

ArS52

(3i4i5i)(icoscosicossinisin)AAiXYZxyz00AAiA52irS其中irirSS4,tg143

②若A位于X0,Y0,Z0出,即如圖2-5-2所示,由柱坐標與直角坐標間的變換關(guān)系

(孟春，補出圖)坐標單位向量為此點X0,Y0,Z0的坐標單位向量

icosisinixrCisinicosiyrCiizz4i5得:Aix3iyz3cosi4sini4cos3siniz5rC其中siny0xy2020cosx0xy2020

3x04y04x03y05AirCiiZ2222x0y0x0y01其中:ir,i均為tgC,y0x0處的ir,i,即:

C,irCirCtg1y0x0

iitg1y0x0

同理球坐標系中

isincosicoscosisinixrSisinsinicossinicosiyrSicosisinizrS4i5iA3ixyzirS3sincos4sinsin5cosi4cos3sin1cos4cossin5sini3cos其中sin(x0y0)2xyz20202022cosz0xyz202020

siny0xy2020cosx0xy2020

223x04y05z03x0z04y0z05x0y04x03y0AiiirS2222222222x0y0z0x0y0z0x0y0x0y0,i均為tg其中irS,i1x0y0z022tg1y0x0,i,即處的irS,iirSirStg122x0y0,tgz01y0x0

ii1tg22x0y0,tgz01y0x0

iitg122x0y0,tgz01y0x0

2-6已知E=ixiyiz,ix2iy4iz,2ixiyiz,

求：E，E，E

解：E，E，E分別為E在，，上的投影。

EEi，EEi，EEi，，，的單位矢量為：

i121ix2iy4iz

1iii2ixyz6iz1

ix2iy211432ix3iyiz

i1142ix3iyiz

EEi2121

E26Ei3

14EEi

72-7球坐標中點的表示為(rs,,),已知P1(5,

,),P2(4,,)。6436求：P1，P2之間的距離及P1P2的單位矢量。

解：為求得P1P2兩點間的距離，應(yīng)先將P1P2換成直角坐標

524524P1：x1rssincos532y1rssinsin

z1rscos

同理P2：x23y2P1P2兩點間的距離為d3z22

(x2x1)(y2y1)(z2z1)

222=41P1P2的單位矢量為

1522562103

(xx)i(yy)i(zz)P1P2=ix21y21z21P1P2=ix(3i52(352)i(253))iyz442

411512＋562－103[ix(352553)iy(3)iz(2)]442P1P2=

P1P2d

2-8已知標量場

f(r)arcsinzxy

22

（1）求它的等值面方程并指出等值面的幾何形狀

（2）求出過點（6，8，5）等值面方程并畫出該等值面的圖形。（3）指出標量場f(r)的實數(shù)定義域

解：（1）等值面方程為：令:arcsinzxy22c(c是常數(shù))

即有：

2zxy2c其中(0c1)

或zcx2y2

可見，等值面是一族不含頂點（x=0,y=0）的圓錐面。（2）過(6,3,5)的等值面方程為：

將x=6，y=3，z=5代入等值面方程中，可求得

c12

1所以，等值面方程為tg所示。（3）

xy222(x2y20)其圖形為不含原點的錐面。如圖2-2

實數(shù)定義域為

0，

zxy221

或：

434rs0

2-9已知標量場

222f(r)x2y2z

（1）畫出過點（1，1，1）的等值面

（2）求出這個等值面在該點的發(fā)線方向。

（3）求出f(r)在該點沿Aixiyiz方向的導數(shù)解：（1）等值面方程為：x2y2z0

cf(1,1,1)1x2y2z2222221

為橢圓雙曲面。其圖形見圖2-9。

（2）由梯度性質(zhì)可知，梯度的方向與等值面垂直所以f的方向即為法線方向

f2xix4yiy4ziz

f(1,1,1)2ix4iy4iz

inff(1,1,1)13ix23iy23iz

（3）根據(jù)方向?qū)��?shù)的計算式，可知

dfdAofA即為f(r)在A方向的方向?qū)��?shù)

A1o(ixiyiz)A3AdfdA(1,1,1)

o(fA)(1,1,1)1033

2-10廣義正交坐標系中證明（2-41）式解：

(UV)VUUV（VU）

設(shè)廣義坐標系的坐標變量為u1,u2,u3,坐標單位矢量為i1,i2,i3,長度系數(shù)為h1,h2,h3,則有：UU(u1,u2,u3)VV(u1,u2,u3)

(UV)[U(u1,u2,u3)V(u1,u2,u3)]i1UVh1u1Vu2i2UVh2u2i3UVh3u3UVu3)i11h1(VUu1UVu1)i21h2(VUu2U)i31h3(VUu3

（i11Uh1u1i21Uh2u2i31Uh3u3)V（i11Vh1u1i21Vh2u2i31Vh3u3)U(U)V(V)U

(UV)(U)V(U)U

將上式中U,V對調(diào)，則有

(VU)(V)U(U)V(U)V(V)U

(VU)(U)V(V)U(VU)

12-11已知(r)3rsrs，求(r)在（x=1,y=0,z=1）點處的值。指出(r)與z軸的

夾角。

解：的梯度為：

3irir[(2)1]

srssrs在（1，0，1）處，rsxyz2222

11所以|(1,0,1)ir|(1,0,1)()()ir|(1,0,1)

s22s1與z軸的夾角為：|(1,0,1)izirs|(1,0,1)iz

212cos|(1,0,1)24

而iz

2cos(aiz)|(1,0,1)iziz|(1,0,1)22

所以夾角為

34。

(x2y2)3i，2-12已知平面矢量場F(r)ixy求沿下列路徑由P1(1,2)到P2(2,4)的路徑積分值；

1）由P1到P2的直線，

2）（1，2）（2，2）（2，4）的折線；解：路徑積分為：22Fds(xy)dx3dy

CC對路徑1，有y=2x，所以dy=2dx代入上式中，有

C1Fds21(x4x)dx6dx22533P2。

Fds，

對于路徑2，F(xiàn)dsC2P0P1FdsP0在P1P0段，y=2,dy=0,在P0P2段，x=2,dx=0

CaFdsP0P1(xy)dx3dy222P2P0(xy)dx3dy2221(x4)dx2423dy37312.33

2-13計算rds，其中rC2xyz22，c為（孟春，補出圖）

解：1）（0，0，0）（1，0，0）（1，2，0）的折線

2）（0，0，0）（1，2，0）的直線。

可以把積分分為兩段進行。第一段：y=0,z=0,x為01；第二段：x=1,z=0,y為02；

11）C[(xyz)]ds2222210xdx220(1y)dy213(y13y)|2205

（2）（0，0，0）（1，2，0）的直線方程為：y=2x,z=0

1[(xyz)2]dsc2222110(x4x)(1y)2dx

222=5x2122dx=

01553

2-14計算

zrs

解：zrscos

zrscos

22-15計算

0irsd

isincosisinsinicos解：irsxyz20dirs20sincosisinsinicos)d(ixyz20(ixsinsiniysincosizcos)|iz2cos2-16證明()r1111i()i，2r2rrrr

其中，r222(xx)(yy)(zz)，和分別表示對（x,y,z）和(x,y,z)的

坐標矢量運算。

r(xx)(yy)(zz)

2221r[1(xx)(yy)(zz)1222]

=(ixiyiz)xyz(xx)(yy)(zz)222

=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]1222(xx)(yy)(zz)3

=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]rr31(xx)(yy)(zz)2223

=1rirr2

1(xx)(yy)(zz)222

ii)(ixyzxyz1(xx)(yy)(zz)1(xx)(yy)(zz)

rr3222

(xx)i(yy)i(zz)][ixyz1i2rr2223

2-17已知靜電場強度E(r)等于竟電位(r)的負梯度。即E(r)(r)，對于下

列電位場，求他們的電場強度。

xych①(r)V0sin

aa2②(r)V0(xyz)

2③(r)V0rssin2cos

④(r)V0rccosrc⑤(r)V0ln()

a解：E

⑴(r)V0sin

xachya(V)

yxEixV0cosxchiysinshy

aaaaaacosxchyisinxshy)(V/M)V0(ixyaaaaa2⑵(r)V0(xyz)(V)E

2xyix2i)(V/M)V0(ixyz⑶(r)V0rs2sin2cos(V)

EV0[ir2rssin2cosirs2cos2cosis1rssin(rssin2sin)]

22rsin2cosV0[ii2rscos2cosi2rscossin]rsssin2cos2rsV0[iicos2cosicossin](V/M)rs⑷(r)V0rccos(V)

isinVcosiisinViEV0cosirC0rC0x(V/M)

r（5）(r)V0ln(C)(V)

aaV11EV0irCV0irC0irCarCrCrC(V/M)

2-18對于良態(tài)電場Er可以用r0Er來求出它的電荷分布，試用此方法求出

上題中各電場的電荷分布。

（1）0E

sinxshy(V/M)EV0icosxchyixyaaaaaV000Easinxchysinxchy0aaaaaa0(C/M)

22E（2）V0ix2xyiyxiz(V/M)

0EV002y20V0y(C/m3)

sin2cosicos2cosicossin（3）E2rSV0irS(V/M)

0E1rS2sin2cossinrScos2cosrSsincos1120V02rrsinrsinrSSSScoscos320V03sin2cossin2sincossinsincos20V03sin2coscos6sinsin2coscoscossincoscos20V03sin2coscos6sincoscoscossinsin20V03sin2cos3sin2cos0(C/M3)

（4）EV0ix(V/M),0E0V000(C/M)

(rCV0rC)0(C/m3V（5）E0irCrC1(V/M),0E0V0rCrC)(rC0)

（第18題后面到第20題到那里去了？）P67頁

2-21由積分形式的電場高斯定律（1-32）式及散度的定義式（2-47）式導出電場高斯定律的微分形式（2-30）式。

解：積分形式的電場高斯定律為：

Eda=dv

sv其中s為任意曲面，v為s所圍的體積。將上式兩端同除體積V，可得：

Edadvs=v

VV對上式，令s向V內(nèi)任一點P收縮，而使V趨于零，取極限。則有：Edadvs0vlimPlimV0(P)V0(P)VV由散

P點的散度，既Ep

由于P點是V內(nèi)任意一點，因此，該式對V內(nèi)各點都成立。因此下標P可略去，即：

E

這就是微分形式的電場高斯定律。

2-22在直角坐標中證明（2-117）-（2-122）六式。

解：（1）(fA)fAfA

AfiAf左=(ixAXfiyyzzixiyyfAyizzfAz=

xfAx

=ix(fAzyfAyz)iy(fAxzfAzx)iz(fAyxfAxy)

AyAzff=ix(AZfAyf)

yyzzAyAxAxAZffffiy(AxfAZf)iz(AyfAxf)zzxxxxyy=

ff(fAfA)i(fAfA)i（AA)ixzyyxzzyxyzzxxyAAAxAzfix(z)iy(x)iz(yzzxxyAyAy)

=fAfA右（以下部分皆未輸入，為第五章部分內(nèi)容，這是哪個笨

蛋干的好事？）

根據(jù)場的疊加原理，我們可以把系統(tǒng)分成兩部分：

rsa,(rs)2(rs)0rsb,2(rs)3(rs)0(1)rs,3(rs)0prs0,1(rs)cos240rsra,(r)(r)V0s1s2srb,(r)(r)V0s2s3s(2)r,(r)03ssr0,(r)01ss根據(jù)邊界條件（1），我們可以把1的試探解寫成：

B1(rs)(A1rs1)cos2rsrs0時，1(rs)p40rs2cos

B1p40

rsa時，10

(A1aB1a2)cos0

A1B1a2r40a1rs23

2p400(0rsa3)cos0rsaarsbrsb(V)

由邊界條件（2），選定3的試探解為：

B2(rs)(A2)(C2D2ln(tg)(F2G2)

rs2由于系統(tǒng)與,無關(guān)，則D2G20考慮到邊界條件(2)

M(常數(shù)）MBA22rs200rsaarsbrsbA20

2(V)

rs0,當rsb時V0V0bV0rs3V0BrsbBV0b0rsaarsbrsb(V)212rs1p()cosV0324ars0V0bV0rs300rsarsbrsb(V)

528.用代入法證明rs0P2(cos)滿足拉普拉斯方程。13)解：查表可知：P2(cos2球坐標系中的拉氏方程為：

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